›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 3: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng - Dạng 9: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

doc 43 trang xuanthu 660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 3: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng - Dạng 9: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • doctrac_nghiem_hinh_hoc_lop_11_tach_tu_de_thi_thu_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 3: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng - Dạng 9: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

  1. Câu 46. [1H3-3.9-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB 2a , BC a , ·ABC 120. Cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC S D C A B 3 3 1 3 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 7 Lời giải Chọn C d B; SAC d D;SAC Ta có sin ·SB; SAC . SB SB Xét tam giác ABC ta có AC BA2 BC 2 2BA.BC.cos B· AC a 7 . BA2 BC 2 AC 2 4a2 a2 7a2 a 3 BO 2 4 2 4 2
  2. BD a 3 và SB SD2 BD2 3a2 3a2 a 6 . AD AC AD.sin Dµ a.sin120 21 Xét tam giác ADC ta có sin Cµ . sin Cµ sin Dµ AC a 7 14 Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có AC  DK DI  SK AC  DI . Do đó d D; SAC DI . AC  SD DI  AC DK 21 a 21 Mặt khác sin Cµ DK DC.sin Cµ 2a. . DC 14 7 a 21 a 3. SD.DK 6 Xét tam giác SDK ta có DI 7 a . 2 2 21 4 SD DK 3a2 a2 49 6 a d D;SAC DI 1 Vậy sin ·SB; SAC 4 . SB SB a 6 4 Trong mặt phẳng SDK kẻ DI  SK suy ra d D; SAC DI . Câu 31. [1H3-3.9-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a , AD = a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. SA a 3 . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng: 5 7 6 10 A. . B. . C. .D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC é· ù · Do đó ëSC,(ABCD)û= SCA AC = AB2 + AD2 = 4a2 + a2 = a 5 Þ SC = 2a 2 AC a 5 10 Trong tam giác vuông SAC : cos S· CA = = = . SC 2a 2 4 Câu 34: [1H3-3.9-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng
  3. tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với ABC góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B . 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 13 2 13 13 13 Lời giải Chọn A A' C' B' H A G C M B Ta có B G  ABC nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng ABC . BB , ABC BB , BG B· BG 60. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M , ta có BC  AM BC  AB M BC  AH . BC  B G Mà AH  B M nên AH  BCC B . Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng BCC B . AB, BCC B AB, HB ·ABH . AH Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ·ABH . AB 3 2 B G BG.tan 60 a . . 3 a . 2 3 2 a 3 1 a 39 2 2 2 B M B G GM a . . 2 3 6 a 3 a. AM.B G 3a Ta có AHM : B GM AH 2 . B M a 39 13 6 3a 3 Vậy sin ·ABH 13 . a 13 Câu 35: [1H3-3.9-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tan góc giữa AG và ABCD bằng .
  4. 17 5 5 A. B. C. 17 D. 7 3 5 Lời giải Chọn A S G D A O Q I B C Kẻ GQ song song với SO . Suy ra GQ  ABCD . Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳng ABCD . Xét tam giác vuông SOC vuông tại O , theo định lý Pytago, ta có 2 2 2 2 2 2 2 AC a 2 SO OC SC SO SC OC SC . 2 2 Xét tam giác SOI có GQ song song với SO , theo định lý Talet và do G là trọng tâm tam giác SCD 1 a 2 nên suy ra GQ SO . 3 6 1 a 5a a a 34 Tính được IQ OI , HQ , AH AQ . 3 6 6 2 6 GQ 17 Do đó tan AQ, ABCD AQ 17 Câu 35: [1H3-3.9-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tan góc giữa AG và ABCD bằng . 17 5 5 A. B. C. 17 D. 7 3 5 Lời giải Chọn A
  5. S G D A O Q I B C Kẻ GQ song song với SO . Suy ra GQ  ABCD . Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳng ABCD . Xét tam giác vuông SOC vuông tại O , theo định lý Pytago, ta có 2 2 2 2 2 2 2 AC a 2 SO OC SC SO SC OC SC . 2 2 Xét tam giác SOI có GQ song song với SO , theo định lý Talet và do G là trọng tâm tam giác SCD 1 a 2 nên suy ra GQ SO . 3 6 1 a 5a a a 34 Tính được IQ OI , HQ , AH AQ . 3 6 6 2 6 GQ 17 Do đó tan AQ, ABCD AQ 17 Câu 25: [1H3-3.9-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB , SD . Góc giữa mặt phẳng AMN và đường thẳng SB bằng A. 45o B. 90o C. 120o D. 60o Lời giải Chọn D Ta có BC  SAB BC  AM AM  SBC AM  SC . Tương tự ta cũng có AN  SC AMN  SC . Gọi là góc giữa đường thẳng SB và AMN . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho A 0;0;0 , B 0;1;0 , D 1;0;0 , S 0;0; 2 ,    C 1;1;0 , SC 1;1; 2 , SB 0;1; 2 . Do AMN  SC nên AMN có vtpt SC 3 3 sin 60o . 2 3 2 Câu 11: [1H3-3.9-3](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB , SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (AHK) bằng
  6. 1 3 A. . B. 3 . C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn D Ta chứng minh được AH  (SBC) và AK  (SCD) suy ra SC  (AHK) . Gọi I SO  HK và J AI  SC suy ra JK là hình chiến vuông góc của SD trên (AHK) . Khi đó SD,(AHK) (JK, SK) S· KJ . Mà tam giác SKJ : SCD nên S· KJ S· CD . SD a 2 Vậy tan S· KJ tan S· CD 2 . CD a Câu 30: [1H3-3.9-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình lập phương ABCD.A B C D (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BDD B . A. 60 . B. 90 . C. 45.D. 30 . Lời giải Chọn D B' C' D' A' C B O A D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO  BD (1).
  7. Mặt khác ta lại có ABCD.A B C D là hình lập phương nên BB  ABCD BB  AO (2). Từ (1) và (2) ta có AO  BDD B AB , ABCD AB , B O ·AB O . AO 1 Xét tam giác vuông AB O có sin AB O ·AB O 30. AB 2 Vậy AB , ABCD 30 . Câu 41: [1H3-3.9-3](THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , SAC vuông góc với ABC , biết AB SC a, SA BC a 3. Gọi là góc tạo bởi SA và SBC . Tính sin . 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 13 3 13 13 13 Lời giải Chọn D Kẻ SH vuông góc với AC SH vuông góc với ABC . d A, SBC Vì SA SBC S nên sin sin S·A,(SBC) . SA d A,(SBC) AC Lại có: AH  SBC C nên . d H,(SBC) HC Kẻ HI  BC và HK  SI . Ta chứng minh HK  SBC . Từ đó, suy ra d H,(SBC) HK. Ta có: AC AB2 BC 2 2a. Vì SAC ABC c.c.c nên SAC vuông tại S 1 1 1 1 1 4 a 3 SH . SH 2 SA2 SC 2 3a2 a2 3a2 2 3a2 a Xét tam giác AHC có: HC SC 2 SH 2 a2 . 4 2 a a. HI HC AB.HC a Vì HI //AB nên HI 2 . AB AC AC 2a 4 1 1 1 4 16 52 a 3 Xét tam giác vuông SHI có: HK . HK 2 SH 2 HI 2 3a2 a2 3a2 52
  8. AC a 3 2 3a Từ đó, d A,(SBC) .HK 4. . HC 52 13 d A, SBC 2 3a 2 Vậy sin sin S·A,(SBC) . SA 13. 3a 13 Câu 46: [1H3-3.9-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD , SA a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB,CD . Tính cosin của góc giữa MN và (SAC) . 2 55 3 5 1 A. .B. .C. .D. . 5 10 10 5 Lời giải Chọn B z S a M 2a y A D a N B a C x Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với O  A. Khi đó ta có: A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , D 0;2a;0 , S 0;0;a . a a a 3a Khi đó: M ;0; , N ; ;0 . 2 2 2 2 1  1  Ta có: SA 0;0;1 u ; SC 1;1; 1 v . a a Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng SAC ta có n u,v 1; 1;0 . 2  Lại có: MN 0;3; 1 w . a n.w 3 55 Gọi là góc giữa MN và SAC ta có: sin cos . n . w 2 5 10 Câu 21: [1H3-3.9-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ( tham khảo hình vẽ bên). Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là. 1 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 13 2 3 13
  9. Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm cạnh BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABC là 600 a 3 Þ S· AO 600 Þ SO OA.tan 600 . 3 a . 3 Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC là S·MO . a 3 OM OM 1 Ta có cos S·MO 6 . SM 2 2 2 SO OM a 3 13 a2 6 Câu 22: [1H3-3.9-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA  ABCD và SA a 2 . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD . 5 2 2 10 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D
  10. S M A D N B C Gọi N là trung điểm AB . 1 a 2 Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên MN//SA và MN SA . 2 2 Lại có: SA  ABCD . Do đó MN  ABCD 1 . Suy ra MN  DN . Ta có: N là hình chiếu vuông góc của M lên ABCD (do 1 ) và D là hình chiếu vuông góc của D lên ABCD . Suy ra DM ; ABCD DM ; ND M· DN ( M· DN nhọn vì MND vuông tại N ). a 5 Ta có: DN AD2 AN 2 . 2 Xét MND vuông tại N , có: MN 10 tan MDN . DN 5 10 Vậy tan DM ; ABCD . 5 Câu 1434. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 60 . B. 75 . C. 45. D. 30 . Lời giải Chọn C
  11. a 3 Ta có tam giác ABC đều nên AH  BC; AH 2 a 3 Mặt khác tam giác SBC đều cạnh a nên SH 2 Do SH  ABC SH  AH SHA vuông cân tại H. Khi đó S· AH 45 suy ra ·SA, ABC 45 . Câu 1435. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 6 . Gọi là góc giữa SC và mp ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 A. 30 . B. cos . C. 45 . D. 60. 3 Lời giải Chọn D SA a 6 Ta có: AC a 2 suy ra tan S· CA 3 AC a 2 Do đó S· CA 60 . Câu 1436. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và a 6 SA  ABCD . Biết SA . Tính góc giữa SC và ABCD . 3 A. 30 . B. 60 . C. 75 . D. 45. Lời giải Chọn A
  12. SA a 6 1 Ta có: AC a 2 suy ra tan S· CA AC 3a 2 3 Do đó S· CA 30. Câu 1437. [1H3-3.9-3] Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi là góc giữa AC1 và mp A1BCD1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 A. 30 . B. tan . C. 45. D. tan 2 . 3 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình lập phương và I là tâm hình chữ nhật ABB1 A1 ta có: AI  A1B AI  BCD1 A1 AI  BC · · Khi đó AC1, A1BCD1 AOI . a 2 AI Mặt khác tan ·AOI 2 2 . OI a 2 Câu 1438. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Lời giải
  13. Chọn C BC a Tam giác ABC vuông tại A nên AH 2 2 a 3 Lại có SH SB2 BH 2 . 2 SH Khi đó tan S· AH 3 ·SA, ABC S· AH 60 . AH Câu 1439. [1H3-3.9-3] Cho tứ diện ABCD đều. Gọi là góc giữa AB và mp BCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 3 3 A. cos . B. cos . C. cos 0 . D. cos . 3 4 2 Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của CD và H là trọng tâm tam giác BCD. 2 2 a 3 a 3 Khi đó AH  BCD . Mặt khác BH BM . . 3 3 2 2 BH 3 3 Do đó cos S· BH cos . AB 3 3
  14. Câu 1441. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a; AD 2a 3 và SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của CD , biết SC tạo với đáy góc 45. Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ABCD là: 3 13 377 277 A. . B. . C. . D. . 13 29 29 29 Lời giải Chọn C Do SA  ABCD nên ·SC, ABCD S· CA 45 Khi đó SA AC AB2 AD2 4a CD AB Lại có MD a AM AD2 DM 2 a 13 2 2 AM AM 377 Khi đó cos S· MA 0 SM SA2 AM 2 29 377 Do đó cos ·SM , ABCD . 29 Câu 1442. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB BC a;SA  ABC . Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là: 10 10 10 10 A. . B. . C. . D. . 15 10 20 5 Lời giải Chọn D
  15. Do SA  ABC lại có BC  AB BC  SBA Khi đó · SBC , ABC S· BA 60 Ta có SA AB tan 60 a 3; AC AB2 BC 2 a 2 AC AC 10 Khi đó cos S·CA SC SA2 AC 2 5 10 Do đó cos ·SC, ABC . 5 Câu 1443. [1H3-3.9-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông tại B có AB a 3; BC a . Biết A'C 3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A' B và mặt đáy ABC là: 10 10 6 15 A. . B. . C. . D. . 4 6 4 5 Lời giải Chọn C Ta có: AC AB2 BC 2 2a; AA' A'C 2 AC 2 a 5 Do AA'  ABC nên ·A' B, ABC ·A' BA AB AB a 3 6 Lại có cos ·A' BA . A' B AB2 AA'2 3a2 5a2 4
  16. Câu 1444. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60 , tam giác SBC là tam giác đều và có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy ABC . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của BC ta có: SH  BC Mặt khác SBC  ABC nên giao tuyến SH  ABC BC 3 BC a 3 Lại có: SH a 3; AH 2 2 2 SH Do đó tan S· AH 3 S· AH 60 ·SA, ABC . AH Câu 1445. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD . 15 1 A. 3 . B. . C. . D. 5 . 5 3 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH  AD Mặt khác SAD  ABC nên giao tuyến SH  ABCD
  17. AD 3 a 3 a 5 Lại có: SH ; HB HA2 AB2 2 2 2 SH 3 15 Do đó tan S· BH tan ·SB, ABCD . HB 5 5 Câu 1446. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Tính cot của góc giữa SD và ABCD . 5 15 3 A. . B. . C. 3 . D. . 15 5 2 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH  AB Mặt khác SAB  ABC nên giao tuyến SH  ABCD AB 3 a 3 a 5 Lại có: SH ; HD HA2 AD2 2 2 2 HD 5 5 Do đó cot S·DH cot ·SD, ABCD . SH 3 15 Câu 1447. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy ABCD và SA 2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD . 5 2 5 1 A. . B. . C. . D. 1. 5 5 2 Lời giải Chọn B
  18. SAB  ABCD Do SA  ABCD SAC  ABCD AB  AD Lại có: AB  SAD AB  SA Ta có: SA SA 2 2 5 cos B· SA cos ·SB, SAD . SB SA2 AB2 5 5 Câu 1448. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Tính tan của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SHK . 2 7 14 A. 7 . B. . C. . D. . 4 7 4 Lời giải Chọn C d A, SHK d Ta có sin ·SA, SHK . SA a 1 a2 a2 a2 a Lại có d.HK S d AHK a 2 8 4HK 4. 2 2 2 2 1 sin ·SA, SHK 2 2
  19. 1 1 tan ·SA, SHK 2 2 . 1 7 1 8 Câu 1449. [1H3-3.9-3] Cho hình lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 . Hình chiếu vuông góc của B ' xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB ' a . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B BD AB a Ta có OB 2 2 2 OB 1 cosO· BB ' O· BB ' 60 . BB ' 2 Câu 1450. [1H3-3.9-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 2 , AA' 4 . Tính góc giữa đường thẳng A'C với mặt phẳng AA' B ' B . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Góc cần tính là C· A' B . BC 2 2 1 Ta có tan C· A' B C· A' B 30 . A' B 42 8 3
  20. Câu 1451. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC 2a . Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , SA a 15 . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABD ? A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Ta có SA  ABCD ·SC, ABD S· CA . SA a 15 Lại có tan S· CA 3 S· CA 60 . AC a2 4a2 Câu 1452. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Tính tan của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng đáy ABCD . A. 2 2 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A SA 2a Ta có tan ·SO, ABCD tan S· OA 2 2 . OA a 2
  21. Câu 1453. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết rằng a 15 SA  ABCD , SA . Gọi M là trung điểm của BC . Tính góc giữa đường thẳng SM 2 và mặt phẳng ABCD . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C a 15 SA Ta có tan ·SM , ABCD tan S· MA 2 3 AM a2 a2 4 ·SM , ABCD 60 . Câu 1454. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA 2a và vuông góc với đáy. Tính sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB . 85 51 3 15 A. . B. . C. . D. . 10 17 2 10 Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của AB CM  AB CM  AB Ta có CM  SAB mà SC  ABC S CM  SA
  22. ·SC, SAB ·SC, SM M· SC a 3 a 17 Ta có CM , SM SA2 AM 2 2 2 SC SM 2 MC 2 a 5 MC 15 sin M· SC . SC 10 Câu 1455. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng 4a , cạnh bên SA 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng AO . Tính tan góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD . 10 A. 5 . B. 1. C. . D. 3 . 5 Lời giải Chọn C Ta có SD  ABCD D và SH  ABCD ·SD, ABCD ·SD, HD S·DH 1 1 2 2 Ta có AH AC 4a 4a a 2 4 4 HD AH 2 AD2 2AH.AD.cos 45 a 10 SA 2a 10 tan S·DH . AH a 10 5 Câu 1456. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác a ABC và SH . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , SC . Tính tan của 2 góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD . 4 3 2 A. . B. . C. . D. 1. 5 4 3 Lời giải
  23. Chọn B Qua N kẻ đường thẳng song song với SH cắt CH tại K NK  ABCD . Ta có MN  ABCD M và NK  ABCD ·MN, ABCD M· N, MK K· MN 1 a 1 2a Ta có NK SH . Ta có BH BH 2 4 3 3 5a 1 5a SB SH 2 HB2 MN SB 6 2 12 a NK 3 MK MN 2 NK 2 tan K· MN . 3 MK 4 Câu 1457. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a , SO vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Tính góc a 10 giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD , biết MN . 2 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại H MH  ABCD . Ta có MN  ABCD N và MH  ABCD .
  24. ·MN, ABCD ·MH, HN M· NH 3 3 3a 2 Ta có CH AC a2 a2 4 4 4 a 10 HN CH 2 CN 2 2CH.CN.cos 45 4 a 30 MH MH MN 2 NH 2 tan M· NH 3 4 HN M· NH 60 . Câu 1458. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , biết rằng AB BC a , AD 2a, SA a 2, SA  ABCD . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của AD CM  AD CM  AD Ta có CM  SAD CM  SA mà SC  SAC S ·SC, SAD ·SC, SM M· SC . Ta có CM a, SC SA2 AC 2 2a SM SC 2 CM 2 a 3 . SM tan M· SC 3 M· SC 60 . CM Câu 5. [1H3-3.9-3] Cho điểm S không phụ thuộc mặt phẳng P , đoạn vuông góc SH 1 và các đoạn xiên SA 2,SB 3 và SC 4 . Gọi ,, lần lượt là góc tạo bởi SA, SB, SC và mặt phẳng P . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 45.B.  45 .C.   . D.  60 . Lời giải Chọn A
  25. SH 1 1 1 Ta có: sin 30;sin  ;sin 45   . SA 2 3 4 Câu 23. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; SA vuông góc với đáy và SA a 6 . Góc giữa SB và SAC thỏa mãn hệ thức nào sau đây? 14 14 2 2 A. cos .B. sin .C. cos .D. sin . 14 14 14 14 Lời giải Chọn B Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có AC  BO và SA  BO BO  SAC . SO là hình chiếu của SB trên mặt phẳng SAC . BO ·SB, SAC ·SB,SO B· SO sin B· SO . SB a 2 14 Mà BO và SB SA2 AB2 a 7 sin B· SO . 2 14 Câu 33. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; SA vuông góc với đáy và SA a 6 . Góc  giữa AC và SBC thỏa mãn hệ thức nào sau đây? 21 3 3 21 A. cos  .B. sin  . C. cos  . D. sin  . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D BC  AB Dựng AH  SB . Ta có: BC  SAB BC  SA SA.AB a 6 Khi đó AH  SBC . Mặt khác AH SA2 AB2 7 AH 6 21 Suy ra sin  sin ·ACH : 2 . AC 7 7
  26. Câu 1763. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 60 .B. 75 .C. 45 .D. 30 . Lời giải Chọn C S H B C A Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên SH  ABC Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp ABC SA; ABC SA; AH S· AH Ta có: SH  ABC SH  AH Mà: VABC VSBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H S· AH 450 . Câu 1788. [1H3-3.9-3] Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Gọi a là góc giữa AC ' và mp (A' BCD '). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 A. 300 .B. tan .C. 450 .D. tan 2 . 3 Lời giải Chọn D ïì A'C Ç AC ' = I Gọi íï îï C ' D ÇCD ' = H ïì C ' D ^ CD ' mà íï Þ C ' D ^ (A' BCD ')Þ IH là hình chiếu îï C ' D ^ A' D ' vuông góc của AC ' lên (A' BCD ')Þ C·' IH là góc giữa
  27. C ' H 1 AC ' và (A' BCD '). Mà tan C·' IH = = .2 = 2. IH 2 Câu 1794. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75. Lời giải Chọn C S B A M C a AM BM , SB a 2 Có SM  ABC nên AM là hình chiếu của SA lên mp ABC . SA, ABC SA, AM S·AM . Áp dụng định lý Pytago a 3 SM SB2 AM 2 2 Xét tam giác SAM có SM tan S·AM 3 S·AM 600 . AM Câu 1808. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp(ABCD) . Gọi là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 3 A. 60. B. 30 . C. cos . D. sin . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D AB 3 Gọi I là trung điểm AS , suy ra BI  (SAD) I¼DB . Ta có: BI , BD AB 2 . 2 BI 3 Suy ra sin . BD 2 2
  28. Câu 29: [1H3-3.9-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , B· AD 60 . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SCD bằng A. 30 B. 60 C. 90 D. 45 Lời giải Chọn D S B H C G A D Dễ thấy hình chóp S.ABD đều. Gọi G là trọng tâm của ABD . Khi đó SG  ABCD . Do ABD đều nên GD  CD CD  SGD . Kẻ GH  SD , H SD . Khi đó: GH  SCD d G; SCD GH . 2 a 3 a 3 a 6 Ta có: GD . SG SD2 GD2 . 3 2 3 3 a 2 Xét SGD vuông tại G : GH.SD SG.GD GH . 3 AC a 2 Mà d A; SCD .d G; SCD . GC 2 Gọi K là hình chiếu của A lên SCD . Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng SCD là ·ASK . AH 2 Xét ASK vuông tại K thì: sin SAK S· AK 45 . SA 2 Câu 2379. [1H3-3.9-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB AA a , AD 2a . Gọi là góc giữa đường chéo A C và đáy ABCD . Tính . A. 2045 . B. 245 . C. 3018 . D. 2548 . Lời giải. Chọn B B C a D A 2a a C' B' A' 2a D'
  29. Từ giả thiết ta suy ra: AA  ABCD AC là hình chiếu vuông góc của A C lên mặt phẳng ABCD A C, ABCD A C, AC ·A CA . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có: AC 2 AB2 BC 2 a2 4a2 5a2 AC a 5 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA C vuông tại A ta có: AA a 1 tan 245 . AC a 5 5 Câu 1: [1H3-3.9-3] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018)Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a , AB vuông góc với mp BCD , AB 2a . M là trung điểm đoạn AD ,gọi là góc giữa CM với mp BCD ,khi đó: 3 2 3 3 2 6 A. tan .B. tan .C. tan .D. tan . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B A 2a M D B N a φ C Gọi N là trung điểm BC . Ta có góc giữa CM với mp BCD bằng góc MCN . AB + MN a . 2 a 3 +CN . 2 MN 2 2 3 Vậy tan a. . CN a 3 3 Câu 48: [1H3-3.9-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp SV.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , SA  AB , SC  BC , SB 2ũa . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , BC . Gọi là góc giữa MN với ABC . Tính cVos . ă n B ắ c
  30. 2 11 6 2 6 10 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 11 3 5 5 Lời giải Chọn B S 2 a M D C H N a A a B Gọi D là hình chiếu của S lên ABC , ta có: BC  SC AB  SA BC  CD và AB  AD . BC  SD AB  SD Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của AD , ta có MH // SD mà MH  ABCD . Do đó HN là hình chiếu của MN lên ABC . MN, ABC MN, NH M· NH . SC SB2 BC 2 4a2 a2 a 3 . SD SC 2 DC 2 3a2 a2 a 2 . 1 a 2 .SD MH 2 tan 2 2 . NH AB a 2 1 1 6 cos . 2 1 1 tan 1 3 2 Câu 21: [1H3-3.9-3] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC và AD (tham khảo hình vẽ). S M A D N B C Góc giữa MN và mặt đáy ABCD bằng
  31. A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn B S M A D N H P B C a 3 Gọi H là trung điểm AB SH  ABCD và SH . 2 Gọi P là trung điểm CH MP//SH MP  ABCD , suy ra góc giữa MN với mặt đáy ABCD là góc M· NP (do M· PN 90 ) a a 1 a 3 AH CD 3a Có MP SH , PN 2 2 4 2 2 4 a 3 MP 1 tan M· NP 4 M· NP 30 . PN 3a 3 4 Câu 3: [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Lời giải Chọn B S B H C A Ta có ABC , SBC là các tam giác đều cạnh a .
  32. a 3 Ta được hai đường cao của hai tam giác là SH AH 2 Mà SH  ABC HA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC . SA, ABC SA, HA S·AH a 3 Tam giác vuông SAH có SH AH S·AH 450 . 2 Câu 4: [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Lời giải Chọn C S B H C A Ta có ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a BC a đường cao của AH . 2 2 Mặt khác tam giác SBC cân tại S và có SB BC a a 3 tam giác SBC là tam giác đều SH . 2 Mà SH  ABC HA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC . SA, ABC SA, HA S·AH a 3 SH Tam giác vuông SAH có tan S·AH 2 3 S·AH 600. AH a 2 Vậy số đo của góc giữa SA và ABC là 600 . BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Câu 3: [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Lời giải Chọn B
  33. S B H C A Ta có ABC , SBC là các tam giác đều cạnh a . a 3 Ta được hai đường cao của hai tam giác là SH AH 2 Mà SH  ABC HA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC . SA, ABC SA, HA S·AH a 3 Tam giác vuông SAH có SH AH S·AH 450 . 2 Câu 4: [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Lời giải Chọn C S B H C A Ta có ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a BC a đường cao của AH . 2 2 Mặt khác tam giác SBC cân tại S và có SB BC a a 3 tam giác SBC là tam giác đều SH . 2 Mà SH  ABC HA là hình chiếu của SA lên mặt phẳng ABC . SA, ABC SA, HA S·AH
  34. a 3 SH Tam giác vuông SAH có tan S·AH 2 3 S·AH 600. AH a 2 Vậy số đo của góc giữa SA và ABC là 600 . BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Câu 1021. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA a , tam giác ABC vuông tại B , AB a ; BC a 2 . Góc giữa SC với ABC bằng: A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SA xuống ABC nên góc giữa SA với ABC là góc S· CA. Trong tam giác ABC : AC AB2 BC 2 a 3 . SA 1 Trong tam giác SCA : tan S· CA S· CA 30 AC 3 Câu 1022. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA a 3 , tam giác ABC vuông tại B , AB a . Góc giữa SB với ABC bằng: A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Ta có: AB là hình chiếu vuông góc của SB xuống ABC nên góc giữa SB với ABC là góc S· BA. SA Trong tam giác SAB : tan S· BA 3 S· BA 60. AB