Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 2: Thể tích khối chóp - Dạng 5: Sử dụng định lý tỉ số thể tích - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 2: Thể tích khối chóp - Dạng 5: Sử dụng định lý tỉ số thể tích - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 8: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng V V V V A. .B. . C. . D. . 2 3 4 8 Lời giải Chọn D Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP . VS.MNP SM SN SP 1 V Ta có: . . nên VS.MNP . VS.ABC SA SB SC 8 8 Câu 31: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B , D , C . Thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 9 3 9 3 Lời giải Chọn C S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3
2. Ta có AD  SDC AD  SD ; AB  SBC AB  SB . Do SC  AB D SC  AC . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1 . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 37. [2H1-2.5-3](THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp S.ABC . Gọi V M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. 4 .B.  C. 2 .D.  2 4 Lời giải. Chọn A S M N A C B V SA.SB.SC Ta có S.ABC 4 . VS.MNC SM.SN.SC Câu 47. [2H1-2.5-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn 3 điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . Biết 2 rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B.
3. z C O B y A x S S 3 Ta có ABC ABC 1 VOABC d O, ABC SABC .d O, ABC 3 S 3 Mà ABC nên d O, ABC 2 . VOABC 2 Vậy mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R 2 . Câu 27. [2H1-2.5-3](Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ. 2017 4034 8068 2017 A. .B. .C. .D. . 9 81 27 27 Lời giải Chọn D VAEFG SEFG 1 1 VAEFG VABCD VABCD SBCD 4 4 . VAMNP SM SN SP 8 8 8 1 2 . . VAMNP VAEFG . VABCD VABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 4 27 VQMNP 1 1 Do mặt phẳng MNP // BCD nên VQMNP VAMNP VAMNP 2 2 1 2 1 2017 V . V V . QMNP 2 27 ABCD 27 ABCD 27 Câu 37. [2H1-2.5-3] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm
4. của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V .D. V . 36 9 6 18 Lời giải Chọn D S M F E I D A O B C Trong mặt phẳng SBD : EF  SO I . Suy ra A, M , I thẳng hàng. SI 2 Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM , SO cắt nhau tại I suy ra . SO 3 SE SF SI 2 Lại có EF // BD . SB SD SO 3 V SE SM 1 V SF SM 1 Ta có: S.AEM  . S.AFM  . VSABC SB SC 3 VSADC SD SC 3 V V 1 V 1 Vậy S.AEM S.AFM S.AEMF . VS.ABC VS.ADC 3 VS.ABCD 3 a 6 Góc giữa cạnh bên và đáy của S.ABCD bằng góc S· BO 60 suy ra SO BO 3 . 2 1 a3 6 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng V SO.S . S.ABCD 3 ABCD 6 a3 6 Vậy V . S.AEMF 18 Câu 36. [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Gọi B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng AB D cắt SC tại C . Thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 9 3 Lời giải Chọn C
5. S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3 Vì B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có SC  AB D . Gọi C là hình chiếu của A lên SC suy ra SC  AC mà AC  AB D A nên AC  AB D hay C SC  AB D . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1 . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 37. [2H1-2.5-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình SM SN thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho k . Tìm SB SD 1 giá trị của k để thể tích khối chóp S.AMN bằng . 8 1 2 2 1 A. k . B. k . C. k . D. k . 8 2 4 4 Lời giải Chọn C V SA SM SN Ta có S.AMN . . k 2. VS.ABD SA SB SD 1 1 1 2 Mà V , V V 1 k 2 k . S.AMN 8 S.ABD 2 S.ABCD 8 4
6. Câu 38. [2H1-2.5-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE 3EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V. V V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 5 Lời giải Chọn A VB.ECD BE AC AD 1 1 . . VB.ECD VE.BCD V VA.BCD BA AC AD 4 4 Câu 36: [2H1-2.5-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , F . Biết 1 V V . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . S.AEF 4 S.ABC a3 a3 2a3 a3 A. V .B. V . C. V . D. V . 2 8 5 12 Lời giải Chọn B S F H E A C M B Ta có BC  SM . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do FE P  SBC FE  SM FE PBC và FE đi qua H .
7. 2 1 SE SF 1 SH 1 SH 1 VS.AEF VS.ABC . . Vậy H là trung điểm cạnh SM . 4 SB SC 4 SM 4 SM 2 a 3 Suy ra SAM vuông cân tại A SA . 2 1 a 3 a2 3 a3 Vậy V . . . SABC 3 2 4 8 Câu 39: [2H1-2.5-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 4V V V 4V A. . B. . C. . D. . 9 27 9 27 Lời giải Chọn C Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . VAMNP 8 8 2 Ta có VAMNP VAEFI V . VAEFI 9 9 9 1 1 1 1 1 V VMNPQ d Q, MNP .SMNP d A, MNP .SMNP d Q, MNP .SMNP VAMNP 3 3 2 6 2 9 . Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp S.ADMN . a3 6 a3 6 3a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 16 24 16 8 Lời giải Chọn A
8. S M N A D O B C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có S· OA là góc giữa hai mặt phẳng SBD và SA 2 a 6 ABCD nên S· OA 60 . Khi đó tan 60 SA AO.tan 60 a. 3 . AO 2 2 V SA SM SN 1 V SA SN SD 1 Ta có S.AMN . . và S.AND . . . VS.ABC SA SB SC 4 VS.ACD SA SC SD 2 3 1 1 1 3 3 1 a 6 2 a 6 Do đó VS.ADMN VS.ABCD . .VS.ABCD . . .a . 2 4 2 8 8 3 2 16 Câu 37: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B , D lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD . Mặt phẳng qua AB D cắt cạnh SC tại C . Khi đó thể tích khối chóp S.AB C D bằng V 2V V 3 V A. .B. . C. .D. . 3 3 3 6 Lời giải Chọn D S S K C D C d B H H A D A B O O C C Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì SO  B D H . Khi đó H là trung điểm của SO và C AH  SO .
9. Trong mặt phẳng SAC : Ta kẻ d //AC và AC cắt d tại K . Khi đó áp dụng tính đồng OH OA SK 1 dạng của các tam giác ta có: 1 SK OA ; SH SK AC 2 SK SC 1 SC 1 . AC CC 2 SC 3 1 V VS.AB D SA SB SD 1 1 Vì VS.ABD VS.BCD .VS.ABCD nên ta có   VS.AB D V và 2 2 VS.ABD SA SB SD 4 8 VS.B C D SB SC SD 1 SC SC V    VS.B C D  . VS.BCD SB SC SD 4 SC SC 8 1 SC V V SC V Suy ra VS.AB C D VS.AB D VS.B C D V  1 . 8 SC 8 8 SC 6 Câu 45: [2H1-2.5-3](Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số V 1 . V2 V 32 V 32 V 1 V 9 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 9 V2 27 V2 2 V2 8 Lời giải Chọn A S M I D C O A B Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Suy ra SO  ABCD . Và góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy ABCD là góc S· AO . Theo giả thuyết S· AO 60 , nên tam giác SAC đều, suy ra a 6 SA a 2 và SO . 2 Gọi M là trung điểm SA . Trong SAC , đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I . Khi đó, IS IA IB IC ID nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . SA2 a 6 Tam giác SAO có SI.SO SM.SA SI R . 2SO 3 Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD nên a 2 a 6 có bán kính đáy r và chiều cao h SO . 2 2
10. 3 4 a 6 . V1 3 3 32 Suy ra 2 . V2 1 a 2 a 6 9 . 3 2 2 Câu 33: [2H1-2.5-3](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp này thành hai phần có V1 thể tích là V1 và V2 V1 V2 . Tính tỉ lệ . V2 8 16 8 16 A. .B. .C. .D. . 27 81 19 75 Lời giải Chọn C Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SAD , SAC . SG 2 SG Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , AC thì 1 3 SI 3 SJ G1G3 // IJ G1G3 // ABC . Chứng minh tương tự ta có G2G3 // ABC . Suy ra G1G2G3 // ABCD . Qua G1 dựng đường song song với AB , cắt SA , SB lần lượt tại M , N . Qua N dựng đường song song với BC , cắt SC tại P . Qua P dựng đường song song với CD , cắt SD tại Q . Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bới G1G2G3 là tứ giác MNPQ . VS.MNP SM.SN.SP 8 8 Ta có VS.MNP VS.ABC (1) VS.ABC SA.SB.SC 27 27 8 Tương tự ta cũng có V V (2) S.MPQ 27 S.ACD 8 8 19 V1 8 Từ (1) và (2) suy ra VS.MNPQ VS.ABCD V1 V V2 V V1 V . Vậy . 27 27 27 V2 19
11. Câu 45: [2H1-2.5-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho điểm M nằm SM 1 trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S.ABC sao cho , MA 2 SN 2. Mặt phẳng qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V NB 1 V1 là thể tích của khối đa diện chứa A , V2 là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số ? V2 V 4 V 5 V 5 V 6 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 5 V2 4 V2 6 V2 5 Lời giải S M E N j P A C Q B D Chọn B - Trong mặt phẳng SAC dựng MP song song với SC cắt AC tại P . Trong mặt phẳng SBC dựng NQ song song với SC cắt BC tại Q. Gọi D là giao điểm của MN và PQ . Dựng ME song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ). SE SM 1 1 - Ta thấy: SN NE NB SB SB SA 3 3 1 DB 1 DN 1 Suy ra N là trung điểm của BE và DM , đồng thời DB ME AB , . 3 DA 4 DM 2 DQ DN 1 Do NQ / /MP . DP DM 2 - Nhận thấy: V1 VD.AMP VD.BNQ . VD.BNQ DB DN DQ 1 1 1 1 1 15 15 . . . . VD.BNQ VD.AMP V1 .VD.AMP .VM .ADP . VD.AMP DA DM DP 4 2 2 16 16 16 16 QB NB 1 d N; DB QB 1 1 - Do NQ / /SC d Q; DB .d C; AB CB SB 3 d C; AB CB 3 3
12. 1 1 1 1 1 8 S .d Q; DB .DB . .d C; AB . AB S S .S QDB 2 2 3 3 9 CAB ADP 9 ABC 2 Và d M ; ADP d S; ABC 3 1 1 2 8 16 VM .ADP .d M ; ADP .SADP . d S; ABC . SABC .VS.ABC 3 3 3 9 27 15 16 5 4 V . .V .V V V V .V . 1 16 27 S.ABC 9 S.ABC 2 S.ABC 1 9 S.ABC V 5 Vậy 1 . V2 4 Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và B· CD 120 . SA  ABCD và SA a . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S.AMNP . a3 3 2a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 42 21 14 12 Lời giải Chọn A S N M K P B C I O A D a 3 Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì AI ; 2 1 a 3 OI AI . 3 6 1 a a 3 Tam giác ICD vuông I có I·CD 60 , ID BD và IC ID.cot 60 . 2 2 6 2a 3 O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD AC AI IC . 3 BD  AC Khi đó BD  SAC BD  SC BD  SA Mà SC  P nên BD // P P  SBD MP Do đó MP // BD SBD  ABCD BD
13. BD  SAC Lại có BD  AN AN  MP AN  SAC SN SA2 SN SA2 3 Tam giác SAC vuông tại A có SN.SC SA2 SC SC 2 SC SA2 AC 2 7 a 3 Tam giác ABC có SD a 2 ; BC IC 2 IB2 và AC 2 AB2 BC 2 3 tam giác ABC vuông tại B BC  SAB ; AM  SAB BC  AM SM 1 Lại có tam giác SAB vuông nên AM  SB M là trung điểm SB SB 2 SP SM 1 Mà MP // BD nên SD SB 2 Mặt khác a2 3 1 a2 3 a3 3 S S S CB.CD.sin1200 . Suy ra V V . ABCD ABC BCD 4 2 3 S.ABCD 9 VS.AMN SM SN 3 1 3 3 3 Khi đó . . VS.ANP V . Do đó VS.ANM V . VS.ABC SB SC 7 2 14 28 28 3 VS.AMNP 3 a 3 Vậy VS.AMNP . VS.ABCD 14 42 Câu 5: [2H1-2.5-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SA a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM k,0 k 1. Khi đó giá trị của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp S.ABCD thành SA hai phần có thể tích bằng nhau là 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A SM SN Giả sử MBC cắt SD tại N . Khi đó MN //BC//AD suy ra k k 0 SA SD V SM V SM SN V k V k 2 Ta có S.MBC k, S.MNC . k 2 .Do đó: S.MBC ; S.MNC .Bài toán t/m VS.ABC SA VS.ADC SA SD VS.ABCD 2 VS.ABCD 2 k k2 1 1 5 khi k2 k 1 0 k 2 2 2 2 Câu 22: [2H1-2.5-3] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng P qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần V lượt tại P và Q. Khi đó SAPMQ bằng VSABCD 1 4 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 3 Chọn A
14. S M P B C I Q O A D Trong ABCD gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong SAC gọi I là giao điểm của SO và AM . Trong SBD từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P , Q , suy ra mp P là mp APMQ . + Ta thấy I là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và SO của tam giác SAC I là SI SP SQ 2 trọng tâm tam giác SAC , Suy ra: (định lý ta lét vì PQ // BD ) SO SB SD 3 VSAPM SA.SP.SM 2 1 1 1 Ta có: . VSAPM VSABC VSABC SA.SB.SC 3 2 3 3 VSAQM SA.SQ.SM 2 1 1 1 . VSAQM VSADC VSADC SA.SD.SC 3 2 3 3 1 1 VSABC VSADC VSABCD VSAPMQ VSAPM VSAQM 1 3 3 VSABCD VSABCD VSABCD VSABCD 3 Câu 34: [2H1-2.5-3] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC a , CD a 3 . Hai mặt ABD và ABC cùng vuông góc với mặt phẳng BCD . Biết AB a , M , N lần lượt thuộc cạnh AC , AD sao cho AM 2MC , AN ND . Thể tích khối chóp A.BMN là 2a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 18 9 Lời giải Chọn C A N a M B D a a 3 C
15. AM 2 Do AM 2MC . AC 3 V AM AN 2 1 1 Ta có A.BMN . . . VA.BCD AC AD 3 2 3 1 1 1 a3 3 Mà V AB. BC.CD a.a.a 3 . A.BCD 3 2 6 6 V a3 3 V A.BCD . A.BMN 3 18 Câu 4: [2H1-2.5-3] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ V nhất của 1 ? V 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Lời giải Chọn D S P N I M D C O A B SM SN Đặt x , y , 0 x , y 1. SB SD SA SC SB SD 1 1 x Vì nên 1 2 y SA SP SM SN x y 3x 1 V V V 1 SA SN SP 1 SA SM SP 1 1 1 1 Khi đó 1 S.ANP S.AMP . . . . . . .y. .x. V 2VS.ADC 2VS.ABC 2 SA SD SC 2 SA SB SC 2 2 2 2 1 1 x x y x 4 4 3x 1
16. 1 Vì x 0 , y 0 nên x 1 3 1 x 1 Xét hàm số f x x trên ;1 4 3x 1 3 1 1 2 Ta có f x 1 ; f x 0 x . 2 4 3x 1 3 Bảng biến thiên x 1 2 1 3 3 y – 0 || 3 y 1 8 3 V 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 bằng . V 3 Câu 45: [2H1-2.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 6. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Thể tích V của khối chóp S.MNP là? 3 9 A. V 3 . B. V . C. V . D. V 4 2 2 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: V V vì S S vậy. S.MNP 4 S.ABC MNP 4 ABC Câu 38. [2H1-2.5-3] (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho khối tứ diện OABC với OA,OB,OC vuông góc từng đôi một và OA a, OB 2a, OC 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: 3a3 2a3 a3 A. B. a3 C. D. 4 3 4 Lời giải Chọn D 1 1 3 Ta cóVOABC . OA.OB .OC a (đvtt) . 3 2 3 VOCMN CM.CN 1 1 a Ta có . Vậy VOCMN VOABC . VOCAB CA.CB 4 4 4 Câu 1910: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C , D lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A B C D và S.ABCD là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 16 4 Lời giải
17. Chọn B Xét hình chóp S.ABC. VS.A' B 'C ' SA' SB' SC ' 1 1 . . VS.A' B 'C ' VS.ABC VS.ABC SA SB SC 8 8 1 Tương tự: V V S.A'C ' D ' 8 S.ACD 1 V V . S.A' B 'C ' D ' 8 S.ABCD Câu 1925: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của V các cạnh SA , SB , SC , SD . Tỉ số S.MNPQ là VS.ABCD 1 1 3 1 A. . B. . C. . D. 8 16 8 6 Lời giải Chọn A V SM SN SP Ta có áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có S.MNP . . và VS.ABC SA SB SC V SM SQ SP S.MQP . . VS.ADC SA SD SC SM SN SP SQ 1 Vì M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD . SA SB SC SD 2 1 V V 1 1 V 1 Và V V V suy ra S.MNP S.MQP S.MNPQ . S.ABC S.ADC 2 S.ABCD 1 8 8 V 8 .V S.ABCD 2 S.ABCD S.ABC SA a SB 3a 2 SC 2a 3 Câu 1932: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp có ; ; , · · · ASB BSC CSA 60 . Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B , C sao cho S.ABC SA SB' SC ' a . Thể tích khối chóp là:
18. a3 3 A. 2a3 3 . B. 3a3 3 . C. a3 3 . D. . 3 Lời giải Chọn C Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm B',C ' sao cho SA SB' SC ' a suy ra S.AB'C ' là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra AB' B'C ' C ' A'. a2 3 a a 6 Ta có: S ; AH SH SA2 AH 2 . ABC 4 3 3 3 a 2 VS.AB 'C ' SA SB SC 1 Khi đó VS.AB 'C ' . Lại có . . 12 VS.ABC SA SB' SC ' 6 6 3 Do đó VS.ABC a 3 . Câu 1940: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng AHK , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S.AHIK là: a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 18 36 6 12 Lời giải Chọn A
19. Ta có S· BA 45 SA AB a . BC  SA Lại có BC  SAB BC  AH . BC  AB Mà AH  SB AH  SBC AH  SC SC  AH . Tương tự SC  AK SC  AHK SC  AI . SA2 SI a2 1 SI 1 Ta có . AC 2 IC 2a2 2 SC 3 VS.AHI SA SH SI 1 1 1 Tỉ số . . 1. . VS.AHI VS.ABCD . VS.ABC SA SB SC 2 3 12 VS.AIK SA SI SK 1 1 1 Tỉ số . . 1. . VS.AIK VS.ABCD . VS.ACD SA SC SD 3 2 12 1 1 1 a3 V V V V . .a.a2 . S.AHIK S.AHI S.AIK 6 S.ABCD 6 3 18 Câu 1988. [2H1-2.5-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác SBD . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,C , D . Khi đó thể tích khối chóp S.AB C D bằng: V V V V A. . B. . C. . D. . 18 9 27 3 Lời giải Chọn D SB SD SI 2 Ta có . SB SD SO 3 SC ' CA OI SC ' 1 SC ' 1 Mà . . 1 .2. 1 . C 'C AO IS C 'C 2 SC 2 VS.AB D 4 VS.ABD 9 1 VS.AB C D V . V 4 1 2 3 S.B C D . VS.BCD 9 2 9 V 3 3 k = 1 = . V2 4
20. Câu 9. [2H1-2.5-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho khối chóp S.ABC có SA 2a, SB 3a, SC 4a , ·ASB S· AC 90 và B· SC 120 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng 2a 2 A. 2a 2 . B. a 2 . C. . D. 3a 2 . 3 Lời giải Chọn A Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M , N , P sao cho SM SN SP a .Ta có: MP a , MN a 2, NP a 3 . Suy ra MNP vuông tại M . Hạ SH vuông góc với mp MNP thì H a 2 2 a a3 2 là trung điểm của PN mà: S , SH V . MNP 2 2 S.MNP 12 VS.MNP SM SN SP 1 3 Mặt khác: VS.ABCD 2a 2 . VS.ABCD SA SB SC 24 2 S ABC 3a 3 3VS.ABCD 6a 2 Vậy: d C,(SAB) 2 2a 2 . S SAB 3a Câu 227: [2H1-2.5-3][THTT-477-2017] Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. a2bsin . B. a2bsin . C. a2bcos . D. a2bcos . 12 4 12 4 Lời giải Chọn A A' C' S B' A C H H' B
21. Gọi H là hình chiếu của A trên ABC . Khi đó ·A AH . Ta có A H A A.sin bsin nên thể tích khối lăng trụ là a2b 3 sin V A H.S . ABC.A B C ABC 4 Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng A H nên 1 a2b 3 sin thể tích khối chóp là V V . S.ABC 3 ABC.A B C 12 Câu 244: [2H1-2.5-3] Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp A.GBC . A. V 3. B. V 4 . C. V 6 . D. V 5. Lời giải Chọn B Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp A.GBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có S BGC S BGD S CGD S BCD 3S BGC (xem phần chứng minh). A B D G C Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: 1  1 V h.S h.S ABCD 3 BCD V BCD S 1 1 ABCD 3 BCD 3 V V .12 4 .  1 A.GBC ABCD 1 VA.GBC S GBC 3 3 V h.S h.S GBC A.GBC 3 GBC  3 Chứng minh: Đặt DN h; BC a . B D N G E M F C Từ hình vẽ có: MF CM 1 1 h +) MF // ND MF DN MF . DN CD 2 2 2 GE BG 2 2 2 h h +) GE // MF GE MF . MF BM 3 3 3 2 3
22. D G A C H H1 I B 1 1 S DN.BC ha +) BCD 2 2 3 S 3S S 1 1 h BCD GBC GBC GE.BC a 2 2 3 +) Chứng minh tương tự có S BCD 3S GBD 3S GCD S BGC S BGD S CGD . Cách 2: d G; ABC GI 1 1  d G; ABC d D; ABC d D; ABC DI 3 3 1 1 Nên VG.ABC d G; ABC .S ABC .VDABC 4. 3 3 Câu 15: [2H1-2.5-3] [2017] Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và BC . Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành 2 phần. V1 Gọi V là thể tích của phần chứa đỉnh A, V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số . 1 2 V 2 2 55 37 1 A. . B. . C. . D. . 3 89 48 2 S A' M A' M B' E B' K D' C' D' C' A A B B H N N D C D C Lời giải Chọn B Gọi H AB  DN ; MH cắt B'B tại K , cắt A' A tại S ; SD cắt A'D' tại E . Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME . Phần đa diện chứa A có thể tích là: V1 VS.ADH VS.A' EM VK.BNH .
23. Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA BH ; AH 4A'M ; AD 4A'E và 1 SA' B'K A' A . 3 1 2 Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng 1thì: SA' ; KB . 3 3 1 1 1 4 Ta có: VS.ADH SA.AD.AH 1 .1.2 . 6 6 3 9 1 1 1 1 V V ; V V S.A' EM 64 S.ADH 144 K.BNH 8 S.ADH 18 4 1 1 55 Vậy thì phần đa diện chứa A có thể tích là: . 9 144 18 144 55 89 Suy ra phần đa diện không chứa A có thể tích là: 13 . 144 144 Câu 38: [2H1-2.5-3] (THPT Lê Hoàn - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SQ SA , SD . Mặt phẳng chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt x , V SB 1 1 là thể tích của khối chóp S.MNQP , V là thể tích của khối chóp S.ABCD . Tìm x để V V . 1 2 1 33 1 1 41 A. x . B. x 2 . C. x . D. x . 4 2 4 Lời giải Chọn A S P Q M N B C O A D MN // BC Do PQ // BC .  SBC PQ V V V V V 1 SM SN SQ SP SN SQ S.MNQ S.NPQ 1 S.MNQ S.NPQ . . . . 1 V V V 2VS.ABD 2VS.BCS 2 SA SD SB SC SD SB x x2 1 33 1 2x2 x 4 0 x (vì x 0 ). 4 2 4 Câu 1: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA 2a . Gọi
24. B ; D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng AB D cắt cạnh SC tại C . Tính thể tích của khối chóp S.AB C D a3 16a3 a3 2a3 A. . B. . C. . D. 3 45 2 4 Lời giải Chọn B S C' B' D' I B A O D C VSAB C SB SC Ta có VS.AB C D 2VS.AB C 1 mà . * VSABC SB SC 2 SAC vuông tại A nên SC 2 SA2 AC 2 2a 2 a 2 6a2 suy ra SC a 6 Ta có BC  SAB BC  AB và SB  AB suy ra AB  SBC nên AB  BC Tương tự AD  SC . Từ đó suy ra SC  AB D  AB C D nên SC  AC SC SA2 4a2 2 Mà SC .SC SA2 suy ra . Ta cũng có SC SC 2 6a2 3 SB SA2 SA2 4a2 4 SB SB2 SA2 AB2 4a2 a2 5 VSAB C 8 8 8 1 8 Từ * suy ra VSAB C VSABC . VSABCD VSABCD mà VSABC 15 15 15 2 30 1 2a3 V S .SA SABCD 3 ABCD 3 8 2a3 8a3 Suy ra V . SAB C 30 3 45 16a3 Từ 1 suy ra V 2V . S.AB C D S.AB C 45 Câu 46. [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABC có M SA , N SB sao cho MA 2MS , NS 2NB . Mặt phẳng qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). 3 4 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 9 4 5 Hướng dẫn giải Chọn D
25. S M N Q C A P B Cách 1: Ta có mặt phẳng cắt các mặt SAC theo giao tuyến MQ PSC và cắt mặt SBC theo giao tuyến NP PSC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp là hình thang MNPQ . Do VMNABPQ VN.ABPQ VN.AMQ , gọi V VS.ABC và S S ABC ta có: 1 1 1 1 2 7 VN.ABPQ .d N, ABC .SABPQ . d S, ABC S . S V . 3 3 3 3 3 27 1 1 2 4 8 VN.AMQ .d N, SAC .S AMQ . d B, SAC . S ASC V . 3 3 3 9 27 5 4 Vậy V V V V V V . MNABPQ N.ABPQ N.AMQ 9 SMNPQC 9 V 4 Suy ra SMNPQC . VMNABPQ 5 Cách 2: S M N B A I P Q C Gọi I MN  AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có MS IA NB IB 1   1 . MA IB NS IA 4 BI SA NM NM Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác AMI , ta có:   1 1. BA SM NI NI PI AM AQ 2 Tương tự ta có: 1. Vì MQ//SC . PQ AS AC 3
26. VI .BNP IB IN IP 1 1 1 1 15 Khi đó:     VAMQ.NBP .VI .AMQ . VI .AMQ IA IM IQ 4 2 2 16 16 VM .AIQ d M ; ABC SAIQ d M ; ABC MA 2 Mà  với và VS.ABC d S; ABC SABC d S; ABC SA 3 S AI AQ 4 2 8 AIQ   . SABC AB AC 3 3 9 15 2 8 5 Suy ra V   V V . AMQ.NBP 16 3 9 S.ABC 9 S.ABC 5 1 4 Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 9 . 5 5 9 Câu 49: [2H1-2.5-3] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là: 2 27V 9 9V 81V A. .B. V .C. .D. . 4 2 4 8 Lời giải Chọn A S N M P Q C K B H F O I E D J A d S, MNPQ SM 2 Ta có . d S, ABCD SI 3 S DEJ 1 1 1 1 Mặt khác gọi S SABCD ta có . S DEJ S . S BDA 4 2 8 16 S JAI 1 1 Tương tự ta có S JAI . S DAB 4 8
27. 1 1 1 Suy ra SHKIJ 1 4. 2. S S . 16 8 2 2 SMNPQ 2 4 2 Mà SMNPQ SABCD . SHKIJ 3 9 9 1 1 3 9 27 Suy ra VS.ABCD d S, ABCD .S . d S, MNPQ . S V . 3 3 2 2 4 Câu 18: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N là trung điểm của SA , SB . Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là: 3 3 4 A. .B. . C. .D. 1. 4 5 5 Lời giải Chọn B S M N A B D C 1 Ta có V V V ; S.ABC S.ACD 2 S.ABCD SM SN SC 1 SM SD SC 1 và V . . V V ; V . . V V . S.MNC SA SB SC S.ABC 4 S.ABC S.MCD SA SD SC S.ACD 2 S.ACD 3 3 Suy ra V V V V V . S.MNCD S.MNC S.MCD 4 S.ABC 8 S.ABCD 5 Đồng thời V V V V . MNABCD S.ABCD S.MNCD 8 S.ABCD 3 Vậy tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là . 5 Câu 6535: [2H1-2.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho tứ diện đều S.ABC . Gọi G1 , G2 , G3 lần V lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC , SCA. Tính S.G1G2G3 . VS.ABC 1 2 1 2 A. .B. .C. . D. . 48 27 36 81 Lời giải
28. Chọn B S G3 G1 G2 A C P M N B . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Ta có. V 2 2 2 8 8 8 1 2 SG1G2G3 . . V V . V . SG1G2G3 SMNP SABC VSMNP 3 3 3 9 9 8 4 27 Câu 6578:[2H1-2.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 – 2017] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể 1 tích bằng V . Lấy điểm A trên cạnh SA sao cho SA SA. Mặt phẳng qua A và song song 3 với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,C , D . Khi đó thể tích khối chóp S.A B C D bằng: V V V V A. .B. . C. . D. . 27 9 3 81 Lời giải Chọn A 1 1 Gọi thể tích V . a.h .h . S.ABCD 3 2 a 1 Với S a.h h là chiều cao hính chóp S.ABCD . đáy 2 a 1 1 1 1 1 VS.A B C D . a ha'.h mà: h h , a a , ha ha . 3 2 3 3 3 V Nên V S.ABCD . S.A B C D 27 Câu 6590:[2H1-2.5-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 – 2017] Cho hình chóp S.ABC có ·ASB C· SB 600 , ·ASC 900 , SA SB a; SC 3a .Thể tích V của khối chóp S.ABC là: a3 2 a3 6 a3 2 a3 6 A. V .B. V . C. V . D. V . 12 6 4 18 Lời giải Chọn C Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC 3SM AB BM a; AM a 2 ABM . vuông tại B . Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM SH  (ABM) .