›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 4: Hai mặt phẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

doc 52 trang xuanthu 440
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 4: Hai mặt phẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • doctrac_nghiem_hinh_hoc_lop_11_tach_tu_de_thi_thu_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 4: Hai mặt phẳng vuông góc - Dạng 4: Góc giữa hai mặt phẳng - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

  1. Câu 39. [1H3-4.4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hai tam giác ACD và y2 3y 90 0 nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a , CD 2x . Tính giá trị của x sao cho hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau. a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Lời giải Chọn C A N C B M D Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD , AB . Ta có: AC AD BC BD a nên ACD cân tại A , BCD cân tại B , CAB cân tại C , DAB cân tại D . Suy ra AM BM , CN DN . Góc giữa ACD và BCD là góc ·AMB 90 . Tính: BM AM AD2 MD2 a2 x2 . AM a2 x2 Xét ABM vuông cân tại M có: MN 1 . 2 2 Góc giữa ABC và ABD là góc giữa CN và DN . Khi đó ABC  ABD CN  DN C· ND 90. CD Xét CDN vuông cân tại N có: MN x 2 . 2 a2 x2 a 3 Từ 1 và 2 suy ra: x x . 2 3 Câu 47. [1H3-4.4-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 2BC và B· AC 120 . Hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là M và N . Góc của hai mặt phẳng ABC và AMN bằng A. 45. B. 60 . C. 15 . D. 30 . Lời giải Chọn D
  2. S N M A C B D Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp ABC nên ·ABD ·ACD 90 . BD  BA Ta có BD  SAB hay BD  AM và AM  SB hay AM  SBD AM  SD . BD  SA Chứng minh tương tự ta được AN  SD . Suy ra SD  AMN , mà SA  ABC ABC , AMN SA, SD D· SA. 3 Ta có BC 2Rsin A AD. SA 2BC AD 3 . 2 AD 1 Vậy tan ·ASD ·ASD 30 . SA 3 Câu 46: [1H3-4.4-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . Nếu tan 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng A. 30 .B. 60 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn B Gọi I AC  BD . Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a . SBD  ABCD BD · · Ta có SI  BD SBD ; ABCD SI; AI S¶IA. AI  BD
  3. SA Ta có tan tan S¶IA SA a . AI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , S 0;0;a .    Khi đó SA 0;0; a ; SC a;a; a ; SB a;0; a . Mặt phẳng SAC có vectơ pháp tuyến n1 1;1;0 . Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến n2 1;0;1 . · n1.n2 1 1 · Suy ra cos SAC ; SBC SAC ; SBC 60 . n1 . n2 2. 2 2 Câu 1. [1H3-4.4-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , AD 3a . Gọi M là trung điểm BC . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM . 5 6 3 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn B S A D B M C H A D M B C H Trong SMD kẻ SH  MD H MD .
  4. Ta có: SA  ABCD AH là hình chiếu của SH lên ABCD . MD  AH Mặt khác: ABCD  SMD MD . · ABCD , SMD ·SH, AH S· HA . 2 2 2 2 3a a 13 Xét DCM vuông tại C , ta có: MD CD CM a . 2 2 1 3a2 Ta lại có: S .a.3a . AMD 2 2 2S 3a2 6a AH ADM . MD a 13 13 2 2 2 2 2 6a 7a Xét SAH vuông tại A , ta có: SH SA AH a . 13 13 AH 6a 13 6 cos S· HA . . SH 13 7a 7 6 Vậy cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM là . 7 Câu 35: [1H3-4.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có BD 2. Hai tam giác ABD và BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích khối tứ diện ABCD bằng 16. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ABD , BCD . 4 4 4 4 A. arccos .B. arcsin .C. arccos .D. arcsin . 15 5 5 15 Lời giải Chọn B 1 3V 24 Gọi H là hình chiếu của A xuống BCD . Ta có VABCD AH.SBCD AH . 3 SBCD 5 Gọi K là hình chiếu của A xuống BD , dễ thấy HK  BD . Vậy ·ABD , BCD ·AKH 1 2S Mặt khác S AK.BD AK ABD 6 . ABD 2 BD
  5. · · AH 4 Do đó ABD , BCD AKH arcsin arcsin . AK 5 Câu 21. [1H3-4.4-3](Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết a 6 BC SB a, SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . 3 A. 90 .B. 60 .C. 45.D. 30 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của SC , do tam giác SBC cân tại B nên ta có SC  BM . Theo giả thiết ta có BD  SAC SC  BD . Do đó SC  BCM suy ra SC  DM . Từ và suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là góc giữa hai đường thẳng BM và DM . a 6 Ta có SBO CBO suy ra SO CO . 3 1 a 3 Do đó OM SC . 2 3 a 3 Mặt khác OB SB2 SO2 . Do đó tam giác BMO vuông cân tại M hay góc 3 B· MO 45 , suy ra B· MD 90 . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là 90 . Câu 11. [1H3-4.4-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , góc B· AD 60 , AA a 2 . M là trung điểm của AA . Gọi của góc giữa hai mặt phẳng B MD và ABCD . Khi đó cos bằng 2 5 3 3 A. . B. . C. .D. . 3 3 4 3 Lời giải Chọn D
  6. B' C' A' D' a 2 M B C 60o A D N Gọi N B M  BA , khi đó B MD  ABCD DN . Vì ABCD là hình thoi có B· AD 60 nên tam giác ABD đều cạnh a . AM là đường trung bình của tam giác NBB nên AN AB a , suy ra ADN cân tại A , D· AN 180 B· AD 120 . Do đó ·ADN 30. Suy ra N· DB 60 30 90 hay BD  DN . Theo định lý ba đường vuông góc ta có B D  DN , do đó góc giữa mặt phẳng B 'MD và ABCD là góc giữa B D và BD là B· DB . BD BD a 3 Xét tam giác B DB vuông tại B , cos B· DB . B D BD2 BB 2 a2 2a2 3 Câu 31. [1H3-4.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn A + Gọi O là tâm của hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta có SO  ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các mặt bên là các tam giác đều cạnh a .
  7. + Gọi I là trung điểm cạnh CD . SCD  ABCD CD Theo giả thiết ta có: OI  CD SI  CD nên góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng OI và SI bằng a OI 1 góc S· IO . Khi đó: cos S· IO 2 cos S· IO . SI a 3 3 2 Câu 31: [1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa BA C và DA C : A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45. Lời giải Chọn B B a C A I D B' C' A' D' Ta có: BA C  DA C A C . Kẻ BI  A C . Do BA C DA C nên DI  A C . Do đó: ·BA C , DA C B· I, DI . a 6 Tam giác BID có BD a 2 , BI DI . 3 BI 2 DI 2 BD2 1 cos B· I, DI B· I, DI 120. 2.BI.DI 2 Vậy ·BA C , DA C 60 . Câu 49: [1H3-4.4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Số đo góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C bằng A. 60 . B. 90 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn A
  8. A' D' B' C' K H A D B C Ta có: AH  BA C , AK  DA C với H, K lần lượt là trung điểm của A B, A D Suy ra · BA C ; DA C ·AH; AK H· AK 1 a 2 Lại có: HK là đường trung bình của A BD nên HK BD 2 2 a 2 Mặt khác: AH AK 2 Do đó AH AK HK a 2 Suy ra AHK đều Vậy · BA C ; DA C H· AK 60 . Câu 32: [1H3-4.4-3] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA  ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc 60 . a 3 a A. x a 3 B. x a C. x D. x 2 2 Lời giải Chọn B Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD tại N AN  SCD . SAB  SBC , vẽ AM  SB tại M AM  SBC .
  9. · SBC , SCD AM AN M· AN . ax SM MN SM.BD Ta có SB SD x2 a2 , AM AN , MN x2 a2 SB BD SB x2 .a 2 x2 x2 a2 x2a 2 SM MN MN 2 2 . x2 a2 x2 a2 x a 2 xa x a 2 2 2 AMN đều cho ta MN AM 2 2 x a x 2 x a . x2 a2 x a Câu 25: [1H3-4.4-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD . Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng AIA và CJC . 5 a 5 3a 5 A. d 2a B. d 2a 5 C. d D. d 2 5 5 Lời giải Chọn C B I C A K J D B' C' A' D' AA // CC AI // CJ Ta có: AIA // CJC . AA  AI A AA , AI  AIA d AIA , CJC d I, CJC . Kẻ IK  CJ 1 . CC  IK Lại có CC  CJ C 2 . CC ,CJ  CJC Từ 1 , 2 suy ra IK  CJC hay d I, CJC IK . 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác CJI vuông tại I : 2 2 2 2 2 2 IK IC IJ IK a a 2 a2 a 5 IK 2 IK . 5 5
  10. Câu 39: [1H3-4.4-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC BB a , B· AC 120 . Gọi I là trung điểm của CC . Tính cos của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I . 3 2 3 5 30 A. B. C. D. 2 2 12 10 Lời giải Chọn D Gọi O là trung điểm BC , ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC cos120 a2 a2 2a.a cos120 3a2 BC a 3 . 3 a Tam giác AOB vuông tại O có: AO AB2 BO2 a2 a2 . 4 2 Chọn hệ trục O.xyz (như hình vẽ). Ta có: a 3 3 a A ;0;0 , B 0; a;a , I 0; a; . 2 2 2 2 Mặt phẳng ABC có một VTPT k 0;0;1 .  a 3 AB ; a;a , 2 2  a 3 a   3 3 1 3 1 2 2 2 2 AI ; a; AB , AI a ; a ; a a 3 3;1;2 3 . 2 2 2 4 4 2 4 Mặt phẳng AB I có một VTPT n 3 3;1;2 3 . k.n 30 cos ABC , AB I cos k,n . k . n 10
  11. Câu 40: [1H3-4.4-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều 2 S.ABCD có thể tích V . Gọi M là trung điểm cạnh SD . Nếu SB  SD thì khoảng cách 6 d từ B đến mặt phẳng MAC bằng bao nhiêu? 1 2 2 3 3 A. d B. d C. d D. d 2 2 3 4 Lời giải Chọn A Gọi H là tâm hình vuông ABCD SH  ABCD . Đặt AB a a 0 . 2 SABCD a ; BD a 2 . a 2 Tam giác SBD vuông tại S nên SH . 2 1 2 2 V SH.S a3 a 1. S.ABCD 3 ABCD 6 6 1 2 1 1 V V ; HM SB (Vì SB AB 1). MACD 4 S.ABCD 24 2 2 1 1 1 2 S MH.AC . . 2 . MAC 2 2 2 4 Ta có: d B, MAC d D, MAC . 1 3VMACD 1 Lại có: VMACD .d D, MAC .SMAC d D, MAC . 3 SMAC 2 Câu 33: [1H3-4.4-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có
  12. đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD 2a , CD a . Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng SBI , SCI cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp 3 15a3 S.ABCD bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC , ABCD . 5 A. 30 . B. 36 . C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn D 1 1 Diện tích hình thang S AD AB CD 2a.3a 3a2 , CB AC a 5 . ABCD 2 2 3 15a3 3. 3VS.ABCD 5 3 15a Độ dài đường cao SI 2 . SABCD 3a 5 Vẽ IH  CB tại H BC  SIH BC  SH . Ta có ·SBC , ABCD I·H, SH S· HI . a2 3a2 3a 5 S S S S 3a2 a2 IH.CB 3a2 IH . ICB ABCD IDC AIB 2 2 5 3a 15 SI tan S· HI 5 3 S· HI 60 . IH 3a 5 5 Câu 36: [1H3-4.4-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Cho biết AB 2AD 2DC 2a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC . 1 A. arccos B. 30 C. 45 D. 60 4 Lời giải Chọn D
  13. Gọi K là trung điểm của AB và H là hình chiếu của C lên SB . CK  AB SB  CH Ta có CK  SB . Do đó HK  SB . CK  SA SB  CK SAB  SBC SB Ta có CH  SB nên góc giữa hai mặt phẳng SBA và SBC là góc C· HK . HK  SB AC a 2 Ta có BC a 2 suy ra tam giác ABC vuông tại C . KB a CB  AC 1 1 1 2 3 Ta có CB  SC nên 2 2 2 CH a . CB  SA CH CB CS 3 Mặt khác CK AD a . CK 3 Xét tam giác CHK vuông tại K có sin C· HK C· HK 60 . CH 2 Câu 39: [1H3-4.4-3] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . Gọi M là trung điểm của SC . Góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD bằng A. 90 . B. 30 .C. 45.D. 60 . Lời giải Chọn C
  14. Gọi O là tâm hình vuông ABCD , Ta có: BD  SO BD  SOC BD  OM . BD  AC MBD  ABCD BD · BD  OM MBD , ABCD O·M ,OC M· OC . BD  OC SC a a 2 OM MC MOC cân tại M ; OC . 2 2 2 a 2 OC 2 cos M· OC cos M· CO 2 M· OC 45 . SC a 2 Vậy ·MBD , ABCD 45 . Câu 40: [1H3-4.4-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong mặt phẳng P cho hình vuông ABCD cạnh 2a . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P tại A lấy điểm S thỏa mãn SA 2a . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và SBC là A. 30o .B. 45o .C. 90o .D. 60o . Lời giải Chọn D
  15. Ta có SCD  SAD , vẽ AN  SD N SD AN  SCD SAB  SBC , vẽ AM  SB M SD AM  SBC · SCD , SBC ·AM , AN M· AN . Ta có MN là đườngg trung bình của SBD MN a 2 . Các SAD , SAB vuông cân cho ta AM AN a 2 AMN đều nên M· AN 60o . Câu 15. [1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a , tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A , C . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng 2a . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCB bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ sao cho B 0;0;0 , A a 2;0;0 , C 0;a 2;0 , S x; y; z .   Ta có ABC : z 0 , AS x a 2; y; z , CS x; y a 2; z   Do AS.AB 0 x a 2 a 2 0 x a 2 , d S, ABC 2a z 2a z 0   CS.CB 0 y a 2 a 2 0 y a 2 S a 2;a 2;2a .    Ta có AS 0;a 2;2a , CS a 2;0;2a , BS a 2;a 2;2a . 1 1 SBC có 1 vtpt n 2;0;1 , SAB có 1 vtpt m 0; 2; 1 cos . 3. 3 3
  16. Câu 17. [1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC a , góc B· AC 120 , AA a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B C và CC . Số đo góc giữa mặt phẳng AMN và mặt phẳng ABC bằng 3 3 A. 60 . B. 30 . C. arcsin . D. arccos . 4 4 Lời giải Chọn D a Gọi H là trung điểm BC , BC a 3 , AH . 2 a a 3 a 3 Chọn hệ trục tọa độ H 0;0;0 , A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0; ;0 , 2 2 2 a 3 a AMN ABC M 0;0;a , N 0; ; . Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng . 2 2   3 1 3 AMN có một vtpt n AM , AN ; ; 2 4 4  3  n.HM 4 3 ABC có một vtpt HM 0;0;1 , từ đó cos . n HM 1.1 4 Câu 26. [1H3-4.4-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA a , SA  ABC , tam giác ABC vuông cân đỉnh A và BC a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MNA và ABC bằng 2 2 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 6 2 3 Lời giải Chọn D
  17. S N I M x C A K B Gọi I , K lần lượt là trung điểm của MN và BC . I là trung điểm của SK . Ta có AMN  ABC Ax // MN // BC. ABC cân tại A AK  BC AK  Ax . AMN cân tại A AI  MN AI  Ax . Do đó AMN , ABC AI, AK I·AK hoặc bù với góc I·AK BC a 2 ABC vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên AK . 2 2 SAK vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên a2 a2 SK SA2 AK 2 a 6 AI IK 2 . 2 2 2 4 2 2 2 a 6 a 2 a 6 IA2 AK 2 IK 2 4 2 4 3 Xét AIK có cos I·AK . 2IA.AK a 6 a 2 3 2. . 4 2 Câu 45: [1H3-4.4-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho hình chóp S.ABC có a 3 SA SB CA CB AB a , SC , G là trọng tâm tam giác ABC , là mặt phẳng 2 đi qua G , song song với các đường thẳng AB và SB . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của và các đường thẳng BC , AC , SC . Góc giữa hai mặt phẳng MNP và ABC bằng A. 90o . B. 45o . C. 30o . D. 60o . Lời giải Chọn D
  18. S P a 3 a 2 N A C H G I M B Gọi I là trung điểm của AB , H là hình chiếu của S lên IC , ta có AB  SIC và SH  ABC . a 3 Mặt khác, theo giả thiết ta có SI SC CI nên SIC đều và H là trung 2 điểm của IC . Mà MN //AB nên MN  SIC , suy ra góc giữa hai mặt phẳng MNP ; ABCD là P· GC . Ta có P· GC S· IC 60o . Vậy MNP ; ABCD 60o . Câu 39: [1H3-4.4-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Đáy của một lăng trụ tam giác đều là tam giác ABC có cạnh bằng a . Trên các cạnh bên lấy các điểm A1 , B1 , C1 a 3a lần lượt cách đáy một khoảng bằng , a , (tham khảo hình vẽ bên). Cosin góc giữa 2 2 A1B1C1 và ABC bằng B1 C1 A1 A B C 2 3 13 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 5 Lời giải Chọn A
  19. B1 C1 A1 D F A B E C Gọi D là trung điểm BB1 . Gọi E , F là hai điểm trên đoạn CC1 sao cho CE EF FC1 . a Ta được: CE EF FC BD DB . 1 1 2 a 5 a 5 Suy ra : A B AD2 DB 2 ; B C FC 2 FB 2 ; 1 1 1 2 1 1 1 1 2 a2 6 AC A E 2 EC 2 a 2 S . 1 1 1 1 A1B1C1 4 3 a2. 2 Ta lại có S S .cos cos 4 . ABC A1B1C1 6 2 a2 4 Câu 34: [1H3-4.4-3](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a 2 . Biết SA  ABC và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn B S C A M B
  20. Kẻ AM  BC tại M . Ta có SBC  ABC BC SAM  BC · SBC , ABC S·M , AM . SAM  SBC SM SAM  ABC AM Suy ra góc giữa SBC và ABC bằng góc S· MA . SA a Ta có tan S· MA 1 S· MA 45 . AM a Câu 38: [1H3-4.4-3](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên AA 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A . 1 1 1 1 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 95 165 134 126 Lời giải Chọn B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, AB . Gọi I là trung điểm của BG . Qua I kẻ đường thẳng song song với CN cắt AB tại K thì IK  AB (do CN  AB ) (1). Vì A I  ABC nên A I  AB (2). Từ (1) và (2) suy ra AB  A KI . Do đó ·A KI . 1 1 1 1 1 a 3 a Vì I là trung điểm BG nên suy ra IK GN . CN . . . 2 2 3 2 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 a 2 a 3 7a Trong tam giác vuông AIM ta có AI AM MI . . 2 3 2 12 2 2 2 7a 41a Trong tam giác vuông A AI ta có A I 2 A A2 AI 2 2a . 12 12 2 2 2 2 2 2 41a a 165a Trong tam giác vuông A KI ta có A K A I KI . 12 4 3 48 a a 165 KI 1 Suy ra A K . Từ đó ta có cos 4 3 . Chọn đáp án B. 4 3 A K a 165 165 4 3
  21. Câu 41: [1H3-4.4-3](THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB 2a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng: 2 2 2 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 4 5 Lời giải Chọn C Gọi I AD  BC . BD  AD ta có: BD  SAD BD  SI . BD  SA SI  BD · · Kẻ DE  SI , ta có: SI  BDE SAD , SBC DE, BE . SI  DE SA 3 Ta có: sin ·AIS . SI 7 DE a 3 DB 2 Mà sin ·AIS DE DI sin ·AIS tan D· EB 7 cos D· EB . DI 7 ED 4 Câu 44: [1H3-4.4-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng 5 3 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 2 5 3 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho a 1 sao cho A 0;0;0 , B 0;1;0 , D 1;0;0 , S 0;0;2
  22. 1 Ta có M là trung điểm SD M ;0;1 , C 1;1;0 . 2  1    1 AM ;0;1 , AC 1;1;0 , AM , AC 1;1; AMC có một vtpt n 2;2;1 2 2     SB 0;1; 2 , SC 1;1; 2 , SB, SC 0;2;1 SBC có một vtpt k 0;2;1 n.k 5 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AMC và SBC thì cos n . n 3 1 2 5 Do tan 0 nên tan 1 . cos2 5 Câu 47: [1H3-4.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , BC 4 . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4 . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng: S A D B C 3 17 3 34 2 34 5 34 A. . B. . C. . D. . 17 34 17 17 Lời giải Chọn B S K I D A H B C - Dựng BH  AC tại H , theo giả thiết suy ra BH  SAC BH  SA . - Dựng HI  SA tại I SA  BHI B· IH là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . - Dựng CK  SA tại K CK 4 là khoảng cách từ C đến SA .
  23. BA.BC 3.4 12 9 - Ta có: BH AH AB2 BH 2 . AC 5 5 5 HI AH 9 9 36 IH //CK HI .CK CK AC 25 25 25 BH 5 1 3 tan B· IH cos B· IH . HI 3 1 tan2 B· IH 34 3 34 Vậy cos B· IH . 34 Câu 14. [1H3-4.4-3] Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi O ' là tâm của hình vuông A' B 'C ' D ' và α là góc giữa hai mặt phẳng O ' AB và ABCD . Góc α thỏa mãn hệ thức nào sau đây? 1 1 1 A. cos B. tan 2 C. sin D. tan 2 2 2 Lời giải Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB OI  AB . AB  OI Vì AB  OIO ' AB  O ' I AB  OO ' O ' AB  ABCD AB Vì OI  AB O ' I  AB · O ' AB , ABCD O·I,O ' I O· ' IO . Xét O 'OI vuông tại I, ta có: OO ' a tan tan O· ' IO 2 . OI a 2 Chọn đáp án B. Câu 15. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA BC a; SA vuông góc với đáy, SA a . Góc α giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° Lời giải Gọi H là trung điểm của AC BH  AC . BH  AC Vì SA  ABC BH  SA do BH ABC  BH  SAC SHC là hình chiếu của SBC lên S SAC cos SHC S SBC
  24. + Ta có: AC BA2 BC 2 a 2 1 1 a 2 a2 2 S SA.HC a. SHC 2 2 2 4 BC  AB + Vì BC  SA do SA  ABC BC  SAB BC  SB SBC vuông tạiB. 1 1 a2 2 Khi đó: S SB.BC . a2 a2 .a SBC 2 2 2 a2 2 S 1 Vậy cos SHC 4 60 . 2 S SBC a 2 2 2 Chọn đáp ánC. Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC SAC  SBC nhưng lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều thời gian tính toán , không phù hợp với yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm. Đồng thời nhận thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên SAC và tính diện tích hai tam giác SHC; SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình bày ở trên để giải quyết nhanh bài toán. Câu 32. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC 60 , tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC . 3 1 A. 3 B. 2 3 C. D. 6 2 Lời giải: Chọn đáp án B Gọi M là trung điểm của BC SM  BC
  25. SBC  ABC Ta có SM  ABC SM  BC Gọi N là trung điểm của AC MN / / AB MN  AC AC  MN Ta có AC  SMN AC  SM · SAC , ABC ·MN,SN S·NM 2a 3 1 a Ta có SM a 3,MN AC 2 2 2 SM tan S·NM 2 3 MN Câu 37. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD . 2 3 A. 6 B. C. D. 2 2 2 Lời giải: Chọn đáp án D Ta có SO  ABCD và tứ giác ABCD là hình vuông. CO  BD Như vậy CO  SBD . CO  SO OC Kẻ OP  SD P SD tan · SCD , SBD tanC· PO . OP a2 a a Ta có SO2 SA2 OA2 a2 OS OD OP 2 2 2
  26. a tan ·SCD ; SBD 2 2 a 2 Câu 38. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD biết rằng cot 2 . 1 1 2 1 A. B. C. D. 3 2 3 6 Lời giải: Chọn đáp án B AC Ta có cot 2 AC SA 2 a 2 AB a . SA Tọa độ hóa với A  O, AD  Ox, AB  Oy, AS  Oz S 0;0;a , D a;0;0 ,C a;a;0 , B 0;a;0 .  SD a;0; a    n SD,SC a2 ;0;a2  1 Như vậy SC a;a; a     n SC,SB 0;a2 ;a2 2 SB 0;a; a   a4 1 cos ·SBC , SCD cos n ;n 1 2 2 2 a 2.a 2 2 Câu 40. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC a . Các mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC a 3 và tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Lời giải: Chọn đáp án C
  27. Dựng CK  AB , lại có CK  SA · Do đó CK  SAB C· SK CS, SAB 30 a 3 Suy ra CK SC sin30 . Xét tam giác ABC cân tại C có đường cao 2 a 3 CK ABC đều suy ra B· AC 60. 2 · Mặt khác CAB  SA SAC , SAB C· AB 60 Câu 42. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB a;BC a 3 . Cạnh bên SA  ABC , biết SC a 5 , gọi M là trung điểm của AC tính tan góc giữa 2 mặt phẳng SBM và mặt phẳng đáy ABC . 2 3 A. 3 B. 4 C. D. 3 2 Chọn đáp án C BC Ta có: AC AB2 BC 2 2a BM a 2
  28. Mặt khác SA SC 2 AC 2 a Dựng AE  BM , lại có SA  BM BM  SEA · Do đó SBM , ABC S· EA 1 1 a2 3 1 a 3 Do S S AB.BC .AE.BM AE ABM 2 ABC 4 4 2 2 Hoặc do tan B· AC 3 µA 60 do đó tam giác ABM đều cạnh a a 3 SA 2 Suy ra AE . Do đó tan S· EA 2 AE 3 Câu 44. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có góc BAD 120 , hình chiếu vuông góc của điểm H trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết a 6 đường cao của khối chóp là SH và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt 3 phẳng SAD và SCD A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Chọn đáp án D Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HA 2HO Dễ thấy HD 2HB . Mặt khác tam giác SBD vuông tại S có đường cao SH suy ra SH 2 HB.HD 2HB2 a 3 a 3 HB OB 3 2 a Do đó AB AC a OA . 2 AC  BD Ta có: AC  SBD AC  SD AC  SH
  29. Dựng CK  SD ACK  SD Ta có HD.SH 2a 3 a d H;SD OK d H;SD HD2 SH 2 3 4 2 OK 1 cosO· KC O· KC 45 KC 2 ·SAD,SCD ·AKC 90 1 a Hoặc OK AC ·AKC 90 (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh 2 2 ấy). Câu 45. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB AC 2a và BC 2a 3 . Tam giác SBC đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SAC là: 5 6 4 7 A. B. C. D. 13 13 13 13 Chọn đáp án D. Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH  BC Mặt khác SBC  ABC suy ra SH  ABCD . BC  AH Ta có: BC  SA BC  SH Dựng BI  SA , lại có BC  SA BIC  SA 2a 3. 3 Mặt khác SH 3a; AH AB2 BH 2 a 2
  30. SH.AH 3a a 390 Do đó IH IB IC IH 2 HB2 SH 2 HA2 10 10 2 2 2 BI CI BC 7 · 7 Suy ra cos B· IC 0 cos SAB , SAC 2.BI.IC 13 13 Câu 46. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là: 2 2 2 2 A. B. C. D. 2 3 4 5 Chọn đáp án C Gọi I là giao điểm của AD và BC BD  AD Ta có BD  SAD BD  SI BD  SA SI  BD Kẻ DE  SI ta có SI  BDE SI  DE · SAD , SBC ·DE, BE SA 3 DE Ta có sin ·AIS mà sin ·AIS SI 7 DI
  31. a 3 DE DI.sin ·AIS 7 BD 2 tan D· EB 7 cos D· EB ED 4 Câu 1382: [1H3-4.4-3] [BTN 165 - 2017] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và cách mặt đất h m . Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với ABC . Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N sao cho AM x, AN y và góc giữa MBC và NBC bằng 90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. M x A C 10 y I B N (d) . A. 12.B. 10.C. 5 3 . D. 10 3 . Lời giải Chọn D Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM x y . Gọi I là trung điểm của BC . Ta có ABC đều AI  BC , vì MN  ABC MN  BC , MI  BC 0 từ đó suy ra BC  MNI M· IN 90 . NI  BC 2 2 10 3 IMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên AM.AN AI xy 75 . 2 Theo bất đẳng thức Côsi: x y 2 xy 2. 75 10 3 x y 5 3 . Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3. . [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với ABCD , AB BC a, AD 2a . Nếu góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 thì góc giữa mặt phẳng SAD và SCD bằng 6 A. 60 .B. 30 .C. arccos .D. 45. 3 Lời giải Chọn A
  32. Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD . Khi đó ·SC, ABCD ·SC, AC S· CA 45 SA AC . Gọi M là trung điểm của AD CM  AD CM  SAD . Kẻ CH  SD mà CM  SD  SAD SD  CMH . · SAD , SCD ·CH,MH C· HM . 2a CM 3 Mà CM a,CH sinC· HM C· HM 60. 3 CH 2 Câu 27. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a và SA vuông góc với đáy. Để thể tích của khối chóp S.ABC bằng a3 3 thì góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng A. 60 .B. 30 . C. 45 .D. Đáp án khác. Lời giải Chọn A 1 Thể tích khối chóp S.ABC là V SA.S SA 3a . S.ABC 3 ABC SM  BC Gọi M là trung điểm của BC . AM  BC BC  SAM · SBC , ABC ·SM , AM S· MA . SA 3a Xét SAM vuông tại A, có tan S· MA 3 S· MA 60. AM a 3 Câu 29. [1H3-4.4-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , góc BAC 120 , BB' a và I là trung điểm của CC '. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB'I bằng 2 3 3 5 A. .B. . C. .D. . 2 10 2 3 Lời giải