Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách - Dạng 6: Hai đường chéo nhau (vẽ đoạn vuông góc chung) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách - Dạng 6: Hai đường chéo nhau (vẽ đoạn vuông góc chung) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Cõu 49: [1H3-5.6-3] (THPT Chuyờn Thỏi Bỡnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết gúc giữa MN và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC và DM là 15 30 15 15 A. a. . B. a. . C. a. . D. a. . 62 31 68 17 Lời giải. Chọn B S M E A B I O N D C Gọi I là trung điểm OA . Vỡ IM //SO IM  ABCD nờn hỡnh chiếu của MN lờn ABCD là IN . Suy ra Mã NI 60 Áp dụng định lớ cụ sin trong CIN , ta cú 2 2 2 2 3a 2 a 3a 2 a 2 a 5 IN CI CN 2CI.CN.cos45 2 . . . 4 2 4 2 2 2 2 Trong tam giỏc vuụng MIN ta cú. MI a 15 a 30 a 30 tan 60 MI IN. 3 SO . IN 2 2 4 2 Ta cú d BC, DM d BC, SAD d N, SAD 2d O, SAD 2d O, SBC . Kẻ OE  SN OE  SBC . 1 1 1 4 4 62 a 15 Ta cú d O, SBC OE mà OE . OE 2 OS 2 ON 2 30a2 a2 15a2 62 2a 15 30 Vậy d BC, DM 2OE a . 62 31 Cõu 37: [1H3-5.6-3] (Chuyờn Thỏi Bỡnh – Lần 5 – 2018) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuụng gúc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 .Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . 2 3a 2 3a 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A
2. Gọi K là hỡnh chiếu của H trờn SC . Do ABCD là hỡnh vuụng nờn DM  CN . Cú SH  ABCD SH  DM . Suy ra DM  SHC DM  HK . Vậy HK là đoạn vuụng gúc chung của DM và SC . Cú DH là đường cao của tam giỏc vuụng CDN nờn CH.CN DC 2 DC 2 2a CH . CN 5 Lại cú HK là đường cao trong tam giỏc vuụng SHC nờn 1 1 1 1 5 19 2a 3 HK . HK 2 SH 2 HC 2 3a2 4a2 12a2 19 a 3 Vậy d SC, DM . 5 Cõu 37: [1H3-5.6-3] (THPT Hoàng Hoa Thỏm - Hưng Yờn - 2017 - 2018 - BTN) Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú cạnh bằng a . Tớnh khoảng cỏch giữa AC và DC . a 3 a a 3 A. a . B. . C. .D. . 2 3 3 Lời giải Chọn D A D B C A D B C Do ABCD.A B C D là hỡnh lập phương cạnh a nờn DC //AB ; tam giỏc AB C là tam giỏc đều cạnh a 2 . Khi đú ta cú DC // ACB nờn khoảng cỏch giữa AC và DC là khoảng cỏch giữa DC và ACB suy ra khoảng cỏch từ D đến mặt phẳng ACB là
3. khoảng cỏch cần tỡm. Gọi DH là khoảng cỏch từ D đến mặt phẳng ACB với a2 3 H ACB ; S . AB C 2 1 1 a2 a3 1 1 a2 3 a 3 Ta cú V BB .S .a. DH.S DH. DH . D.AB C 3 ADC 3 2 6 3 AB C 3 2 3 Cõu 28: [1H3-5.6-3](Chuyờn KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là một tam giỏc đều cạnh a . Hỡnh chiếu của S trờn mặt phẳng ABC trựng với trung điểm của BC . Cho SA a và hợp với đỏy một gúc 30o . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC bằng: a 3 a 2 2a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 4 Lời giải Chọn D S Nhận xột: SA và BC là hai đường thẳng chộo nhau Kẻ IH  SA với H SA (1) BC  AI BC  SAI H BC  SI BC  IH (2) B A Từ (1) và (2) IH là đoạn vuụng gúc giữa hai I đường thẳng SA và BC chộo nhau. C a 3 a 3 1 a 3 d SA, BC IH IA.sin Sã AI .sin30o . 2 2 2 4 Cõu 19: [1H3-5.6-3] (Chuyờn Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3a . Khoảng cỏch giữa hai cạnh AB,CD là 3a 3 3a 3a 2 A. . B. . C. a . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D Gọi O là trọng tõm ABC DO  ABC . Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB , CD .
4. AB  DM  Ta cú  AB  DCM AB  MH . AB  CM  Vỡ MDC cõn tại M MH  CD . Do đú d AB,CD MH . 2 2 2 2 3a 3 3a 3 2a Xột MHC vuụng tại H, MH MC HC . 2 2 2 Cõu 21: [1H3-5.6-3] (THPT CHUYấN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , cạnh SA a và vuụng gúc với mặt đỏy ABCD . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SC và BD bằng a 3 a 6 a a 6 A. .B. .C. .D. . 4 3 2 6 Lời giải Chọn D S I H A D B O C Do BD  AC và BD  SA nờn BD  SAC . Trong mặt phẳng SAC dựng OH  SC tại H . OH là đường vuụng gúc chung của BD và SC . Gọi I là trung điểm SC . Tam giỏc OIC vuụng tại O cú đường cao OH . 1 1 1 OI.OC a 6 Ta cú 2 2 2 OH . OH OI OC OI 2 OC 2 6 Cõu 21: [1H3-5.6-3](CHUYấN VINH LẦN 3-2018) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , cạnh bờn SA a 5 , mặt bờn SAB là tam giỏc cõn đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Khoảng cỏch gữa hai đường thẳng AD và SC bằng S D A B C
5. 2a 5 4a 5 a 15 2a 15 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B S K D A H B C Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do tam giỏc SAB cõn tại S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy nờn SH  ABCD . Theo giả thiết ta cú AB 2a AH a . Mà ta lại cú SA a 5 nờn SH SA2 AH 2 2a Ta cú AD // BC AD // SBC d AD, SC d AD, SBC d A, SBC 2d H, SBC . Do mặt phẳng SBC  SAB nờn từ H kẻ HK  SB thỡ HK d H, SBC . SH.HB 2a.a 2a 5 4a 5 Ta cú HK d AD, SC 2HK . SB a 5 5 5 Cõu 28. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Hỡnh chiếu của S trờn ABC trựng với trung điểm của BC. Biết SA hợp với đỏy một gúc 30°. Khi đú, khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a 3 a 3 a 2 2a 2 A. B. C. D. 2 4 3 3 Lời giải Gọi H là trung điểm của BC SH  ABC SH  BC (1) AH  BC (2) Vỡ ABC đều a 3 AH 2 Từ (1) và (2) BC  SAH . Trong SAH , kẻ HK  SA, K SA (3) BC  SAH Vỡ BC  HK (4) HK  SAH
6. Từ (3) và (4) HK là đoạn vuụng gúc chung của SA và BC d SA, BC HK . Vỡ SH  ABC HA là hỡnh chiếu của SA trờn ABC ãSA, ABC ãSA, HA Sã AH 30. HK a 3 Xột AHK vuụng tại K, ta cú: sin Hã AK HK AH.sin Hã AK . AH 4 a 3 Vậy d SA, BC HK . 4 Chọn đỏp ỏn B. Cõu 9. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật ABCD cú AB 3a, AD 2a , SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của AD . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng CM và SA là 6a 3a 2a 6a A. . B. . C. . D. . 13 10 5 10 Lời giải Chọn đỏp ỏn B Lấy H là hỡnh chiếu của A lờn MC . MC  AH  SA d SA,CM AH Tớnh: CM DM 2 DC 2 a 10 CD AH.MC AM.AC.sin Mã AC AM.AC. AC 3a AH . 10 Cõu 16. [1H3-5.6-3] Cho khối lăng trụ ABC.A B C cú đỏy là tam giỏc ABC cõn tại A cú AB AC 2a ; BC 2a 3 . Tam giỏc A BC vuụng cõn tại A và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy ABC . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AA và BC là a 2 a 5 a 3 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải
7. Chọn đỏp ỏn D Gọi H là trung điểm của cạnh BC A' H  ABC A' H  HC HC  HA' . HC  HA ABC cõn tại A AH  HC HC  HA' HC  A' AH BC  A' AH Kẻ HP  A' A P A' A BC  HP HP là đường vuụng gúc chung của A' A và BC d A' A, BC HP . BC A BC vuụng cõn tại A A H a 3 . 2 Cạnh HA AB2 BH 2 4a2 3a2 a Cõu 30. [1H3-5.6-3] (Chuyờn Thỏi Nguyờn - 2018 - BTN) Khoảng cỏch giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a bằng a 2 2a a 3 A. . B. . C. . D. 2a . 2 3 3 Lời giải Chọn A A I B D J C Gọi I , J lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB và CD . Do ABCD là tứ diện đều nờn tam giỏc AJB cõn tại J và tam giỏc CID cõn tại I .
8. 2 2 IJ  AB 2 2 a 3 a a 2 Suy ra d AB,CD IJ AJ AI . IJ  CD 2 2 2 Cõu 215: [1H3-5.6-3][SGD VĨNH PHÚC-2017] Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A B C D cú AB a, AD a 3. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BB và AC . a 3 a 3 a 2 A. . B. a 3 . C. . D. . 4 2 2 Lời giải D C A B D' C' H A' B' Chọn C 2 2 Ta cú: A C A B B C 2a. Kẻ B H  A C . A B .B C a.a 3 a 3 B H . B C 2a 2 Vỡ BB // ACC A nờn d BB , AC d BB , ACC A a 3 d BB , ACC A B H . 2 a 3 Nờn d BB , AC . 2 Cõu 222: [1H3-5.6-3][TT DIỆU HIỀN CẦN THƠ-2017] Cho hỡnh lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC ' và CD ' . a 3 a 2 A. a 2 . B. . C. 2a . D. . 3 3 Lời giải Chọn B A' D' O B' C' H A D B C Gọi O A'C ' B ' D ' và từ B ' kẽ B ' H  BO
9. Ta cú CD ' // (BA'C ') nờn BB '.B 'O a 3 d(BC ';CD ') d(D ';(BA'C ')) d(B ';(BA'C ')) B ' H BO 3 Cõu 47: [1H3-5.6-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú tất cả cỏc cạnh bằng a , gọi M , N lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AA và AB . Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và B C bằng 2 5 3 5 3 5 2 5 A. a B. a C. a D. a 5 10 5 15 Lời giải Chọn B Xột hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A B C cú tất cả cỏc cạnh bằng a . Gắn hệ trục như hỡnh vẽ quy ước a 1 ( đơn vị ). 3 1 1 1 N 0;0;0 Ta cú , C 0; ;0 , M ;0; , B ;0;1 . 2 2 2 2  1 1  1 3  3 Suy ra MN ;0; ; B C ; ; 1 ; NC 0; ;0 . 2 2 2 2 2    MN; BC .NC 3 5 Do đú d MN; B C   a . 10 MN; BC Cõu 2410. [1H3-5.6-3] Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng a . Tớnh khoảng cỏch giữa AB và CD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. B. . C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn C.
10. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đú NA NB nờn tam giỏc ANB cõn, suy ra NM  AB . Chứng minh tương tự ta cú 2 NM  DC , nờn d AB;CD MN . Ta cú: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khỏc: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 3a2 a2 a 2 Cỏch khỏc. Tớnh MN AN 2 AM 2 . 4 4 2 Cõu 9: [1H3-5.6-3] (THPT Chuyờn Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giỏc đều ABC một gúc 60 . Biết rằng cạnh của tam giỏc đều ABC bằng a và Mã AB Mã AC . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM và BC . 3a a 2 a 3 A. . B. . C. a . D. . 4 2 2 Lời giải Chọn A M P 60 A C H N B Gọi N là trung điểm BC . Ta cú Mã AB Mã AC , AB AC . MAB MAC MB MC MBC cõn tại M BC  MN BC  AMN . BC  AN Trong mặt phẳng AMN , dựng NP  MA thỡ NP  BC NP d AM , BC . Trong mặt phẳng AMN , dựng MH  AN thỡ MH  ABC AM , ABC Mã AN 60 .
11. 3a a 3 Mặt khỏc tam giỏc ANP vuụng tại P cú NP AN.sin 60 vỡ AN . 4 2 Cõu 36: [1H3-5.6-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Húa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD cú AB 5 , cỏc cạnh cũn lại bằng 3 , khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: 3 2 2 3 A. .B. . C. . D. . 3 2 3 2 Lời giải Chọn B A M B D N C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Ta cú:  Tam giỏc ABC cõn tại C CM  AB (1)  Tam giỏc ABD cõn tại D DM  AB (2) Từ (1) và (2) suy ra AB  MCD Lại cú ABC ABD MC MD MN  CD MN d AB,CD Mặt khỏc 5 3 3 Tam giỏc BMN vuụng tại M cú BM , BN và 2 2 2 MN BN 2 BM 2 MN 2 2 Vậy d AB,CD . 2 Cõu 2585. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại B và C, AB 2BC 4CD 2a , giải sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hai mặt phẳng SMN và SBD cựng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và cạnh bờn SB hợp với đỏy ABCD một gúc 600 . Tớnh khoảng cỏch giữa SN và BD. 3 3 3 3 A. a B. a C. a D. a 15 65 55 35 Lời giải Chọn B.
12. Gọi H MN  BI SMN  SBI SH S Do hai mặt phẳng SMN và SBI cựng vuụng gúc với ABCD SH  ABCD . Dễ thấy BH là hỡnh chiếu vuụng gúc của SB lờn mặt phẳng đỏy, suy ra SãBH = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB M và BC mà AB 4CD nờn suy ra MN  BD tại H. A B K Xột tam giỏc BMN ta cú: H N 1 1 1 5 a 2 2 2 2 BH . BH BM BN a 5 D C Xột tam giỏc SBH lại cú: SH a 15 tan SãBH = ị SH = HB.tan 600 = HB 5 * Tớnh khoảng cỏch giữa SN và BD. ỡ ù BD ^ SH Do ớ ị BD ^ SMN ; dựng HK vuụng gúc với SN thỡ HK là đoạn vuụng gúc chung ù BD ^ MN ( ) ợù của SN và BD ị d(BD; SN) = HK . a2 a2 a 5 Xột tam giỏc BHN cú: HN = BN2 - BH2 = - = 4 5 10 Cõu 2586. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành thỏa món AB 2a , BC a 2 , BD a 6 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh S lờn mặt phẳng ABCD là trọng tõm của tam giỏc BCD . Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD , biết rằng khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a . 4 2a3 5 3a3 3a3 2a3 A. . B. . C. . D. 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi H là hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng ABCD , M là trung điểm của CD và O là tõm của đỏy ABCD . Do AO là trung tuyến của tam giỏc ABD nờn: AB2 AD2 BD2 3a2 AO2 - = 2 4 2 a 6 AO 2a 6 AO AH AO 2 2 3 BD2 BC 2 CD2 BM 2 2 4 6a2 2a2 4a2 = 3a2 2 4
13. Ta cú AH 2 BH 2 4a2 AB2 AH  BH , kết hợp AH  SH ta được AH  SHB Kẻ HK vuụng gúc với SB , theo chứng minh trờn ta được AH  SHB Suy ra AH  HK HK là đoạn vuụng gúc chung của AC và SB , suy ra HK a . 1 1 1 Trong tam giỏc vuụng SHB ta cú: SH 2a HK 2 SH 2 HB2 1 1 4 1 4 2a3 V SH.S SH.4S SH. OA.BH . Vậy chọn đỏp ỏn A S.ABCD 3 ABCD 3 OAB 3 2 3 Cõu 2591. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi cạnh bằng a, SD a 2, SA SB a, và mặt phẳng SBD vuụng gúc với ABCD . Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SD. a 5a a 3a A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lời giải Chọn C. Theo giả thuyết ABCD  SBD theo giao tuyến BD. Do đú nếu dựng AO  SBD thỡ O BD. Mặt khỏc AS AB AD OS OB OD hay SBD là tam giỏc vuụng tại S BD SB2 SD2 a2 2a2 a 3 3a2 a AO AB2 )B2 a2 4 2 Trong SBD dựng OH  SD tại H 1 H là trung điểm của SD. Theo chứng minh trờn AO  SBD OA  OH 2 Từ 1 và 2 chứng tỏ OH là đoạn vuụng gúc chỳng của AC và SD. 1 a Vậy d AC, SD OH SB . 2 2 Cõu 2574: Mất hỡnh vẽ + gắn ID sai (đề nghị ID [1H3-5.6-3]) Cõu 2577: Hỡnh vẽ khụng khớp lời giải Cõu 412: [1H3-5.6-3] Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng a . Tớnh khoảng cỏch giữa AB và CD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn C
14. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đú NA NB nờn tam giỏc ANB cõn, suy ra NM  AB . Chứng minh tương tự 2 ta cú NM  DC , nờn d AB;CD MN . Ta cú: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khỏc: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 3a2 a2 a 2 Cỏch khỏc. Tớnh MN AN 2 AM 2 . 4 4 2 2a Cõu 720. [1H3-5.6-3] Cho hỡnh chúp O.ABC cú đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là 3 trung điểm của OA và OB . Khỏang cỏch giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng: a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn D. O M N A C H B Ta cú: MN / / AB ( MN là đường trung bỡnh trong tam giỏc OAB ) MN / / (ABC) d(MN,(ABC)) d(M ,(ABC)) .
15. d(M ,(ABC)) MA 1 1 a 3 Mặt khỏc: d(M ,(ABC)) d(O,(ABC)) . d(O,(ABC)) OA 2 2 3 a 3 Suy ra: d(MN,(ABC)) . 3 Cõu 926. [1H3-5.6-3]Cho hỡnh chúp S.ABCD cú cạnh đỏy là hỡnh chữ nhật, SA  (ABCD). Biết SA AB a, AD a 3. Gọi M BC sao cho DM  SC. Tớnh DM theo a. 2a 3 2a a 3 A. .B. a 3 . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A S A D K B M C Ta cú SA  ABCD SA  DM Mà DM  SC DM  SAC DM  AC Xột tam giỏc ADC và tam giỏc DCM cú ãADC Dã CM 900 Dã AC Cã DM ( cựng phụ với ãACD ) DM CM DM CM ADC ∽ DCM Do đú DM 2CM AC DC 2a a Tam giỏc DCM vuụng tại C cú: 2 2 2 2 2 DM 2 3 2 2 2a 3 DM CM CD DM a DM a DM . 2 4 3