Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ - Dạng 1: Khối lăng trụ đứng (không đều) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ - Dạng 1: Khối lăng trụ đứng (không đều) - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 34.[2H1-3.1-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , B· AC 120 , mặt phẳng A B C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3 3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 8 8 8 Lời giải Chọn C Gọi M , I , I lần lượt là trung điểm của A C , BC , B C . D là điểm đối xứng với A qua I , D là điểm đối xứng với A qua I . Khi đó mặt phẳng A BC  A BDC . Þ góc giữa mặt phẳng (A¢BC¢) với đáy là góc giữa mặt phẳng A BDC với đáy. Ta có tứ giác A B D C là hình thoi Vì B· A C 120 nên tam giác A C D là tam giác đều cạnh bằng a D M  A C . Mà A C  DD Nên A C  DM Vậy góc giữa mặt phẳng A BDC với đáy là góc D· MD 60 a 3 D M C I 2 Xét tam giác A C D , có: C B a 3 a A I 2 Xét tam giác MDD vuông tại D có D· MD 60 VDMD là nửa tam giác đều có đường cao DD 3a DD D M. 3 . 2 1 1 a a2 3 S A I .B C . .a 3 . V A B C 2 2 2 4 1 1 a2 3 3a a3 3 V S .DD . . . ABC.A B C 3 V A B C 3 4 2 8 Câu 24. [2H1-3.1-3](THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AA a . Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
2. a3 a3 a3 A. V . B. V a3 . C. V . D. V . 2 3 6 Lời giải Chọn A Theo giả thiết ABC.A B C là lăng trụ đứng có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A . 1 a3 Suy ra thể tích của khối lăng trụ là V AA .S AA . .AB.AC . ABC 2 2 Câu 35. [2H1-3.1-3] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác A BC có diện tích bằng 8a2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V 8 3a3 . B. V 2 3a3 . C. V 64 3a3 . D. V 16 3a3 . Lời giải Chọn A A C B A C 30o H B Gọi H là trung điểm BC AH  BC . AA  ABC  Ta lại có:  BC  AA BC  ABC  góc giữa A BC và ABC là 30 . AH x 3 Gọi BC 2x , theo đề ta có: A H AA 2 AH 2 2x . AA AH.tan 30 x 1 1 S 8a2 BC.A H 8a2 .2x.2x 8a2 x 2a . A BC 2 2
3. 2 3 Vậy thể tích cần tìm: V S .AA 4a . .2a 8 3a3 . ABC 4 Câu 39: [2H1-3.1-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân, với AB AC a và góc B· AC 120 , cạnh bên AA a . Gọi I là trung điểm của CC . Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I bằng 11 33 10 30 A. .B. . C. . D. . 11 11 10 10 Lời giải Chọn D B' a 3 C' A' a I B C a A 2 2 2 · 2 2 1 2 Ta có BC AB AC 2AB.AC.cos BAC a a 2.a.a. 3a BC a 3 . 2 Xét tam giác vuông B AB có AB BB 2 AB2 a2 a2 a 2 . a2 a 5 Xét tam giác vuông IAC có IA IC 2 AC 2 a2 . 4 2 a2 a 13 Xét tam giác vuông IB C có B I B C 2 C I 2 3a2 . 4 2 5a2 13a2 Xét tam giác IB A có B A2 IA2 2a2 B I 2 IB A vuông tại A 4 4 1 1 a 5 a2 10 S AB .AI .a 2. . IB A 2 2 2 4 1 1 3 a2 3 Lại có S AB.AC.sin B· AC a.a. . ABC 2 2 2 4 Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I là . Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của AB I trên mặt phẳng ABC . a2 3 a2 10 30 Do đó S S .cos .cos cos . ABC IB A 4 4 10 Câu 8: [2H1-3.1-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C đáy là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 , biết góc giữa A BC và đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ. a3 3 a3 3 a3 3 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 6 Lời giải
4. Chọn A Tam giác ABC vuông cân tại B , AC a 2 AB BC a . a2 S . ABC 2 Góc giữa A BC và đáy là góc ·A BA 60 . A A AB.tan 60 a 3 . a2 a3 3 V S .A A .a 3 . ABC.A B C ABC 2 2 Câu 34: [2H1-3.1-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng AB 'C và mặt phẳng BCC ' B ' bằng 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '? 2a3 3 a3 3 3a3 3 3a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 4 2 Lời giải Chọn D Z B' A' C' B A y C x Vì tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh BC a 6 nên AB AC a 3 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A 0;0;0 , C a 3;0;0 , B 0;a 3;0 , A 0;0; z z 0 .   B 0;a 3; z ; BC a 3;a 3;0 , BB 0;0; z .  1   VTPT của BCC B là: n BC, BB 1;1;0 . 1 za 3
5.   AC a 3;0;0 , AB 0;a 3; z .  1   VTPT của mặt phẳng BA C là: n AC, AB 0; z;a 3 . 2 a 3 Vì góc giữa mặt phẳng AB 'C và mặt phẳng BCC ' B ' bằng 600 nên:   z 1 cos60 cos n1,n2 z a 3 . 2 z2 3a2 2 1 3a3 3 Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' là: V AC.AB.AA . 2 2 Câu 43. [2H1-3.1-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương cạnh 2a. Tâm các mặt của hình lập phương là đỉnh của một hình bát diện đều. Tính tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều đó. A. 3a2. B. 8 3a2 . C. 2 3a2 .D. 4 3a2 . Lời giải Chọn A A' B' D' C' O2 B A O1 D C Xét hình lập phương ABCDA B C D cạnh 2a , gọi O1 ,O2 tương ứng là tâm của ABCD và 1 1 ABB A suy ra:O O B C 2a 2 a 2 và O ,O là cạnh của bát diện đều có đỉnh là 1 2 2 2 1 2 tâm của hình lập phương ABCDA B C D . Suy ra hình bát diện đều có tổng diện tích các mặt là: 2 a 2 3 S 8. 4 3a2 (đvdt). 4 Câu 46: [2H1-3.1-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Từ hình vuông có cạnh bằng 6 người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp. A. 8 2 . B. 10 2 . C. 9 2 . D. 11 2 .
6. Lời giải Chọn A Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ x y x x Ta có y 2 6 x y 3 2 y 3 2 x với 0 x 3 2 . 2 2 Thể tích của khối hộp tạo thành là V x2 y x2 3 2 x . Ta có V 3x 2 2 x 0 x 2 2 . Ta có bảng biến thiên Vậy: maxV 8 2 khi x 2 2 , y 2 . Câu 50: [2H1-3.1-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác cân ABC với AB AC 2x , B· AC 120 , mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 4x3 3x3 9x3 A. V . B. V x3 . C. V . D. V . 3 16 8 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm B C .
7. x Ta có · AB C , A B C ·AIA 30 , A I A B .tan 60 x , AA A I.tan 30 . 3 x 1 3 V . .2x.2x.sin120 x .Câu 32. [2H1-3.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần ABC.A B C 3 2 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB và CC . Mặt phẳng A MN chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1 là V1 thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số . V2 V 7 V V V 5 A. 1 .B. 1 2 . C. 1 3. D. 1 . V2 2 V2 V2 V2 2 Lời giải Chọn B A' C' B' N M A C B Đặt thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là V , khi đó ta có thể tích khối chóp V 2V A .ABC là thể tích khối chóp A .BCC B . 3 3 Mặt khác thể tích khối chóp A .BCNM bằng thể tích khối chóp A .B C NM nên thể V tích khối chóp A .BCNM bằng . 3 2V V V1 Vậy V1 , V2 2 . 3 3 V2 Câu 46. [2H1-3.1-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Hình lăng trụ đứng ABC.A B C có diện tích đáy bằng 4 , diện tích ba mặt bên lần lượt là 9, 18 và 10. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng 4 11951 11951 A. 4 11951 . B. . C. 11951 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D
8. A' B' C' x c B A b a C Đặt AA x, AB c , AC b, BC a . xc 18 c 2b Ta có: xb 9 10 . a b xa 10 9 a b c 37 Ta lại có S 4 p p a p b p c 4 , với p b ABC 2 18 37 37 10 37 37 b b b b b b 2b 4 18 18 9 18 18 1296 11951 b . Suy ra x . 11951 8 11951 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A B C : V AA .S . ABC 2 Câu 9: [2H1-3.1-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 3cm ; 30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480cm2 . Tính thể tích V của lăng trụ đó. A. V 2160cm3 . B. V 360cm3 . C. 720cm3 . D. V 1080cm3 . Lời giải Chọn D. 37 13 30 Nửa chu vi đáy: p 40 . 2 Diện tích đáy là: S 40.(40 37).(40 13).(40 30) 180cm2
9. Gọi x là độ dài chiều cao của lăng trụ. Vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật nên ta có: Sxq 13.x 37.x 30.x 480 x 6 Vậy thể tích của lăng trụ là: V 6.180 1080cm3 Câu 12: [2H1-3.1-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có cạnh BC 2a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và A' BC bằng 600. Biết diện tích của tam giác A' BC bằng 2a2. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' 2a3 a3 3 A. V 3a3. B. V a3 3. C. V . D. V . 3 3 Lời giải Chọn B. Gọi H là hình chiếu của A trên BC AH  BC. Ta có AA'  (ABC) AA'  BC và AH  BC BC  (A' AH ) (·(ABC);(A' BC)) ·A' HA 600. 1 2.S 4a2 Diện tích A' BC là S .A' H.BC A' H A'BC 2a. A'BC 2 BC 2a AA' sin ·A' HA AA' sin 600.2a a 3 , A' H 2 1 AH A' H 2 A' A2 4a2 a 3 a S .AH.BC a2. ABC 2 2 3 Vậy thể tích lăng trụ là VABC.A'B'C ' AA'.S ABC a 3.a a 3. Câu 13: [2H1-3.1-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC a , ·ACB 60 . Đường thẳng BC tạo với ACC A một góc 30 . Tính thể tích V của khối trụ ABC.A B C . a3 3 A. V a3 6 . B. V . C. V 3a3 . D. V a3 3 . 3 Lời giải Chọn A.
10. Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: AB 1 a2 3 tan 60o AB a 3 . Khi đó S AB.AC . AC ABC 2 2 Ta có hình chiếu vuông góc của cạnh BC trên mặt phẳng ACC A là AC . Khi đó góc B· C A 30 . Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: AB tan 30 AC 3a . AC 2 2 3 Khi đó: CC AC AC 2a 2 . Vậy VABC.A B C CC .S ABC a 6 . Câu 14: [2H1-3.1-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB 1, AC 2 , B· AC 120o . Giả sử D là trung điểm của cạnh CC và B· DA 90o .Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng 15 A. 2 15 . B. 15 . C. . D. 3 15 . 2 Lời giải. Chọn B. BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC 7 BC 7 . h2 h2 Đặt AA h BD2 7, A B2 h2 1, A D2 4 . 4 4 Do tam giác BDA vuông tại D nên A B2 BD2 A D2 h 2 5 . Suy ra V 15 . Câu 15: [2H1-3.1-3] (THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại C , ·ABC 60 , cạnh BC a , đường chéo AB của mặt bên ABB A tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . a3 6 a3 3 A. . B. a3 6 . C. . D. a3 3 . 3 3 Lời giải Chọn B.
11. Tam giác ABC vuông tại C có ·ABC 60 ; BC a . suy ra AC BC tan 600 a 3 . 1 a2 3 Khi đó : S AC.BC . ABC 2 2 Mặt khác: AC  BCC B suy ra góc giữa AB ' và mặt phẳng BCC B là ·AB C 30 . AC Tam giác AB C vuông tại C có ·AB C 30 ; BC a suy ra B C 3a . tan 30o Tam giác BB C vuông tại B có BC a ; B C 3a BB 2 2a . 3 Vậy VABC.A B C S ABC .BB a 6 . Câu 13: [2H1-3.1-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A , AC a , ·ACB 60 . Đường chéo BC của mặt bên BCC B tạo với mặt phẳng AA C C một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. a3 6 2 6a3 a3 6 A. . B. . C. . D. a3 6 . 2 3 3 Lời giải Chọn D 1 a2 3 Ta có ABC vuông tại A, AC a AB a 3 S .a.a 3 ABC 2 2 BC tạo với mặt phẳng AA C C góc 30 B· C A 30. Lại có ABC vuông tại A , suy ra AC 3a . Từ đó
12. AA AC 2 A C 2 AC 2 AC 2 2 2a . a2 3 Vậy V AA .S 2 2a. a3 6 . ABC.A B C ABC 2 Câu 45. [2H1-3.1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là BCC B hình vuông, khoảng cách giữa AB và CC bằng a . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là: a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. a3 . 3 6 2 Lời giải Chọn C B' A' C' B A C Ta có: AC  AB (giả thiết), AC  AA ( vì ABC.A B C là lăng trụ đứng) AC  AA B B . Ta có: CC / /BB CC / / AA B B d CC , AB d CC , AA B B d C, AA B B AC a . Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên BC AC 2 a 2 . Mặt khác BCC B hình vuông nên BB BC a 2 . a2 a3 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: V SABC .BB a 2 . 2 2 Câu 30: [2H1-3.1-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là hình vuông cạnh a , góc giữa mặt phẳng D AB và mặt phẳng ABCD bằng 30 . Thể tích khối hộp ABCD.A B C D bằng a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. a3 3 . C. . D. . 18 3 9 Lời giải Chọn B
13. Ta có ADD A  AB nên góc giữa mặt phẳng D AB và mặt phẳng ABCD là góc AD và A D AA hay ·A AD 30 . Suy ra AA a 3 . Vậy thể tích hộp V a3 3 . tan30 ABCD.A B C D Câu 12: [2H1-3.1-3] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Một mặt phẳng đi qua A B và trọng tâm tam giác ABC , cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Thể tích V của khối C.A B FE là : 5a3 3 5a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. 54 18 27 5a3 3 V . 27 Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng ABC qua G kẻ đường thẳng song song với AB cắt CA , CB lần lượt tại E , F . Ta chia khối C.A B FE thành hai khối A .B CF và A .CEF . a 3 Kẻ A H  B C A H  B C CB . A H . 2
14. 1 1 1 a 3 2a a3 3 Ta có V A H . B B.CF .a. . A .B CF 3 2 6 2 3 18 2 2 SCEF CF 4 4 a 3 Ta lại có SCEF SABC . SABC CB 9 9 9 1 1 a2 3 a3 3 V A A.S a. . A .CEF 3 CEF 3 9 27 a3 3 a3 3 5a3 3 Vậy V V V . C.A B FE A .B CF A .CEF 18 27 54 Câu 34: [2H1-3.1-3] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật đứng ABCD.A B C D , nền là hình chữ nhật ABCD có AB 3m , BC 6m , chiều cao AA 3m , chắp thêm một lăng trụ tam giác đều mà một mặt bên là A B C D và A B là một cạnh đáy của lăng trụ. Tính thể tích của nhà kho ? 9 12 3 27 3 A. m3 . B. m3 . C. 54m3 . D. 2 2 27 4 3 m3 . 2 Lời giải Chọn D J I C' B' A' D' 3 m B 6 m C 3 m A D Ta có : Vkho VABCD.A B C D VA B J .D C I 3 VABCD.A B C D AB.AD.A A 3.3.6 54m . 3 27 3 V S .A D 32. .6 m3 . A B J .D C I A B J 4 2 27 4 3 V m3 kho 2 Câu 41: [2H1-3.1-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB BC 2a , AA a 3 . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC B theo a .
15. 4a3 3 2a3 3 A. V . B. V a3 3 . C. V . D. V 2a3 3 . 3 3 Lời giải Chọn A 1 1 1 4 3 Ta có: V AB.S .AB.BC.BB .2a.2a.a 3 a3 . A.BCC B 3 BCC B 3 3 3 Câu 1958: [2H1-3.1-3] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A , AC a , ACB 60 . Đường chéo BC ' của mặt bên BCC B tạo với mặt phẳng AA C C một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a . a3 6 2 6a3 a3 6 A. . B. . C. . D. a3 6 . 2 3 3 Lời giải Chọn D Ta có BC  ACC A  C A là hình chiếu của BC lên mặt phẳng ACC A . · Vậy góc BC , ACC A BC A 30 . ABC vuông tại A có AB AC.tan 60 a 3 . ABC ' vuông tại A có AC ' AB.cot 30 3a . ACC ' vuông tại C có CC ' AC '2 AC 2 2a 2 . 1 V S .CC AB.AC.CC a3 6 . ABC.A' B 'C ' ABC 2 Câu 1966. [2H1-3.1-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC a, ACB 60 . Đường thẳng BC ' tạo với ACC A một góc 300 . Tính thể tích V của khối trụ ABC.A B C . a3 3 A. V a3 6 . B. V . C. V 3a3 . D. V a3 3 . 3 Lời giải Chọn A
16. Ta có BA  ACC A  C A là hình chiếu của BC lên mặt phẳng ACC A . Vậy góc · BC , ACC A BC A 30 . ABC vuông tại A có AB AC.tan 60 a 3 . ABC vuông tại A có AC AB.cot 30 3a . ACC vuông tại C có CC AC 2 AC 2 2a 2 . 1 V S .CC AB.AC.CC a3 6 . ABC.A B C ABC 2 Câu 1972. [2H1-3.1-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là BCC B là hình vuông, khoảng cách giữa AB và CC bằng a . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là 2a3 2a3 A. . B. 2a3 . C. . D. a3 . 3 2 Lời giải Chọn C Tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Và ABC.A B C là lăng trụ đứng AA  ABC AA  AC . Suy ra AC  ABB A d C, ABB A AC . Mặt khác CC // ABB A d AB ,CC d CC , ABB A AC . AB AC a BC a 2 AA' BB' a 2 . Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là 1 a3 2 V AA .S a 2. a2 . ABC.A B C ABC 2 2
17. Câu 47: [2H1-3.1-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với CA CB a . Trên đường chéo CA lấy hai điểm M , N . Trên đường chéo AB lấy được hai điểm P , Q sao cho MNPQ là tứ diện đều. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . a3 a3 A. . B. a3 .C. . D. 2a3 . 6 2 Lời giải Chọn C A' B' C' Q N P A M B C Do MNPQ là tứ diện đều suy ra AB  A C . Đặt A A x .       Ta có AB .A C 0 AC CB BB .A C 0 a x x. a2 x2 . x. a2 x2 . 0 x a . a2 x2 a2 x2 1 a3 Vậy V a. a2 . ABC.A B C 2 2 Câu 16: [2H1-3.1-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là A. 30% .B. 50% .C. 21% .D. 11% . Lời giải Chọn C O' h R O a Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng. Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ.
18. Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi a và chỉ khi diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất). Suy ra R . 2 Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy lớn nhất. a2 Ta có: V a2.h và V R2.h . .h . 1 2 4 a2 . .h V2 4 Suy ra: 2 78,54% . Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng V1 a .h 4 21,46% . Câu 42: [2H1-3.1-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có thể tích V . Điểm M là trung điểm cạnh AA . Tính theo V thể tích khối chóp M.BCC B . 2V 3V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải Chọn A A' C' B' M A C B Gọi: V VABC.A B C AA .S ABC . 1 1 1 1 V V .MA.S . .AA .S V . M .ABC M .A B C 3 ABC 3 2 ABC 6 1 1 2V Ta có: V V V V V V V . M .BCC B M .ABC M .A B C 6 6 3 Câu 25: [2H1-3.1-3] (SGD Đồng Tháp - HKII 2017 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC a đến mặt phẳng A BC bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng 6 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. B. C. D. 4 8 28 16 Lời giải Chọn D
19. A' C' B' H A C O M B Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'M . BC  AM  Ta có  BC  AA M BC  AH (1) BC  AA  Mà AH  A M 2 Từ (1) và (2) d A, A BC AH . d O, A BC MO 1 Ta có (do tính chất trọng tâm). d A, A BC MA 3 a a d A, A BC 3d O, A BC AH . 2 2 1 1 1 1 4 4 a 3 Xét tam giác vuông A' AM : AA . AH 2 AA 2 AM 2 AA 2 a2 3a2 2 2 a 3 a2 3 3 2a3 Suy ra thể tích lăng trụ ABC.A' B C là: V AA .S . . ABC 2 2 4 16 Câu 6688: [2H1-3.1-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2 - 2017] Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D a 3 có AB AD a , AA' , B· AD 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm A D , A B . 2 Tính thể tích của khối đa diện ABDMN . 3a3 3 3a3 9a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 16 8 16 8 Lời giải Chọn A
20. . Gọi S BN  AA . Suy ra: S, M , D thẳng hàng. SM AM 1 Có: . Suy ra M là trung điểm của SD . SD AD 2 S SMN SM SN 1 3 . SMNBD S SBD . S SBD SD SB 4 4 Tam giác ABD có AB AD a , B· AD 60 nên tam giác ABD là tam giác đều. 1 1 3 3 V d A, BDMN .S d A, SBD . S V . A.BDMN 3 BDMN 3 4 SBD 4 S.ABD 3 1 1 a2 3 3a3 SA.S a 3. . 4 3 ABD 4 4 16 Câu 6689: [2H1-3.1-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2017] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a , BC a 3 , AC 2a và góc giữa CB và ABC bằng 60o . Mặt phẳng P qua trọng tâm tứ diện CA B C , song song với mặt đáy lăng trụ và cắt các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F , Q . Tỉ số thể tích của khối tứ diện CEFQ và khối lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất? A. 0,07 . B. 0,06 . C. 0,25 . D. 0,09 . Lời giải Chọn C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm A B , CC ; G là trung điểm MN . Suy ra G là trọng tâm tứ diện CA B C . 3 P qua G và cắt các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F , Q thì AE BF CQ AA . 4
21. Thể tích khối lăng trụ là V AA .SABC . 1 1 3 1 V 1 Thể tích tứ diện CEFQ là: V CQ.S . AA .S V CEFQ 0,25 . CEFQ 3 EFQ 3 4 ABC 4 V 4 Câu 6693: [2H1-3.1-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2017] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có AB a , BC a 3 , AC 2a và góc giữa CB và ABC bằng 60o . Mặt phẳng P qua trọng tâm tứ diện CA B C , song song với mặt đáy lăng trụ và cắt các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F , Q . Tỉ số thể tích của khối tứ diện CEFQ và khối lăng trụ đã cho gần số nào sau đây nhất? A. 0,07 . B. 0,06 . C. 0,25 . D. 0,09 . Lời giải Chọn C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm A B , CC ; G là trung điểm MN . Suy ra G là trọng tâm tứ diện CA B C . 3 P qua G và cắt các cạnh AA , BB , CC lần lượt tại E , F , Q thì AE BF CQ AA . 4 Thể tích khối lăng trụ là V AA .SABC . 1 1 3 1 V 1 Thể tích tứ diện CEFQ là: V CQ.S . AA .S V CEFQ 0,25 . CEFQ 3 EFQ 3 4 ABC 4 V 4 Câu 6694: [2H1-3.1-3] [TTLT ĐH Diệu Hiền - 2017] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB 2a, AC 3a . Mặt phẳng A BC hợp với mặt phẳng A B C một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 6a3 39 18a3 39 9a3 39 3a3 39 A. . B. . C. . D. . 13 13 26 26 Lời giải Chọn B
22. . A A BC  A B C Ta có B C //BC A BC  A B C A d //BC//B C . B C  A B C ; BC  A BC Dựng A H  B C A H  A d . Dựng A K  BC A K  A d . Góc mặt phẳng A BC với mặt phẳng A B C là K· A H K· A H 60. A B 2.A C 2 6 13 Ta có A H a . A B 2 A C 2 13 6 39 Ta có BB HK tan 60.A H a . 13 1 1 6 39 18 39 Vậy V BB .S AB.AC.BB 2a.3a a a3 . ABC.A B C ABC 2 2 13 13 Câu 7395:[2H1-3.1-3] [Sở Bình Phước - 2017] Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng AB . Biết AB 12 3 cm , BC 6cm và BQ 18cm . Hãy tính thể tích của hộp nữ trang. S T R P Q D E C 18 6 A M B 12 3 . A. 216 4 3 3 cm3 .B. 261 4 3 3 cm3 . C. 261 3 3 4 cm3 . D. 216 3 3 4 cm3 . Lời giải Chọn D Ta có V BQ.SABCDE .
23. Trong đó SABCDE SABCE SCDE SABCE SMCDE S MCE . .122.120 1 6.12 3 .6.12 3 12 3 3 4 . 360 2 Thể tích hộp nữ trang là V 18.12 3 3 4 216 3 3 4 cm3 .