Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Mức độ 4.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Mức độ 4.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 42. [HH11.C3.3.BT.d](Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD 2AB 2BC 2CD 2a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính cosin góc giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a3 3 . 4 5 3 310 310 3 5 A. .B. . C. .D. . 10 20 20 10 Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi là mp đi qua MN và song song với mp SAD . Khi đó cắt AB tại P , cắt SC tại Q , cắt AC tại K . Gọi I là giao điểm của MN và QK I SAC . Suy ra: P , Q , K lần lượt là trung điểm của AB , SC và AC . Lại có: ABCD là hình thang cân có AD 2AB 2BC 2CD 2a AD 2a; AB BC CD a a 3 a 2a a 3 3 3a2 CH ; S . . 2 ABCD 2 2 4 1 3 3a2 a3 3 1 a 3a Nên V . .SA SA a MP SA và NP . ABCD 3 4 4 2 2 2 2 2 a 3a a 10 Xét tam giác MNP vuông tại P: MN 2 2 2 MP,KQ lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB, SAC MP//KQ//SA 1 KN là đường trung bình của tam giác ACD KN AD a . 2 2 2 a 3 3a a 3 Xét tam giác AHC vuông tại H: AC a 3 KC 2 2 2 Suy ra: tam giác KNC vuông tại C C là hình chiếu vuông góc của N lên SAC . góc giữa MN và SAC là góc N· IC IN KN 2 2 2 a 10 a 10 Khi đó: IN .MN . MN NP 3 3 3 2 3 2 2 a a 10 a 10 a a 31 Xét tam giác NIC vuông tạiC : NC ; IN IC 2 3 3 2 6 IC a 31 a 10 310 cos N· IC : . IN 6 3 20
2. Cách 2. Vì ABCD là hình thang cân có AD 2AB 2BC 2CD 2a AD 2a; AB BC CD a a 3 a 2a a 3 3 3a2 CH ; S . . 2 ABCD 2 2 4 1 3 3a2 a3 3 nên V . .SA SA a ABCD 3 4 4 Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ a a 3 a 3 a a 3 Ta có: K 0;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;0 , A 0; ;0 , N ; ;0 , 2 2 2 2 2 a 3 a a 3 a S 0; ;a , M ; ; 2 4 4 2  3a 3a 3 a   MN ; ; . Chọn u 3;3 3; 2 cùng phương với MN 1 4 4 2 BK  SA Nhận xét: BK  SAC BK  AC  a   BK ;0;0 là vtpt của SAC .Chọn n1 1;0;0 cùng phương với BK 2   u1.n1 3 10 310 Gọi là góc góc giữa MN và SAC . Ta có sin   cos . 20 20 u1 u2 Câu 50. [HH11.C3.3.BT.d] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Cho tứ diện ABCD có AB 3a , AC a 15 , BD a 10 , CD 4a . Biết rằng góc giữa đường thẳng 5a AD và mặt phẳng BCD bằng 45 , khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng và hình 4 chiếu của A lên mặt phẳng BCD nằm trong tam giác BCD . Tính độ dài đoạn thẳng AD .
3. 5a 2 3a 2 A. . B. 2 2a . C. .D. 2a . 4 2 Lời giải Chọn D Ta xét tích vô hướng          AD.BC AD. AC AB AD.AC AD.AB AD.AC.cos Aˆ AD.AB.cos Aˆ AD2 AC 2 CD2 AD2 AB2 BD2 AD2 AC 2 CD2 AD2 AB2 BD2 AD.AC. AD.AB. . 2AD.AC 2AD.AB 2 2 AC 2 BD2 CD2 AB2 15a2 10a2 16a2 9a2 0 AD  BC . 2 2 Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD và M DH  BC suy ra M nằm giữa B và C . BC  AH Ta có BC  AHD BC  DM . BC  AD MN  BC Trong mặt phẳng ADM dựng MN  AD tại N , suy ra suy ra $MN$ là đoạn vuông MN  AD 5a góc chung của $AD$ và $BC$, do đó d AD;BC MN . 4 Vì AH  BCD nên ·AD; BCD ·ADH 45 . Đồng thời H nằm giữa D và M nên ·AMD 90
4. suy ra N nằm giữa A và D . 5a 2 a 110 Ta có DM MN. 2 BM BD2 DM 2 . 4 4 AD  MN Ta có AD  BNC AD  BN . AD  BC 2 2 2 2 2 2 2 2 110a 25a 3a AN AB BN AB BM MN 9a . 16 16 4 5a Mặt khác vì tam giác DMN vuông cân tại N nên DN MN . 4 Do đó AD AN DN 2a . Câu 45: [HH11.C3.3.BT.d] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang (không đi qua đỉnh) bao nhiêu khối lập phương đơn vị? A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 Lời giải Chọn D B C M A D O B' C' M' A' D' Gọi ABCD.A B C D là khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị và O là tâm hình lập phương đó, khối lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 3 . Ta xét mặt phẳng P đi qua O và vuông góc với AC , cắt AC tại M , cắt A C tại M . 3 3 AM AO 3 3 9 2 3 2 Ta có 2 AM AC .3 3 CM . AC AC 3 2 2 2 2 2 4 4 Gọi A1B1C1D1 là mặt phẳng chia lớp 9 khối lập phương mặt trên với 9 khối lập phương ở mặt thứ 2 , gọi M1 A1C1  MM . 7 7 3 2 7 2 5 2 Ta có A M CM . C M AC A M . 1 1 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 4 Gọi A2 B2C2 D2 là mặt phẳng chia lớp 9 khối lập phương mặt thứ 2 với 9 khối lập phương ở mặt thứ 3 , gọi M 2 A2C2  MM . 5 5 3 2 5 2 7 2 Ta có A M CM . C M A C A M . 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 4
5. Giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng ABCD cắt các cạnh của 3 hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng A1B1C1D1 cắt các cạnh của 5 hình vuông (hình vẽ), trong các hình vuông này có 2 cặp hình vuông cùng chung một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng P cắt ngang 6 khối lập phương mặt trên. C B C B1 1 M M1 A D1 A D 1 Tương tự mặt phẳng P cắt ngang 6 khối lập phương mặt dưới cùng. Giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng A1B1C1D1 cắt các cạnh của 5 hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng A2 B2C2 D2 cắt các cạnh của 5 hình vuông (hình vẽ), trong đó có 3 cặp hình vuông cùng chung với một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng P cắt ngang 7 khối lập phương mặt thứ hai. C C B1 1 B2 2 M1 M2 D1 D2 A1 A2 Vậy, mặt phẳng P cắt ngang (không đi qua đỉnh) 6 6 7 19 khối lập phương đơn vị. Cách khác Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là i; j;k , với i , j , k 0;1;2;3 và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là O 0;0;0 và A 3;3;3 . Phương trình mặt 9 trung trực của OA là : x y z 0. Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và 2 và chỉ khi các đầu mút i; j;k và (i 1; j 1;k 1) của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với ( ) . Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ i; j;k , với i , j , k 0;1;2, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
6. 9 i j k 0 2 3 9 i j k 1 . 9 2 2 i 1 j 1 k 1 0 2 3 i i k 2 Các bộ ba không thỏa điều kiện 1 , tức là là: 9 i i k 2 S 0;0;0 ; 0;0;1 ; 0;1;0 ; 1;0;0 ; 1;2;2 ; 2;1;2 ; 2;2;1 ; 2;2;2  Vậy có 27 8 19 khối lập phương đơn vị bị cắt bởi . Câu 43: [HH11.C3.3.BT.d] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 . Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB C D có diện tích bằng: a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Lời giải Chọn C S C' D' B' I A D O B C Dễ thấy S· BA 45 . Ta có B D  SC và BD  SC và SC không vuông góc với mặt phẳng SBD , suy ra BD / /B D . Nên từ I SO  AC nên từ I kẻ B D / /BD cắt SB , SD lần lượt tại B , D . AB  SC Từ trên suy ra B D  AC và AB  SB . AB  BC 1 a 6 B D SB a 2 1 a 2 Suy ra S AC .B D . Mà AC và B D . AB C D 2 3 BD SB 2.a 2 2 2 1 3 Vậy S AC .B D a2 . AB C D 2 6