Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 4 - Chủ đề 4: Max, min modul - Dạng 1: Max, min của modul - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Đại số Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 4 - Chủ đề 4: Max, min modul - Dạng 1: Max, min của modul - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 3. [2D4-4.1-3](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 4i và z 3 3i 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 là: A. 13 1. B. 10 1. C. 13 .D. 10 . Lời giải Chọn C Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2i z 4i x2 y 2 2 x2 y 4 2 y 3; z 3 3i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I 3;3 và bán kính bằng 1. Biểu thức P z 2 AM trong đó A 2;0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z 2 đạt được khi M 4;3 nên max P 4 2 2 3 0 2 13 . Câu 36. [2D4-4.1-3](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong tập hợp các 2017 số phức, gọi z , z là nghiệm của phương trình z2 z 0 , với z có thành phần ảo 1 2 4 2 dương. Cho số phức z thoả mãn z z1 1. Giá trị nhỏ nhất của P z z2 là 2017 1 2016 1 A. 2016 1.B. . C. .D. 2017 1. 2 2 Lời giải Chọn A 2017 Xét phương trình z2 z 0 4 1 2016 z1 i 2 2 Ta có: 2016 0 phương trình có hai nghiệm phức . 1 2016 z2 i 2 2 Khi đó: z1 z2 i 2016 z z2 z z1 z1 z2 z1 z2 z z1 P 2016 1. Vậy Pmin 2016 1. Câu 46: [2D4-4.1-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho các số phức 2 2 z1 2 i , z2 2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z1 z z2 16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2 m2 bằng
2. A. 15 B. 7 C. 11 D. 8 Lời giải Chọn D Giả sử z x yi x, y ¡ . 2 2 2 2 2 2 Ta có: z z1 z z2 16 x yi 2 i x yi 2 i 16 x y 1 4 . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I 0;1 bán kính R 2 . Do đó m 1, M 3. Vậy M 2 m2 8 . Câu 23: [2D4-4.1-3](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2z 3 4i 10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng. A. 5 .B. 15. C. 10. D. 20 . Lời giải Chọn C Đặt z x yi . 2 3 3 2 Ta có: 2z 3 4i 10 z 2i 5 x y 2 25 . 2 2 3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm I ;2 , bán kính R 5. 2 m IO R Khi đó: M m 2R 10. M IO R Câu 29: [2D4-4.1-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 5 5, z2 1 3i z2 3 6i . Giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là: 5 7 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
3. Giả sử z1 a1 b1i a1,b1 ¡ , z2 a2 b2i a2 ,b2 ¡ . Ta có 2 2  z1 5 5 a1 5 b1 25. Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức z1 là đường tròn C : x 5 2 y2 25 có tâm là điểm I 5;0 và bán kính R 5. 2 2 2 2  z2 1 3i z2 3 6i a2 1 b2 3 a2 3 b2 6 8a2 6b2 35 0 . Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng :8x 6y 35 0 . Khi đó, ta có z1 z2 AB . 8. 5 6.0 35 5 Suy ra z1 z2 ABmin d I; R 5 . min 82 62 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của z z là . 1 2 2 Câu 43: [2D4-4.1-3](THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn 1 i z 2 i 4 và M x; y là điểm biểu diễn cho z trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T x y 3 . A. 4 2 2 .B. 8 .C. 4 .D. 4 2 . Lời giải Chọn B 1 3 Ta có 1 i z 2 i 4 z i 2 2 . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số phức z là 2 2 1 3 đường tròn C tâm I ; bán kính R 2 2 (1). 2 2 x y 3 T 0 Biểu thức T x y 3 , với T 0 thì ta có (2). x y 3 T 0 Khi đó điểm M là điểm thuộc đường tròn C và một trong hai đường thẳng trong (2). Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn C là 4 T 2 2 2 0 T 8 0 T 8 . Vậy maxT 8 . T 4 8 T 0 2 2 2 Câu 46: [2D4-4.1-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho số phức z x yi với x, y ¡ thỏa mãn z 1 i 1 và z 3 3i 5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và M giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y . Tính tỉ số . m 9 7 5 14 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 5 Lời giải Chọn B
4. y J 3 I 1 x O 1 3 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z . Từ giả thiết z 1 i 1 ta có A là các điểm nằm bên ngoài hình tròn C có tâm I 1;1 bán 1 kính R1 1. Mặt khác z 3 3i 5 ta có A là các điểm nằm bên trong hình tròn C có tâm J 3;3 2 bán kính R2 5 . Ta lại có: P x 2y x 2y P 0 . Do đó để tồn tại x, y thì và phần gạch chéo 9 P phải có điểm chung tức là d J; 5 5 9 P 5 4 P 14 . Suy ra 5 M 7 m 4;M 14 . m 2 Câu 45: [2D4-4.1-3](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho số phức z thỏa mãn z 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 2 1 z bằng A. 5 .B. 6 5 .C. 2 5 .D. 4 5 . Lời giải Chọn C Gọi số phức z x yi , với x, y R . Theo giả thiết, ta có z 1 x2 y2 1. Suy ra 1 x 1. Khi đó, P 1 z 2 1 z x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2x 2 2 2 2x . 2 2 Suy ra P 1 2 2x 2 2 2x hay P 2 5 , với mọi 1 x 1. 3 4 Vậy P 2 5 khi 2 2x 2 2 2x x , y . max 5 5 Câu 43: [2D4-4.1-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 và biểu thức T z 2 2 z i 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính z . A. z 33 .B. z 50 .C. z 10 .D. z 5 2 . Lời giải Chọn D Đặt z x yi , theo giả thiết z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5 . C Ngoài ra T z 2 2 z i 2 4x 2y 3 T 0 đạt giá trị lớn nhất.
5. 23 T Rõ ràng C và có điểm chung do đó 5 13 T 33. 2 5 Vì T đạt giá trị lớn nhất nên T 33 suy ra 4x 2y 30 0 y 15 2x thay vào C ta được 5x2 50x 125 0 x 5 y 5. Vậy z 5 2 . Câu 9: [2D4-4.1-3] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Biết rằng z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức w z 2i ? A. 5 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 5 Lời giải Chọn D Quỹ tích M z là đường tròn tâm I 1,0 bán kính R 2 . Còn w z 2i MA với A 0,2 . Khi w IA R 2 5 đó max . Câu 44: [2D4-4.1-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa mãn z 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 4 7i . z 3i 2 A. 8 .B. 10 . C. 2 5 .D. 4 5 . Lời giải Chọn B Gọi z x yi với x, y ¡ , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z . Ta z 1 1 có: 2 z 1 z 3i 2 x 1 yi x y 3 i z 3i 2 2 x 1 2 y2 x2 y 3 2 x 2 2 y 3 2 20 . Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm I 2;3 và bán kính R 2 5 . Gọi A 0; 1 , B 4;7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 i , z2 4 7i . Dễ thấy A, B thuộc đường tròn C . Vì AB 4 5 2R nên AB là đường kính của đường tròn C MA2 MB2 AB2 20 . Từ đó: P z i 2 z 4 7i z i 2 z 4 7i MA 2MB 12 22 MA2 MB2 10 . MB 2MA MA 2 Dấu " " xảy ra khi . 2 2 MA MB 20 MB 4 Vậy max P 10 . Câu 43: [2D4-4.1-3](Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 - BTN) Xét số phức z a bi a,b R,b 0 thỏa mãn z 1. Tính P 2a 4b2 khi z3 z 2 đạt giá trị lớn nhất . A. P 4 .B. P 2 2 .C. P 2 .D. P 2 2 .
6. Lời giải Chọn C 1 z 1 Þ z z Do b 0 Þ 1 a 1 1 2 2 2 Ta có : z3 z 2 z z z 2z 2 bi a bi z z2 2 2 bi a2 b2 2abi 2 a2 b2 b 2ab 2 = 2 b2 4ab2 1 2 1 a2 4a 1 a2 1 2 4a3 a2 4a 2 1 3 Biểu thức trên đạt GTLN trên miền 1 a 1 khi a Þ b (do b 0 ) 2 2 Vậy P 2a 4b2 2 Câu 20: [2D4-4.1-3](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Cho các số phức z thoả mãn z 2. Đặt w 1 2i z 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . A. 2 .B. 3 5 .C. 2 5 .D. 5 . Lời giải Chọn D Gọi số phức z a bi với a , b ¡ . Ta có z 2 a2 b2 2 a2 b2 4 * . Mà số phức w 1 2i z 1 2i w 1 2i a bi 1 2i w a 2b 1 2a b 2 i . x a 2b 1 x 1 a 2b Giả sử số phức w x yi x, y ¡ . Khi đó . y 2a b 2 y 2 2a b Ta có : x 1 2 y 2 2 a 2b 2 2a b 2 x 1 2 y 2 2 a2 4b2 4ab 4a2 b2 4ab 2 2 x 1 y 2 5 a2 b2 x 1 2 y 2 2 20 (theo * ). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 20 2 5 . Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì w đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất. Ta có OI 1 2 22 5 , IM R 2 5 . Mặt khác OM OI IM OM 5 2 5 OM 5 . Do vậy w nhỏ nhất bằng 5 . Câu 35: [2D4-4.1-3] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Trong các số phức z thỏa mãn z i z 2 3i . Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất. 27 6 6 27 6 27 3 6 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn D
7. Giả sử z x yi x, y ¡ z x yi . Ta có x yi i x yi 2 3i x y 1 i x 2 y 3 i x2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 1 2y 13 4x 6y 4x 12 8y x 2y 3. 2 2 2 2 2 2 2 6 9 9 Do đó z x y 2y 3 y 5y 12y 9 y 5 . 5 5 5 6 3 3 6 Dấu " " xảy ra y , khi đó x z i . 5 5 5 5 Câu 163: [2D4-4.1-3] [TRẦN HƯNG ĐẠO – NB-2017] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 1 2 A. z 1 2i . B. z i . C. z i . D. z 1 2i . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x, y ¡ z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 x 2y 1 2 2 2 2 2 2 2 1 5 z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 5 5 5 5 2 1 Suy ra z khi y x min 5 5 5 1 2 Vậy z i. 5 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x, y ¡ z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z 2 i là đường thẳng d : x 2y 1 0 . Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A. 1 2 1 2 Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B. 5 5 5 5 Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1;2 d nên loại B. 1 2 1 2 Phương án C: z i có điểm biểu diễn ; d 5 5 5 5 Câu 164: [2D4-4.1-3] [LẠNG GIANG SỐ 1-2017] Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5. Lời giải Chọn B
8. Gọi z x yi với x; y ¡ . Ta có 8 z 3 z 3 z 3 z 3 2z z 4 . Do đó M max z 4 . Mà z 3 z 3 8 x 3 yi x 3 yi 8 x 3 2 y2 x 3 2 y2 8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8 1. x 3 2 y2 1. x 3 2 y2 12 12 x 3 2 y2 x 3 2 y2 8 2 2x2 2y2 18 2 2x2 2y2 18 64 x2 y2 7 x2 y2 7 z 7 . Do đó M min z 7 . Vậy M m 4 7 . 2z i Câu 169: [2D4-4.1-3] [2017]Cho số phức z thỏa mãn z 1. Đặt A . Mệnh đề nào sau đây 2 iz đúng? A. A 1. B. A 1. C. A 1. D. A 1. Lời giải Chọn A Đặt Có a a bi, a, b ¡ a2 b2 1 (do z 1) 2 2z i 2a 2b 1 i 4a2 2b 1 A 2 2 iz 2 b ai 2 b a2 2 4a2 2b 1 Ta chứng minh 2 1. 2 b a2 2 2 4a 2b 1 2 2 2 2 2 2 Thật vậy ta có 2 1 4a 2b 1 2 b a a b 1 2 b a2 Dấu “=” xảy ra khi a2 b2 1. Vậy A 1. Câu 171: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5i A 1 . z A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C 5i 5i 5 Ta có: A 1 1 1 6. Khi z i A 6. z z z Câu 173: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ 2 3 nhất Mmin của biểu thức M z z 1 z 1 . A. Mmax 5; Mmin 1 . B. Mmax 5; Mmin 2 . C. Mmax 4; Mmin 1. D. Mmax 4; Mmin 2 .
9. Lời giải Chọn A 2 3 Ta có: M z z 1 z 1 5 , khi z 1 M 5 Mmax 5. 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 1 z3 Mặt khác: M 1 z3 1, khi 1 z 2 2 2 z 1 M 1 Mmin 1. z 2 Câu 174: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z i biểu thức P . z 3 2 A. . B.1. C. 2 . D. . 4 3 Lời giải Chọn A i 1 3 i 1 1 Ta có P 1 1 . Mặt khác: 1 1 . z |z| 2 z |z| 2 1 3 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z 2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi 2 2 z 2i. Câu 177: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z . A. 3 15 . B. 6 5 . C. 20 . D. 2 20 . Lời giải Chọn D 2 2 2 2 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 x y 1 y 1 x x 1;1 2 2 Ta có: P 1 z 3 1 z 1 x y2 3 1 x y2 2 1 x 3 2 1 x . Xét hàm số f x 2 1 x 3 2 1 x ; x 1;1 . Hàm số liên tục trên 1;1 và với 1 3 4 x 1;1 ta có: f x 0 x 1;1 2 1 x 2 1 x 5 4 Ta có: f 1 2; f 1 6; f 2 20 Pmax 2 20 . 5 Câu 181: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9 4 5. B. 11 4 5 . C. 6 4 5 . D. 5 6 5 . Lời giải Chọn A 2 2 Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 2i 2 x 1 y 2 4. Đặt x 1 2sint; y 2 2cost; t 0; 2 .
10. Lúc đó: 2 2 2 z 1 2sint 2 2cost 9 4sint 8cost 9 42 82 sin t ; ¡ 2 z 9 4 5 sin t z 9 4 5 ; 9 4 5 5 2 5 10 4 5 z 9 4 5 đạt được khi z i . max 5 5 Câu 187: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 6 2i 10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3 5 Lời giải Chọn B Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: 6 2i 2 2 1 i z 6 2i 10 1 i . z 10 z 2 4i 5 x 2 y 4 5. 1 i Đặt x 2 5 sint; y 4 5 cost; t 0; 2 . Lúc đó: 2 2 2 z 2 5 sint 4 5 cost 25 4 5 sint 8 5 cost 2 2 25 4 5 8 5 sin t ; ¡ 2 z 25 20sin t z 5; 3 5 zmax 3 5 đạt được khi z 3 6i . Câu 191: [2D4-4.1-3] [2017] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 2i. A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3 2 Lời giải Chọn C Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . 2 2 2 Ta có: z 2 4i z 2i x 2 y 4 x2 y 2 x y 4 0 y 4 x. 2 2 2 2 Ta có: z 2i x2 y 2 x2 6 x 2x2 12x 36 2 x 3 18 18 z 2i 18 3 2 khi z 3 i. min Câu 194: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i. A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Lời giải Chọn C
11. Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ z 1 i x 1 y 1 i . Ta có: 2 2 z 1 2i 9 x 1 y 2 9 . Đặt x 1 3sint; y 2 3cost; t 0; 2 . 2 2 2 z 1 i 3sint 1 3cost 10 6cost 2 z 2i 4 z 1 i 2 , khi min z 1 i. m i Câu 199: [2D4-4.1-3] [2017] Cho số phức z , m ¡ . Tìm môđun lớn nhất của z. 1 m m 2i 1 A. 1. B. 0. C. . D.2. 2 Lời giải Chọn A m i m i 1 Ta có: z z 1 z 1 z i; m 0 . 1 m m 2i m2 1 m2 1 m2 1 max Câu 45: [2D4-4.1-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Cho 2018 phức z thoả mãn z 3 4i 5 . Gọi 2 2 M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính môđun của 2018 phức w M mi . A. w 1258 . B. w 1258 . C. w 2 314 . D. w 2 309 . Lời giải Chọn B Giả sử z a bi ( a,b ¡ ) . z 3 4i 5 a 3 2 b 4 2 5 (1) . P z 2 2 z i 2 a 2 2 b2 a2 b 1 2 4a 2b 3(2) . Từ (1) và (2) ta có 20a2 64 8P a P2 22P 137 0 (*) . Phương trình (*) có nghiệm khi 4P2 184P 1716 0 13 P 33 w 1258 . Câu 47: [2D4-4.1-3](SGD BINH THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG) Xét các số phức z1 3 4i và z2 z2 2 mi , m ¡ . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng? z1 2 1 A. . B. 2 . C. 3 . D. . 5 5 Lời giải Chọn A z 2 mi 2 mi 3 4i 6 4m 3m 8 i 6 4m 3m 8 2 i z1 3 4i 3 4i 3 4i 25 25 25 2 2 2 2 z2 6 4m 3m 8 z2 36 48m 16m 9m 48m 64 2 z1 25 25 z1 25 2 2 z2 25m 100 z2 m 4 4 2 2 . z1 25 z1 25 25 5
12. z z Hoặc dùng công thức: 2 2 . z1 z1 Câu 44. [2D4-4.1-3] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa z 4 z 4 10 và z 6 lớn nhất. Tính S a b . A. S 3.B. S 5.C. S 5. D. S 11. Lời giải Chọn C Gọi M a;b là điểm biểu diễn số phức z a bi a,b ¡ , A 4;0 , B 4;0 , C 6;0 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 4 , z2 4 , z3 6 . Khi đó ta có z 4 z 4 10 MA MB 10 suy ra tập hợp điểm M là E nhận A , B là các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a 10 a 5 , tiêu cự 2c 8 c 4 , b 3 x2 y2 E : 1. 25 9 Ta tìm giá trị lớn nhất của z 6 MC , khi đó MCmax EF FC 11, khi đó M  E với E 5;0 , F 5;0 z 5 . Vậy S a b 5. Câu 40. [2D4-4.1-3] (Sở Giáo dục Gia Lai – 2018-BTN)Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1 z . A. P 2 10 . B. P 6 5 . C. P 3 15 . D. P 2 5 . Lời giải Chọn D  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P 1 z 3 1 z 12 32 1 z 2 1 z 2 10 1 z 2 10 1 1 2 5 . Vậy Pmax 2 5 . Câu 34: [2D4-4.1-3] (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 3i 2 và z2 1 2i 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 . A. P 3 34 . B. P 3 10 . C. P 6 . D. P 3. Lời giải Chọn A
13. Gọi M x1; y1 là điểm biều diễn số phức z1 , N x2 ; y2 là điểm biểu diễn số phức z2 2 2 Số phức z1 thỏa mãn z1 2 3i 2 x1 2 y1 3 4 suy ra M x1; y1 nằm trên đường tròn tâm I 2;3 và bán kính R1 2 . 2 2 Số phức z2 thỏa mãn z2 1 2i 1 x2 1 y1 2 1 suy ra N x2 ; y2 nằm trên đường tròn tâm J 1; 2 và bán kính R2 1. Ta có z1 z2 MN đạt giá trị lớn nhất bằng R1 IJ R2 2 34 1 3 34 . Câu 39: [2D4-4.1-3](SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2018-BTN) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng 2 số phức z thỏa z m 1 i 8 và z 1 i z 2 3i . A. 130. B. 66 . C. 65. D. 131. Lời giải Chọn B Đặt z x iy x, y ¡ Ta có: z m 1 i 2 tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I m 1; 1 , bán kính R 8 . Ta có: z 1 i z 2 3i tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 2x 8y 11 0 . Yêu cầu bài toán khoảng cách từ I đến d nhỏ hơn R 2m 21 8 68 21 21 4 68 m 4 68 2 2 Vì m ¢ nên 22 m 43 có 66 giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Câu 203: [2D4-4.1-3][ CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ 2017] Trong các số phức z thỏa z + 3+ 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức z0 . B. z0 = 2 . C. z0 = 7 . D. z0 = 3 . Lời giải Chọn D
14. Cách 1: Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) . Khi đó z + 3+ 4i = 2 Û (a + 3)2 + (b + 4)2 = 4 . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C tâm I 3; 4 và bán kính R 5 Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z . Ta có: M z C . z OM OI R 3. Vậy z bé nhất bằng 3 khi M z C  IM . Cách 2: ïì a + 3 = 2cosj ïì a = - 3+ 2cosj Đặt íï Û íï . îï b + 4 = 2sinj îï b = - 4+ 2sinj Þ z = a2 + b2 = (2cosj - 3)2 + (2sinj - 4)2 = 29- 12cosj - 16sinj . æ3 4 ö = 29- 20ç cosj + sinj ÷= 29- 20cos(a - j ) ³ 9 . èç5 5 ø÷ Þ z0 = 3 . Câu 204: [2D4-4.1-3][NGUYỄN TRÃI – HD-2017] Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1. B. 5 1. C. 5 2 . D. 5 2. Lời giải Chọn A y I 1 M O 1 x Gọi z x yi , x, y ¡ . Ta có: z 2 2i 1 (x 2) (y 2)i 1 (x 2)2 (y 2)2 1. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 2) và bán kính R 1. 2 z i x2 y 1 IM , với I 2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N 0;1 Oy, I 2;2 với đường tròn (C). IM min IN R 5 1
15. Câu 210: [2D4-4.1-3][CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH-LẦN 2-2017] Cho số phức z thỏa mãn z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 . Tính min | w |, với w z 2 2i . 3 1 A. min | w | . B. min | w | 2 . C. min | w | 1 . D. min | w | . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1 z 1 2i 0 . z 1 2i z 3i 1 Trường hợp 1: z 1 2i 0 w 1 w 1 1 . Trường hợp 2: z 1 2i z 3i 1 Gọi z a bi (với a,b ¡ ) khi đó ta được 2 2 1 a 1 b 2 i a 1 b 3 i b 2 b 3 b . 2 3 2 9 3 Suy ra w z 2 2i a 2 i w a 2 2 . 2 4 2 Từ 1 , 2 suy ra min | w | 1 . Câu 211: [2D4-4.1-3][CHUYÊN SƠN LA –LẦN 2-2017]Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i 5 và w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5. B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Lời giải Chọn B Gọi z x yi x, y ¡ z 1 2i x 1 y 2 i 2 2 2 2 Ta có: z 1 2i 5 x 1 y 2 5 x 1 y 2 5 Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 1; 2 bán kính R 5 như hình vẽ:
16. Dễ thấy O C , N 1; 1 C . Theo đề ta có: M x; y C là điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn: 2 2  w z 1 i x yi 1 i x 1 y 1 i z 1 i x 1 y 1 MN Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất. Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C . 2 I là trung điểm MN M 3; 3 z 3 3i z 32 3 3 2 . Câu 213: [2D4-4.1-3][CHU VĂN AN – HN-2017] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i . A. maxT 8 2 . B. maxT 4 . C. maxT 4 2 . D. maxT 8 . Lời giải Chọn B T z i z 2 i z 1 1 i z 1 1 i . Đặt w z 1. Ta có w 1 và T w 1 i w 1 i . Đặt w x y.i . Khi đó w 2 2 x2 y2 . 2 2 2 2 T x 1 y 1 i x 1 y 1 i 1. x 1 y 1 1. x 1 y 1 12 12 x 1 2 y 1 2 x 1 2 y 1 2 2 2x2 2y2 4 4 Vậy maxT 4 . Câu 36: [2D4-4.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P z i 2 z 2 2 . Tính A m M . A. A 3 .B. A 2 .C. A 5. D. A 10. Lời giải Chọn B.
17. 2 2 Đặt z x iy ( x , y ¡ ) thì z 2 3i 5 x iy 2 3i 5 x 2 y 3 5. P z i 2 z 2 2 x iy i 2 x iy 2 2 x2 y 1 2 x 2 2 y2 4x 2y 3. Đặt x 2 5 sin t , y 3 5 cost , t ¡ . P 4 2 5 sin t 2 3 5 cost 3 4 5 sin t 2 5 cost 1. 2 P 1 2 4 5 sin t 2 5 cost 80 20 .1 10 P 1 10 11 P 9 Vậy A 11 9 2 . Câu 12: [2D4-4.1-3] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 4i 2 2i z , môđun nhỏ nhất của số phức z bằng: A. 2 .B. 3 .C. 2 2 . D. 2 3 . Lời giải Chọn C Đặt z x yi , x, y ¡ được biểu diễn bởi điểm M x; y trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: z 4i 2 2i z x 2 y 4 i x 2 y i x 2 2 y 4 2 x2 2 y 2 x y 4 0. Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d : x y 4 0 . 4 z OM d O;d 2 2 . min min 2 2 3i Câu 47: [2D4-4.1-3] (SGD Đà Nẵng - HKII - 2017 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Giá trị 3 2i lớn nhất của môđun số phức z là A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B y 1 O x I -3 M Đặt: z x yi x, y ¡ . 2 3i 2 Ta có: z 1 2 iz 1 2 z i 2 x2 y 1 4 . 3 2i Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I 0; 1 và bán kính R 2 .
18. Ta có: z OM . Do đó giá trị lớn nhất của z khi OM lớn nhất nghĩa là O , M , I thẳng hàng max z 3. Câu 40: [2D4-4.1-3] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 5. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m ? 17 A. M m B. M m 8 C. M m 1 D. M m 4 2 Lời giải Chọn D Gọi M x; y , F1 2;0 , F1 2;0 biểu diễn cho số phức z , 2 , 2 . 25 Ta có MF MF 5 Þ M chạy trên Elip có trục lớn 2a 5 , trục nhỏ 2b 2 4 3. 1 2 4 5 3 Mà z OM . Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là M ; m . 2 2 Suy ra M m 4. Câu 22: [2D4-4.1-3] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số phức z thỏa mãn z 3 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của P z . 10 2 10 3 10 A. P . B. P 3.C. P . D. P . min 5 min min 5 min 5 Lời giải Chọn C Gọi z a bi , a,b ¡ Ta có: P z a2 b2 Mà z 3 z i Hay a ib 3 a ib i a 3 ib a b 1 i a 3 2 b2 a2 b 1 2 b 4 3a Lúc đó P z a2 b2 a2 4 3a 2 10a2 24a 16 2 24 144 8 2 10 10 x x 10 100 5 5 Câu 45: [2D4-4.1-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và z i giá trị nhỏ nhất của P , với z là số phức khác 0 thỏa mãn z 2 . Tính 2M m . z 3 5 A. 2M m . B. 2M m . C. 2M m 10 . D. 2M m 6 . 2 2 Lời giải Chọn B z i z i z i 1 3 3 P 1 . Dấu bằng xảy ra khi z 2i . Vậy M . z z z z 2 2
19. z i z i z i z i 1 1 P 1 . Dấu bằng xảy ra khi z 2i . z z z z z 2 1 Vậy m . 2 5 Vậy 2M m . 2 Câu 38. [2D4-4.1-3] (SGD Bình Dương - HK 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho số phức z thỏa mãn z 3 3i 2 . Giá trị lớn nhất của z i là A. 7 .B. 9 .C. 6 .D. 8 . Lời giải Chọn A Cách 1. 2 z 3 3i z i 3 4i z i 3 4i z i 2 3 4i z i 7 . Cách 2. Đặt w z i . Gọi M là điểm biểu diễn của w trong hệ trục tọa độ Oxy . z 3 3i 2 w 3 4i 2 MI 2 với I 3; 4 M nằm trên đường tròn C tâm I 3; 4 , bán kính R 2 . Ta có z i w OM . Vậy max OM OI R 5 2 7 .  Lưu ý: Nếu đề bài hỏi “Giá trị nhỏ nhất của z i ” thì min OM ON OI R . Câu 49. [2D4-4.1-3] (SGD Bình Dương - HK 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong các số phức z thỏa mãn z z 1 2i , số phức có mô đun nhỏ nhất là 3 1 A. z 1 i .B. z i .C. z 3 i .D. z 5 . 4 2 Lời giải Chọn B Gọi z x yi x, y ¡ suy ra z x yi . 2 2 5 Theo giả thiết ta có x2 y2 x 1 2 y 2x 4y 5 0 x 2y . 2 2 2 2 2 5 2 2 5 5 Khi đó z x y 2y y 5 y 1 . 2 4 4 5 1 5 x 2y x Vậy z nhỏ nhất bằng khi 2 2 . 2 y 1 y 1 1 Vậy số phức có mô đun nhỏ nhất là z i . 2
20. Câu 35: [2D4-4.1-3] (SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 2 z i 2 . Môđun của số phức w M mi là A. w 3 137 B. w 1258 C. w 2 309 D. w 2 314 Lời giải Chọn B - Đặt z x yi , với x, y ¡ . Ta có: z 3 4i 5 x 3 y 4 i 5 x 3 2 y 4 2 5, hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C có tâm I 3;4 , bán kính r 5 . - Khi đó : P z 2 2 z i 2 x 2 2 y2 x2 y 1 2 4x 2y 3 4x 2y 3 P 0, kí hiệu là đường thẳng . - Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng cắt đường tròn C 23 P d I; r 5 P 23 10 13 P 33 2 5 Suy ra M 33 và m 13 w 33 13i . Vậy w 1258 . Câu 6191: [2D4-4.1-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Trong các số phức thỏa mãn điều kiện: z 2 4i z 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z 2 i .B. z 3 i . C. z 2 2i .D. z 1 3i . Lời giải Chọn C Đặt z x yi x, y R . Từ giả thiết suy ra : y x 4. 2 2 x 2 Vậy z 2x 8x 16 2 x 2 8 2 2 . Do đó z nhỏ nhất khi và chỉ khi . y 2 Câu 6192: [2D4-4.1-3] [208-BTN] Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 3i . Tính môđun nhỏ nhất của z i . 3 5 4 5 3 5 7 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10 Lời giải Chọn A Gọi z x yi; x; y ¡ có điểm M x; y biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết z 1 i z 3i suy ra M : 2x 4y 7 0. Ta có: z i x y 1 i có điểm M x; y 1 biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: 2x 4y 7 0 2x 4 y 1 3 0 M : 2x 4y 3 0 . 3 3 5 3 8 Vậy z i d O; , khi z i . min 22 42 10 10 5 Câu 6193: [2D4-4.1-3] [208-BTN] Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 3i . Tính môđun nhỏ nhất của z i .
21. 3 5 4 5 3 5 7 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10 Lời giải Chọn A Gọi z x yi; x; y ¡ có điểm M x; y biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết z 1 i z 3i suy ra M : 2x 4y 7 0. Ta có: z i x y 1 i có điểm M x; y 1 biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: 2x 4y 7 0 2x 4 y 1 3 0 M : 2x 4y 3 0 . 3 3 5 3 8 Vậy z i d O; , khi z i . min 22 42 10 10 5 Câu 6194: [2D4-4.1-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1.B. 5 1.C. 5 2 . D. 5 2 . Lời giải Chọn A y I 1 M O 1 x . Gọi z x yi , x, y ¡ . Ta có: z 2 2i 1 (x 2) (y 2)i 1 (x 2)2 (y 2)2 1. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm I(2;2) và bán kính R 1. 2 z i x2 y 1 IM , với I 2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N 0;1 Oy, I 2;2 với đường tròn (C). IM min IN R 5 1. Câu 6195: [2D4-4.1-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Trong các số phức z thỏa z + 3+ 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó. A. z0 = 7 .B. z0 = 2 . C. z0 = 3 .D. Không tồn tại số phức z0 . Lời giải Chọn C