Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 2: Thể tích khối chóp - Dạng 4: Các khối chóp khác - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 2: Thể tích khối chóp - Dạng 4: Các khối chóp khác - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 46: [2H1-2.4-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4 Lời giải. Chọn B S D C B A Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC , suy ra SD  ABC . Ta có SD  AB và SB  AB (gt) , suy ra AB  SBD BA  BD . Tương tự có AC  DC hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC . Từ đó ta chứng minh được SBD SCD nên cũng có DB DC . Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc B· AC . a Ta có D· AC 30 , suy ra DC . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC là 3 SD a S· BD 60 , suy ra tan S· BD SD BD tan S· BD . 3 a . BD 3 1 1 a2 3 a3 3 Vậy V .S .SD . .a . S.ABC 3 ABC 3 4 12 Câu 43: [2H1-2.4-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD . Biết AC a 2 , cạnh SC tạo với đáy góc bằng 60 và diện tích tứ giác ABCD 3a2 bằng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC . Tính thể tích khối H.ABCD . 2 3a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn C
2. S H D A I 60 B C Gọi I là hình chiếu của H lên ABCD , vì SAC  ABCD nên I AC . Ta có SA AC tan 60 a 6 . AS.AC a 6.a 2 a 6 Suy ra AH . AS 2 AC 2 a 8 2 6a2 a 2 Do đó HC AC 2 AH 2 2a2 . 4 2 a 6 a 2 . HA.HC a 6 Vì vậy HI 2 2 . AC a 2 4 1 1 a 6 3a2 a3 6 Từ đó suy ra V HI.S . . H .ABCD 3 ABCD 3 4 2 8 Câu 25. [2H1-2.4-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD BC 3 ; AC BD 4; AB CD 2 3 . Thể tích tứ diện ABCD bằng: 2047 2470 2474 2740 A. .B. . C. . D. . 12 12 12 12 Lời giải Chọn B A G B D E F C Từ các đỉnh của tam giác BCD ta kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành tam giác EFG có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác BCD .
3. Các tam giác AEF , AFG , AGE là các tam giác vuông tại A nên ta có: AE 2 AF 2 EF 2 64 1 ; AF 2 AG2 FG2 36 2 và AE 2 AG2 EG2 48 3 . Từ 1 , 2 , 3 ta có: 2 AE 2 AF 2 AG2 148 AE 2 AF 2 AG2 74 4 . Từ 1 , 4 ta có: AG2 10 AG 10 . Từ 2 , 4 ta có: AE 2 38 AE 38 . Từ 3 , 4 ta có: AF 2 26 AF 38 . 1 1 1 Thể tích khối chóp A.EFG là: V AE.AF.AG 9880 2470 . 6 6 3 1 2470 Do đó thể tích tứ diện ABCD là: V V . 4 12 Câu 13. [2H1-2.4-3] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thoả mãn AB a AC a 3 , BC 2a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC a 3 bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 2a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 5 3 5 3 3 5 Lời giải Chọn A S I A D H B K C Ta có BC 2 AB2 AC 2 ABC vuông tại A . CD  SC   CD  SAC SAC  ABCD . CD  AC Kẻ SH  AC , H AC SH  ABCD . BC  SK  Gọi K là trung điểm BC .  BC  SHK BC  HK . BC  SH  Kẻ HI  SK, I SK HI  SBC d H; SBC HI . AD // SBC d A; SBC d D; SBC . HK CH CK 1 2 2a 3 a CKH : CAB (g.g) HC AC , HK . AB BC CA 3 3 3 3 d A; SBC AC 3 2a 3 HI . d H; SBC HC 2 9
4. 1 1 1 1 81 3 15 2a SH . HI 2 HK 2 SH 2 SH 2 12a2 a2 4a2 15 1 2a 2a3 Thể tích cần tìm là V .a2 3 . 3 15 3 3 Câu 4: [2H1-2.4-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hình chiếu vuông góc   của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI 3IH . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là 60o . Thể tích của khối chóp S.ABC là: a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 6 18 3 Lời giải Chọn A Cách 1: Dễ thấy hai tam giác SAB và SAC bằng nhau ( cạnh chung SB ), gọi K là chân đường cao hạ từ A trong tam giác SAB suy ra SAB , SBC ·AKC . TH1: ·AKC 60 kết hợp I là trung điểm AC suy ra I·KC 30 . AC a 2 4 2a 2 Ta có IB IC , BH BI . 2 2 3 3 Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B ta được AC  BI IC  IK . IC IC a 6 Trong tam giác ICK vuông tại I có tan I·KC IK . IK tan 30 2 Như vậy IK IB ( vô lý). · · IC IC a 6 TH2: AKC 120 tương tự phần trên ta có tan IKC IK . IK tan 60 6 a 3 Do SB  AKC SB  IK nên tam giác BIK vuông tại K và BK IB2 IK 2 . 3 IK.BH 2a Như vậy tam giác BKI đồng dạng với tam giác BHS suy ra: SH . BK 3 1 a2 2a a3 Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: V . . S.ABC 3 2 3 9 Cách 2: dùng phương pháp tọa độ hóa.
5. Câu 17: [2H1-2.4-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có thể tích bằng 36cm3 . Gọi M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABCD . Tính thể tích V của khối chóp M.A B C D . A. V 12cm3 . B. V 24cm3 . C. V 16cm3 . D. V 18cm3 . Lời giải Chọn A Gọi h là chiều cao của lăng trụ, S SA B C D . 1 V Ta có: V h.S ; V V h.S ABCD.A B C D 12cm3 . ABCD.A B C D M .A B C D 3 3 Câu 50: [2H1-2.4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có thể 3 tích bằng 48cm . Gọi M , N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC , BC và B C , khi đó thể tích V của khối chóp A .MNP là 16 A. cm3 . B. 8cm3 . C. 24cm3 . D. 12cm3 . 3 Lời giải Chọn B Ta có: 1 1 2 + VA .ABC S ABC .d A , ABC VABC.A B C VA .BCC B VABC.A B C 3 3 3 1 1 1 1 + VA .MNP S MNP.d A , MNP . SBB C C .d A , BB C C VA .BB C C 3 3 4 4 1 1 (Vì: S MNP SCC PN SBB C C và d A , MNP d A , BB C C ) 2 4 1 Suy ra: V V 8cm3. A .MNP 6 ABC.A B C Câu 26: [2H1-2.4-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC . Dựng một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP , một đáy thuộc mặt phẳng ABC . Biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng tổng diện tích hai đáy. Tính thể tích hình chóp SABC . a3 a3 a3 a3 A. B. C. .D. 4 12 8 6 Lời giải Chọn B
6. S M P N A C B a Tam giác MNP có cạnh là . 2 2 a 3 a 3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP sẽ có bán kính R . 3 2 2 6 Gọi h là chiều cao lăng trụ a 3 Do S 2S 2 R.h 2. R2 h R h . xq d 6 3 a 3 Hình chóp có diện tích tam giác ABC là a2 và chiều cao là 2h . 4 3 1 3 a 3 a3 Do đó V a2. . SABC 3 4 3 12 Câu 8: [2H1-2.4-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC với các mặt SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S.ABC . Biết diện tích các tam giác SAB , SBC , SAC lần lượt là 4a2 , a2 , 9a2 . 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 Câu 1: S SA.SB 9a2 , S SA.SC a2 , VSAB 2 VSAC 2 1 S SB.SC 4a2 VSBC 2 S .S 1 Câu 2: VSAB VSAC SA2 36a2 SA 6 2a SVSBC 2 S .S 1 4 2 2 VSAB VSBC SB2 a2 SB a SVSAC 2 9 3 S .S 1 9 3 2 VSBC VSAC SC 2 a2 SC a SVSAB 2 4 2 1 V SA.SB.SC 2 2a3 . S.ABC 6 Câu 47: [2H1-2.4-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3a, AC a. Gọi Q là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng
7. ABC . Điểm D di động trên Q sao cho hai mặt phẳng DAB và DAC lần lượt hợp với mặt ABC hai góc phụ nhau. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp D.ABC . a3 3 3a3 3a3 2 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 13 10 8 Lời giải Chọn A Kẻ DH  BC DH  ABC . Kẻ HN  AB, HM  AC , ( N AB , M AC ). Ta có ·DAC , ABC D·M , MH D· MH , ·DAB , ABC D·N, NH D· NH . 2 1 a2 V .DH.S .DH V max khi DH . D.ABC 3 ABC 2 D.ABC max 2 DH HM.tan HN.tan HN.cot DH HM.HN 2 HM HC HN HB AB.AC.HB.HC AB.AC.BC 2 Theo Talet , HM.HN AB BC AC BC BC 2 4BC 2 AB.AC 3a2 a 3 a2 a 3 a3 3 DH 2 HM.HN . DH V . 4 4 max 2 D.ABC 2 2 4 Câu 48: Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác 5 suất “có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ” phải lớn hơn . 6 A. 7 .B. 6 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B x x Giả sử rút x 1 x 9; x ¥ thẻ, số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp là C9 n  C9 . Gọi A là biến cố: “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ” x x x C7 C7 n A C7 . Ta có P A x P A 1 x . C9 C9 x 5 C7 5 2 Do đó P A 1 x x 17x 60 0 5 x 12 6 x 7 . 6 C9 6
8. Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6 . Câu 40: [2H1-2.4-3](THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi và AB x , các cạnh còn lại bằng a không đổi . Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là a3 a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 8 4 4 8 Lời giải Chọn A D a a a I B A a O a C Gọi O là hình chiếu của D lên mặt phẳng ABC và I là trung điểm của AB Do DA DB DC a OA OB OC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O nằm trên đường trung trực CI x2 4a2 x2 Xét  ACI có : CI AC 2 AI 2 a2 4 2 1 x 4a2 x2 S CI.AB ABC 2 4 AB.AC.BC a2 a2 Xét ABC có : R CO 4S 4a2 x2 4a2 x2 4 2 2 2 2 2 a a 3a x Xét DOC có : DO DC CO a 2 2 4a x 4a2 x2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a 3a x x 4a x a 2 2 a x 3a x Vậy VD.ABC DO.SABC . .x 3a x . 3 3 4a2 x2 4 12 12 2 a3 . 8 a3 Vậy V . ABCD max 8
9. Câu 47: [2H1-2.4-3] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là: a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. a3 6 . D. . 6 2 3 Lời giải Chọn A A a a 3 S C a 2 H B Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SBC . 1 V .AH.S . SABC 3 SBC AH SA . Đẳng thức xảy ra SA SBC . 1 1 a2 6 S SB.SC.sin B· SC a 2.a 3 . Đẳng thức xảy ra sin B· SC 1 B· SC 90 . SBC 2 2 2 1 1 6 a3 6 V .AH.S .a.a2 . SABC 3 SBC 3 2 6 Đẳng thức xảy ra khi SA , SB , SC đôi một vuông góc. Câu 10: [2H1-2.4-3] (CỤM 7 TP. HCM) Cho khối lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC D . a3 a3 2 a3 2 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 4 Lời giải Chọn A 1 Ta có: V V V V V V V D.ABC D D.ABD D.BC D D .ABD B.DC D 2 D .ABCD B.DCC D 1 1 1 1 a3 VABCD.A B C D VABCD.A B C D VABCD.A B C D 2 3 3 3 3 Câu 26: [2H1-2.4-3] (THPT AN LÃO) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC biết đáy ABC là tam giác vuông tại B và AD 10 , AB 10 , BC 24. Tính thể tích V của tứ diện ABCD .
10. 1300 A. V 1200. B. V 960. C. V 400. D. V . 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 1 Ta có V AD.S AD. AB.BC AB.AD.BC 10.10.24 400. ABCD 3 ABC 3 2 6 6 Câu 6: [2H1-2.4-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC là 5a3 6 5a3 10 a3 210 a3 30 A. . B. . C. . D. . 12 12 24 12 Lời giải Chọn D. Gọi H là trung điểm của BC , đặt SH x, x 0 . Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với A 0;0;0 , B a 2;0;0 , C 0;a 5;0 , a 2 a 5 a 2 a 5 , như hình vẽ H ; ;0 S ; ; x 2 5 2 2 Ta có: VTCP của đường thẳng AB là i 1;0;0 , a 2 VTCP của đường thẳng AC là j 0;1;0 .  a 2 a 5 AS ; ; x 2 2
11. S I E G C B H M P A  a 5  VTPT của mp SAB là AS,i 0; x; n 1 2  a 2  VTPT của mp ASC là AS, j x;0; n . 2 2   a2 10 n1.n2 1 Có cos60   4 n . n 5a2 2a2 2 1 2 x2 . x2 4 4 a 3 16x4 28x2a2 30a4 0 x do x 0 . 2 1 1 a 3 1 a3 30 V SH.S . . .a 2.a 5 . S.ABC 3 ABS 3 2 2 12 Cách 2: (SAB)  SAC SA , kẻ BE  SA và GH P BE , suy ra SAC , SAB GH, SAC H· GI 60. 7a2 5a2 Đặt SH h , ta tính được SA h2 và SP h2 . Vậy 4 4
12. 2 2 5a a 2 a 2. h .h 2S BE SH.HM BE SAB 4 HG , HI 2 SA 7a2 2 SM a2 h2 h2 4 2 Tam giác GIH vuông tại I có 2 a 2 2 5a a 2 . h h. 2 4 IH 3 7a 15a 2a 3 sin 60 . 2 4 2 h4 h2 0 h HG 2 7a2 a2 4 8 4 h2 h2 4 2 1 a3 30 Vậy V AB.AC.SH . SABC 6 12 Câu 18: [2H1-2.4-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3a3 3a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 6 12 6 4 Lời giải Chọn B S A D M N H B C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD .Do AB  MN;SM AB  SMN Ta có SMN  ABCD nên hình chiếu H của S lên mp ABCD thuộc MN . a 3 a SM , SN , MN a . 2 2 2 2 2 2 a 3 a 2 2 SM SN a MN nên tam giác SMN vuông tại S . 2 2 a 3 a . SM.SN a 3 SH.MN SM.SN SH 2 2 MN a 4 1 1 a 3 a3 3 V SH.S .a2 3 ABCD 3 4 12 Câu 9: [2H1-2.4-3] (THPT TIÊN LÃNG) Cho hình chóp S.ABC có ·ASB 60 , ·ASC 90 , C· SB 120 và SA 1 , SB 2 , SC 3 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là
13. 2 2 2 A. . B. . C. . 2 D. . 4 2 6 Lời giải S N O A C M B Chọn B Lấy M là trung điểm của SB và lấy N SC sao cho SN 1 . Ta có SA SM SN 1 nên hình chiếu vuông góc của S lên AMN trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Ta có: AM 1 vì tam giác SAM đều (cân tại S và có một góc bằng 60 ) AN 2 vì là cạnh huyền của tam giác vuông SAN có cạnh góc vuông bằng 1. MN SM 2 SN 2 2SM.SN.cos120 3 2 Dễ đánh giá được tam giác AMN vuông tại A nên có S AMN 2 AM.AN.MN 2. 3 3 OA 4.S 2 2 AMN 4. 2 3 1 Suy ra SO SA2 AO2 1 4 2 1 1 2 2 Suy ra V . . S.AMN 3 2 2 12 VS.AMN 1 1 1 2 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có   suy ra VS.ABC 6.VS.AMN VS.ABC 1 2 3 2 Câu 19: [2H1-2.4-3] (CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC TÂN HỒNG PHONG) Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a và AC a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết MN a và MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Tính thể tích tứ diện ABCD . a3 6 a3 6 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn D
14. Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện ABCD như hình vẽ. Ta có: AE AC 2 DE 2 a BC AB2 AE 2 a 3 1 1 a3 3 Vậy V V .a.a.a 3 . ABCD 3 3 3 Câu 1: [2H1-2.4-3] (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Cho hình chóp SABC , SA 4 , SB 5 , · · · SC 6 , ASB BSC 45 , CSA 60 . Các điểm M , N , P thỏa mãn các đẳng thức:       AB 4AM , BC 4BN , CA 4CP . Tính thể tích chóp S.MNP . 128 2 35 245 35 2 A. . B. . C. . D. . 3 8 32 8 Lời giải Chọn B. S P A C M N B 1  V .abc 1 cos2 cos2  cos2 2cos cos  cos S.ABC 6
15. 4.5.6 1 1 1 1 1 V 1 2. . 10 . S.ABC 6 2 2 4 2 2 3 3 3 7 S MNP S S AMP S MBN S NCP S S. S , S S ABC 16 16 16 16 VS.MNP S MNP 7 35 Mà VS.MNP . VS.ABC S ABC 16 8 1 .AM.AP.sin M· AP S 1 3 3 Chú ý: AMP 2 . S 1 4 4 16 ABC AB.AC.sin B· AC 2 Câu 3: [2H1-2.4-3] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có a 3 AB AD a , AA' , B· AD 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm A D , A B . Tính 2 thể tích của khối đa diện ABDMN . 3a3 3a3 3 3a3 9a3 A. . B. . C. . D. 8 16 8 16 Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi S BN  AA . Suy ra: S, M , D thẳng hàng. S SMN SM SN 1 3 . SMNBD S SBD . S SBD SD SB 4 4 Tam giác ABD có AB AD a , B· AD 60 nên tam giác ABD là tam giác đều. 1 1 3 3 V d A, BDMN .S d A, SBD . S V A.BDMN 3 BDMN 3 4 SBD 4 S.ABD 3 1 1 a2 3 3a3 SA.S a 3. . 4 3 ABD 4 4 16
16. Câu 47: [2H1-2.4-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vuông tại C , AB 2a , C· AB 30 . Gọi H là hình chiếu của A trên SC , B là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng SAC . Thể tích của khối chóp H.AB B bằng a3 3 6a3 3 4a3 3 2a3 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D AC Xét tam giác ABC ta có cosC· AB AC a 3 và BC AB2 AC 2 a . AB AC 2 3 7a Xét tam giác SAC ta có SC SA2 AC 2 a 7 và HC.SC AC 2 HC SC 7 SA Xét tam giác SAC ta có sinS· CA 1 SC HI Xét tam giác HIC ta có sin H· CI 2 HC SA.HC 6a Từ 1 và 2 ta có HI . SC 7 1 1 6a 1 1 6a 1 2 3 Ta có V HI.S . . AC.BB . . .a 3.2a a3 . H .AB B 3 AB B 3 7 2 3 7 2 7 Câu 43: [2H1-2.4-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình chóp a 5 S.ABCD có đáy là hình bình hành có AB a, SA SB SC SD (tham khảo hình 2 vẽ). Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp S.ABCD bằng a3 3 a3 2a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. 6 3 3 3
17. Lời giải Chọn B Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD . Ta có: SAO SBO SCO SDO (tam giác vuông, SO là cạnh chung, SA SB SC SD ). Nên OA OB OC OD suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy ra ABCD là hình chữ nhật có O là tâm. 1 1 Đặt AD x AO AC a2 x2 2 2 5a2 a2 x2 x2 Nên SO SA2 AO2 a2 4 4 4 2 2 2 2 1 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3 VS.ABCD ABCD.SO a.x. a a.2. . a a a a . 3 3 4 3 2 4 3 4 4 3 Câu 9. [2H1-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABD . Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng SDG bằng 5 và SG 1. Thể tích khối chóp đã cho là 25 4 12 A. . B. . C. 4. D. . 12 3 25 Lời giải Chọn đáp án A
18. Ta có: CG 2AG d C, SDG 2d A, SDG 5 Suy ra d A, SDG . Dựng AH  DG 2 5 Mặt khác AH  SG AH  SDG AH . 2 AD.AM x 5 5 Đặt AB x AH x AD2 AM 2 5 2 2 1 25 Vậy V SG.S S.ABCD 3 ABCD 12 Câu 31: [2H1-2.4-3] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện OABC biết OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA 3, OB 4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng: 41 144 12 A. 3 . B. . C. . D. . 12 41 41 Lời giải Chọn D ‰ A H O C I B 1 1 1 1 36 Ta có: VOABC OC.SOAB OC. OA.OB OC.OA.OB 6 OC 3 . 3 3 2 6 OA.OB Vẽ OI  BC , OH  AI suy ra: OH  ABC OH d O; ABC .
19. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 41 12 41 Lại có: OH . OH 2 OI 2 OA2 OB2 OC 2 OA2 42 32 32 144 41 Câu 42: [2H1-2.4-3](THPT Chuyên Quốc Học Huế-Lần 3-2018-BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC , CD và SA . Mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Biết rằng V1 V1 V2 , tính tỉ số . V2 1 5 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 6 3 Lời giải Chọn A S S P Q P H H A B Q R B M D N C A T U K 1 Ta có BH AH suy ra B là trọng tâm của tam giác SAT . 3 BQ BH 1 BQ 1 DR 1 Do đó, . Tương tự ta có, . BU AB 2 BS 4 SD 4 V SP SR 1 3 3 V 3 S.PRN . . S.PRN . VS.ADN SA SD 2 4 8 VS.ABCD 32 V 3 Tương tự, ta có S.PQM . VS.ABCD 32 V SP 1 V 3 Lại có S.PMN S.PMN . VS.AMN SA 2 VS.ABCD 16 V 1 S.MNC . VS.ABCD 8 3 3 3 1 1 Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh S là V1 VSABCD VSABCD . 32 32 16 8 2 V Vậy 1 1. V2 Câu 34: [2H1-2.4-3] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , AA b . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Tính theo a và b thể tích V của khối tứ diện BDA M .
20. B' C' A' D' M B C A D a2b a2b a2b a2b A. V .B. V .C. V .D. V . 4 6 2 3 Lời giải Chọn A z B' C' A' 0;a;b D' b M a;0; 2 B 0;0;0 C x A D a;a;0 y Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.      b ab ab 2 Khi đó BD a;a;0 , BM a;0; , BD, BM ; ; a , BA 0;a;b . 2 2 2 1    a2b Thể tích khối tứ diện BDA M là V BD, BM .BA . BDA M 6 4 Câu 1911: [2H1-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , DC . Hai mặt phẳng SMC và SNB cùng vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là: 16 15 16 15 15 A. a3 . B. a3 . C. 15a3 . D. a3 . 5 15 3 Lời giải Chọn A
21. H NB  MC SH là giao tuyến của SMC , SNB . Do giả thiết  SH  ABCD . · Góc SB, ABCD ·SB, HB S· BH 60 . BCN vuông tại C có BN BC 2 CN 2 a 5 BC 2 4a2 4a 5  HB . BN a 5 5 4a 5 4a 15 SHB vuông tại H có SH HB.tan 60 3 . 5 5 Câu 1922: [2H1-2.4-3] Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Thể tích của khối chóp S.AECF là: V V V V A. . B. . C. . D. . 2 4 3 5 Lời giải Chọn A Vì E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . 1 1 1 Suy ra S S S S S S S S . AECF ABCD EBC FCD ABCD 4 ABCD 4 ABCD 2 ABCD 1 V Thể tích khối chóp S.AECF là VS.AECF .d S, ABCD .SAECF . 3 2 Câu 1930: [2H1-2.4-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 5 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD , SH 2a 3 . Thể tích của S.CDNM là: a3 3 25a3 3 a3 3 25a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 12 12 6 Lời giải
22. Chọn B 2 2 Ta có: SABCD AB 5a . AN 2 5a2 5a2 Mặt khác S ;S AMN 2 8 MBN 4 25a2 Do đó S S S S DNMC ABCD AMN MBC 8 1 25a3 3 Suy ra V S .SH . S.CDNM 3 CDNM 12 Câu 1982. [2H1-2.4-3] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; biết AB AD 2a , CD a . Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBC bằng a ; thể tích khối chóp S.ABCD là 3 15a3 9a3 3a3 3 15a3 A. . B. . C. . D. . 8 2 2 5 Lời giải Chọn C Ta có SI  ABCD . 1 1 1 1 Kẻ IK  BC tại K . SI 2 IK 2 2 a2 d I, SBC 1 1 1 1 3a2 Lại có IK.BC 2a. 2a a a.2a a.a . 2 2 2 2 2 2 3a Cạnh BC 4a2 2a a a 5 IK 5 3a 1 3a 1 3a3 SI V . . .2a. 2a a . 2 3 2 2 2
23. Câu 223: [2H1-2.4-3] [TT DIỆU HIỀN CẦN THƠ-2017] Một hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có ba kích thước là 2cm , 3cm và 6cm . Thể tích của khối tứ diện A.CB D bằng A. 8 cm3 . B. 12 cm3 . C. 6 cm3 . D. 4 cm3 . Lời giải Chọn B A' D' B' C' 6 cm A D 3 cm B 2 cm C Ta có : VABCD.A B C D VB.AB C VD.ACD VA .B AD VC.B C D VA.CB D VABCD.A B C D 4VB.AB C VA.CB D VA.CB D VABCD.A B C D 4VB.AB C 1 V V 4. V A.CB D ABCD.A B C D 6 ABCD.A B C D 1 1 V V .2.3.6 12cm3 A.CB D 3 ABCD.A B C D 3 Câu 236: [2H1-2.4-3][CHUYÊN THÁI BÌNH-2017]Cho khối chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là a3 6 a3 6 a3 6 A. a3 6 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D A a a 3 C S H a 2 B 1 Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) V AH.S . 3 SBC
24. Ta có AH SA; dấu “=” xảy ra khi AS  SBC . 1 1 S SB.SC.sin S· BC SB.SC , dấu “=” xảy ra khi SB  SC . SBC 2 2 1 1 1 1 Khi đó, V AH.S AS  SB  SC SA SB  SC . 3 SBC 3 2 6 Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. 1 a3 6 Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là V SA.SB.SC . 6 6 Câu 249: [2H1-2.4-3] Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB' và · ABC bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. . B. . C. . D. . 108 106 108 208 Lời giải Chọn D B' C' A' 60° B C M G N 60° A Gọi M , N là trung điểm của AB, AC và G là trọng tâm của ABC . B 'G  ABC B·B ', ABC B· ' BG 600 . 1 1 V .S .B 'G .AC.BC.B 'G A'.ABC 3 ABC 6 Xét B ' BG vuông tại G , có B· ' BG 600 a 3 B 'G . (nửa tam giác đều) 2 Đặt AB 2x . Trong ABC vuông tại C có B· AC 600 AB tam giác ABC là nữa tam giác đều AC x, BC x 3 2 3 3a Do G là trọng tâm ABC BN BG . 2 4 2 2 2 Trong BNC vuông tại C : BN NC BC
25. 3a AC 2 2 2 9a x 2 2 9a 3a 2 13 3x x x 16 4 52 2 13 3a 3 BC 2 13 1 3a 3a 3 a 3 9a3 Vậy V . . . . A' ABC 6 2 13 2 13 2 208 Câu 25: [2H1-2.4-3] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD trùng với trung điểm AB . Biết AB 1, BC 2, BD 10. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy là 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.BCD. 30 30 30 3 30 A. V .B. V .C. V .D. V . 4 12 20 8 Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của AB , G là chân đường cao kẻ từ A xuống BD , H là trung điểm BG . Khi đó IH  BD BD  SHI . Vậy góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy là góc S· HI . Ta có AD BD2 AB2 3 . 1 1 1 3 10 3 10 3 30 AG IH SI IH.tan 60 . AG2 AB2 AD2 10 20 20 1 1 1 30 S d D, BC .BC AB.BC 1. Vậy V SI.S . BCD 2 2 S.BCD 3 BCD 20 Câu 39: [2H1-2.4-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm tam giác BCD . Thể tích V của khối chóp G.ABC là: 1 1 1 1 A. V . B. V . C. V .D. V . 3 6 12 18 Lời giải Chọn D
26. A B D C O G A B D C Gọi O là tâm hình hộp GO 1 1 Ta có G là trọng tâm tam giác BCD nên V V . CO 3 G.ABC 3 C.ABC 1 1 1 Mà V V nên V . C.ABC 6 ABCD.A B C D 6 G.ABC 18 Câu 20: [2H1-2.4-3] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Khối chóp O.ABC có OB OC a , ·AOB ·AOC 45 , B· OC 60, OA a 2 . Khi đó thể tích khối tứ diện O.ABC bằng: a2 a3 2 a3 3 a3 A. .B. . C. .D. . 12 12 12 6 Lời giải Chọn B Cách 1:  Tam giác OBC có OB OC a , B· OC 60 OBC là tam giác đều BC a .  Tam giác OAC và OAB bằng nhau AB AC  Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB ta có: AB2 OA2 OB2 2.OA.OB.cos 45 AB2 a2 AB AC a . Khi đó tam giác ABC đều.
27. a 3 OH 2 AH 2 OA2 1 Gọi H là trung điểm BC thì OH AH và cosO· HA 2 2.AH.OH 3 2 2 1 a2 2 sin O· HA S OH.AH.sin O· HA . 3 OAH 2 4 BC  OH Ta có BC  OAH . BC  AH 1 a3 2 V 2V V 2. .BH.S V . O.ABC B.OAH O.ABC 3 OAH O.ABC 12 Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh OA a,OB b,OC c Khối tứ diện OABC có thì · · · AOB , AOC , BOC  abc a3 2 V 1 cos2 cos2  cos2  2cos .cos .cos . OABC 6 12 Câu 45: [2H1-2.4-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có thể tích V . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB , SC và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích của hình chóp G.APQ theo V . 1 1 1 3 A. V .B. V .C. V .D. V 8 12 6 8 Lời giải Chọn C S Q P C A G R B VA.PQR 1 1 Gọi R là trung điểm của BC , ta có VA.PQR VS.ABC . VS.ABC 4 4 VG.APQ 2 2 Mặt khác ta lại có VG.APQ VA.PQR . VA.PQR 3 3 2 1 1 Vậy V . V V . G.APQ 3 4 S.ABC 6 Câu 6502: [2H1-2.4-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o . Tính thể tích hình chóp. h3 3 h3 2 h3 h3 3 A. .B. . C. . D. . 8 6 4 6
28. Lời giải: Chọn B . S.ABC là hình chóp tam giác đều, SH là đường cao SH a và H là trọng tâm tam giác ABC . SAB đều. Đặt AB a , gọi M là trung điểm AB . a 3 1 a 3 Ta có SM (Đường cao tam giác đều), MH CM . 2 3 6 h 6 Xét tam giác vuông SMH , ta có: SM 2 SH 2 HM 2 a . 2 2 h 6 3 h2.3 3 S ABC . . 2 4 8 1 h3. 3 Vậy V .SH.S . S.ABC 3 ABC 8 Câu 6503: [2H1-2.4-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o . Thể tích hình chóp S.ABC là: a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 12 8 12 24 Lời giải: Chọn D .
29. Kẻ SH  ABC H là trọng tâm ABC . Gọi M là trung điểm AB . Khi đó ta có: SAB ; ABC SM ,CM S·MC 60o ,. 1 a 3 a MH CM SH MH.tan S·MH . 3 6 2 1 1 a a2 3 a3 3 Vậy: V .SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 2 4 24 Câu 6504: [2H1-2.4-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa SA và đáy bằng 600 . Thể tích của khối chóp là. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. . D. . 4 36 12 6 Lời giải: Chọn C Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ^ (ABC). . Ta có OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) nên (S·A,(ABC))= S·AO = 60°. a2 3 a 3 Tam giác ABC đều, cạnh a nên S = và AM = . DABC 4 2 SO SO 3SO Xét tam giác vuông SAO , ta có tan S·AO = = = . 2 AO AM 2AM 3 2AM tan S·AO Þ SO = = a . 3 Thể tích S.ABC là. 1 a2 3 a3 3 V = .a. = . 3 4 12
30. Câu 6526: [2H1-2.4-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho tứ diện đều ABCD . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng 6 . Tính thể tích V của tứ diện ABCD . 27 3 9 3 A. V 27 3 .B. .VC. V . D. V 5 3 . 2 2 Lời giải Chọn C A 6 B D G a M C . Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a . Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 Ta có AG BG AB 6 BM a 36 .a a a 3 . 3 3 2 9 3 Khi đó S . BCD 4 1 1 9 3 9 3 Thể tích của tứ diện ABCD là V S .AG . .6 . 3 BCD 3 4 2 Câu 6548: [2H1-2.4-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hình lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 48cm3 . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh CC , BC , B C . Tính thể tích của khối chóp A MNP 16 A. V 8cm3 .B. V 16cm3 . C. V 24cm3 . D. V cm3 . 3 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có V V .48 16cm3. . A'.ABC 3 ABC.A'B'C ' 3 3 Do đó VA'.BCC 'B' VABC.A'B'C ' VA'.ABC 48 16 32cm 1 1 1 Mặt khác S S . Nên V V .32 8cm3 MNP 4 BB'C 'C A'.MNP 4 A'.BB'C 'C 4 Câu 6549: [2H1-2.4-3] [THPT An Lão lần 2] Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 6 , AC 4 ; ABC là tam giác vuông cân tại B . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 16 7 16 2 A. V 16 7 . B. V 16 2 . C. V . D. V . 3 3 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của S lên ABC . Ta có SHA SHB SHC . HA HB HC . H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .