Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách - Dạng 7: Hai đường chéo nhau (mượn mặt phẳng) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 11 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách - Dạng 7: Hai đường chéo nhau (mượn mặt phẳng) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 28.[1H3-5.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . a 22 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. a . 11 3 3 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của tam giác BCD . Qua C kẻ đường thẳng d song song với BM . Khi đó d AC, BM d BM , AC,d d O, AC,d . Do tứ diện ABCD là tứ diện đều AO  BCD . Kẻ OI  d và I d , OH  AI và H AI OH  AC,d . Suy ra d O, AC,d OH . a Ta có d // BM d  CD . Tứ giác IOMC là hình chữ nhật, suy ra IO MC . 2 a 3 a 3 BM là đường cao trong tam giác đều cạnh bằng a BM BO . 2 3 a2 a 2 Ta có AO AB2 BO2 AO a2 . 3 3 a 2 a . 1 1 1 OA.OI 3 2 a 22 Do đó ta có 2 2 2 OH OH . OH OA OI OA2 OI 2 2a2 a2 11 3 4 Câu 1. [1H3-5.7-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB a , OC a 3 . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng OBC , OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM . a 5 a 15 a 3 a 3 A. h . B. h . C. h . D. h . 5 5 2 15 Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng OBC dựng hình bình hành OMBN , kẻ OI  BN .
2. A H O C M N I B Kẻ OH  AI . Nhận xét OM // ABN nên khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM bằng khoảng cách giữa đường thẳng OM và mặt phẳng ABN , bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABN . Suy ra h d O, ABN OH . a 3 Tam giác OBI có OB a , B· OM 60o nên OI . 2 1 1 1 1 1 4 a 3 Tam giác AOI vuông tại O nên OH . OH 2 OA2 OI 2 OH 2 3a2 3a2 5 Câu 29: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và SO a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. .B. .C. .D. . 15 5 15 5 Lời giải Chọn D Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD ; H là hình chiếu vuông góc của O trên SN. Vì AB//CD nên d AB,SC d AB,(SCD) d M ,(SCD) 2d O,(SCD) CD  SO Ta có CD  (SON) CD  OH CD  ON CD  OH Khi đó OH  (SCD) d O;(SCD) OH. OH  SN
3. 1 1 1 1 1 5 a Tam giác SON vuông tại O nên OH OH 2 ON 2 OS 2 a2 a2 a2 5 4 2a 5 Vậy d AB,SC 2OH . 5 Câu 31. [1H3-5.7-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 3 a 2 a 3 A. a .B. .C. .D. . 3 2 2 Lời giải Chọn D BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC là góc S· BA 60. Do đó SA a.tan 60 a 3. Dựng D sao cho ABCD là hình vuông. Dựng AE  SD tại E. CD  AD Ta có: CD  SAD CD  AE. CD  SA Mà AE  SD suy ra AE  SCD . Ta có d AB;SC d AB; SCD d A; SCD AE. AS.AD a 3 a 3 Mà AE . Vậy d AB;SC . SD 2 2 Câu 49. [1H3-5.7-3](Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 3a, BC 4a. Cạnh bên SA vuông
4. góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60 . Gọi M là trung điểm của AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM . 10a 3 5a A. a 3 .B. .C. .D. 5a 3 . 79 2 Lời giải Chọn B AC 5a, SA 5a 3 . Gọi N là trung điểm BC AB// SMN d AB, SM d A, SMN . Dựng AH  MN tại H trong ABC . Dựng AK  SH tại K trong SAH . AK  SMN tại K nên d A, SMN AK d  AB, SM  AK . AH NB 2a . 1 1 1 1 1 79 10a 3 AK . AK 2 AH 2 SA2 4a2 75a2 300a2 79 Câu 41. [1H3-5.7-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , AA 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD . a 5 2a 5 A. . B. . C. 2a . D. a 2 . 5 5 Lời giải Chọn B C B O D A H C B O D A Gọi O, O lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác COO C là hình bình hành và AC C O a 2
5. Do BD // B D BD // CB D nên d BD;CD d O; CB D d C ; CB D . B D  A C Ta có: B D  COO C CB D  COO C B D  CC Lại có CB D  COO C CO . Trong CC O hạ C H  CO C H  CB D d BD;CD C H 1 1 1 1 1 5 2 5a Khi đó: C H . C H 2 CC 2 C O 2 2a 2 a2 4a2 5 Câu 24: [1H3-5.7-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a , AD 4a , SA  ABCD , cạnh SC tạo với đáy góc 60o . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a . Khoảng cách giữa MN và SB là 2a 285 a 285 2a 95 8a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn A Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN // SBK . AC 2a 5 . d MN, SB d MN, SBK d N, SBK 2d A, SBK . Vẽ AE  BK tại E , AH  SE tại H . Ta có SAE  SBK , SAE  SBK SE , AH  SE AH  SBK d A, SBK AH . SA AC. 3 2a 15 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 a 4a 2a 15 a 4a a 285 2a 285 AH d MN, SB . 19 19 Câu 45: [1H3-5.7-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông và AB BC a , AA a 2 , M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B C . a 2 a 6 a 7 a 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 2 6 7 3
6. Lời giải Chọn C A A' C' B' M B C A C M N B B' Tam giác ABC vuông và AB BC a nên ABC chỉ có thể vuông tại B . AB  BC Ta có AB  BCB . AB  BB ' Kẻ MN // B C B C // AMN d d B C, MN d B C, AMN d C, AMN d B, AMN . Tứ diện BAMN là tứ diện vuông 1 1 1 1 1 1 1 7 a 7 2 2 2 2 2 2 2 2 d . d BA BM BN a a a 2 a 7 2 2 Câu 39: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. a . B. 2a . C. a 2 . D. a 3 . Lời giải Chọn A S A B D C Vì SA  ABCD nên SA  AD . SA  AD Ta có: AD  SAB d D, SAB DA . AB  AD
7. CD  SAB CD // AB CD // SAB d CD, SB d CD, SAB d D, SAB DA a . AB  SAB Câu 44: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hình hộp ABCD.A B C D có AB AA AD a và ·A AB ·A AD B· AD 60 . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD bằng: a 2 a 3 A. . B. . C. a 2 . D. 2a . 2 2 Lời giải Chọn A Theo bài ra thì A ABD là tứ diện đều cạnh bằng a. Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện A ABD là EF . 2 2 2 2 a 3 a a 2 Ta có: EF EB BF . 2 4 2 Câu 44: [1H3-5.7-3](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2- 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường 3 kính AD 2a , SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách giữa BD và SC . 2
8. 3a 2 a 2 5a 2 5a 2 A. B. C. D. 4 4 12 4 Lời giải Chọn B S H A D E O B C F OC OB BC 1 + Ta có: AB BC CD a . Và . OA OD AD 2 + Trong ABCD , dựng hình bình hành BCED , ta được BD // SCE . 1 d BD, SC d DB, SCE d O, SCE d A, SCE . 3 Gọi F AB CE AF  CE (do AB  BD ). CE  SA Khi đó ta có: CE  SAF SAF  SCE theo giao tuyến SF . CE  AF Trong SAF , kẻ AH  SF thì AH  SCE . FB BC 1 3a Tam giác AFE có : AE 3a và AF FA AE 3 2 1 1 3a 2 3a 2 AH SF . . 2 2 2 4 1 1 a 2 Vậy d BD, SC d A, SCE AH . 3 3 4 Câu 43: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D . 4a a 2a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // A M CK // A MD . Khi đó: d CK, A D d CK, A MD d C, A MD . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
9. a Ta có: A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , A 0;0;a , B a;0;a ,C a;a;0 , M a;0; . 2  a    a2 2 2 A M a;0; , A D 0;a; a , A M , A D ;a ;a . 2 2 Vậy mặt phẳng A MD nhận n 1;2;2 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mp A MD : x 2y 2z 2a 0 . a 2a 2a a Do đó: d C, A DM . 3 3 Câu 30: [1H3-5.7-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và ABCD bằng 60. Gọi M là trung điểm cạnh AB . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . a 5 5a 3 2a 15 2a 5 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 Lời giải Chọn A Hạ SH  ABCD , vì AB  SM nên AB  MH do đó MH cắt CD tại trung điểm N của CD. Từ đó suy ra góc giữa SCD và ABCD bằng S· NH 60 . 2a 3 Tam giác SMN có SM a 3 , MN 2a , S·NM 60 suy ra SN a do 2 đó tam giác SNH là nửa tam giác đều nên H là trung điểm của ON với O là tâm của hình a 3 vuông ABCD và SH . 2
10. S A D K M N O H O' J B I C Gọi I là trung điểm của BC , và O là giao điểm của MI và BD, khi đó SMI chứa SM và song song với AC suy ra 2 d SM ; AC d AC; SMI d O; SMI d H; SMI . 3 Qua H dựng đường thẳng song song với BD cắt MI tại J khi đó HJ  MI và JO JI . Hạ HK  SJ HK d H; SMI . 1 1 BD BD OO IN 3a 2 Lại có JH 4 2 . 2 2 4 Trong tam giác vuông SHJ ta có 1 1 1 4 8 20 3a = HK . SK 2 SH 2 HJ 2 3a2 9a2 9a2 2 5 2 2 3a a Vậy d SM ; AC HK  . 3 3 2 5 5 Câu 20: [1H3-5.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a,h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB , BC . ah ah ah ah A. . B. . C. .D. . a2 h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 5h2 Lời giải Chọn D Cách 1.
11. Dựng hình bình hành A B C E . Khi đó EC vừa song song vừa bằng với AB A B nên ABC E là hình bình hành. Suy ra AE//BC hay BC // AB E chứa AB . Ta có: d AB , BC d BC , AB E d C , AB E . Do A C cắt AB E tại trung điểm của A C nên d C , AB E d A , AB E . Dựng A H  B E tại H và A K  AH tại K . Ta chứng minh được A K  AB E . Suy ra d AB , BC A K . 1 1 1 5 1 1 1 5 1 Ta có: 2 2 2 2 và 2 2 2 2 2 A H 1 A B a A K A H A A a h A C 2 a2h2 ah Vậy A K 2 2 . a 5h a2 5h2 Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: A 0;0;0 , B a;0;0 , C 0;a;0 , A 0;0;h , B a;0;h , C 0;a;h .    Ta có: AB a;0; h , BC a;a; h , B C a;a;0 .   2 Suy ra: AB , BC ah;2ah;a
12.    2 AB , BC .B C a h ah Do đó: d AB , BC   . 2 2 2 2 4 2 2 AB , BC a h 4a h a a 5h Câu 39. [1H3-5.7-3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng B C và AA biết góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng 60 . 3a 7 a 21 3a a 3 A. d .B. d . C. d . D. d . 14 14 4 4 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm BC , theo giả thiết A H  ABC . Vì ABC là tam giác đều nên AH  BC . Vậy BC  A AH BC  AA . Gọi M là trung điểm AB , N là trung điểm MB . Ta có CM  AB , NH là đường trung bình BCM nên HN //CM HN  AB . Mà góc giữa hai mặt phẳng ABB A và A B C bằng góc giữa hai mặt phẳng ABB A và ABC là góc ·A NH 60 . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B Trong mặt phẳng A AH , kẻ HK  AA tại K . Ta thấy HK  AA mà AA //BB HK  BB , HK  BC nên HK  BCC B . Vì AA //BB nên d AA ; B C d AA ; BCC B d K; BCC B HK . 1 a 3 3a Ta có HN CM A H NH.tan 60 . 2 4 4 a 3 3a 1 1 1 16 4 28 Trong A AH có AH ; A H nên 2 4 HK 2 A H 2 AH 2 9a2 3a2 9a2 3a 7 HK . 14 Câu 47: [1H3-5.7-3](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 . Biết hình chiếu
13. vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C bằng 3 3a 2 a 3 A. a . B. . C. a . D. . 2 2 3 2 Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của BC 1 Ta có BC AB2 AC 2 a2 3a2 2a suy ra AH BC a và 2 A H A A2 AH 2 7a2 a2 a 6 Từ A ta dựng đường thẳng d song song với BC , kẻ HM  d tại M và HK  AM tại K . AM  MH Ta có AM  A MH AM  HK . AM  A H HK  AM Ta có HK  A AM . HK  A M Do đó d AA ; B C d BC; A AM d H; A AM HK . AB2.AC 2 a2.3a2 3a Ta có HM AI . AB2 AC 2 a2 3a2 2 Xét tam giác A HM vuông tại H ta có 3 2 2 2 2 a .6a MH .A H 4 2 HK 2 2 a . 3 2 2 MH .A H a 6a 3 4 Câu 46: [1H3-5.7-3](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và , vuông góc với nhau và nhận AB a làm đoạn vuông góc chung A d, B . Trên d lấy điểm M , trên lấy điểm N sao cho AM 2a , BN 4a . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI là 4a 4a 2a 2 A. .B. a .C. .D. . 17 5 3 Lời giải Chọn A
14. Ta có, MA  (ABN) suy ra MA  AN . NB  (ABM ) suy ra NB  BM . Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN là trung điểm I của MN . Gọi F là trung điểm của AN suy ra IF //AM do đó d(AM , BI) d(AM ,(BIF)) d(A,(BIF)) và IF  (ABN) . Gọi H là hình chiếu của A lên BF , P đối xứng với B qua F suy ra ABNP là hình chữ nhật AH  BF Ta có AH  (BIF) d(AM , BI) AH . AH  IF Xét tam giác ABP vuông tại A có AH là đường cao nên AB2.AP2 a2.16a2 4a d(AM , BI) AH . AB2 AP2 a2 4a2 17 Câu 37: [1H3-5.7-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA (hình vẽ bên cạnh). Biết hai đường thẳng CM và SB hợp nhau một góc 45 , khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB bằng bao nhiêu? 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 5 6 3 2 Lời giải Chọn B
15. S M H A C N B Gọi N là trung điểm cạnh AB nên MN //SB . ·CM , SB ·CM , MN C· MN Ta có CN  AB , CN  SA suy ra CN  SAB hay CN  NM 3 CN a 3 3 1 2 CN , tan C· MN MN , AM MN 2 AN 2 2 MN 2 4 4 2 d CM , SB d SB, CMN d B, CMN d A, CMN Kẻ AH  MN suy ra d A, CMN AH 1 1 1 1 6 4 2 AH . AH 2 AN 2 AM 2 AH 2 6 THI THỬ – THPT MỘ ĐỨC 2 – QUẢNG NGÃI GV giải: Đặng Thanh Quang – CÂU 38 – 39 Câu 13. [1H3-5.7-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và DC bằng a 6 2a 3 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 Lời giải Chọn D Ta có: DC //AB DC // B AC chứa AC . Khi đó ta có d AC; DC d D; B AC d B; B AC . AC  BD Ta có: AC  BB O . AC  BB BH  AC Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên B O ta có: BH  B AC . BH  B O Suy ra d B, B AC BH . 1 1 1 1 1 2 a 3 Trong tam giác B BO ta có: BH BH 2 BB 2 BO2 BH 2 a2 a2 3
16. Câu 44: [1H3-5.7-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK , A D . 2a a 3a A. a . B. . C. . D. . 5 3 8 Lời giải Chọn C Cách 1: Trong ADD A : Gọi O AD  A D ; H IK  AD ; I là trung điểm của A D . Ta có IK //AD AD // IKC d CK , A D d A D, IKC d D, IKC . Kẻ DF  CE , ta có: DF  CE  DF  CEI d D, IKC DF . DF  EI  1 1 ED OH AD a 2 . 4 4 2 2 a 2 2 a . CD .ED a DF 8 . CD2 ED2 a2 3 a2 8 a Vậy d CK , A D . 3 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ: D 0;0;0 , A 0;a;0 , C a;0;0 , D 0;0;a . a  a  Ta có: K 0;0; ; CK a;0; ; A D 0; a; a . 2 2   a CK  A D ; a;a . 2  DC a;0;0 . 2    a CK, A D .DC 2 a d CK, A D   . CK, A D a2 3 a2 a2 4
17. Câu 44: [1H3-5.7-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với ABC và SA a . Tính khoảng cách giữa SC và AB . a a 21 a 21 a 2 A. B. C. D. 2 3 7 2 Lời giải Chọn C S H D M A C B Vẽ đỉnh D của hình bình hành ABCD . Khi đó, AB P DC AB P SDC . Do đó d(AB; SC) d AB; SDC d A; SDC . Gọi M là trung điểm CD, vì ACD đều nên CD  AM mà CD  SA CD  SAM SCD  SAM . Kẻ AH  SM tại H . Suy ra AH  SCD d A; SDC AH . a 3 Tam giác SAM vuông tại A có SA a , AM . 2 1 1 1 1 4 7 a 3 a 21 Suy ra AH . AH 2 SA2 AM 2 a2 3a2 3a2 7 7 a 21 Vậy d AB; SC AH . 7 Câu 35: [1H3-5.7-3](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng: a 2 a a 3 A. .B. 2a .C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D
18. S H  A B D C Ta có: SB; ABCD SB; AB S· AB 60 SA AB.tan 60 a 3 . SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên: d SC; AD d AD; SBC d A; SBC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên SBC nên d A; SBC AH. 1 1 1 a 3 Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: AH AH 2 AB2 AS 2 2 a 3 d SC; AD AH . 2 Câu 35: [1H3-5.7-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng: a 2 a a 3 A. .B. 2a .C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D S H  A B D C Ta có: SB; ABCD SB; AB S· AB 60 SA AB.tan 60 a 3 .
19. SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên: d SC; AD d AD; SBC d A; SBC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên SBC nên d A; SBC AH. 1 1 1 a 3 Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: AH AH 2 AB2 AS 2 2 a 3 d SC; AD AH . 2 Câu 37: [1H3-5.7-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và ABCD bằng 60o . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là a 5 a 5 3a 5 5a 3 A. . B. . C. . D. . 5 10 10 3 Lời giải Chọn A S A D M H I B N C AB  SM Gọi I là trung điểm cạnh CD , khi đó AB  SMI . AB  MI Do CD//AB nên CD  SMI ((SCD),(ABCD)) S· IM . Vẽ SH  MN tại H MN thì SH  ABCD . Tam giác SMI có SM 2 MI 2 SI 2 2.MI.SI.cos S· IM 3a2 4a2 SI 2 2a.SI SI 2 2a.SI a2 0 SI a . Cách 1: SM.SI a 3 Theo định lý Pythagore đảo thì SMI vuông tại S SH . MI 2 Vẽ SH  MN tại H MN thì SH  ABCD . Gọi N là trung điểm cạnh BC ta có AC//MN 3V d AC, SM d AC, SMN d C, SMN SMNC . S SMN 1 1 1 a 3 a3 3 Ta có V V .SH. .BM.BN . .a.a . SMNC S.MNB 3 2 6 2 12 Tam giác SIC có SC SI 2 IC 2 a2 a2 a 2 .
20. SB2 SC 2 BC 2 Tam giác SBC có SN 2 2a2 SN a 2 . 2 4 SM SN MN a 3 a 2 a 2 Tam giác SMN có nửa chu vi p . 2 2 a2 15 Và diện tích SMN là S p p SM p SN p BC . SMN 4 a3 3 3 3V a 5 Vậy d AC, SM SMNC 12 . 2 S SMN a 15 5 4 Cách 2: SM.SI a 3 3a Ta thấy SM 2 SI 2 MI 2 nên SMI vuông tại S . Suy ra SH ; HM . MI 2 2 Gọi O AC  BD ; N là trung điểm cạnh BC ta có AC// SMN . 2 Do đó, d AC, SM d AC, SMN d O, SMN d H, SMN . 3 HM 3a 2 Gọi K là hình chiếu của H lên MN , ta có HKM vuông cân tại K nên HK . 2 4 2 SH.HK a 5 Vậy d AC, SM . . 3 SH 2 HK 2 5 Câu 20: [1H3-5.7-3](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng a3 2 SC và mặt phẳng ABCD bằng 45o . Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng . 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 a 6 a 10 a 10 A. .B. .C. . D. . 2 3 5 10 Lời giải Chọn C
21. Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x , x 0 . Vì SA  ABCD nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCA . Vậy S· CA 45o . Do đó tam giác SAC vuông cân tại A . Suy ra SA AC x 2 . 1 1 x3 2 Ta có V SA.S .x 2.x2 . ABCD 3 ABCD 3 3 a3 2 Theo bài ra thì V . Vậy x a . ABCD 3 Cách 1: Qua B dựng đường thẳng d song song với AC , qua A dựng đường thẳng d song song với BD. Gọi K là giao điểm của d và d . Ta có AC// SKB . Do đó d AC, SB d AC, SKB d A, SKB . Trong mặt phẳng SAK dựng AH vuông góc với SK tại H (1). Vì AC  BD nên suy ra AK  KB (2). Mặt khác SA  ABCD nên SA  KB (3). Từ (2) và (3) suy ra KB  SAK . Do đó ta có KB  AH (4). Từ (1) và (4) suy ra AH  SKB . Vậy AH d A, SKB . Gọi I là giao điểm của AC và BD. BD a 2 Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AK BI . 2 2 1 1 1 1 1 5 Trong tam giác vuông SAK có 2 2 2 2 2 2 . AH AS AK a 2 a 2 2a 2
22. a 10 a 10 Suy ra AH . Vậy d AC, SB . 5 5 Cách 2 (tọa độ hóa): Gán hệ trục tọa độ như sau: A 0;0;0 , D a;0;0 , B 0;a;0 và S 0;0;a 2 . Khi đó C a;a;0 .    Ta có SB 0;a; a 2 , AC a;a;0 , AS 0;0;a 2 .      2 2 2 3 Do đó: AC, SB a 2;a 2;a , AC, SB .AS a 2 .    3 AC, SB AS a 2 a 10 Từ đó ta có d AC, SB   . a2 5 5 AC, SB Câu 34. [1H3-5.7-3](CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất các cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C . a 15 a 3 A. . B. a 2 . C. . D. a . 2 2 Lời giải Chọn C A' C' B' A C I B a 3 AA song song với mặt phẳng BB C C do đó d AA , B C d A, BB C C AI 2 Câu 29. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD 2AB 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SB tạo với mặt phẳng đáy ABCD một góc 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 21 2a 21 a 21 a 21 A. B. C. D. 7 7 14 21 Lời giải
23. Vì AB / / SCD d AB, SC d AB, SCD d A, SCD Trong SAD , kẻ AH  SD, H SD CD  AD Vì CD  SAD CD  AH . CD  SA AH  SD Vì AH  SCD d A, SCD AH AH  CD Ta có: ·SB, ABCD ·SB, AB S· BA 60. SA Xét SAB vuông tại A, ta có: tan S· BA SA AB.tan S· BA a.tan 60 a 3 . AB SA.AD 2a.a 3 2a 21 Vậy d AB, SC AH . SA2 AD2 4a2 3a2 7 Chọn đáp án B. Câu 30. [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông tại A với 3d AA', BC ' BC 2a , AB a . Khi đó, tỉ số bằng a 9 3 A. B. C. 2 D. 1 2 2 Lời giải Vì AA'/ / BB 'C 'C d AA', BC ' d AA', BB 'C 'C d A, BB 'C 'C Trong ABC , kẻ AH  BC, H BC . AH  BC Vì AH  BB 'C 'C AH  BB ' AB.AC d A, BB 'C 'C AH . AB2 AC 2 Ta có: AC BC 2 AB2 4a2 a2 a 3 . AB.AC a.a 3 a 3 d A, BB 'C 'C . AB2 AC 2 a2 3a2 2 a 3 3. 3d AA', BC ' 3d A, BB 'C 'C 3 Vậy 2 . a a a 2 Chọn đáp án B. Câu 2. [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm của AB , tam giác A'CM cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết a3 3 thể tích lăng trụ bằng . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CC . 4
24. 2a 57 2a 57 2a 39 2a 39 A. . B. . C. . D. . 5 19 13 3 Lời giải Chọn đáp án B Ta có: A'CM cân tại A ' . Dựng A' H  CM H là trung điểm của CM và A' H  ABC . a2 3 a3 3 Khi đó V A' H.S A' H. A' H a ABC 4 4 d AB,CC ' d CC ', A' AB d C, A' AB CK A' H.CM A' H.CM 2a 57 Vậy CK A'M A' H 2 MH 2 19 Hoặc các em có thể tính như sau: 2.A' H.MH d C ', A' AB 2d H, A' AB A' H 2 MH 2 Câu 4. [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a 3 , BC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B 'C biết AA' a 2 . a 10 a 30 A. . B. a 2 . C. . D. 2a . 10 10 Lời giải Chọn đáp án C Gọi N là trung điểm của BB ' suy ra MN / /B 'C . Do đó d AM , B 'C d B 'C, AMN d C, AMN . Mà M là trung điểm của BC nên d B, AMN d C, AMN .
25. Ta có BA, BM , BN đôi một vuông góc với nhau. 1 1 1 1 Nên . d 2 B, AMN BA2 BM 2 BN 2 BC 1 a Mặt khác BM a, AB a 3, BN BB ' . 2 2 2 1 1 1 1 10 Suy ra 2 2 2 2 2 . d B, AMN a a 3 a 3a 2 a 30 a 30 d B, AMN d AM , B 'C 10 10 Câu 5. [1H3-5.7-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AC a, BC 2a, ACB 120 và đường thẳng A C tạo với mặt phẳng ABB A góc 30 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A B,CC . a 21 a 21 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 7 3 21 Lời giải Chọn đáp án B Kẻ CH  AB H AB CH  ABB ' A' . Nên A' H là hình chiếu vuông góc của A'C lên ABB ' A' . Do đó ·A'C, ABB ' A' C· A' H 30 . Vì ABC.A' B 'C ' là hình lăng trụ nên CC //AA CC // ABB A d A' B,CC ' d CC ', ABB ' A' d C, ABB ' A' CH . 1 a2 3 Ta có S AC.BC.sin ·ACB . ABC 2 2 AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC.cos B· CA 7a2 AB a 7 2.S a 21 a 21 CH ABC d A' B,CC ' AB 7 7
26. Câu 8. [1H3-5.7-3] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD . Gọi M là 3a trung điểm cạnh BC và SM . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AD là: 2 a 3 a Commented [A1]: MATHTYE A. . B. a. C. . D. a 2 . 2 2 Lời giải Chọn đáp án C Lấy H là hình chiếu của A lên SB . AB  BC  SA BC  SAB BC  AH AH  SB AH  SBC d A, SBC AH Ta có: Vì AD// SBC chứa SM d AD, SM d AD, SAB d A, SAB AH a 5 Tính: AM BA2 BM 2 SA SM 2 AM 2 a 2 1 1 1 a AH . AH 2 AS 2 AB2 2 Câu 10. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC tam a giác vuông tại B có AB a , BC a 3 . Biết SA khoảng cách giữa hai đường thẳng 2 SB và AC . a 39 a 30 a 30 a 30 A. . B. . C. . D. . 13 20 15 10 Lời giải
27. Chọn đáp án D Dựng Bx//AC, AE  Bx SAE  Bx Dựng AF  SE d AC, SB AF a 3 Dựng BH  AC dễ thấy AE BH 2 AE.SA a 30 Ta có: AF SA2 AE 2 10 Câu 11. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh CD, biết SA a 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM là 2a 39 2a 145 2a 39 2a 145 A. . B. . C. . D. . 3 15 13 29 Lời giải Chọn đáp án D Dựng DN //BM N là trung điểm của AB . Khi đó d SD, BM d BM , SDN d B, SDN d A, SDN Dựng AE  DN DN  SAE , dựng AF  SE AF  SE khi đó AF  SDN AF  DN Do vậy d B, SDN d A, SDN
28. AE.SA 5 2a 145 AF 2a AE 2 SA2 29 29 AN.AD 2a Với AE . AN 2 AD2 5 Câu 12. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA AC CD a 2 và AD 2BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB vàCD . a 5 a 5 a 10 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 5 5 2 Lời giải Chọn đáp án C Ta có SA  AC, SA  CD SA  ABCD . Gọi I là trung điểm của AD AI BC, AI / /BC và CI  AD . Do đó ABCI là hình vuông suy ra AB  AD . Có CD//BI CD// SBI d SB,CD d C, SBI Gọi H AC  BI và AK  SH tại K. Ta có AK  SBI d C, SBI d A, SBI AK . 1 1 1 a 10 a 10 Nên AK d C, SBI . AK 2 SA2 AH 2 5 5 Câu 13. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB a , BC a , CD a 6 , SA a 2 . Khi SA  ABCD thì khoảng cách giữa AD và SC là a 5 a 5 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Lời giải
29. Chọn đáp án C Do AD//BC d AD, SC d AD, SBC d A, SBC Kẻ AH  SB BC  AB Ta có BC  SAB BC  AH BC  SA Mà AH  SB AH  SBC AH d A, SBC 1 1 1 3 a 6 Ta có AH AH 2 AB2 AS 2 2a2 3 a 6 d AD, SC 3 Câu 14. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều ABC cạnh là a, cạnh bên SA a , SA  ABC , I là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AB là a 17 a 57 a 23 a 17 A. . B. . C. . D. . 4 19 7 7 Lời giải Chọn đáp án B Kẻ IJ //AB d SI, AB d AB, SIJ d A, SIJ Kẻ AH  SD AH d A, SIJ
30. 1 a 3 Ta có AD MC 2 4 1 1 1 19 a 57 Ta có AH AH 2 AS 2 AD2 3a2 19 a 57 d SI, AB 19 Câu 15. [1H3-5.7-3] Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C . Có CA a , CB b , cạnh SA h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là ah bh ah ah A. . B. . C. . D. . a2 h2 b2 4h2 b2 4h2 b2 2h2 Lời giải Chọn đáp án B Dựng hình bình hành ACKD d AC, SD d AC, SDK d A, SDK d . 1 1 1 Kẻ AP  DK . d 2 SA2 AP2 b Gọi M BC  DK ACMP là hình chữ nhật AP CM 2 1 1 4 bh 2 2 2 d d h b b2 4h2 Câu 17. [1H3-5.7-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . AB AC SA 2a . Gọi I là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC . 2a 10 2a 5 a 10 a 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn đáp án B Gọi E là trung điểm của cạnh AB AC//IE AC// SEI