Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 5: Cực trị trong hình học không gian - Dạng 1: Max, min thể tích - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 1 - Chủ đề 5: Cực trị trong hình học không gian - Dạng 1: Max, min thể tích - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 13. [2H1-5.1-3] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 - 2018 - BTN) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng 2 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. x 2 3 . B. x 6 . C. x 2 . D. x 3 . Lời giải Chọn B CH  AB Cách 1. Gọi H là trung điểm AB (do ABC , ABD cân đáy AB ) DH  AB AB  CDH . x2 Mặt khác CDH cân tại H , HC 2 HD2 4 . 4 A x H B D I C x2 12 x2 Gọi I là trung điểm CD HI HC 2 CI 2 4 1 . 4 2 1 1 Suy ra S HI.CD 12 x2 CDH 2 2 1 1 1 1 Vậy V AB.S  x  12 x2 x 12 x2 . ABCD 3 CDH 3 2 6 Cách 1a: Xét f x x 12 x2 , x 0;2 3 x2 12 2x2 f x 12 x2 , x 0;2 3 12 x2 12 x2 f x 0 x 6 do x 0;2 3 . Bảng biến thiên: x 0 6 2 3 f x – 0 1 f x 0 0 Vậy Vmax 2 khi x 6 . 2 2 1 1 x 12 x Cách 1b: V  x 12 x2  1 ABCD 6 6 2 2 x 12 x Dấu “ ” xảy ra khi x 6 . x 0;2 3
2. AH  CD Cách 2: Gọi H là trung điểm CD , dễ thấy (do ACD , BCD cân đáy CD ) Suy BH  CD ra CD  ABH ABH  BCD theo giao tuyến BH . Vì vậy trong ABH kẻ AK  BH tại K BH thì AK  BCD 1 1 22 3 3 Do đó V  AK  S  AK  AK . ABCD 3 BCD 3 4 3 Vậy VABCD lớn nhất AKmax . Trong AHK có AK AH nên AK lớn nhất khi K  H AH  BH . AB2 AH 2 BH 2 6 x 6 . (Vì ACD , BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2 nên AH BH 3 ) A x B D K H C Vậy VABCD lớn nhất khi x 6 . Câu 18. [2H1-5.1-3](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Xét khối tứ diện ABCD , AB x , các cạnh còn lại bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất. A. x 6 .B. x 2 2 . C. x 14 .D. x 3 2 . Lời giải Chọn D A M x 2 B D 2 3 H C [Phương pháp tự luận] Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB và CD . CM  AB Ta có tam giác ABC , ABD cân lần lượt tại C và D . Suy ra AB  CDM . DM  AB Ta có: CAB DAB c.c.c suy ra MC MD . Ta được MH  CD . Tứ diện BMCH có đường cao BM , đáy là tam giác MHC vuông tại H .
3. x Có BM ; BH BC 2 CH 2 12 3 3 2 x2 1 1 x2 HC 3 ; HM BH 2 BM 2 9 . Suy ra S .MH.HC . 9 . 3 . 4 MHC 2 2 4 1 x 3 x2 V 2V 2.2V 4. . . . 9 ABCD BMCD BMHC 3 2 2 4 x 3 x2 2 3 x x2 2 3 1 x2 x2 3 3 9 . . 9 . . 9 . 3 4 3 2 4 3 4 4 4 2 3 3 Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng , đạt khi 2 x2 x2 9 x2 18 x 3 2 . 4 4 [Phương pháp trắc nghiệm] x 3 x2 Thực hiện như phương pháp tự luận để có được V 9 . Nhập hàm số bên vào máy 3 4 tính. CALC 6 , được V 3.872. CALC 2 2 , được V 4.320 . CALC 14 , được V 5.066. CALC 3 2 , được V 5.196. Câu 15: [2H1-5.1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn x2 y2 z2 9 . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC . 3 6 3 6 6 2 6 A. .B. . C. .D. . 8 4 4 5 Lời giải Chọn C S x z y A C H K B 2 Thể tích khối tứ diện V y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 . 12 2 Mà x2 y2 z2 9 nên V 9 2x2 9 2y2 9 2z2 . 12
4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 9 2x2 , 9 2y2 , 9 2z2 ta có 3 9 2x2 9 2y2 9 2z2 9 2x2 9 2y2 9 2z2 3 2 6 27 9 2x2 9 2y2 9 2z2 V . 27 V . 12 4 6 Vậy V , đạt được khi x y z 3 tức là tứ diện đã cho là tứ diện đều cạnh 3. max 4 Câu 6: [2H1-5.1-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH L3) Cho khối chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là a3 6 a3 6 a3 6 A. a3 6 . B. . C. . D. . 2 3 6 Lời giải Chọn D A a a 3 S C H a 2 B 1 Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) V AH.S . 3 SBC Ta có AH SA ; dấu “=” xảy ra khi AS  SBC . 1 1 S SB.SC.sin S· BC SB.SC , dấu “=” xảy ra khi SB  SC . SBC 2 2 1 1 1 1 Khi đó, V AH.S AS  SB  SC SA SB  SC . 3 SBC 3 2 6 Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. 1 a3 6 Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là V SA.SB.SC . 6 6 Câu 50: [2H1-5.1-3] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho x , y là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp S.ABC có SA x , BC y , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích x.y bằng : 3 4 3 1 A. .B. .C. 2 3 .D. . 4 3 3 Lời giải
5. Chọn A - Do SB SC AB AC 1 nên các tam giác SBC và ABC cân tại S và A . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SA , ta có: SM  BC BC  SAM . Hạ SH  AM tại H thì SH  ABC . AM  BC y2 1 1 y2 - Ta có: AM 1 S AM.BC y 1 . 4 ABC 2 2 4 y2 x2 Mặt khác: vì SM AM nên tam giác MSA cân tại M MN MA2 AN 2 1 . 4 4 y2 x2 x. 1 2 2 MN.SA x 4 x y Lại có: SH.AM MN.SA SH 4 4 AM y2 4 y2 1 4 2 2 2 1 1 x 4 x y 1 y 1 2 2 VS.ABC .SH.SABC . . .y 1 xy 4 x y 3 3 4 y2 2 4 12 2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 x y 4 x y 2 3 x y 4 x y . 12 12 3 27 2 3 2 4 Vậy V x2 y2 4 x2 y2 x y , do đó x.y .Câu 1324: [2H1-5.1-3] max 27 3 3 [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] [2017] Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít. Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau. A. Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4.B. Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2. C. Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3. D. Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1. Lời giải Chọn D Gọi x là cạnh của đáy hộp. h là chiều cao của hộp. S x là diện tích phần hộp cần mạ. Khi đó, khối lượng vàng dùng mạ tỉ lệ thuận với S(x).
6. Ta có: S x x2 4xh 1 ;V x2h 4 h 4 / x2 2 16 Từ (1) và (2), ta có S x x2 . x Dựa vào BBT, ta có S x đạt GTNN khi x 2 . Câu 38: [2H1-5.1-3](THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 4a , AD = 5a . Gọi M , N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB , DBC , DCA . Tính thể tích V của tứ diện DMNP khi thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. 10a3 80a3 20a3 120a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 7 27 27 Lời giải Chọn C V DM DN DP æ2ö3 8 8 1 2 Ta có: D.MNP = . . = ç ÷ Þ V = V = . .V = .V ç ÷ D.MNP D.HIK D.ABC D.ABC VD.HIK DH DI DK è3ø 27 27 4 27 1 1 1 1 1 Ta có: V = .S .SH = . .AB.AC.sin A.DE £ AB.AC.DE £ AB.AC.DE D.ABC 3 ABC 3 2 6 6 ( DE là đường cao của hình chóp D.ABC ) Dấu bằng xảy ra khi: DA = DE và B·AC = 90o 1 1 1 Suy ra: (V ) = . .AB.AC.DA = .3a.4a.5a = 10a3 D.ABC max 3 2 6 2 20 Vây: V = .10a3 = a3 D.MNP 27 27 Câu 1873. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. a3 6 a3 6 a3 6 A. V a3 6 . B. V . C. V . D. V . max max 2 max 3 max 6 Lời giải Chọn D
7. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC  AH  SBC . Ta có AH AS . Dấu '' '' xảy ra khi AS  SBC . 1 1 S SB.SC.sin B· SC SB.SC . SBC 2 2 Dấu '' '' xảy ra khi SB  SC . 1 1 1 1 Khi đó V S SBC .AH SB  SC AS SA.SB.SC 3 3 2 6 Dấu '' '' xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. 1 a3 6 Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là V SA.SB.SC . max 6 6 Câu 1875. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SC 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 40 80 20 A. V . B. V . C. V . D. V 24 . max 3 max 3 max 3 max Lời giải Chọn A S 6 A 4 B x D C Đặt cạnh BC x 0. Tam giác vuông ABC, có AC 2 16 x2. Tam giác vuông SAC, có SA SC 2 AC 2 20 x2 . Diện tích hình chữ nhật SABCD AB.BC 4x. 1 4 Thể tích khối chóp V S .SA x 20 x2 . S.ABCD 3 ABCD 3 Áp dụng BĐT Côsi, ta có
8. 2 x2 20 x2 x. 20 x2 10 . 2 4 40 Suy ra V .10 . S.ABCD 3 3 40 Dấu " " xảy ra x 20 x2 x 10 . Vậy V . max 3 4 Cách 2. Xét hàm số f x x 20 x2 trên 0;2 5 . 3 Câu 1876. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA SB SC 1. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 1 2 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V . max 6 max 12 max 12 max 12 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều SO  ABC . x2 3 Đặt AB x 0. Diện tích tam giác đều S . ABC 4 x 3 2 x 3 Gọi M là trung điểm BC AM OA AM . 2 3 3 x2 Tam giác vuông SOA, có SO SA2 OA2 1 . 3 1 1 x2 3 3 x2 1 Khi đó V S .SO . . .x2 3 x2 . S.ABC 3 ABC 3 4 3 12 1 1 Xét hàm f x .x2 3 x2 trên 0; 3 , ta được max f x f 2 . 12 0; 3 6 Câu 1877. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD 4 . Các cạnh bên bằng nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 130 128 125 250 A. V . B. V . C. V . D. V . max 3 max 3 max 3 max 3 Lời giải Chọn B
9. S 6 x B A O 4 C D Gọi O AC  BD. Vì SA SB SC SD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO  ABCD . Đặt AB x 0. Tam giác vuông ABC, có AC AB2 BC 2 x2 16. AC 2 128 x2 Tam giác vuông SOA, có SO SA2 AO2 SA2 4 2 2 1 1 128 x 1 2 1 2 2 128 Khi đó VS.ABCD SABCD .SO .4x. . 2x 128 x . x 128 x . 3 3 2 3 3 3 128 Dấu '' '' xảy ra x 128 x2 x 8. Suy ra V . S.ABCD 3 Câu 1879. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD 4a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 8a3 4 6 A. V . B. V a3 . C. V 8a3 . D. V 4 6 a3. max 3 max 3 max max Lời giải Chọn A S A D H B C Do SA SB SC SD a 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Gọi H AC  BD , suy ra SH  ABCD . Đặt AB x 0. Ta có AC AD2 AB2 x2 16a2 . AC 2 8a2 x2 Tam giác vuông SHA, có SH SA2 . 4 2 1 1 Khi đó V S .SH AB.AD.SH S.ABCD 3 ABCD 3
10. 1 8a2 x2 a a 8a3 .x.4a. 2x 8a2 x2 x2 8a2 x2 . 3 2 3 3 3 Câu 1881. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SC 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho. 3 2 2 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . max 12 max 12 max 27 max 27 Lời giải Chọn D S 1 A B x x C Giả sử CA CB x 0.Suy ra SA SC 2 AC 2 1 x2 . 1 1 Diện tích tam giác S CA.CB x2. ABC 2 2 1 1 Khi đó V S .SA x2 1 x2 . S.ABC 3 ABC 6 1 2 2 2 3 Xét hàm f x x 1 x trên 0;1 , ta được max f x f . 6 0;1 3 27 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 1 x x 2 2x 2 3 Cách 2. Ta có x 1 x x .x . 2 2x . 2 2 3 9 Câu 1883. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y y 0 và vuông góc với mặt đáy ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt 2 2 2 AM x 0 x a . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.ABCM , biết x y a . a3 3 a3 3 A. V . . B. V . C. ABCD . D. S.ABCD max 3 max 8 Lời giải Chọn B S y A a x B M a D C Từ x2 y2 a2 y a2 x2 . BC AM a x Diện tích mặt đáy SABCM .AB a. 2 2
11. 1 Thể tích khối chóp V S .SA S.ABCM 3 ABCM 1 a x 2 2 a 2 2 . .a a x a x a x . 3 2 6 2 2 2 a 3 3a Xét hàm f x a x a x trên 0;a , ta được max f x f . 0;a 2 4 a3 3 Suy ra V . max 8 Câu 1888. [2H1-5.1-3] Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC a, SB b, SC c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho. abc 2 abc 2 abc 2 abc 2 A. V . B. V . C. V . D. V . max 4 max 8 max 12 max 24 . . Lời giải Chọn D S c z b A y C x a B x2 y2 a2 2 2 2 Đặt AB x, AC y, AS z. Ta có x z b . 2 2 2 y z c xyz 2xy 2yz 2zx Khi đó V  V 2 6 288 2 2 2 2 2 2 x y y z z x a2b2c2 abc 2  V . 288 288 24 Dấu '' '' xảy ra khi x y z  a b c. . Câu 1889. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho SM SN m 0, n 0. Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp S.AMN biết SB SD max 2m2 3n2 1. a3 a3 6 a3 A. V . B. V . C. ABCD . D. V . max 6 max 72 max 48 Lời giải Chọn B
12. S M N B A D C a3 Thể tích khối chóp S.ABD là V . S.ABD 6 3 VS.AMN SM SN mna Ta có . mn  VS.AMN mn.VS.ABD . VS.ABD SB SD 6 2.m. 3.n 2m2 3n2 1 Mặt khác mn . 6 2 6 2 6 2m 3n 1 1 a3 6 Dấu '' '' xảy ra m ;n . Suy ra V . 2 2 S.AMN 2m 3n 1 2 6 72 Câu 1891. [2H1-5.1-3] Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu? A. 3 4V . B. 3 V . C. 3 2V . D. 3 6V . Lời giải Chọn A Gọi h 0 là chiều cao lăng trụ; a 0 là độ dài cạnh đáy. a2 3 4V Theo giả thiết ta có V S .h .h  h . day 4 a2 3 a2 3 4V Diện tích toàn phần của lăng trụ: S S S 3a. . tp 2 day xung quanh 2 a2 3 a2 3 4 3V Áp dụng BĐT Côsi, ta có S toan phan 2 a a2 3 2 3V 2 3V a2 2 2 3V 2 3V 33 . . 33 6 2V 2 2 a a 2 a a a2 3 2 3V 2 3V Dấu '' '' xảy ra khi a 3 4V 2 a a Câu 1892. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có SA x 0 x 3 , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? 3 2 6 3 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 2 2 2 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm của hình thoi ABCD OA OC . 1 Theo bài ra, ta có SBD CBD OS OC. 2
13. 1 Từ 1 và 2 , ta có OS OA OC AC SAC vuông tại S AC x2 1 . 2 x2 1 3 x2 Suy ra OA và OB AB2 OA2 . 2 2 S B A H O C D x2 1 3 x2 Diện tích hình thoi S 2.OA.OB . ABCD 2 Ta có SB SC SD 1, suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD  H AC. SA.SC x Trong tam giác vuông SAC , ta có SH . SA2 SC 2 x2 1 2 2 x 1 3 x 2 2 1 x 1 2 1 x 3 x 1 Khi đó VS.ABCD . x 3 x . . 3 2 x2 1 6 6 2 4 1 6 Suy ra V . Dấu '' '' xảy ra x 3 x2 x S.ABCD 4 2 Câu 1893. [2H1-5.1-3] (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 1 3 2 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 2 3 Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC , kẻ AH  SM H SM . 1
14. Tam giác ABC cân suy ra BC  AM. Mà SA  ABC SA  BC . Suy ra BC  SAM AH  BC. 2 Từ 1 và 2 , suy ra AH  SBC nên d A, SBC AH 3. 3 Tam giác vuông AMH, có AM . sin 3 Tam giác vuông SAM , có SA AM.tan . cos Tam giác vuông cân ABC, BC 2AM. 1 9 9 Diện tích tam giác S BC.AM AM 2 . ABC 2 sin2 1 cos2 1 9 Khi đó V S .SA . 3 ABC 1 cos2 .cos 2 27 3 Xét hàm f x 1 cos2 x .cos x , ta được f x . Suy ra V . 3 3 2 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi cos . 3 1 Cách 2. Đặt AB AC x; SA y . Khi đó V x2 y. S.ABC 6 1 1 1 1 1 1 3 Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên 2 2 2 2 3 4 2 . 9 d A, SBC x x y x y 1 27 3 Suy ra x2 y 81 3  V x2 y . SABC 6 2 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y 3 3  cos 3 Câu 1894. [2H1-5.1-3] Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2, S· AB S· CB 900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. a 10 A. AB . B. AB a 3 . C. AB 2a . D. AB 3a 5. 2 Lời giải Chọn B S H D C A B Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông.
15. AB  AD Ta có  AB  SAD  AB  SD . · 0 SAB 90 AB  SA Tương tự, ta cũng có BC  SD . Từ đó suy ra SD  ABDC . Kẻ DH  SC H SC  DH  SBC . Khi đó d A, SBC d D, SBC DH. Đặt AB x 0. 1 1 1 1 1 1 Trong tam giác vuông SDC, có 2 2 2 2 2 2 . DH SD DC a 2 SD x ax 2 Suy ra SD . x2 2a2 1 1 ax3 2 a 2 x3 Thể tích khối chóp VS.ABC VS.ABCD . . . 2 6 x2 2a2 6 x2 2a2 x3 Xét hàm f x trên a 2; , ta được min f x f a 3 3 3a2 x2 2a2 a 2; Câu 1898. [2H1-5.1-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB x, AD 3, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABB A bằng 300. Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 3 15 3 6 3 3 3 5 A. x . B. x . C. x . D. x . 5 2 2 5 Lời giải Chọn B Vì ABCD.A B C D là hình hộp chữ nhật suy ra BC  ABB A . Khi đó A B là hình chiếu của A C trên mặt phẳng ABB A . Suy ra 300 ·A C, ABB A ·A C, A B C· A B. Đặt BB h h 0 . D' C' A' B' h D C 3 A x B Tam giác vuông A B B, có A B A B 2 BB 2 x2 h2 . BC 3 Tam giác vuông A BC, có tan C· A B tan 300 x2 h2 27. A B x2 h2 Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D là V BB .SABCD 3xh.
16. x2 h2 27 81 81 Áp dụng BĐT Côsi, ta có 3xh 3 3. Vmax . 2 2 2 2 x h 0 27 3 6 Dấu " " xảy ra x2 x . . 2 2 x h 27 2 2 Câu 1899. [2H1-5.1-3] Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho. A. Vmax 16 2 . B. Vmax 12 . C. Vmax 8 2 . D. Vmax 6 6. Lời giải Chọn C Giả sử a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là a2 b2 c2 Tổng diện tích các mặt là 2 ab bc ca . 2 ab bc ca 36 ab bc ca 18 Theo giả thiết ta có . 2 2 2 2 2 2 a b c 6 a b c 36 Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V abc. Ta có a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 72 a b c 6 2. 2 Ta có b c 2 4bc 6 2 a 4 18 a 6 2 a 0 a 4 2. Khi đó V abc a 18 a b c a 18 a 6 2 a a3 6 2a2 18a 3 2 Xét hàm số f a a 6 2a 18a với a 0;4 2 , ta được max f x f 2 f 4 2 8 2. 0;4 2 3 a b c Nhận xét. Nếu sử dụng V abc 16 2 thì sai vì dấu '' '' không xảy ra. 3 Câu 1900. [2H1-5.1-3] Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S. 1 16 32 48 A. S . B. S . C. S . D. S . max 10 max 5 max 5 max 5 Lời giải Chọn D Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a b c . ● Hình hộp chữ nhật có: V abc và Stp 2 ab ac bc . 3 2 ● Hình lập phương có: V ' a b c và S 'tp 6 a b c . 2 S a b c Suy ra S 1 3. . S2 ab bc ca
17. 3 3 3 a b c bc b c b c Ta có a b c 32abc 3 32 2 1 32 . . a a a a a a b x 3 a 3 x y 1 Đặt  x y 1 32xy xy . c 32 y a 2 2 x y 1 x y 1 t 2 Khi đó S 3. 3. t x y 1 1 S 96. . x y xy x y 1 3 t3 32t 32 x y 32 Ta có x y 1 3 32xy 8 x y 2  t3 8 t 1 2  t3 8t 2 16t 8 0 2 t 3 5 . t 2 1 Xét hàm f t trên đoạn 2;3 5 , ta được max f t f 4 3 t 32t 32 2;3 5 10 Câu 1902. [2H1-5.1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB; mặt phẳng di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.MNKQ . V V 3V 2V A. V . B. V . C. V . D. V . max 2 max 3 max 4 max 3 Lời giải Chọn B SK Gọi a 0 a 1 . SC Vì mặt phẳng di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai SA SC SB SD điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức SM SK SN SQ 1 3 SD SQ 2a 2  . a 2 SQ SD 2 a S M N Q P A D B C VS.MNKQ 1 SM SN SK SM SK SQ 1 4a 2 2a 1 Ta có . . . . . VS.ABCD 2 SA SB SC SA SC SD 2 3 a 2 3 a 2 2a 1 1 Xét hàm f a . trên đoạn 0;1, ta được max f a f 1 3 a 2 0;1 3
18. Câu 1991. [2H1-5.1-3] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước 80cm 50cm . Người ta cắt ở bốn góc của tâm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn nhất Vmax của hộp tạo thành. 3 3 A. Vmax 18000cm . B. Vmax 28000cm . 3 3 C. Vmax 38000cm . D. Vmax 8000cm . Lời giải Chọn A Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài 80 2x cm , chiều rộng 50 2x cm , chiều cao x cm . Suy ra thể tích thùng tạo thành V x 80 2x 50 2x 4x3 260x2 4000x . Khảo sát f x 4x3 260x2 4000x trên 0;25 , được max f x f 10 18000cm3 0;25 Câu 1992. [2H1-5.1-3] Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm 40cm . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng xcm , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 20 10 A. x cm . B. x 4cm . C. x 5cm . D. x cm . 3 3 Lời giải Chọn A 60 3x Các kích thước khối hộp lần lượt là: ; 40 2x ; x . 2 60 3x 3 2 Khi đó Vhop 40 2x x 3x 120x 1200x f x . 2 20 Khảo sát hàm f x với 0 x 20 , ta được f x lớn nhất khi x . 3 Chọn A. Câu 12. [2H1-5.1-3] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và QP vào phía trong đến khi AB và CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
19. B M Q C M Q B,C A D N P x N P x 24cm A,D A. x 9 . B. x 8 . C. x 10 . D. x 6 . Lời giải Chọn B M Q B I N P x x A 2 Gọi I là trung điểm NP IA đường cao của ANP cân tại A AI x2 12 x = 1 24 x 6 diện tích đáy S .NP.AI 12 x . 24 x 6 , với 6 x 12 thể tích ANP 2 khối lăng trụ là V SANP .MN a. 12 x . 24 x 6 (đặt MN a : hằng số dương) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 12 x . 24 x 6 , 6 x 12 : 12 12 x 36x 288 + y 24 x 6 = , y 0 x 8 6;12 24 x 6 24 x 6 + Tính giá trị: y 8 16 3 , y 6 0 , y 12 0 Thể tích khối trụ lớn nhất khi x 8 . Câu 13. [2H1-5.1-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. 8 2 . C. 16 2 . D. 24 3 . Lời giải Chọn C Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c 0 Ta có AC 2 a2 b2 c2 36;S 2ab 2bc 2ca 36 (a b c)2 72 a b c 6 2 3 3 a b c a b c 6 2 3 abc abc 16 2 . Vậy V 16 2 . Max 3 3 3 Câu 14. [2H1-5.1-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , SA SB SC a . Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là
20. 3a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn D S a a a A D a H O B a C Kẻ SH  ABCD tại H H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .Mà ABC cân tại B và AC  BD H BD . Gọi O là giao điểm AC và BD . Ta có: OB2 AB2 OA2 a2 SA2 SO2 SO2 SO OB OD SBD vuông tại S . 1 1 1 1 1 SH.BD SB.SD V SH.S SH. AC.BD SB.SD.AC a.AC.SD 3 ABCD 3 2 6 6 Lại có SD BD2 SB2 BD2 a2 . BD2 Mà AC 2OA 2 AB2 OB2 2 a2 4a2 BD2 . 4 2 2 2 2 1 a 4a BD BD a a3 V a. 4a2 BD2 . BD2 a2 . . 6 6 2 4 Câu 44: [2H1-5.1-3] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN 1 - 2017 - 2018) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB , CD thỏa mãn AB2 CD2 18 và các cạnh còn lại đều bằng 5 . Biết thể x y tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạnh V ; x, y ¥ * ; x; y 1. Khi đó max 4 x, y thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây? A. x y2 xy 4550 .B. xy 2x y 2550 . C. x2 xy y2 5240 .D. x3 y 19602 . Lời giải Chọn A
21. Đặt AB a . Gọi M là trung điểm CD CD  AM ,CD  BM CD  ABM . 1 1 1 Khi đó V V V S .CM S .DM S .CD . ABCD ABMC ABMD 3 ABM 3 ABM 3 ABM Do AM là trung tuyến của tam giác ACD nên: 2 2 2 2 2 2 2 AC AD CD 2 5 5 18 a 82 a2 AM 2 . 4 4 4 Tam giác ABM cân tại M ( vì AM BM ) nên: 2 1 2 AB 1 82 a 82 SABM .AB. AM .a. . 2 2 2 4 4 2 2 1 a 82 2 82 2 2 82 a 18 a 3 82 VABCD . . 18 a . a 18 a . x 3, y 82 . 3 4 12 12 2 4 Câu 466: [2H1-5.1-3] Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình vuông và không có nắp. Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là. Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của phải là? A. B. C. D. Lời giải Chọn B Ta có, để lượng vàng cần dùng là nhỏ nhất thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có , Câu 471: [2H1-5.1-3] Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó? A. B. C. D.
22. Lời giải Gọi H là trung điểm của BC BH = CH =.Đặt BM = x, ta có: Tam giác MBQ vuông ở M, và BM = x Hình chữ nhật MNPQ có diện tích: S(x) = MN.QM = x 0 S’ + 0 S Vậy khi x = Câu 473: [2H1-5.1-3] Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 96000cm3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. A. 320000 VNĐ. B. 32000 VNĐ. C. 832000 VNĐ. D. 83200 VNĐ. Lời giải Chọn D Gọi x, y (m)(x > 0,y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề ta suy ra 0,16 0,6xy = 0,096 Û y = . Giá thành của bể cá được xác định theo hàm số sau: x æ ö æ ö ç 0,16÷ 0,16 ç 0,16÷ f (x) = 2.0,6çx + ÷.70000 + 100000x Û f (x) = 84000çx + ÷+ 16000 (VNĐ) èç x ø÷ x èç x ø÷ æ 0,16ö f ¢ x = 84000ç1- ÷, f ¢ x = 0 Û x = 0,4 ( ) ç 2 ÷ ( ) èç x ø÷ Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là f (0,4) = 83200 VNĐ Câu 475: [2H1-5.1-3] Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn. A. B. C. D. Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn. Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: Diện tích hình chữ nhật: Ta có . Suy ra là điểm cực đại của hàm. Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
23. Câu 488: [2H1-5.1-3] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. x = 20 . B. x = 15. C. x 25 . D. x = 30. Lời giải Chọn A Ta có PN = 60 - 2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH = 60x - 900 1 S = .(60 - 2x) 60x - 900 = (60 - 2x) 15x - 225 = f (x), do chiều cao của khối DANP 2 ( ) lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f (x) max. - 45(x - 20) f '(x) = = 0 Û x = 20, f (20) = 100 3, f (15) = 0 15x - 225 max f (x) = 100 3 khi x = 20 Câu 6305: [2H1-5.1-3] [THPT Thanh Thủy- 2017] Nhân ngày 8/3 ông D quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có đáy hình vuông và không có nắp với thể tích hộp là32 đvtt . Để món quà trở nên đặc biệt và ý nghĩa ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ đều nhau. Khi đó chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là bao nhiêu để tiết kiệm vàng nhất? 3 A. 4 và 2 . B. 2 và 8 . C. 4 và . D. 2 và 4 . 2 Lời giải Chọn D A B D C b A' B' D' C' a . Gọi a là cạnh đáy của chiếc hộp và b là chiều cao chiếc hộp. ( với a,b 0 ). 32 Theo giả thiết ta có: V a2b 32 b . a2 Khi đó tổng diện tích các mặt của chiếc hộp được mạ vàng là: 32 128 S 4.S S 4.ab a2 4a. a2 a2 . BCC B A B C D a2 a 128 128 2x3 128 Xét hàm số: f x x2 x 0 f x 2x . x x2 x2 f x 0 2x3 128 0 x 4 . BBT:
24. . Dựa vào BBT ta thấy: Diện tích mạ vàng nhỏ nhất bằng 48 ( đvdt) khi x 4. Vậy chiều cao chiếc hộp bằng 2 và cạnh đáy chiếc hộp bằng 4 . Câu 6855: [2H1-5.1-3] [BTN 164] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ? . A. x 15.B. x 25 . C. x 30 . D. x 20 . Lời giải Chọn D Ta có PN 60 2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH 60x 900 . 1 S . 60 2x 60x 900 60 2x 15x 225 f x , do chiều cao của khối lăng ANP 2 trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f x max. 45 x 20 f ' x 0 x 20, f 20 100 3, f 15 0. 15x 225 max f x 100 3 khi x 20 . Câu 6856: [2H1-5.1-3] [BTN 164] Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ? . A. x 15.B. x 25 . C. x 30 . D. x 20 . Lời giải Chọn D Ta có PN 60 2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH 60x 900 .