›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

doc 29 trang xuanthu 440
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • doctrac_nghiem_hinh_hoc_lop_11_tach_tu_de_thi_thu_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

  1. Câu 47. [1H3-2.4-3] (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có SA a , SB 2a , SC 3a , ·ASB B· SC 60 , C· SA 90 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos . 7 7 2 A. cos . B. cos . C. cos 0 . D. cos . 7 7 3 Lời giải Chọn A            SA.BC SA.(SC SB) SA.SC SA.SB SA.SC.cos90 SA.SB.cos60 cos cos(SA, BC) SA.BC SA.BC SA.BC a. 4a2 9a2 2.2a.3a.cos60 7 . 7 Câu 42. [1H3-2.4-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 2 Lời giải Chọn A Gọi N là trung điểm của AC và a là độ dài cạnh tứ diện đều. Ta có MN // AB AB, DM MN, DM D· MN . a 3 1 a DM 2 MN 2 DN 2 Tam giác DMN có DM DN , MN AB và cos D· MN . 2 2 2 2.DM.MN
  2. 2 2 2 a 3 a a 3 2 2 2 3 cos D· MN . a 3 a 6 2. . 2 2 3 Vậy cos AB, DM . 6 Câu 7. [1H3-2.4-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD . 3 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 4 2 Lời giải Chọn A A I M D B C Gọi M là trung điểm của BD . Ta có: IM // AB . AB, IC IM , IC .   cos AB, IC cos IM , IC cos IM , IC cos M· IC . 2 2 2 a a 3 a 3 MI 2 IC 2 MC 2 2 2 2 3 Mà: cos M· IC . 2.MI.IC a a 3 6 2. . 2 2 3 cos AB, IC cos M· IC . 6 Câu 39: [1H3-2.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45. Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng . A. 48. B. 51. C. 42. D. 39. Lời giải Chọn B Cách 1. Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , S·D, SAB 45 SA AD a . Xét trong không gian tọa độ Oxyz trong đó: O  A, Ox  AB,Oy  AD,Oz  AS . Khi đó ta có:
  3. a B a;0;0 , I ;a;0 , D 0;a;0 , S 0;0;a 2  a  Suy ra IB ; a;0 , SD 0; a;a 2   a2 2 Mặt khác: cos IB, SD I·B, SD 51 . a2 10 a2 . a2 a2 4 Cách 2. Gọi K là trung điểm của AB . Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , S·D, SAB 45 SA AD a Gọi K là trung điểm của AB . Vì KD // BI nên góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng góc a 5 giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc S·DK . Ta có KD SK , SD a 2 . 2 a 2 HD 10 Gọi H là trung điểm của SD . Ta có cos S·DK 2 . KD a 5 5 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51. Câu 42: [1H3-2.4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH 3HA, AK 3KD . Trên đường thẳng ABCD vuông góc với mặt phẳng tại H lấy điểm S sao cho S· BH 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . 28 18 36 9 A. . B. . C. . D. . 5 39 5 39 5 39 5 39 Lời giải Chọn B Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD BCH . · · · ABD BCH HEB 90 .
  4. A H I B E K D C S A I B H K E D C cos SE;BC cos SE;EI cos S· EI Ta có: , SH BH.tan30 a 3 . HB HE HB2 9a 81a2 2a 39 HE SE SH 2 HE 2 3a2 HC HB HC 5 , 25 5 . 2 2 HE HI HE 27a 2 2 2 27a 2a 651 HI SI SH HI 3a HB HE HB 25 , 25 25 . EI HI 9 36a EI BC HB 25 25 . Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được: 2 2 2 2a 39 36a 2a 651 SE 2 EI 2 SI 2 5 25 25 18a cos S· EI 2.SE.EI 2a 39 36a 5 39 2. . 5 25 . Câu 46: [1H3-2.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình trụ tròn xoay có bán kính đáy R 1. Trên hai đường tròn đáy O và O lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB 2 và góc giữa AB và trục OO bằng 30 . Xét hai khẳng định: 3 I : Khoảng cách giữa OO và AB bằng . 2
  5. II : Thể tích khối trụ là V 3 . A. Cả I và II đều đúng. B. Chỉ I đúng. C. Chỉ II đúng. D. Cả I và II đều sai. Lời giải Chọn A * Gọi C là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa O , I là trung điểm của AC , Ta có: AB;OO AB;CB ·ABC 30 h OO ' CB AB.cos30 3 * Thể tích khối trụ là: V R2h 3 . Vậy khẳng định II đúng. * Khoảng cách giữa AB và trục OO là: d AB;OO d OO ; ABC OI OA2 AI 2 . 1 1 3 3 AC AB.sin 30 1 AI OI 1 d AB;OO . Vậy khẳng định 2 4 2 2 I đúng. Câu 28: [1H3-2.4-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a và BC a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là ? A. 45 B. 90 C. 60 D. 30 Lời giải Chọn C S A B I C Ta có BC a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA SB SC a nên hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .     AB.SC Ta có cos AB, SC cos AB, SC . AB.SC
  6.        1   1 a2 AB.SC AB SI IC AB.SI BA.BC BA.BC.cos 45 . 2 2 2 a2 1 cos AB, SC 2 ·AB, SC 60 . a2 2     AB.SC Cách 2: cos AB, SC cos AB, SC AB.SC          a2 Ta có AB.SC SB SA SC SB.SC SA.SC SB.SC.cos90 SA.SC.cos60 . 2 a2 2 1 Khi đó cos AB, SC a2 2 Câu 31: [1H3-2.4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1, BC 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. 45. B. 120 . C. 30 .D. 60 . Lời giải Chọn D S B C H A Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB AC 1, BC 2 và SB SC 1, BC 2 .          1 Ta có SC.AB SC SB SA SC.SB SC.SA 0 SC.SB.cos60 . 2     SC.AB 1 Suy ra cos SC; AB cos SC; AB . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , SC.AB 2 SC bằng 60 . Câu 5: [1H3-2.4-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-3] Cho tứ diện ABCD có AB AC AD 1; B· AC 60 ; B· AD 90 ; D· AC 120 . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . 1 1 1 1 A. . B. .C. . D. . 6 3 6 3 Lời giải Chọn C
  7. A B D G I M C * ABC đều BC 1. * ACD cân tại A có CD AC 2 AD2 2AC.AD.cos120 3 . * ABD vuông cân tại A có BD 2 . * BCD có CD2 BC 2 BD2 BCD vuông tại B . Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M . Ta có MG // CD AG,CD AG, MG . 2 2 2 1 3 Gọi I là trung điểm của BC , xét BDI vuông tại B có DI BD BI 2 . 2 2 IM MG IG 1 1 1 BC 1 1 3 1 1 Ta có IM .IC . ; MG .CD ; IG .ID . IC CD ID 3 3 3 2 6 3 3 3 2 2 2 2 2 3 1 7 Xét AIM vuông tại I có AM AI IM . 2 6 3 2 2 3 3 2 1 AI 2 ID2 AD2 2 2 4 3 cos ·AID 2AI.ID 3 3 9 2. . 2 2 2 2 2 2 · 3 1 3 1 4 3 3 AG AI IG 2AI.IG.cos AID 2. . . . 2 2 2 2 9 3 Xét AMG có 2 2 2 3 3 7 AG2 GM 2 AM 2 3 3 3 1 cos AG, MG cos ·AGM . 2.AG.GM 3 3 6 2. . 3 3 Câu 27: [1H3-2.4-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
  8. A C B A' C' B' A. 60 .B. 45.C. 90 .D. 30 . Lời giải Chọn A A C B A' C' B'               Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC         a2 3a2 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 . 2 2 2   3a   AB .BC 1 Suy ra cos AB , BC   2 ·AB , BC 60 . AB . BC a 3.a 3 2 Câu 21: [1H3-2.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA B C có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , B· AC 120 , cạnh bên AA a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC . A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn D B C A B C D A
  9. Trong ABC : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành. Ta có: BC // AD Nên AB ; BC AB ; AD B· AD . Ta có AD BC a 3 , AB AB2 AB 2 a 3 , DB BB 2 AC2 a 3 . Vậy tam giác B AD đều nên B· AD 60 . Câu 33: [1H3-2.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2a , BC a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC. a 30 a 3 a 15 A. . B. . C. . D. a . 10 2 5 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AB ta có: SI  AB mà SAB  ABCD nên SI  ABCD . Gọi H là giao điểm của IC và BE , kẻ HK  SC tại K. Khi đó : IBCE là hình vuông nên BE  IC mà BE  SI do đó BE  SIC . Suy ra BE  HK mà HK  SC nên d BE;SC HK. Do tam giác CKH và CIS đồng dạng nên 2 a .a 3 HK CH CH.IS a 30 HK 2 . IS CS CS 2 2 10 a 3 a 2 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  I , các tia Ox,Oy,Oz lần lượt là IE, IB, IS .    BS. BE;SC Sau đó tính khoảng cách bằng công thức: d BE;SC   . BE;SC
  10. Câu 1416. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB . A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 120 . Lời giải Chọn B Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM. Và cắt đường thẳng SA tại N. Do đó ·SM , BC ·BN, BC N· BC . Ta có SM / /BN và M là trung điểm của AB Nên SN SA SC a NC a 2 và NB 2SM a 2 . Mà BC SB2 SC 2 a 2 NBC là tam giác đều. Vậy N· BC 60 ·SM , BC 60 . Câu 1417. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC , với I là trung điểm của AB . A. 10 . B. 30 . C. 150 . D. 170 . Lời giải Chọn B Ta có I là trung điểm của AB nên ·CI,CA I·CA . AB AC AI 1 Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI . 2 2 AC 2 IA 1 Suy ra sin I·CA I·CA 30 ·CI,CA 30 . CA 2
  11. Câu 1418. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB , SAD , SAD là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA a 3 , AB a , AD 3a . 1 3 4 8 A. . B. . C. . D. . 2 2 130 130 Lời giải Chọn D Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Nên SA  AB, SA  AD SA  ABCD . Gọi O AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM / /SC . Hay SC / / MBD nên ·SC, BD ·OM , BD M· OB . SA2 a 7 SC a 13 Có BM AM 2 AB2 AB2 , MO . 4 2 2 2 BD a 10 BO . Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB. 2 2 Ta được BM 2 OM 2 OB2 2OM.OB.cos M· OB OM 2 OB2 BM 2 8 cos M· OB . 2OM.OB 130 Câu 1419. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết 2a 3 AD DC a , AB 2a , và SA . 3 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 42 Lời giải Chọn C
  12. Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a . Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A. Do đó DM song song với BC. Suy ra ·SD, BC ·SD, DM S·DM . a 21 Lại có SM SA2 AM 2 . 3 a 21 Và DM a 2, SD SA2 AD2 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được SD2 DM 2 SM 2 3 cos S·DM . 2.SD.DM 42 Câu 1420. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của AD . 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 2 Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH / / AB AB / / HIC . a a 3 Nên ·AB,CI ·IH, IC H· IC . Mà IH ,CH CI . 2 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được:
  13. 2 a 2 2 2 HI CI HC 2 3 3 cos H· IC cos ·AB,CI . 2.HI.CI a a 3 6 6 2. . 2 2 Câu 1421. [1H3-2.4-3] Cho lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng A B C , H trùng với trung điểm của cạnh B C . Góc giữa BC và AC là . Giá trị của tan là: 1 1 A. 3 . B. 3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A Ta có A H là hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy. Do đó ·AA', ABC ·AA , A H ·AA H 60 . a a a 3 Lại có A H AH tan 60. B H 2 2 2 a 6 nên AB . 2 A H Và AA a AC a . cos60 Mặt khác ·BC, AC ·AC , B C ·AC B . AC 2 B C 2 AB 2 1 Do đó cos . 2.AC .B C 4 1 Suy ra tan 1 3 . cos2 Câu 1422. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh SA  ABCD , và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của SC , góc tạo bởi hai đường thẳng AM và CD là . Giá trị của biểu thức P tan .cos 2 bằng: 5 A. 2 . B. . C. 5 . D. 10. 2 Lời giải
  14. Chọn D Gọi N là trung điểm của SD. Khi đó MN / /SD . Ta có CD  SAD MN  SAD MN  AN · · · Do đó AM ,CD AM , MN AMN 0; 2 SD SA2 AD2 3a2 a2 Ta có AN a . 2 2 2 CD a AN a Và MN nên tan a : 2 . 2 2 MN 2 tan 2 Khi đó P 2 tan 1 tan 10 . cos Câu 1423. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với đáy. Biết SA a , AB a , BC a 2 . Gọi I là trung điểm của BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là: 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 8 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của SB IH song song với SC. Do đó SC / / AHI ·AI, SC ·AI, HI ·AIH . a 6 SC SA2 AC 2 Ta có AI AB2 BI 2 và IH a . 2 2 2
  15. AB2 AS 2 BS 2 a 2 AH . 2 4 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI , có AI 2 HI 2 AH 2 6 2 cos ·AIH . 2.AI.HI 3 3 Câu 1424. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a, SB a 3 và SAB vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D a Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra AE . 2 Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên ·SM , ME . Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH  ABCD . Suy ra SH  AD AD  SAB AD  SA. 5a2 a 5 a 5 Do đó SE 2 SA2 AE 2 SE và ME . 4 2 2 5 Tam giác SME cân tại E, có cos cos S·ME . 5 Câu 1425. [1H3-2.4-3] Cho hình hộp ABCD.A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA , A AB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA ,CD . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C , giá trị của cos bằng: 2 1 3 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 10 Lời giải Chọn D
  16. AD / /B C Ta có với P là trung điểm của DC . MN / / A P Suy ra ·MN, B C ·A P, A D D· A P . Vì B· AD D· AA' ·A' AB 60 và các cạnh của hình hộp bằng a. Do đó A D a,C D C A a 3 . A D2 A C 2 DC 2 5a Suy ra A P A P . 2 4 2 Áp dụng định lý cos cho tam giác A DP , ta có A D2 A P2 DP2 3 5 cos . 2A D.A P 10 Câu 1426. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB 2a , BC 2a 3 , mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Với N là trung điểm của AC , cosin góc giữa 2 đường thẳng SN và BC là: 3 A. cos SN, BC 1. B. cos SN, BC . 4 3 3 C. cos SN, BC D. cos SN, BC . 2 8 Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó MN / /BC
  17. BC Mặt khác MN a 3; AC AB2 BC 2 4a AN 2a . 2 Lại có BC  SA · BC  SBA S· BA SBC , ABC 60 BC  AB Do vậy SA AB tan 60 2a 3 . Do vậy SM SA2 AM 2 a 13 Do MN / /BC  SAB SM  MN MN a 3 3 Suy ra cos S·NM cos SN, BC . SN 3a2 13a2 4 Câu 1427. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA  ABCD và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của SD , cosin góc giữa 2 đường thẳng CM và SB là: 5 2 2 2 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 8 7 5 8 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của đáy khi đó OM / /SB Mặt khác SB SA2 AB2 2a SD OM a ; AC a 2 OC . Lại có CD  SA,CD  AD CD  SD 2 2 Khi đó CM CD2 DM 2 a 2 . OM 2 MC 2 OC 2 5 2 cosOMC cos OM , MC 2.OM.MC 8 5 2 Do đó cos SB,CM . 8 Câu 1428. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a và AD 3a . Tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa 2 đường thẳng SC và AB . Khẳng định nào sau đây là đúng.
  18. 1 1 1 1 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 5 11 11 2 2 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB khi đó ta có: SH  AB . Mặt khác SAB  ABCD nên AB SH  ABCD . Ta có: SH a (do tam giác SAB vuông tại S) 2 Do AB / /CD ·SC, AB ·SC,CD Ta có: SC SH 2 HC 2 SH 2 HB2 HC 2 a 11;SD SH 2 HD2 a 11 SC 2 CD2 SD2 1 1 Khi đó cos S· CD cos . 2SC.CD 11 11 Câu 1429. [1H3-2.4-3] Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết khoảng cách giữa a 3 2 đường thẳng AB và B C bằng . Gọi là góc giữa 2 đường thẳng B C và AA . 4 Chọn khẳng định đúng. 1 7 2 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 8 8 2 4 Lời giải Chọn D Ta có: B H  AB,CH  AB AB  B HC a 3 +) Dựng HK  B C HK  AB HK 4
  19. 1 1 1 a +) Mặt khác: B H HK 2 B H 2 HC 2 2 Do AA / /BB ·B C, AA ·B C, BB a Ta có: BB , BC a, B C a . 2 Khi đó cos ·B C, AA cosC· B B B C 2 BB 2 BC 2 2 . 2B C.BB 4 Câu 1430. [1H3-2.4-3] Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB a và AC a 3 . Biết rằng A C a 7 và N là trung điểm của AA . Góc giữa 2 đường thẳng A C và BN là . Khẳng định nào sau đây là đúng. 14 14 3 14 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 7 28 14 14 Lời giải Chọn A Ta có BC AB2 AC 2 2a Mặt khác AA' A'C 2 AC 2 2a Gọi M là trung điểm của BB '. Dễ thấy BN / / A'M Khi đó ·BN, A'C ·A'M , A'C Ta có: A'M A' B '2 B 'M 2 a 2; A'C a 7 CM BC 2 BM 2 a 5 A'M 2 A'C 2 MC 2 14 Do đó cos M· A'C 2.A'M.A'C 7 14 Do vậy cos . 7 Câu 1431. [1H3-2.4-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có AB a và AA' b . Biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' bằng 60 , giá trị của b tính theo a bằng:
  20. A. a 2 . B. a . C. a 3 . D. 2a . Lời giải Chọn A Dựng đường thẳng BD / / AB ' cắt A' B ' tại D. Vì góc giữa AB ' và BC ' bằng 60° nên ta có D· BC ' 60 ·AB ', BC ' B·D, BC ' · DBC ' 120 Ta có BD AB ' BC ' nên BD BC ' a2 b2 Vì ·A' B 'C ' 60 nên D· B 'C ' 120 . Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DB 'C ' , có DC '2 B ' D2 B 'C '2 2B ' D.B 'C '.cos120 Hay DC ' a 3 . • Nếu D· BC ' 60 BD BC ' a2 b2 a 3 b2 2a2 b a 2 Nếu D· BC ' 120 b 0 (loại). Câu 1432. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD , gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết a 3 AB a , CD a , MN . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 2 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C
  21. Gọi I là trung điểm của AC. IM / / AB · · Ta có AB,CD IM , IN IN / /CD Đặt M· IN . Xét tam giác IMN, có AB a CD a a 3 IM , IN , MN 2 2 2 2 2 IM 2 IN 2 MN 2 1 Theo định lý Cosin, có cos 0 . 2.IM.IN 2 M· IN 120 ·AB,CD 60. Câu 1433. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C , CA CB a . SA vuông góc với đáy, gọi D là trung điểm của AB , góc tạo bởi hai đường thẳng SD , AC là . Biết SA a 3 , giá trị của biểu thức P tan bằng: A. 13 . B. 13 . C. 14 . D. 14 . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC DM / / AC S·DM Do đó ·SD, AC ·SD, DM · 180 SDM AC a a 14 Ta có DM , SD SA2 AD2 2 2 2 a2 a 17 Và SM SC 2 CM 2 4a2 4 2
  22. Áp dụng định lý cosin trong SDM , có SD2 DM 2 SM 2 1 cos S·DM 2SD.DM 14 Khi đó 180 S·DM tan tan 180 S·DM tan S·DM 13 . Câu 1459. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn D Do MN là đường trung bình trong tam giác SAD Do đó MN / /SA suy ra ·MN, SC ·SA, AC . Lại có SA SC a; AC a 2 ·ASC 90 ·SA, SC Do đó ·MN, SC 90 .Câu 26. [1H3-2.4-3] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BB',CD , A'D'. Góc giữa MP và C ' N bằng A. 30 .B. 45 . C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn D           Ta có MP.C ' N MB' B'P . C 'C CN MB'.C 'C B'P.CN (1)           Mặt khác B'P B' A' A'P B'P.CN B' A' A'P .CN B' A'.CN (2)       a2 a2 Từ (1), (2) suy ra MP.C ' N MB'.C 'C B' A.CN 0 MP  C ' N . 2 2 Câu 1722: [1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD , là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A. cos B. cos C. cos D. 600 4 3 6 Lời giải Chọn C
  23. A B D d O N M C Gọi O là trọng tâm của BCD AO  BCD Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra: ·AC, BM ·AC,CN ·ACN 3 a Có: CN BM a và BN CN 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AO AB BO AB BM a 3 3 7 5 AC 2 CN 2 AN 2 3 ON 2 BN 2 BO2 a2 ; AN AO2 ON 2 a cos 12 2 2AC.CN 6 Câu 1735: [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Lời giải Chọn B A B D M C Giả sử cạnh của tứ diện là a .       AB.DM AB.DM Ta có cos AB, DM   AB . DM a 3 a. 2 Mặt khác          AB.DM AB AM AD AB.AM AB.AD AB.AM.cos300 AB.AD.cos600 a 3 3 1 3a2 a2 a2 a. . a.a. . 2 2 2 4 2 4   3 3 Do có cos AB, DM . Suy ra cos AB, DM . 6 6
  24. 3 Câu 1741: [1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD với AC AD,C· AB D· AB 600 ,CD AD . Gọi là 2 góc giữa AB và CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 1 A. cos . B. 60 . C. 30. D. cos . 4 4 Lời giải Chọn D A B D C       AB.CD AB.CD Ta có cos AB,CD   AB . CD AB.CD Mặt khác          AB.CD AB AD AC AB.AD AB.AC AB.AD.cos600 AB.AC.cos600 1 3 1 1 1 AB.AD. AB. AD. AB.AD AB.CD. 2 2 2 4 4 1 AB.CD   1 1 Do có cos AB,CD 4 . Suy ra cos . AB.CD 4 4 a 3 Câu 1743: [1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD có AB CD a, IJ= ( I, J lần lượt là trung điểm 2 của BC và AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C A J M B D I Gọi M là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.
  25. IM 2 MJ 2 IJ 2 1 Tính được: cosIMJ 2MI.MJ 2 Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 600. Câu 33: [1H3-2.4-3] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với a 6 BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung 2 điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng A. 30o .B. 60o .C. 45o .D. 90o . Lời giải Chọn C a 2 a 6 Ta có BC AC 2 AB2 , BD . 2 2 1 a 6 BD a 6 Gọi M là trung điểm BD ME // AB , ME AB , CM 2 4 2 4 CME vuông cân tại M . Ta có ·AB,CE E·M ,CE C· EM 45o . Câu 28. [1H3-2.4-3] (Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Cho hình chóp đều S.ABC có 1 SA 9a , AB 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho SM MC . Côsin của góc giữa hai đường 2 thẳng SB và AM bằng 1 7 19 14 A. . B. . C. . D. . 2 2 48 7 3 48 Lời giải Chọn D
  26. S 3a M 3a N 2a 3 I 3a 3a A 3a C a 7 2a K B Gọi N là trung điểm của MC , I là trung điểm AC , K trên CB sao cho CK 2a . AM //NI Khi đó ta có ·AM , SB N· I, NK . SB//NK CA2 CS 2 SA2 1 Trong tam giác SAC cosC 2CA.CS 3 Trong tam giácCNI ta có IN CN 2 CI 2 2CN.CI.cosC 2a 3 . Trong tam giác CIK ta có IK CI 2 CK 2 2CI.CK.cos60 a 7 . NI 2 NK 2 IK 2 7 3 Trong tam giác NIK có cos I·NK . 2NI.NK 18 14 7 3 Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng . 3 48 18 Câu 220: [1H3-2.4-3] [NGUYỄN KHUYẾN -HCM-2017] Cho tứ diện ABCD có AD 14, BC 6 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD và MN 8. Gọi là góc giữa hai đường thẳng BC và MN . Tính sin . 2 2 3 1 2 A. B. C. D. 3 2 2 4 Lời giải Chọn B A 14 M 8 7 D N 3 P B 6 C Gọi P là trung điểm của cạnh CD , ta có ·MN, BC ·MN, NP . MN 2 PN 2 MP2 1 Trong tam giác MNP , ta có cos M· NP . Suy ra M· NP 60 . 2MN.NP 2
  27. 3 Suy ra sin . 2 Câu 2314. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 3 2 3 1 A. . B. .C. .D. . 6 2 2 2 Lời giải Chọn A. A E B D M H C Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a . Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . Gọi E là trung điểm AC ME // AB AB, DM ME,MD   Ta có: cos AB, DM cos ME,MD cos ME,MD cos E· MD . Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của a 3 MED : ME a , ED MD . 2 2 2 2 a a 3 a 3 ME 2 MD2 ED2 2 2 2 3 Xét MED , ta có: cos E· MD . 2ME.MD a a 3 6 2. . 2 2 3 3 Từ đó: cos AB, DM . 6 6 Câu 2315. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN,SC bằng A. 30 . B. 45.C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn D. S N A B M O D C
  28. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). Từ (1) và (2) SO  ABCD . Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của SAD ). MN,SC SA,SC . SA2 SC 2 a2 a2 2a2 Xét SAC , ta có: SAC vuông tại S SA  SC . 2 2 AC 2AD 2a SA,SC MN,SC 90 . Câu 24: [1H3-2.4-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 4 2cm , cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 .B. 60 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của BM , ta có NI //CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và 1 1 3 NI . Xét tam giác SNI có SN SC 2 CN 2 4 8 2 3 ; NI CM 4 2. 6 ; 2 2 2 CI CM 2 MI 2 24 2 26 SI SC 2 CI 2 4 26 30 . SN 2 NI 2 SI 2 12 6 30 12 2 Vậy cos S· NI S· NI 135 . 2SN.NI 2.2 3. 6 3 2.4 2 Vậy góc giữa SN và CM bằng 45. Câu 47: [1H3-2.4-3] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , A H a 3 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng A B và B C . Tính cos . 1 6 6 3 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 8 4 2 Lời giải Chọn B
  29. A' a 3 C' B' E C A a H B K D    Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD HK A B . Ta có B K  ABC và B D / / A B A B, B C B D, B C D· B C . 2 Ta tính được BC 2a BH a ; B D A B a 3 a2 2a. 3a2 9a2 CD AC 2 AD2 3a2 4a2 a 7 ; CK CE 2 EK 2 a 3. 4 4 B C B K 2 CK 2 3a2 3a2 a 6. B D2 B C 2 CD2 4a2 6a2 7a2 6 cosC· B D . 2.B D.B C 2.2a.a 6 8 Câu 25: [1H3-2.4-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-2] Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 45. B. 90 . C. .6 0 D. . 30 Lời giải Chọn B          a2 a2 Cách 1. Đặt AB a , AB.CD AB CB BD BA.BC BA.BD 0 AB  CD . 2 2 Cách 2. Gọi E là trung điểm CD thì AE  CD , BE  CD CD  ABE CD  AB .