›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Khoảng cách - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

doc 37 trang xuanthu 580
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Khoảng cách - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • doctrac_nghiem_hinh_hoc_lop_11_tach_tu_de_thi_thu_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 5: Khoảng cách - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

  1. Câu 28.[HH11.C3.5.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . a 22 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. a . 11 3 3 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của tam giác BCD . Qua C kẻ đường thẳng d song song với BM . Khi đó d AC, BM d BM , AC,d d O, AC,d . Do tứ diện ABCD là tứ diện đều AO  BCD . Kẻ OI  d và I d , OH  AI và H AI OH  AC,d . Suy ra d O, AC,d OH . a Ta có d // BM d  CD . Tứ giác IOMC là hình chữ nhật, suy ra IO MC . 2 a 3 a 3 BM là đường cao trong tam giác đều cạnh bằng a BM BO . 2 3 a2 a 2 Ta có AO AB2 BO2 AO a2 . 3 3 a 2 a . 1 1 1 OA.OI 3 2 a 22 Do đó ta có 2 2 2 OH OH . OH OA OI OA2 OI 2 2a2 a2 11 3 4 Câu 12: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD . a 10 a 42 A. .B. a 2 .C. a . D. . 5 7 Lời giải Chọn D
  2. Ta có AB// SCD nên h d B, SCD d A, SCD AH Vì CD  SAD SCD  SAD theo giao tuyến SD , dựng AH  SD AH  SCD . Theo đề góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 nên S· CA 60 . SA Ta có: tan 60 SA a 6 AC 1 1 1 a 42 Và AH . AH 2 SA2 AD2 7 Câu 1. [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB a , OC a 3 . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng OBC , OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM . a 5 a 15 a 3 a 3 A. h . B. h . C. h . D. h . 5 5 2 15 Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng OBC dựng hình bình hành OMBN , kẻ OI  BN . A H O C M N I B Kẻ OH  AI . Nhận xét OM // ABN nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OM và mặt phẳng ABN , bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABN . Suy ra h d O, ABN OH .
  3. a 3 Tam giác OBI có OB a , B· OM 60o nên OI . 2 1 1 1 1 1 4 a 3 Tam giác AOI vuông tại O nên OH . OH 2 OA2 OI 2 OH 2 3a2 3a2 5 Câu 20. [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SCD . a 21 a 3 a 3 A. h . B. h a . C. h . D. h . 7 4 7 Lời giải Chọn A S H B C N M A D Gọi M , N là trung điểm của AB ,CD . CD  MH  Gọi H là hình chiếu của M lên SN ta có:  MH  SCD SN  MH  MH d M , SCD mà AM // SCD MH d A, SCD a 3 Mặt khác ta có: SM ; MN a 2 SM 2.MN 2 21 Xét tam giác vuông SMN ta có: MH a . SM 2 MN 2 7 Câu 48: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc ·ABC 30; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SAB vuông góc mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: a 6 a 6 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 6 Lời giải. Chọn D
  4. S E A B H K C a a 3 Ta có tam giác ABC vuông tại A góc ·ABC 30 và BC a , suy ra AC , AB . 2 2 SAB  ABC Lại có AC  SAB , suy ra tam giác SAC vuông tại A . CA  AB 2 2 2 2 a a 3 Suy ra SA SC AC a . 2 2 a 3 a 3 Tam giác SAB có SA , AB , SB a . Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được 2 2 a2 2 2S a 6 a 3 2AB S SH SAB BH . SAB 4 AB 3 3 3 2 Suy ra d H, SBC d A, SBC . Từ H kẻ HK  BC . 3 a 3 a 6 Kẻ HE  SK HE  SBC . Ta dễ tính được HK d H, SBC . 6 9 3 3 a 6 a 6 Vậy d A, SBC d H, SBC  . 2 2 9 6 Câu 49: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết góc giữa MN và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là 15 30 15 15 A. a. . B. a. . C. a. . D. a. . 62 31 68 17 Lời giải. Chọn B S M E A B I O N D C
  5. Gọi I là trung điểm OA . Vì IM //SO IM  ABCD nên hình chiếu của MN lên ABCD là IN . Suy ra M· NI 60 Áp dụng định lí cô sin trong CIN , ta có 2 2 2 2 3a 2 a 3a 2 a 2 a 5 IN CI CN 2CI.CN.cos45 2 . . . 4 2 4 2 2 2 2 Trong tam giác vuông MIN ta có. MI a 15 a 30 a 30 tan 60 MI IN. 3 SO . IN 2 2 4 2 Ta có d BC, DM d BC, SAD d N, SAD 2d O, SAD 2d O, SBC . Kẻ OE  SN OE  SBC . 1 1 1 4 4 62 a 15 Ta có d O, SBC OE mà OE . OE 2 OS 2 ON 2 30a2 a2 15a2 62 2a 15 30 Vậy d BC, DM 2OE a . 62 31 Câu 29: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SO a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. .B. .C. .D. . 15 5 15 5 Lời giải Chọn D Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD ; H là hình chiếu vuông góc của O trên SN. Vì AB//CD nên d AB,SC d AB,(SCD) d M ,(SCD) 2d O,(SCD) CD  SO Ta có CD  (SON) CD  OH CD  ON CD  OH Khi đó OH  (SCD) d O;(SCD) OH. OH  SN 1 1 1 1 1 5 a Tam giác SON vuông tại O nên OH OH 2 ON 2 OS 2 a2 a2 a2 5 4 2a 5 Vậy d AB,SC 2OH . 5 Câu 31. [HH11.C3.5.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
  6. góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 2 a 3 A. a .B. .C. .D. . 3 2 2 Lời giải Chọn D BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc S· BA 60. Do đó SA a.tan 60 a 3. Dựng D sao cho ABCD là hình vuông. Dựng AE  SD tại E. CD  AD Ta có: CD  SAD CD  AE. CD  SA Mà AE  SD suy ra AE  SCD . Ta có d AB;SC d AB; SCD d A; SCD AE. AS.AD a 3 a 3 Mà AE . Vậy d AB;SC . SD 2 2 Câu 22: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác SAB đều, M là trung điểm của SA . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCD . a 21 a 21 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 14 7 14 7 Lời giải Chọn A
  7. S I M A D H K B C * Gọi H là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD . Ta có SH  ABCD và a 3 SH . Hạ HI  SK . 2 1 1 1 * Khi đó d M ; SCD d A; SCD d H; SCD HI . 2 2 2 1 1 1 1 1 7 * Lại có 2 2 2 2 2 2 . HI HS HK a 3 a 3a 2 a 3 a 21 * Suy ra HI . Vậy d M ; SCD . 7 14 Câu 14. [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B , biết AB BC a , AD 2a , SA a 3 và SA  ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB , SA . Tính khoảng cách từ M đến NCD theo a . a 66 a 66 a 66 A. . B. 2a 66 .C. . D. . 22 11 44 Lời giải Chọn D S N M K G A D B C I Cách 1 : Gọi I là giao điểm của AB và CD , vì AD 2BC nên B là trung điểm của AI . Gọi G là giao điểm của SB và IN , dễ thấy G là trọng tâm tam giác SAI . Do đó,
  8. 2 4 1 SG SB SM MG SG , mà G NCD nên 3 3 4 1 1 d M ; NCD d S; NCD d A; NCD . 4 4 Lại có, CD  AC;CD  SA CD  SAC . Gọi K là hình chiếu của A lên NC thì AN.AC a 3 d A; NCD AK * , với AN ; AC a 2 thay vào * ta được AN 2 AC 2 2 a 66 1 a 66 AK . Vậy d M ; NCD AK 11 4 44 Cách 2 : Gắn hệ trục Oxyz sao cho O  A; D Ox; B Oy;S Oz ; i a . 3 1 3 Khi đó A 0;0;0 , D 2;0;0 , B 0;1;0 , C 1;1;0 , S 0;0; 3 , N 0;0; , M 0; ; . 2 2 2    CN;CD CM d M ; NCD   . CN;CD  3   1 3 Nhập vào máy tính bỏ túi các tọa độ CN 1; 1; , CD 1;1;0 , CM 1; ; . Ta được 2 2 2 66 66 kết quả . Vậy d M ; NCD a . 44 44 Câu 23. [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB 1; AC 2. Hình chiếu vuông góc của A trên ABC nằm trên đường thẳng BC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC . 3 1 2 5 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 5 3 Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ABC . 1 Giả sử A H x 0 ; BC 5 ; S AB.AC 1. ABC 2 1 1 Ta có V A H.S .x . A .ABC 3 ABC 3 3V x 2x 2 d A, A BC A .ABC . S 1 A BC A H. 5 x. 5 5 2 Câu 49. [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 3a, BC 4a. Cạnh bên SA vuông
  9. góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM . 10a 3 5a A. a 3 .B. .C. .D. 5a 3 . 79 2 Lời giải Chọn B AC 5a, SA 5a 3 . Gọi N là trung điểm BC AB// SMN d AB, SM d A, SMN . Dựng AH  MN tại H trong ABC . Dựng AK  SH tại K trong SAH . AK  SMN tại K nên d A, SMN AK d  AB, SM  AK . AH NB 2a . 1 1 1 1 1 79 10a 3 AK . AK 2 AH 2 SA2 4a2 75a2 300a2 79 Câu 38. [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ; SD vuông góc với mặt đáy (ABCD) ; AD 2a ; SD a 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 2 3 Lời giải Chọn A S H C D A B Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên SA . Khi đó ta có:
  10. AB  AD DH  AB AB  SDA AB  DH ; DH  SAB . AB  SD DH  SA SD.AD 2a 2 2a Ta có CD // SAB d CD, SAB d D, SAB DH . SD2 AD2 6 3 Câu 41. [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , AA 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD . a 5 2a 5 A. . B. . C. 2a . D. a 2 . 5 5 Lời giải Chọn B C B O D A H C B O D A AC Gọi O, O lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác COO C là hình bình hành và C O a 2 Do BD // B D BD // CB D nên d BD;CD d O; CB D d C ; CB D . B D  A C Ta có: B D  COO C CB D  COO C B D  CC Lại có CB D  COO C CO . Trong CC O hạ C H  CO C H  CB D d BD;CD C H 1 1 1 1 1 5 2 5a Khi đó: C H . C H 2 CC 2 C O 2 2a 2 a2 4a2 5 Câu 28: [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc B· AD 60o , cạnh SO vuông góc với ABCD và SO a . Khoảng cách từ O đến SBC là a 57 a 57 a 45 a 52 A. . B. . C. . D. . 19 18 7 16 Lời giải Chọn A
  11. Vẽ OM  BC tại M thì SMO  BC SMO  SBC , vẽ OH  SM tại H OH  SBC d O, SBC OH a 3 a OB.OC a 3 Ta có AC a 3 , OC , OB , OM.BC OB.OC OM . 2 2 BC 4 a 3 a 3 SO.MO a. a. a 57 OH 4 4 . SO2 MO2 3a2 3a2 19 a2 a2 16 16 Câu 37: [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 2 3a 2 3a 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A Gọi K là hình chiếu của H trên SC . Do ABCD là hình vuông nên DM  CN . Có SH  ABCD SH  DM . Suy ra DM  SHC DM  HK . Vậy HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC .
  12. DC 2 2a Có DH là đường cao của tam giác vuông CDN nên CH.CN DC 2 CH . CN 5 1 1 1 1 5 19 Lại có HK là đường cao trong tam giác vuông SHC nên HK 2 SH 2 HC 2 3a2 4a2 12a2 2a 3 HK . 19 a 3 Vậy d SC, DM . 5 Câu 24: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a , AD 4a , SA  ABCD , cạnh SC tạo với đáy góc 60o . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a . Khoảng cách giữa MN và SB là 2a 285 a 285 2a 95 8a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN // SBK . AC 2a 5 . d MN, SB d MN, SBK d N, SBK 2d A, SBK . Vẽ AE  BK tại E , AH  SE tại H . Ta có SAE  SBK , SAE  SBK SE , AH  SE AH  SBK d A, SBK AH . SA AC. 3 2a 15 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 a 4a 2a 15 a 4a a 285 2a 285 AH d MN, SB . 19 19 Câu 45: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông và AB BC a , AA a 2 , M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B C . a 2 a 6 a 7 a 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 2 6 7 3 Lời giải
  13. Chọn C A A' C' B' M B C A C M N B B' Tam giác ABC vuông và AB BC a nên ABC chỉ có thể vuông tại B . AB  BC Ta có AB  BCB . AB  BB ' Kẻ MN // B C B C // AMN d d B C, MN d B C, AMN d C, AMN d B, AMN . Tứ diện BAMN là tứ diện vuông 1 1 1 1 1 1 1 7 a 7 2 2 2 2 2 2 2 2 d . d BA BM BN a a a 2 a 7 2 2 Câu 48: [HH11.C3.5.BT.c](THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp 1 S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC AD a . Biết SA vuông góc với 2 mặt phẳng đáy, SA a 2 . Tính theo a khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD . 1 1 2 A. d a . B. d a . C. d a . D. d a . 2 4 2 Lời giải Chọn A S H I A D B C E Gọi I là trung điểm của đoạn AD . Ta có AI // BC và AI BC nên tứ giác ABCI là hình vuông hay 1 CI a AD ACD là tam giác vuông tại C . 2 Kẻ AH  SC AC  CD Ta có CD  SCA AC  SA
  14. hay CD  AH nên AH  SCD d A, SCD AH ; AC AB2 BC 2 a 2 . SA.AC a 2.a 2 AH a . SA2 AC 2 2a2 2a2 EB BC 1 Gọi AB CD E , mặt khác nên B là trung điểm của đoạn AE . EA AD 2 d B, SCD 1 a 1 . Vậy d a . d A, SCD 2 2 2 Câu 49: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng ABCD góc 60 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SC , khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABK bằng: a 15 a 10 a 7 a 5 A. B. C. D. 4 5 4 3 Lời giải Chọn B S A D K I O M H B C Ta có ·SC; ABCD S· CA 60 AC a 2 , SA a 6 , SC 2 2a . SK SA2 SK 3 Xét tam giác SAC có SK.SC SA2 . SC SC 2 SC 4 1 a 6 Kẻ KH  AC tại K suy ra KH  ABCD và KH SA . 4 4 3 3 Kẻ HM  AB tại M suy ra HM BC a . 4 4 Kẻ HI  KM tại I suy ra HI  ABK hay d H; ABK HI . 1 1 1 3 10 Xét tam giác KHM có HI a . HI 2 HK 2 HM 2 20 4 4 3 10 10 Ta có d D; ABK d C; ABK d H; ABK . a a . 3 3 20 5 Câu 49: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng ABCD góc 60 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SC , khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABK bằng:
  15. a 15 a 10 a 7 a 5 A. B. C. D. 4 5 4 3 Lời giải Chọn B S A D K I O M H B C Ta có ·SC; ABCD S· CA 60 AC a 2 , SA a 6 , SC 2 2a . SK SA2 SK 3 Xét tam giác SAC có SK.SC SA2 . SC SC 2 SC 4 1 a 6 Kẻ KH  AC tại K suy ra KH  ABCD và KH SA . 4 4 3 3 Kẻ HM  AB tại M suy ra HM BC a . 4 4 Kẻ HI  KM tại I suy ra HI  ABK hay d H; ABK HI . 1 1 1 3 10 Xét tam giác KHM có HI a . HI 2 HK 2 HM 2 20 4 4 3 10 10 Ta có d D; ABK d C; ABK d H; ABK . a a . 3 3 20 5 Câu 29: [HH11.C3.5.BT.c] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với đáy và 2AB BC 2a . Gọi d1 là khoảng cách từ C đến mặt SAB và d2 là khoảng cách từ B đến mặt SAC . Tính d d1 d2 . 2 5 5 a A. d 2 5 2 a B. d 2 5 2 a C. d D. 5 2 5 2 a d 5 Lời giải Chọn C
  16. S H A C a 2 a B CB  AB Ta có CB  SA CB  SAB d1 d C, SAB CB 2a . AB  SA A Gọi H là hình chiếu của B lên SAC . BH  AC Ta có: BH  SA BH  SAC d2 d B, SAC BH . AC  SA A Xét tam giác ABC vuông tại B có BH là đường cao. AB.BC a.2a 2a 5 2a 5 Ta có: BH d2 . AB2 BC 2 a2 4a2 5 5 2a 5 2 5 5 a Vậy d d d 2a . 1 2 5 5 Câu 39: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. a . B. 2a . C. a 2 . D. a 3 . Lời giải Chọn A S A B D C Vì SA  ABCD nên SA  AD . SA  AD Ta có: AD  SAB d D, SAB DA . AB  AD CD  SAB CD // AB CD // SAB d CD, SB d CD, SAB d D, SAB DA a . AB  SAB
  17. Câu 44: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hình hộp ABCD.A B C D có AB AA AD a và ·A AB ·A AD B· AD 60 . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD bằng: a 2 a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Lời giải Chọn A Theo bài ra thì A ABD là tứ diện đều cạnh bằng a . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD là EF . 2 2 2 2 a 3 a a 2 Ta có: EF EB BF . 2 4 2 Câu 44: [HH11.C3.5.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn 3 đường kính AD 2a , SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách giữa BD và SC . 2 3a 2 a 2 5a 2 5a 2 A. B. C. D. 4 4 12 4 Lời giải Chọn B
  18. S H A D E O B C F OC OB BC 1 + Ta có: AB BC CD a . Và . OA OD AD 2 + Trong ABCD , dựng hình bình hành BCED , ta được BD // SCE . 1 d BD, SC d DB, SCE d O, SCE d A, SCE . 3 Gọi F AB CE AF  CE (do AB  BD ). CE  SA Khi đó ta có: CE  SAF SAF  SCE theo giao tuyến SF . CE  AF Trong SAF , kẻ AH  SF thì AH  SCE . FB BC 1 3a Tam giác AFE có : AE 3a và AF FA AE 3 2 1 1 3a 2 3a 2 AH SF . . 2 2 2 4 1 1 a 2 Vậy d BD, SC d A, SCE AH . 3 3 4 Câu 39. [HH11.C3.5.BT.c] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng B C và AA biết góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng 60 . 3a 7 a 21 3a a 3 A. d .B. d . C. d . D. d . 14 14 4 4 Lời giải Chọn A
  19. Gọi H là trung điểm BC , theo giả thiết A H  ABC . Vì ABC là tam giác đều nên AH  BC . Vậy BC  A AH BC  AA . Gọi M là trung điểm AB , N là trung điểm MB . Ta có CM  AB , NH là đường trung bình BCM nên HN //CM HN  AB . Mà góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng góc giữa hai mặt phẳng ABB A và ABC là góc ·A NH 60 . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B Trong mặt phẳng A AH , kẻ HK  AA tại K . Ta thấy HK  AA mà AA //BB HK  BB , HK  BC nên HK  BCC B . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B d K; BCC B HK . 1 a 3 3a Ta có HN CM A H NH.tan 60 . 2 4 4 a 3 3a 1 1 1 16 4 28 Trong A AH có AH ; A H nên 2 4 HK 2 A H 2 AH 2 9a2 3a2 9a2 3a 7 HK . 14 Câu 47: [HH11.C3.5.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 3 3a 2 a 3 A. a . B. . C. a . D. . 2 2 3 2 Lời giải Chọn C
  20. Gọi H là trung điểm của BC 1 Ta có BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a suy ra AH BC a và 2 A H A A2 AH 2 7a2 a2 a 6 Từ A ta dựng đường thẳng d song song với BC , kẻ HM  d tại M và HK  AM tại K . AM  MH Ta có AM  A MH AM  HK . AM  A H HK  AM Ta có HK  A AM . HK  A M Do đó d AA ; B C d BC; A AM d H; A AM HK . AB2.AC 2 a2.3a2 3a Ta có HM AI . AB2 AC 2 a2 3a2 2 Xét tam giác A HM vuông tại H ta có 3 2 2 2 2 a .6a MH .A H 4 2 HK 2 2 a . 3 2 2 MH .A H a 6a 3 4 Câu 28: [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của BC . Cho SA a và hợp với đáy một góc 30o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng: a 3 a 2 2a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 4 Lời giải Chọn D S Nhận xét: SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau Kẻ IH  SA với H SA (1) BC  AI BC  SAI H BC  SI BC  IH (2) B A Từ (1) và (2) IH là đoạn vuông góc giữa hai I đường thẳng SA và BC chéo nhau. C
  21. a 3 a 3 1 a 3 d SA, BC IH IA.sin S· AI .sin30o . 2 2 2 4 Câu 36: [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , ·ABC 120, AA 4a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và BB . a 3 a a A. .B. a 3 .C. .D. . 2 2 3 Lời giải Chọn C B' C' A' D' B O A C B C O D A D Ta có A AC là mặt phẳng chứa A C và song song với BB d BB , A C d(B,(AA C)) . Gọi O là tâm hình thoi ABCD BO  AC . Do ABCD.A B C D là hình hộp đứng nên AA  ABCD AA  BO . BO  AC BO  AA C d(B,(AA C)) BO . BO  AA Hình thoi ABCD có ·ABC 120 ABC là tam giác đều BD AB a a BO . 2 a Vậy d BB , A C d(B,(AA C)) BO 2 Câu 46: [HH11.C3.5.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và , vuông góc với nhau và nhận AB a làm đoạn vuông góc chung A d, B . Trên d lấy điểm M , trên lấy điểm N sao cho AM 2a , BN 4a . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI là 4a 4a 2a 2 A. .B. a .C. .D. . 17 5 3 Lời giải Chọn A
  22. Ta có, MA  (ABN) suy ra MA  AN . NB  (ABM ) suy ra NB  BM . Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN là trung điểm I của MN . Gọi F là trung điểm của AN suy ra IF //AM do đó d(AM , BI) d(AM ,(BIF)) d(A,(BIF)) và IF  (ABN) . Gọi H là hình chiếu của A lên BF , P đối xứng với B qua F suy ra ABNP là hình chữ nhật AH  BF Ta có AH  (BIF) d(AM , BI) AH . AH  IF Xét tam giác ABP vuông tại A có AH là đường cao nên AB2.AP2 a2.16a2 4a d(AM , BI) AH . AB2 AP2 a2 4a2 17 Câu 50: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, SA 3 . Gọi M là trung điểm   của BC, N thỏa mãn SN 2ND. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và MN. 3 3 2 93 63 A. .B. .C. .D. . 31 31 31 31 Lời giải Chọn C Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;1;0 , D 0;1;0 , S 0;0; 3 B C x M
  23. 1 2 3 M 1; ;0 và N 0; ; . 2 3 3 Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau ta có:    SC, MN .CM d SC;MN   SC, MN Ta có:   1 3  1 SC 1;1; 3 , MN 1; ; ,CM 0; ;0 3 3 2   3 2 3 7   3 4 49 31 SC, MN ; ; SC, MN . 2 3 6 4 3 36 3    1 2 3 3 Và SC, MN .CM . . 2 3 3    SC, MN .CM 3 3 93 Vậy d SC;MN   . . 3 31 31 SC, MN Câu 35: [HH11.C3.5.BT.c](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng: a 2 a a 3 A. .B. 2a .C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D
  24. S H  A B D C Ta có: SB; ABCD SB; AB S· AB 60 SA AB.tan 60 a 3 . SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên: d SC; AD d AD; SBC d A; SBC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên SBC nên d A; SBC AH. 1 1 1 a 3 Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: AH AH 2 AB2 AS 2 2 a 3 d SC; AD AH . 2 Câu 27: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SCN theo a . a 3 a 3 a 2 4a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Lời giải Chọn C a 3 M là trung điểm của AB thì SM  ABCD . Ta có SM . 2
  25. ID Gọi I là giao điểm của NC và MD . Ta có d D; SCN d M ; SCN . IM Vì ABCD là hình vuông nên NC  DM tại I . ID.CN DN.DC a .a DN.DC a 5 a 5 a 5 3a 5 ID 2 ID 2 IM DM ID . CN a 5 5 2 5 10 IM 3 2 IM  CN Do CN  SMI . Kẻ MH  SI , vì CN  MH nên MH  SCN CN  SM MH d M ; SCN . 1 1 1 4 20 32 Trong tam giác SMI có . MH 2 SM 2 MI 2 3a2 9a2 9a2 3a 2 a 2 Vậy MH d D; SCN . 8 4 Câu 32: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết AD 2a , AB BC SA a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD . a a 6 a 3 a 6 A. h . B. h . C. h . D. h . 3 6 6 3 Lời giải Chọn B S a H 2a M A D a B a C d A, SCD 1 Ta có 2 d M , SCD d A, SCD . d M , SCD 2 Dễ thấy AC  CD , SA  CD dựng AH  SA AH  SCD . Vậy d A, SCD AH . 1 1 1 a 6 Xét tam giác vuông SAC µA 1v có AH . AH 2 AC 2 AS 2 3 a 6 Vậy d M , SCD . 6 Câu 39: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 3a , BC 4a , mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2 3a , S· BC 30. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC .
  26. 6 7a 3 7a A. 6 7a . B. . C. . D. a 7 . 7 14 Lời giải Chọn B S I K A C H 30 B Ta có SBC  ABC và SBC  ABC BC Trong mặt phẳng SBC , kẻ SH  BC thì SH  ABC SH  BC . Tam giác SBH vuông tại H có SH SB.sin 30 a 3 ; BH SB.cos30 3a HC a . BC Vì 4 nên d B, SAC 4d H, SAC . HC Trong mặt phẳng ABC , kẻ HK  AC ; SH  AC AC  SHK ; AC  SAC SAC  SHK và SAC  SHK SK Trong mặt phẳng SHK , kẻ HI  SK thì HI  SAC HI d H, SAC HK CH CH.AB 3a Tam giác CKH và tam giác CBA đồng dạng nên HK . AB CA AB2 BC 2 5 1 1 1 3 7a Tam giác SHK vuông tại H có HI . HI 2 SH 2 HK 2 14 6 7a Vậy d B, SAC . 7 Câu 43: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D . 4a a 2a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // A M CK // A MD . Khi đó: d CK, A D d CK, A MD d C, A MD . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
  27. a Ta có: A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , A 0;0;a , B a;0;a ,C a;a;0 , M a;0; . 2  a    a2 2 2 A M a;0; , A D 0;a; a , A M , A D ;a ;a . 2 2 Vậy mặt phẳng A MD nhận n 1;2;2 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mp A MD : x 2y 2z 2a 0 . a 2a 2a a Do đó: d C, A DM . 3 3 Câu 50: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD 2a , AA a . Gọi M là điểm trên đoạn AD AM với 3. Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AD , B C và y là độ dài khoảng MD cách từ M đến mặt phẳng AB C . Tính giá trị xy . 5a5 a2 3a2 3a2 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 2 Lời giải Chọn B A' D' B' C' H M A D I O B C
  28. Ta có B C // A D B C // ADD A  AD d B C, AD d C, ADD A CD a . Suy ra : x a . MA 3 3 3 Lại có: d M , AB C d D, AB C d B; AB C . DA 4 4 4 AC  BI Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên AC ta có: AC  BB I . AC  BB BH  B I Gọi H là hình chiếu của B lên B I ta có: BH  B AC d B, AB C BH . BH  AC AB.BC a.2a 2a 5 Trong tam giác ABC , ta có: AB.BC AC.BI BI . AC a 5 5 1 1 1 2a 3 2a a Trong tam giác BB I , ta có: BH d B, AB C . . Suy BH 2 BI 2 BB 2 3 4 3 2 a ra : y 2 a2 Vậy x.y . 2 HẾT Câu 30: [HH11.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và ABCD bằng 60 . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . a 5 5a 3 2a 15 2a 5 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 Lời giải Chọn A Hạ SH  ABCD , vì AB  SM nên AB  MH do đó MH cắt CD tại trung điểm N của CD . Từ đó suy ra góc giữa SCD và ABCD bằng S· NH 60 . 2a 3 Tam giác SMN có SM a 3 , MN 2a , S·NM 60 suy ra SN a do đó 2 tam giác SNH là nửa tam giác đều nên H là trung điểm của ON với O là tâm của hình vuông a 3 ABCD và SH . 2
  29. S A D K M N O H O' J B I C Gọi I là trung điểm của BC , và O là giao điểm của MI và BD , khi đó SMI chứa SM và song song với AC suy ra 2 d SM ; AC d AC; SMI d O; SMI d H; SMI . 3 Qua H dựng đường thẳng song song với BD cắt MI tại J khi đó HJ  MI và JO JI . Hạ HK  SJ HK d H; SMI . 1 1 BD BD OO IN 3a 2 Lại có JH 4 2 . 2 2 4 1 1 1 4 8 20 3a Trong tam giác vuông SHJ ta có = HK . SK 2 SH 2 HJ 2 3a2 9a2 9a2 2 5 2 2 3a a Vậy d SM ; AC HK  . 3 3 2 5 5 Câu 49. [HH11.C3.5.BT.c] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB và M là trung điểm của BC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng SMD bằng: a 6 a 30 a 13 3 14a A. . B. . C. .D. . 6 12 26 28 Lời giải Chọn D S H D A I K B M C