Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 5: Cực trị trong hình học không gian - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Bài 5: Cực trị trong hình học không gian - Mức độ 3.3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 12: [HH12.C1.5.BT.c] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? B M Q C M Q B,C A D N P x N P x 24cm A,D A. x 9 . B. x 8 . C. x 10 . D. x 6 . Lời giải Chọn B M Q B I N P x x A 2 Gọi I là trung điểm NP IA đường cao của ANP cân tại A AI x2 12 x = 1 24 x 6 diện tích đáy S .NP.AI 12 x . 24 x 6 , với 6 x 12 thể tích ANP 2 khối lăng trụ là V SANP .MN a. 12 x . 24 x 6 (đặt MN a : hằng số dương) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 12 x . 24 x 6 , 6 x 12 : 12 12 x 36x 288 + y 24 x 6 = , y 0 x 8 6;12 24 x 6 24 x 6 + Tính giá trị: y 8 16 3 , y 6 0 , y 12 0 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x 8 . Câu 13: [HH12.C1.5.BT.c] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8. B. 8 2 .C. 16 2 . D. 24 3 . Lời giải Chọn C Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c 0 Ta có AC 2 a2 b2 c2 36;S 2ab 2bc 2ca 36 (a b c)2 72 a b c 6 2
2. 3 3 a b c a b c 6 2 3 abc abc 16 2 . Vậy V 16 2 . Max 3 3 3 Câu 14: [HH12.C1.5.BT.c] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , SA SB SC a. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 3a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. .D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn D S a a a A D a H O B a C Kẻ SH  ABCD tại H H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .Mà ABC cân tại B và AC  BD H BD. Gọi O là giao điểm AC và BD . Ta có: OB2 AB2 OA2 a2 SA2 SO2 SO2 SO OB OD SBD vuông tại S . 1 1 1 1 1 SH.BD SB.SD V SH.S SH. AC.BD SB.SD.AC a.AC.SD 3 ABCD 3 2 6 6 Lại có SD BD2 SB2 BD2 a2 . BD2 Mà AC 2OA 2 AB2 OB2 2 a2 4a2 BD2 . 4 2 2 2 2 1 a 4a BD BD a a3 V a. 4a2 BD2 . BD2 a2 . . 6 6 2 4 Câu 17: [HH12.C1.5.BT.c] (THPT TIÊN DU SỐ 1) Người thợ cần làm một cái bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3 . Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. a 3,6 m, b 0,6 m, c 0,6 m . B. a 2,4 m, b 0,9 m, c 0,6 m . C. a 1,8 m, b 1,2 m, c 0,6 m . D. a 1,2 m, b 1,2 m, c 0,9 m .
3. Câu 14: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. a3 6 a3 6 a3 6 A. V a3 6 . B. V . C. V .D. V . max max 2 max 3 max 6 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC  AH  SBC . Ta có AH AS . Dấu '' '' xảy ra khi AS  SBC . 1 1 S SB.SC.sin B· SC SB.SC . SBC 2 2 Dấu '' '' xảy ra khi SB  SC . 1 1 1 1 Khi đó V S SBC .AH SB  SC AS SA.SB.SC 3 3 2 6 Dấu '' '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. 1 a3 6 Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là V SA.SB.SC . max 6 6 Câu 16: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 40 80 20 A. V . B. V . C. V . D. V 24 . max 3 max 3 max 3 max Lời giải Chọn A S 6 A 4 B x D C Đặt cạnh BC x 0.
4. Tam giác vuông ABC, có AC 2 16 x2. Tam giác vuông SAC, có SA SC 2 AC 2 20 x2 . Diện tích hình chữ nhật SABCD AB.BC 4x. 1 4 Thể tích khối chóp V S .SA x 20 x2 . S.ABCD 3 ABCD 3 Áp dụng BĐT Côsi, ta có 2 x2 20 x2 x. 20 x2 10 . 2 4 40 Suy ra V .10 . S.ABCD 3 3 40 Dấu " " xảy ra x 20 x2 x 10 . Vậy V . max 3 4 Cách 2. Xét hàm số f x x 20 x2 trên 0;2 5 . 3 Câu 17: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 2 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V . max 6 max 12 max 12 max 12 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều SO  ABC . x2 3 Đặt AB x 0. Diện tích tam giác đều S . ABC 4 x 3 2 x 3 Gọi M là trung điểm BC AM OA AM . 2 3 3 x2 Tam giác vuông SOA, có SO SA2 OA2 1 . 3 1 1 x2 3 3 x2 1 Khi đó V S .SO . . .x2 3 x2 . S.ABC 3 ABC 3 4 3 12 1 1 Xét hàm f x .x2 3 x2 trên 0; 3 , ta được max f x f 2 . 12 0; 3 6
5. Câu 18: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD 4 . Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 130 128 125 250 A. V .B. V . C. V . D. V . max 3 max 3 max 3 max 3 Lời giải Chọn B S 6 x B A O 4 C D Gọi O AC  BD. Vì SA SB SC SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO  ABCD . Đặt AB x 0. Tam giác vuông ABC, có AC AB2 BC 2 x2 16. AC 2 128 x2 Tam giác vuông SOA, có SO SA2 AO2 SA2 4 2 2 1 1 128 x 1 2 1 2 2 128 Khi đó VS.ABCD SABCD .SO .4x. . 2x 128 x . x 128 x . 3 3 2 3 3 3 128 Dấu '' '' xảy ra x 128 x2 x 8. Suy ra V . S.ABCD 3 Câu 20: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD 4a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 8a3 4 6 A. V . B. V a3 . C. V 8a3 . D. V 4 6 a3. max 3 max 3 max max Lời giải Chọn A S A D H B C Do SA SB SC SD a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Gọi H AC  BD , suy ra SH  ABCD .
6. Đặt AB x 0. Ta có AC AD2 AB2 x2 16a2 . AC 2 8a2 x2 Tam giác vuông SHA, có SH SA2 . 4 2 1 1 Khi đó V S .SH AB.AD.SH S.ABCD 3 ABCD 3 1 8a2 x2 a a 8a3 .x.4a. 2x 8a2 x2 x2 8a2 x2 . 3 2 3 3 3 Câu 22: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SC 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 3 2 2 3 3 A. V . B. V . C. V .D. V . max 12 max 12 max 27 max 27 Lời giải Chọn D S 1 A B x x C Giả sử CA CB x 0.Suy ra SA SC 2 AC 2 1 x2 . 1 1 Diện tích tam giác S CA.CB x2. ABC 2 2 1 1 Khi đó V S .SA x2 1 x2 . S.ABC 3 ABC 6 1 2 2 2 3 Xét hàm f x x 1 x trên 0;1 , ta được max f x f . 6 0;1 3 27 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 1 x x 2 2x 2 3 Cách 2. Ta có x 1 x x .x . 2 2x . 2 2 3 9 Câu 24: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y y 0 và vuông góc với mặt đáy ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt 2 2 2 AM x 0 x a . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.ABCM , biết x y a . a3 3 a3 3 A. V . .B. V . C. ABCD . D. S.ABCD max 3 max 8 Lời giải Chọn B
7. S y A a x B M a D C Từ x2 y2 a2 y a2 x2 . BC AM a x Diện tích mặt đáy SABCM .AB a. 2 2 1 Thể tích khối chóp V S .SA S.ABCM 3 ABCM 1 a x 2 2 a 2 2 . .a a x a x a x . 3 2 6 2 2 2 a 3 3a Xét hàm f x a x a x trên 0;a , ta được max f x f . 0;a 2 4 a3 3 Suy ra V . max 8 Câu 29: [HH12.C1.5.BT.c] Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC a, SB b, SC c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho. abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 A. V . B. V . C. V . D. V . max 4 max 8 max 12 max 24 . . Lời giải Chọn D S c z b A y C x a B x2 y2 a2 2 2 2 Đặt AB x, AC y, AS z. Ta có x z b . 2 2 2 y z c xyz 2xy 2yz 2zx Khi đó V  V 2 6 288 2 2 2 2 2 2 x y y z z x a2b2c2 abc 2  V . 288 288 24 Dấu '' '' xảy ra khi x y z  a b c. .
8. Câu 30: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao SM SN cho m 0, n 0. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp S.AMN biết SB SD max 2m2 3n2 1. a3 a3 6 a3 A. V .B. V . C. ABCD . D. V . max 6 max 72 max 48 Lời giải Chọn B S M N B A D C a3 Thể tích khối chóp S.ABD là V . S.ABD 6 3 VS.AMN SM SN mna Ta có . mn  VS.AMN mn.VS.ABD . VS.ABD SB SD 6 2.m. 3.n 2m2 3n2 1 Mặt khác mn . 6 2 6 2 6 2m 3n 1 1 a3 6 Dấu '' '' xảy ra m ;n . Suy ra V . 2 2 S.AMN 2m 3n 1 2 6 72 Câu 32: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu? A. 3 4V . B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V . Lời giải Chọn A Gọi h 0 là chiều cao lăng trụ; a 0 là độ dài cạnh đáy. a2 3 4V Theo giả thiết ta có V S .h .h  h . day 4 a2 3 a2 3 4V Diện tích toàn phần của lăng trụ: S S S 3a. . tp 2 day xung quanh 2 a2 3 a2 3 4 3V Áp dụng BĐT Côsi, ta có S toan phan 2 a a2 3 2 3V 2 3V a2 2 2 3V 2 3V 33 . . 33 6 2V 2 2 a a 2 a a a2 3 2 3V 2 3V Dấu '' '' xảy ra khi a 3 4V 2 a a
9. Câu 33: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có SA x 0 x 3 , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? 3 2 6 3 A. x . B. x .C. x . D. x . 3 2 2 2 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm của hình thoi ABCD OA OC . 1 Theo bài ra, ta có SBD CBD OS OC. 2 1 Từ 1 và 2 , ta có OS OA OC AC SAC vuông tại S AC x2 1 . 2 x2 1 3 x2 Suy ra OA và OB AB2 OA2 . 2 2 S B A H O C D x2 1 3 x2 Diện tích hình thoi S 2.OA.OB . ABCD 2 Ta có SB SC SD 1, suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD  H AC. SA.SC x Trong tam giác vuông SAC , ta có SH . SA2 SC 2 x2 1 2 2 x 1 3 x 2 2 1 x 1 2 1 x 3 x 1 Khi đó VS.ABCD . x 3 x . . 3 2 x2 1 6 6 2 4 1 6 Suy ra V . Dấu '' '' xảy ra x 3 x2 x S.ABCD 4 2 Câu 34: [HH12.C1.5.BT.c] (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 1 3 2 2 A. cos .B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 2 3 Lời giải Chọn B
10. Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH  SM H SM . 1 Tam giác ABC cân suy ra BC  AM. Mà SA  ABC SA  BC . Suy ra BC  SAM AH  BC. 2 Từ 1 và 2 , suy ra AH  SBC nên d A, SBC AH 3. 3 Tam giác vuông AMH, có AM . sin 3 Tam giác vuông SAM , có SA AM.tan . cos Tam giác vuông cân ABC, BC 2AM. 1 9 9 Diện tích tam giác S BC.AM AM 2 . ABC 2 sin2 1 cos2 1 9 Khi đó V S .SA . 3 ABC 1 cos2 .cos 2 27 3 Xét hàm f x 1 cos2 x .cos x , ta được f x . Suy ra V . 3 3 2 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi cos . 3 1 Cách 2. Đặt AB AC x; SA y . Khi đó V x2 y. S.ABC 6 1 1 1 1 1 1 3 Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên 2 2 2 2 3 4 2 . 9 d A, SBC x x y x y 1 27 3 Suy ra x2 y 81 3  V x2 y . SABC 6 2 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y 3 3  cos 3 Câu 35: [HH12.C1.5.BT.c] Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2, S· AB S· CB 900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. a 10 A. AB .B. AB a 3 . C. AB 2a . D. AB 3a 5. 2 Lời giải Chọn B
11. S H D C A B Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông. AB  AD Ta có  AB  SAD  AB  SD . · 0 SAB 90 AB  SA Tương tự, ta cũng có BC  SD . Từ đó suy ra SD  ABDC . Kẻ DH  SC H SC  DH  SBC . Khi đó d A, SBC d D, SBC DH. Đặt AB x 0. 1 1 1 1 1 1 Trong tam giác vuông SDC, có 2 2 2 2 2 2 . DH SD DC a 2 SD x ax 2 Suy ra SD . x2 2a2 1 1 ax3 2 a 2 x3 Thể tích khối chóp VS.ABC VS.ABCD . . . 2 6 x2 2a2 6 x2 2a2 x3 Xét hàm f x trên a 2; , ta được min f x f a 3 3 3a2 x2 2a2 a 2; Câu 39: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB x, AD 3, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABB A bằng 300. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 3 15 3 6 3 3 3 5 A. x .B. x . C. x . D. x . 5 2 2 5 Lời giải Chọn B Vì ABCD.A B C D là hình hộp chữ nhật suy ra BC  ABB A . Khi đó A B là hình chiếu của A C trên mặt phẳng ABB A . Suy ra 300 ·A C, ABB A ·A C, A B C· A B. Đặt BB h h 0 .
12. D' C' A' B' h D C 3 A x B Tam giác vuông A B B, có A B A B 2 BB 2 x2 h2 . BC 3 Tam giác vuông A BC, có tan C· A B tan 300 x2 h2 27. A B x2 h2 Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D là V BB .SABCD 3xh. x2 h2 27 81 81 Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3xh 3 3. Vmax . 2 2 2 2 x h 0 27 3 6 Dấu " " xảy ra x2 x . . 2 2 x h 27 2 2 Câu 40: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho. A. Vmax 16 2 . B. Vmax 12 .C. Vmax 8 2 . D. Vmax 6 6. Lời giải Chọn C Giả sử a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là a2 b2 c2 Tổng diện tích các mặt là 2 ab bc ca . 2 ab bc ca 36 ab bc ca 18 Theo giả thiết ta có . 2 2 2 2 2 2 a b c 6 a b c 36 Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V abc. Ta có a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 72 a b c 6 2. 2 Ta có b c 2 4bc 6 2 a 4 18 a 6 2 a 0 a 4 2. Khi đó V abc a 18 a b c a 18 a 6 2 a a3 6 2a2 18a 3 2 Xét hàm số f a a 6 2a 18a với a 0;4 2 , ta được max f x f 2 f 4 2 8 2. 0;4 2 3 a b c Nhận xét. Nếu sử dụng V abc 16 2 thì sai vì dấu '' '' không xảy ra. 3 Câu 41: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập
13. phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S. 1 16 32 48 A. S . B. S . C. S .D. S . max 10 max 5 max 5 max 5 Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a b c . ● Hình hộp chữ nhật có: V abc và Stp 2 ab ac bc . 3 2 ● Hình lập phương có: V ' a b c và S 'tp 6 a b c . 2 S a b c Suy ra S 1 3. . S2 ab bc ca 3 3 3 a b c bc b c b c Ta có a b c 32abc 3 32 2 1 32 . . a a a a a a b x 3 a 3 x y 1 Đặt  x y 1 32xy xy . c 32 y a 2 2 x y 1 x y 1 t 2 Khi đó S 3. 3. t x y 1 1 S 96. . x y xy x y 1 3 t3 32t 32 x y 32 Ta có x y 1 3 32xy 8 x y 2  t3 8 t 1 2  t3 8t 2 16t 8 0 2 t 3 5 . t 2 1 Xét hàm f t trên đoạn 2;3 5 , ta được max f t f 4 3 t 32t 32 2;3 5 10 Câu 42: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có SA 1, SB 2, SC 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Mặt phẳng đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại 1 1 1 M , N, P . Tính giá trị nhỏ nhất T của biểu thức T . min SM 2 SN 2 SP2 2 3 18 A. T . B. T .C. T . D. T 6. min 7 min 7 min 7 min Lời giải Chọn C  1    Do G là trọng tâm ABC  SG SA SB SC 3 SG  1 SA  SB  SC   1 SA  SB  SC   .SI SM SN SP SI SM SN SP . SI 3 SM SN SP 6 SM SN SP 1 SA SB SC SA SB SC Do I, M , N, P đồng phẳng nên 1  6. 6 SM SN SP SM SN SP Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có 2 1 1 1 2 2 2 SA SB SC 2 2 2 SA SB SC SM SN SP SM SN SP
14. 36 18 Suy ra T . SA2 SB2 SC 2 7 Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp đặc biệt SA, SB, SC đôi một vuông góc và tọa độ hóa như sau: S  O 0;0;0 , A 1;0;0 , B 0;2;0 và 1 2 1 1 1 C 0;0;3 . Suy ra G ; ;1  I ; ; . 3 3 6 3 2 Khi đó mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại M a;0;0 , N 0;b;0 , P 0;0;c x y z 1 1 1  : 1 và T . a b c a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vì I ; ;  : . . . 1. 6 3 2 6 a 3 b 2 c 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 Ta có 1 . . . 2 2 2 . 2 2 2  T 6 a 3 b 2 c 6 3 2 a b c 7 Câu 43: [HH12.C1.5.BT.c] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB; mặt phẳng di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.MNKQ . V V 3V 2V A. V .B. V . C. V . D. V . max 2 max 3 max 4 max 3 Lời giải Chọn B SK Gọi a 0 a 1 . SC Vì mặt phẳng di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai SA SC SB SD điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức SM SK SN SQ 1 3 SD SQ 2a 2  . a 2 SQ SD 2 a S M N Q P A D B C VS.MNKQ 1 SM SN SK SM SK SQ 1 4a 2 2a 1 Ta có . . . . . VS.ABCD 2 SA SB SC SA SC SD 2 3 a 2 3 a 2 2a 1 1 Xét hàm f a . trên đoạn 0;1, ta được max f a f 1 3 a 2 0;1 3
15. Câu 31: [HH12.C1.5.BT.c] Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 6 3 cm3 . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu? A. Cạnh đáy bằng 2 6cm và cạnh bên bằng 1cm . B. Cạnh đáy bằng 2 3cm và cạnh bên bằng 2cm . C. Cạnh đáy bằng 2 2cm và cạnh bên bằng 3cm . 1 D. Cạnh đáy bằng 4 3cm và cạnh bên bằng cm . 2 Lời giải Chọn B Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là ABC.A B C có độ dài AB x, AA h. 3 3 Khi đó S x2 và V S .AA x2h. ABC 4 ABC.A B C ABC 4 3 24 Theo giả thiết x2h 6 3 h . 4 x2 Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụA BC.A B C là nhỏ nhất. Gọi Stp là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ ABC.A B C , ta có 3 3 72 S 2S 3S x2 3hx x2 . tp ABC ABB A 2 2 x 3 72 Khảo sát f x x2 trên 0; , ta được f x nhỏ nhất khi x 2 3 . 2 x Với x 2 3 cm h 2cm. Chọn B Câu 32: [HH12.C1.5.BT.c] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 80cm 50cm . Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn nhất Vmax của hộp tạo thành.
16. 3 3 A. Vmax 18000cm . B. Vmax 28000cm . 3 3 C. Vmax 38000cm . D. Vmax 8000cm . Lời giải Chọn A Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80 2x cm , chiều rộng 50 2x cm , chiều cao x cm . Suy ra thể tích thùng tạo thành V x 80 2x 50 2x 4x3 260x2 4000x . Khảo sát f x 4x3 260x2 4000x trên 0;25 , được max f x f 10 18000cm3 0;25 Câu 33: [HH12.C1.5.BT.c] Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm 40cm . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng xcm , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 20 10 A. x cm . B. x 4cm . C. x 5cm . D. x cm . 3 3 Lời giải Chọn A 60 3x Các kích thước khối hộp lần lượt là: ; 40 2x ; x . 2 60 3x 3 2 Khi đó Vhop 40 2x x 3x 120x 1200x f x . 2 20 Khảo sát hàm f x với 0 x 20 , ta được f x lớn nhất khi x . 3 Chọn A