Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 2: Thể tích khối chóp - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 2: Thể tích khối chóp - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 37. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AB 3AD . Gọi H là hình chiếu của B trên CD , M là trung điểm đoạn thẳng CH . Tính theo a thể tích 2 khối chóp S.ABM biết SA AM a và BM a . 3 3a3 3a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 9 12 9 18 Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng đáy ABC : Kẻ Ax // BC và Ax CD K , gọi N là trung điểm của BC . Khi đó do ABC cân ở A nên AN  BC và tứ giác ANBK là hình chữ nhật. Suy ra CN BN AK ; KB  BC 1 Gọi I là trung điểm của BH , do M là trung điểm đoạn thẳng CH nên MI //BC và MI BC (đường 2 trung bình của tam giác BHC . Vậy MI // AK , MI  BK và MI AK hay tứ giác AMIK là hình bình hành và I là trực tâm của tam giác BMK . Suy ra IK  BM và AM //IK nên AM  BM . 1 Vậy AMB vuông tại M . Suy ra S AM.BM . ABM 2 1 1 2 Theo giả thiết ta có: V SA.S SA.AM.BM ; với SA AM a và BM a . Suy ra S.ABM 3 ABM 6 3 1 1 a3 V SA.S SA.AM.BM . S.ABM 3 ABM 6 9 Câu 46: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4 Lời giải. Chọn B
2. S D C B A Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC , suy ra SD  ABC . Ta có SD  AB và SB  AB (gt) , suy ra AB  SBD BA  BD . Tương tự có AC  DC hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC . Từ đó ta chứng minh được SBD SCD nên cũng có DB DC . Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc B· AC . a Ta có D· AC 30 , suy ra DC . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC là 3 SD a S· BD 60 , suy ra tan S· BD SD BD tan S· BD . 3 a . BD 3 1 1 a2 3 a3 3 Vậy V .S .SD . .a . S.ABC 3 ABC 3 4 12 Câu 5: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM k,0 k 1. Khi đó giá trị của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp S.ABCD thành hai SA phần có thể tích bằng nhau là 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A SM SN Giả sử MBC cắt SD tại N . Khi đó MN//BC//AD suy ra k k 0 SA SD V SM V SM SN V k V k 2 Ta có S.MBC k, S.MNC . k 2 .Do đó: S.MBC ; S.MNC .Bài toán t/m khi VS.ABC SA VS.ADC SA SD VS.ABCD 2 VS.ABCD 2 k k2 1 1 5 k2 k 1 0 k 2 2 2 2 Câu 10: [HH12.C1.2.BT.c] (CỤM 7 TP. HCM) Cho khối lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC D . a3 a3 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 4 Lời giải Chọn A
3. 1 Ta có: V V V V V V V D.ABC D D.ABD D.BC D D .ABD B.DC D 2 D .ABCD B.DCC D 1 1 1 1 a3 VABCD.A B C D VABCD.A B C D VABCD.A B C D 2 3 3 3 3 Câu 26: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT AN LÃO) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC biết đáy ABC là tam giác vuông tại B và AD 10 , AB 10 , BC 24. Tính thể tích V của tứ diện ABCD . 1300 A. V 1200. B. V 960. C. V 400. D. V . 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 1 Ta có V AD.S AD. AB.BC AB.AD.BC 10.10.24 400. ABCD 3 ABC 3 2 6 6 Câu 27: [HH12.C1.2.BT.c] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 2 2a3 a3 2 A. . B. 2a3 2. C. . D. a3 2. 3 3 Lời giải Chọn A Đặt AB x , ABD vuông cân tại A BD x 2. Do SBD là tam giác đều SB SD BD x 2. Lại có SAB vuông tại A 2 2 SA2 AB2 SB2 a 2 x2 x 2 x2 2a2 x a 2 1 1 2 2a3 2 V .SA.S .a 2. a 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 6: [HH12.C1.2.BT.c] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC là 5a3 6 5a3 10 a3 210 a3 30 A. . B. . C. .D. . 12 12 24 12 Lời giải Chọn D
4. Gọi H là trung điểm của BC , đặt SH x, x 0 . a 2 a 5 Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với A 0;0;0 , B a 2;0;0 , C 0;a 5;0 , , H ; ;0 2 5 a 2 a 5 như hình vẽ S ; ; x 2 2 Ta có: a 2 VTCP của đường thẳng AB là i 1;0;0 , VTCP của đường thẳng AC là j 0;1;0 .  a 2 a 5 AS ; ; x 2 2 S I E G C B H M P A  a 5  VTPT của mp SAB là AS,i 0; x; n 1 2  a 2  VTPT của mp ASC là AS, j x;0; n . 2 2   a2 10 n1.n2 1 Có cos60   4 n . n 5a2 2a2 2 1 2 x2 . x2 4 4 a 3 16x4 28x2a2 30a4 0 x do x 0 . 2
5. 1 1 a 3 1 a3 30 V SH.S . . .a 2.a 5 . S.ABC 3 ABS 3 2 2 12 Cách 2: (SAB)  SAC SA , kẻ BE  SA và GH P BE , suy ra SAC , SAB GH, SAC H· GI 60. 7a2 5a2 Đặt SH h , ta tính được SA h2 và SP h2 . Vậy 4 4 2 2 5a a 2 a 2. h .h 2S BE SH.HM BE SAB 4 HG , HI 2 SA 7a2 2 SM a2 h2 h2 4 2 Tam giác GIH vuông tại I có 2 a 2 2 5a a 2 . h h. 2 4 IH 3 7a 15a 2a 3 sin 60 . 2 4 2 h4 h2 0 h HG 2 7a2 a2 4 8 4 h2 h2 4 2 1 a3 30 Vậy V AB.AC.SH . SABC 6 12 Câu 14: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD . Biết SCD tạo với ABCD một góc bằng 300 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 4 2 3 Lời giải Chọn B a 3 Gọi E là trung điểm AB , SE , SE  ABCD Gọi G là trung điểm của CD . 2 a 3 3a 3a ·SCD , ABCD S· GE 300 , EG SE.cot 300 . 3 AD BC 2 2 2 3a 3a 2 1 1 a 3 3a 2 a3 3 S AB.CD a V .SE.S . . . ABCD 2 2 3 ABCD 3 2 2 4
6. Câu 15: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT YÊN LẠC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 2a; AD a . Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 450 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 1 2 A. a3 . B. a3 . C. 2a 3 .D. a3 . 3 3 3 Câu 18: [HH12.C1.2.BT.c] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3a3 3a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 6 12 6 4 Lời giải Chọn B S A D M N H B C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD .Do AB  MN;SM AB  SMN Ta có SMN  ABCD nên hình chiếu H của S lên mp ABCD thuộc MN . a 3 a SM , SN , MN a . 2 2 2 2 2 2 a 3 a 2 2 SM SN a MN nên tam giác SMN vuông tại S . 2 2 a 3 a . SM.SN a 3 SH.MN SM.SN SH 2 2 MN a 4 1 1 a 3 a3 3 V SH.S .a2 3 ABCD 3 4 12 Câu 21: [HH12.C1.2.BT.c] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , tam giác SAB cân tại S và nằm 3a trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng . Tính thể tích V của 2 khối chóp S.ABCD . 2a3 3 A. V a3 3 . B. V 2a3 3 . C. V . D. V 3a3 3 . 3 Lời giải Chọn A
7. Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AB , CD , kẻ HK  SI . Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy suy ra SH  ABCD . CD  HI  CD  HK HK  SCD , CD//AB d d d HK suy ra  AB, SC AB, SCD H , SCD CD  SH  3a HI 2.HK 2 HK . HI AD a 3 . Trong tam giác vuông SHI ta có SH 3a . Vậy 2 HI 2 HK 2 1 1 V SH.S 3a.a2 3 a3 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 46. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Mặt phẳng P chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E . Biết góc giữa hai mặt phẳng P và BCD có số đo là 5 2 thỏa mãn tan . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V và V . 7 1 2 V Tính tỉ số 1 . V2 3 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 8 8 8 Lời giải Chọn A A E B D I H M C Gọi H , I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , E trên mặt phẳng BCD . Khi đó H , I DM với M là trung điểm BC . a 6 a 3 a 3 Ta tính được AH , DH , MH . 3 3 6
8. EI 5 2 Ta có góc giữa P với BCD P , BCD E· MD . Khi đó tan . MI 7 a 6 x. DE.AH x 6 EI 3 DE EI DI AD a 3 Gọi DE x . AD AH DH a 3 x. DE.DH 3 x 3 DI AD a 3 a 3 x 3 Khi đó MI DM DI . 2 3 x 6 EI 5 2 5 2 5 Vậy tan 3 x a . MI 7 a 3 x 3 7 8 2 3 V DE 5 V 3 Khi đó: DBCE ABCE . VABCD AD 8 VBCDE 5 Câu 8: [HH12.C1.2.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng V V V V A. .B. . C. . D. . 2 3 4 8 Lời giải Chọn D Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP . VS.MNP SM SN SP 1 V Ta có: . . nên VS.MNP . VS.ABC SA SB SC 8 8 Câu 31: [HH12.C1.2.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B , D , C . Thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 9 3 9 3 Lời giải
9. Chọn C S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3 Ta có AD  SDC AD  SD ; AB  SBC AB  SB . Do SC  AB D SC  AC . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1 . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 27: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . 1 1 1 1 A. V a3 B. V a3 .C. V a3 .D. V a3 . 12 6 8 36 Lời giải Chọn A 1 a3 Cách 1. Ta có V SA.S S.ABCD 3 ABCD 3 3 1 1 1 1 2 a VNDAC NH.S DAC . a. a 3 3 3 2 18 3 1 1 a 1 2 a VMABC MK.S ABC . . a 3 3 2 2 12 1 a3 d A, SMN .S SMN 3 18 1 1 2 1 a a3 Suy ra VNSAM NL.S SAM . a. a. . 3 3 3 2 2 18 1 1 a3 Mặt khác VC.SMN d C, SMN .S SMN d A, SMN .S SMN 3 3 18 a3 a3 a3 a3 a3 1 Vậy V V V V V V a3 . ACMN S.ABCD NSAM NADC MABC SCMN 3 18 18 12 18 12
10. Cách 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD . 1 a3 Ta có V SA.S . Vì OM //SD nên SD// AMC . S.ABCD 3 ABCD 3 Do đó d N; AMC d D; AMC d B; AMC 1 a3 V V V V V V . ACMN N.MAC D.MAC B.MAC M .BAC 4 S.ABCD 12 Câu 37. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp S.ABC . V Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. 4 .B.  C. 2 .D.  2 4 Lời giải. Chọn A S M N A C B V SA.SB.SC Ta có S.ABC 4 . VS.MNC SM.SN.SC Câu 47. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo h và . 3h3 4h3 8h3 3h3 A. . B. .C. . D. . 4 tan2 3tan2 3tan2 8tan2 Lời giải Chọn B
11. Gọi O là tâm của đáy. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO  ABCD , các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Gọi I là trung điểm của AB , ta có SI  AB suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng S· IO . SO h 2h Ta có: OI suy ra AD 2OI . Vậy thể tích hình chóp S.ABCD : tan SIO tan tan 2 1 1 2h 4h3 V SO.SABCD .h. 2 . 3 3 tan 3tan Câu 47. [HH12.C1.2.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều 3 kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . Biết rằng mặt 2 phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B. z C O B y A x S S 3 Ta có ABC ABC 1 VOABC d O, ABC SABC .d O, ABC 3 S 3 Mà ABC nên d O, ABC 2 . VOABC 2 Vậy mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R 2 .
12. Câu 43: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD . Biết AC a 2 , cạnh SC tạo với đáy góc bằng 60 và diện tích tứ giác ABCD bằng 3a2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC . Tính thể tích khối H.ABCD . 2 3a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn C S H D A I 60 B C Gọi I là hình chiếu của H lên ABCD , vì SAC  ABCD nên I AC . Ta có SA AC tan 60 a 6 . AS.AC a 6.a 2 a 6 Suy ra AH . AS 2 AC 2 a 8 2 6a2 a 2 Do đó HC AC 2 AH 2 2a2 . 4 2 a 6 a 2 . HA.HC a 6 Vì vậy HI 2 2 . AC a 2 4 1 1 a 6 3a2 a3 6 Từ đó suy ra V HI.S . . H .ABCD 3 ABCD 3 4 2 8 Câu 50: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , a 2 OB , OC đôi một vuông góc với nhau, OA , OB OC a . Gọi H là hình chiếu của điểm O 2 trên mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối tứ diện OABH . a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 6 12 24 48 Lời giải Chọn D
13. A H C O I B a 3 AB AC Từ giả thiết suy ra: ABC cân tại A có: 2 . BC a 2 Gọi I là trung điểm của BC AI  BC . Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC . Ta thấy OA  OBC Vì OB  OAC OB  AC và AC  BH nên: AC  OBH OH  AC 1 . BC  OAI OH  BC 2 Từ 1 và 2 suy ra: OH  ABC . 1 a 2 Có: OI BC OA. 2 2 1 a AOI vuông cân tại O H là trung điểm AI và OH AI . 2 2 1 1 1 1 a 2 a2 2 Khi đó: S S . .AI.BI .a. . ABH 2 ABI 2 2 4 2 8 1 1 a a2 2 a3 2 Vậy thể tích khối tứ diện OABH là: V OH.S . . . 3 ABH 3 2 8 48 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B A C D A D B D D B C D D D C C A C A C C A C C B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B D A C D B D A A A C B B D A B B C B C D D B D D Câu 27. [HH12.C1.2.BT.c] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ. 2017 4034 8068 2017 A. .B. .C. .D. . 9 81 27 27 Lời giải Chọn D
14. VAEFG SEFG 1 1 VAEFG VABCD VABCD SBCD 4 4 . VAMNP SM SN SP 8 8 8 1 2 . . VAMNP VAEFG . VABCD VABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 4 27 VQMNP 1 1 Do mặt phẳng MNP // BCD nên VQMNP VAMNP VAMNP 2 2 1 2 1 2017 V . V V . QMNP 2 27 ABCD 27 ABCD 27 Câu 25. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD BC 3 ; AC BD 4; AB CD 2 3 . Thể tích tứ diện ABCD bằng: 2047 2470 2474 2740 A. .B. . C. . D. . 12 12 12 12 Lời giải Chọn B A G B D E F C Từ các đỉnh của tam giác BCD ta kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành tam giác EFG có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác BCD . Các tam giác AEF , AFG , AGE là các tam giác vuông tại A nên ta có: AE 2 AF 2 EF 2 64 1 ; AF 2 AG2 FG2 36 2 và AE 2 AG2 EG2 48 3 . Từ 1 , 2 , 3 ta có: 2 AE 2 AF 2 AG2 148 AE 2 AF 2 AG2 74 4 . Từ 1 , 4 ta có: AG2 10 AG 10 . Từ 2 , 4 ta có: AE 2 38 AE 38 . Từ 3 , 4 ta có: AF 2 26 AF 38 . 1 1 1 Thể tích khối chóp A.EFG là: V AE.AF.AG 9880 2470 . 6 6 3
15. 1 2470 Do đó thể tích tứ diện ABCD là: V V . 4 12 Câu 37. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V .D. V . 36 9 6 18 Lời giải Chọn D S M F E I D A O B C Trong mặt phẳng SBD : EF  SO I . Suy ra A, M , I thẳng hàng. SI 2 Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM , SO cắt nhau tại I suy ra . SO 3 SE SF SI 2 Lại có EF // BD . SB SD SO 3 V SE SM 1 V SF SM 1 Ta có: S.AEM  . S.AFM  . VSABC SB SC 3 VSADC SD SC 3 V V 1 V 1 Vậy S.AEM S.AFM S.AEMF . VS.ABC VS.ADC 3 VS.ABCD 3 a 6 Góc giữa cạnh bên và đáy của S.ABCD bằng góc S· BO 60 suy ra SO BO 3 . 2 1 a3 6 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng V SO.S . S.ABCD 3 ABCD 6 a3 6 Vậy V . S.AEMF 18 Câu 49. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V .B. V . C. V . D. V . 12 6 4 9 Lời giải Chọn B
16. SAB  ABCD Gọi H là trung điểm AB , ta có SH  ABCD . SH  AB 1 1 a 3 a3 3 Ta có: V S .SH a2 . . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 36. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Gọi B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng AB D cắt SC tại C . Thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 9 3 Lời giải Chọn C S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3 Vì B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có SC  AB D . Gọi C là hình chiếu của A lên SC suy ra SC  AC mà AC  AB D A nên AC  AB D hay C SC  AB D . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1 . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3
17. a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 40. [HH12.C1.2.BT.c] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 9a3 và M là điểm nằm trên cạnh CC sao cho MC 2MC . Tính thể tích khối tứ diện AB CM theo a . A. 2a3 . B. 4a3 . C. 3a3 . D. a3 . Lời giải Chọn A Khối lăng trụ ABC.A B C được chia thành 3 khối tứ diện B .ABC ; A.A B C và A.B C C . 1 Trong đó V V V 3a3 V V 2V 3a3 . B .ABC A.A B C 3 ABC.A B C A.B C C ABC.A B C B.ABC 1 Ta lại có V V V và V V A.B C C A.B C M A.B CM A.B C M 2 A.B CM 3 2 Do đó V V V V 2a2 . A.B C C 2 A.B CM A.B CM 3 A.B C C Câu 21. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a . Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. 2a2 a2 a2 a2 A. . B. . C. . D. 3 3 2 4 3 4 Lời giải Chọn D
18. Gọi M , N , P , Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên SA , SB , SC , SD SO  ABCD và H SO  MNPQ . Do SH  MNPQ MNPQ P ABCD SH SM SN SP SQ Đặt k k 0 và V V . SO SA SB SC SD S.ABCD VS.MNPQ VS.MNP VS.MPQ 1 SM SN SP SM SP SQ 1 3 3 3 Ta có . . . . k k k V 2VS.ABC 2VS.ACD 2 SA SB SC SA SC SD 2 V 1 1 Theo ycbt: S.MNPQ k 3 k . V 2 3 2 1 SH.S 1 V MNPQ S Mặt khác S.MNPQ 3 k. MNPQ 2 V 1 S SO.S ABCD 3 ABCD 1 3 2 a2 S .S .a2 . MNPQ 2k ABCD 2 3 4 Câu 37. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là SM SN hình thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho k . Tìm SB SD 1 giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng . 8 1 2 2 1 A. k . B. k . C. k . D. k . 8 2 4 4 Lời giải Chọn C V SA SM SN Ta có S.AMN . . k 2. VS.ABD SA SB SD 1 1 1 2 Mà V , V V 1 k 2 k . S.AMN 8 S.ABD 2 S.ABCD 8 4 Câu 38. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE 3EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.
19. V V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 5 Lời giải Chọn A VB.ECD BE AC AD 1 1 . . VB.ECD VE.BCD V VA.BCD BA AC AD 4 4 Câu 39. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Tính thể tích V của khối tứ diện G1G2G3G4 . 2 2 9 2 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 4 18 32 12 Lời giải Chọn D Tứ diện đều ABCD AG1  BCD . d G ; G G G 1 2 3 4 MG2 1 Ta có ngay G2G3G4 / / BCD . G1 A MA 3 BC 2 2 6 Cạnh CG1 3 G1 A AC G1C 6 d G1; G2G3G4 . 3 3 G G AG 2 2 1 Lại có 2 3 2 G G MN BD 1. MN AM 3 2 3 3 3 Tương tự G3G4 1, G4G2 1 G2G3G3 là tam giác đều có cạnh bằng 1 1 0 3 1 2 SG G G G2G3.G3G4 sin 60 VG G G G d G1; G2G3G4 .SG G G . 2 3 4 2 4 1 2 3 4 3 2 3 4 12 Câu 42. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có AC 2a , góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABCD bằng 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a . a3 2 2 3a3 a3 A. V . B. V . C. V a3 2 . D. V . 3 3 2
20. Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BC , suy ra OM  BC . Ta có ·SBC ; ABCD S·MO 45. Ta có AC 2 AB2 BC 2 4a2 AB BC a 2 . 1 a 2 a 2 a 2 OM AB SO .tan 45 . 2 2 2 2 1 1 a 2 2 2a3 Vậy V .SO.S . . a 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 2 3 Câu 13. [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thoả mãn AB a AC a 3 , BC 2a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC bằng a 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 2a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 5 3 5 3 3 5 Lời giải Chọn A S I A D H B K C Ta có BC 2 AB2 AC 2 ABC vuông tại A . CD  SC   CD  SAC SAC  ABCD . CD  AC Kẻ SH  AC , H AC SH  ABCD . BC  SK  Gọi K là trung điểm BC .  BC  SHK BC  HK . BC  SH  Kẻ HI  SK, I SK HI  SBC d H; SBC HI . AD // SBC d A; SBC d D; SBC . HK CH CK 1 2 2a 3 a CKH : CAB (g.g) HC AC , HK . AB BC CA 3 3 3 3
21. d A; SBC AC 3 2a 3 HI . d H; SBC HC 2 9 1 1 1 1 81 3 15 2a SH . HI 2 HK 2 SH 2 SH 2 12a2 a2 4a2 15 1 2a 2a3 Thể tích cần tìm là V .a2 3 . 3 15 3 3 Câu 26: [HH12.C1.2.BT.c] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích là V . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AC , AD , BD , BC . Thể tích khối chóp AMNPQ là V V V V 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 3 Lời giải Chọn C Ta có VAMNPQ 2VAPMQ (do MNPQ là hình thoi), AB // MQ VAPMQ VBPMQ 1 Mặt khác do P là trung điểm của BD nên d P, ABC d D, ABC , đồng thời 2 1 1 1 1 SBQM SABC VBPMQ d P, ABC .SBQM d D, ABC . SABC 4 3 6 4 1 1 V V . d D, ABC .SABC VAMNPQ . 8 3 8 4 Câu 4: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hình chiếu vuông góc   của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI 3IH . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là 60o . Thể tích của khối chóp S.ABC là: a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 6 18 3 Lời giải Chọn A
22. Cách 1: Dễ thấy hai tam giác SAB và SAC bằng nhau ( cạnh chung SB ), gọi K là chân đường cao hạ từ A trong tam giác SAB suy ra SAB , SBC ·AKC . TH1: ·AKC 60 kết hợp I là trung điểm AC suy ra I·KC 30 . AC a 2 4 2a 2 Ta có IB IC , BH BI . 2 2 3 3 Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B ta được AC  BI IC  IK . IC IC a 6 Trong tam giác ICK vuông tại I có tan I·KC IK . IK tan 30 2 Như vậy IK IB ( vô lý). · · IC IC a 6 TH2: AKC 120 tương tự phần trên ta có tan IKC IK . IK tan 60 6 a 3 Do SB  AKC SB  IK nên tam giác BIK vuông tại K và BK IB2 IK 2 . 3 IK.BH 2a Như vậy tam giác BKI đồng dạng với tam giác BHS suy ra: SH . BK 3 1 a2 2a a3 Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: V . . S.ABC 3 2 3 9 Cách 2: dùng phương pháp tọa độ hóa. Câu 7: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh AD , cạnh SB hợp với đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 15 a3 15 a3 5 a3 15 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 6 3 Lời giải Chọn B
23. S 60 A B H D C Gọi H là trung điểm của cạnh AD . Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD nên SH  ABCD . Cạnh SB hợp với đáy một góc 60 , do đó: S· BH 60 . 2 2 2 2 a a 5 Xét tam giác AHB vuông tại A : HB AH AB a . 2 2 Xét tam giác SBH vuông tại H : SH a 5 a 15 tan S· BH SH BH.tan S· BH SH tan 60 . BH 2 2 2 Diện tích đáy ABCD là: SABCD a . 1 1 a 15 a3 15 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V .S .SH a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 17: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có thể tích bằng 36cm3 . Gọi M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABCD . Tính thể tích V của khối chóp M.A B C D . A. V 12cm3 . B. V 24cm3 . C. V 16cm3 . D. V 18cm3 . Lời giải Chọn A Gọi h là chiều cao của lăng trụ, S SA B C D . 1 V Ta có: V h.S ; V V h.S ABCD.A B C D 12cm3 . ABCD.A B C D M .A B C D 3 3 Câu 36: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng 1 P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , F . Biết V V . Tính S.AEF 4 S.ABC thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 a3 2a3 a3 A. V .B. V . C. V . D. V . 2 8 5 12 Lời giải Chọn B
24. S F H E A C M B Ta có BC  SM . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do FE P  SBC FE  SM FE PBC và FE đi qua H . 2 1 SE SF 1 SH 1 SH 1 VS.AEF VS.ABC . . Vậy H là trung điểm cạnh SM . Suy 4 SB SC 4 SM 4 SM 2 a 3 ra SAM vuông cân tại A SA . 2 1 a 3 a2 3 a3 Vậy V . . . SABC 3 2 4 8 Câu 39: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 4V V V 4V A. . B. . C. . D. . 9 27 9 27 Lời giải Chọn C Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . VAMNP 8 8 2 Ta có VAMNP VAEFI V . VAEFI 9 9 9 1 1 1 1 1 V VMNPQ d Q, MNP .SMNP d A, MNP .SMNP d Q, MNP .SMNP VAMNP . 3 3 2 6 2 9 Câu 50: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có 3 thể tích bằng 48cm . Gọi M , N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC , BC và B C , khi đó thể tích V của khối chóp A .MNP là
25. 16 A. cm3 . B. 8cm3 . C. 24cm3 . D. 12cm3 . 3 Lời giải Chọn B Ta có: 1 1 2 + VA .ABC S ABC .d A , ABC VABC.A B C VA .BCC B VABC.A B C 3 3 3 1 1 1 1 + VA .MNP S MNP.d A , MNP . SBB C C .d A , BB C C VA .BB C C 3 3 4 4 1 1 (Vì: S MNP SCC PN SBB C C và d A , MNP d A , BB C C ) 2 4 1 Suy ra: V V 8cm3. A .MNP 6 ABC.A B C Câu 38: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB a , BC 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , mặt phẳng SAG tạo với đáy một góc 60 . Thể tích khối tứ diện ACGS bằng a3 6 a3 6 a3 3 a3 6 A. V B. V C. V D. V 36 18 27 12 Lời giải Chọn A S K A I C G H N B 1 1 a2 Ta có: S .AB.BC a2 S S . ABC 2 ACG 3 ABC 3 Gọi H là trung điểm của AB SH  ABC .
26. Gọi N là trung điểm của BC , I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI . Ta có AB BN a BI  AN HK  AN . Do AG  SHK nên góc giữa SAG và đáy là S· KH 60 . 1 a 2 1 a 2 a 6 Ta có: BI AN HK BI , SH SK.tan 60 . 2 2 2 4 4 1 a3 6 Vậy V V V .SH.S . ACGS S.ACG 3 ACG 36 Câu 37: [HH12.C1.2.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B , D lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD . Mặt phẳng qua AB D cắt cạnh SC tại C . Khi đó thể tích khối chóp S.AB C D bằng V 2V V 3 V A. .B. . C. .D. . 3 3 3 6 Lời giải Chọn D S S K C D C d B H H A D A B O O C C Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì SO  B D H . Khi đó H là trung điểm của SO và C AH  SO . Trong mặt phẳng SAC : Ta kẻ d //AC và AC cắt d tại K . Khi đó áp dụng tính đồng dạng OH OA SK 1 SK SC 1 SC 1 của các tam giác ta có: 1 SK OA ; . SH SK AC 2 AC CC 2 SC 3 1 V VS.AB D SA SB SD 1 1 Vì VS.ABD VS.BCD .VS.ABCD nên ta có   VS.AB D V và 2 2 VS.ABD SA SB SD 4 8 VS.B C D SB SC SD 1 SC SC V    VS.B C D  . VS.BCD SB SC SD 4 SC SC 8 1 SC V V SC V Suy ra VS.AB C D VS.AB D VS.B C D V  1 . 8 SC 8 8 SC 6 Câu 37: [HH12.C1.2.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ·ABC 1200 , SA  ABCD . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng 60 . Tính SA a 3 a 6 a 6 A. B. . C. a 6 D. 2 2 4 Lời giải Chọn D