Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 1: Hình nón khối nón - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 1: Hình nón khối nón - Mức độ 3.4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 47: [HH12.C2.1.BT.c] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Có một miếng tôn hình tam giác ABC đều cạnh 3 dm (như hình vẽ). Gọi K là trung điểm của BC . Người ta dùng compa có tâm là A và bán kính AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB và AC ) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh A . Tính thể tích V của cái phễu. A A M N r B K C 105. 3 3 3. 141. A. V dm3 .B. V dm3 .C. V dm3 .D. V dm3 . 64 32 32 64 Lời giải Chọn A A A M N r B K C 3 3 Ta có tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên đường cao AK . 2 Chu vi đường tròn đáy của cái phễu chính là chiều dài x của dây cung MN . Mặt khác số đo 1 cung MN bằng số đo góc ở tâm nên sđ M¼N 60 suy ra độ dài dây cung MN bằng độ dài 6 1 1 3 3 3 đường tròn, nghĩa là x .2 .AK .2 . . 6 6 2 2 3 x 3 Gọi r là bán kính của đường tròn đáy của cái phễu, ta có x 2 r r 2 . 2 2 4 2 2 2 2 3 3 3 105 Chiều cao của cái phễu h AK r . 2 4 4 2 1 2 1 3 105 105 Vậy thể tích cái phễu V r h . . 3 3 4 4 64 Câu 33: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC vuông tại A có AC 1cm ; AB 2cm , M là trung điểm của AB . Quay
2. tam giác BMC quanh trục AB ta được khối tròn xoay. Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích của khối tròn xoay đó. Chọn mệnh đề đúng. 1 A. V ; S 5 2 B.V ; S 5 2 3 1 C.V ; S 5 2 D.V ; S 5 2 3 Lời giải Chọn A B 1 5 M 2 1 C A 1 Gọi H1 là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác ABC quay quanh cạnh AB , H2 là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác MAB quay quanh cạnh AB . 1 1 1 Khi đó V AC 2.AB AC 2.MA ; S AC.BC AC.MC 5 2 . 3 3 3 Câu 15: [HH12.C2.1.BT.c] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM - 2017] Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng (2 2) a2 (3 3) a2 (1 3) a2 3 2 a2 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
3. Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH . Ta có AH AB2 BH 2 a 3 AH.BH a 3.a a 3 HK AB 2a 2 a 3 3a2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là S .a 3 1 2 2 a 3 3a2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là S .a 2 2 2 (3 3)a2 Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là S S S . 1 2 2 Câu 18: [HH12.C2.1.BT.c] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU -2017] Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 7 Lời giải Chọn D 1 Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI . V R2.OI 3 Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N . Khi đó R mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính r , có 2 2 OI 1 R OI .R2.OI chiều cao là V1 . Phần dưới là khối nón cụt có thể tích 2 3 2 2 24 R2.OI R2.OI 7 R2.OI V V V . 2 1 3 24 24 R2.OI V1 24 1 Vậy tỉ số thể tích là: 2 V2 7 R .OI 7 24
4. Câu 21: [HH12.C2.1.BT.c] [BẮC YÊN THÀNH -2017] Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d . 13 3 a3 11 3 a3 3 a3 11 3 a3 A. . B. . C. . D. . 96 96 8 8 Lời giải Chọn B Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì
5. 3a3 thể tích của khối tròn xoay là V 1 8 3a3 Thể tích phần bị chồng lên là V 2 96 11 3 a3 Thể tích cần tính là V V V 1 2 96 Hoặc làm như sau: Đặt V1;V2;V3;V4 lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giácOAB quay quanh OB , khối tròn xoay sinh bởi hình BCFE;GCHK , khối nón sinh bởi tam giác DEB khi quay quanh BC . Khi đó: Thể tích khối cần tìm là: 1 a2 a 3 1 a2 a 3 11 3 a3 V V V V 3V 2V 3    2    . 1 2 3 1 4 3 4 2 3 16 4 96 Câu 23: [HH12.C2.1.BT.c] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Lời giải Chọn A Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh ·ASA 120 ·ASO 60 . r Suy ra SO OA.cot ·ASO . 3 Gọi H là trung điểm của AM và đặt x OH . r 2 Ta có: SH SO2 OH 2 x2 , AM 2AH 2 OA2 OH 2 2 r 2 x2 . 3 1 r 2 2 Diện tích tam giác SAM bằng s SH.AM x2 . r 2 x2 r 2. 2 3 3 2 r 2 r 2 r s r 2 đạt được khi x2 r 2 x2 x2 x . Tức là OH SO . max 3 3 3 3 Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu. Câu 24: [HH12.C2.1.BT.c] [HH12.C2.4.BT.c] [PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN-2017] Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.
6. A. Đáp án khác. B. R 4 2. C. R 2. D. R 2 2. Lời giải Chọn D Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất. AKM vuông tại K. Ta thấy IK r là bán kính đáy của chóp, AI h là chiều cao của chóp. IK 2 AI.IM r 2 h 6 h . 1 1 V r 2h h2 6 h 0 h 6 . 3 3 1 V h2 6 h max y h3 6h2 max trên 0;6 . max 3 Câu 25: [HH12.C2.1.BT.c] [CHUYÊN ĐH VINH-2017] Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt C· AB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. 60. B. 45. C. arctan . D. 30 . 2 Lời giải Chọn C AC AB. cos 2R.cos CH AC.sin 2R.cos .sin ; AH AC.cos 2R.cos2 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V AH. CH 2 R3.cos4 .sin2 . 3 3 Đặt t cos2 0 t 1 8 V R3t 2 1 t 3 3 8 3 8 3 t t 2 2t R .t.t 2 2t R 6 6 3 2 1 Vậy V lớn nhất khi t khi arctan . 3 2  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f t t 2 1 t
7. Câu 26: [HH12.C2.1.BT.c] [SỞ GD BẮC NINH-2017] Cho một hình nón N có đáy là hình tròn tâm O . Đường kính 2a và đường cao SO a . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn C . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 2 a3 4 a3 7 a3 8 a3 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 81 Lời giải Chọn B Gọi là mặt phẳng qua trục của hình nón N cắt hình nón N theo thiết là tam giác SAB , cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C theo thiết diện là tam giác SCD , gọi I là giao điểm của SO và CD .Ta có: AB 2a OA a SO .Do đó tam giác SOA vuông cân tại S .Suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .Đặt SI AC x (0 x a) OI a x Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C là: 1 1 1 1 V . .IC2.OI . .x2 (a x) x3 ax2 .V ' x . . 3x2 2ax 3 3 3 3 x 0 V ' x 0 2a .Bảng biến thiên: x 3 Câu 38: [HH12.C2.1.BT.c] Cho hình nón N có bán kính đáy R , đường cao SO . Gọi P mà mặt 1 phẳng vuông góc với SO tại O sao cho SO SO . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt 1 1 3 phần khối nón N nằm giữa P và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng P và mặt phẳng chứa đáy hình nón N . 7 R3 R3 26 R3 52 R3 A. B. C. D. 9 9 81 81 Lời giải Chọn D
8. Gọi thiết diện thu được là AA1B1B 1 1 1 Vì SO SO nên A B AB .2R 1 3 1 1 3 3 Mặt khác AB1  A1B tại I nên 1 1 IO AB, IO A B 2 1 2 1 1 R 4R Vậy OO R 1 3 3 1 2R Dễ thấy SO OO 1 2 1 3 Từ đó SO 2R Gọi thể tích phần hình nón phải tính là V* thì V* V1 V2 , trong đó: V1 là thể tích của hình nón N . V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của N được cắt bởi (P). Ta có thể tích phần hình nón phải tính là 2 3 1 2 1 2 1 2 R 2R 52 R V* V1 V2 OB .SO O1B1 .SO1 R .2R . 3 3 3 9 3 81 Câu 41: [HH12.C2.1.BT.c] Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h .
9. h 2h h 3 A. x . B. x h 3 . C. x . D. x . 3 3 3 Lời giải Chọn A JB OJ h x R(h x) Từ hình vẽ ta có JB . IA OI h h 1 R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V (h x)2 x . 3 h2 1 R2 Xét hàm số V (x) (h x)2 x , 0 x h . 3 h2 1 R2 h Ta có V '(x) (h x)(h 3x) 0 x h hay x . 3 h2 3 Bảng biến thiên: h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là x ; 3 4 R2h V . max 81
10. Câu 10: [HH12.C2.1.BT.c] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) -2017] Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là. . 6 2 6 2 6 A. .B. . C. .D. . 3 2 3 3 Lời giải Chọn D Không mất tính tổng quát ta chọn R 1. Khi đó, hình nón có đường sinh bằng 1 và chu vi đáy bằng 1.x (rad) nên có bán kính đáy bằng x x2 r và chiều cao bằng h l 2 r 2 1 . 2 4 2 1 1 x2 x2 1 x2 Thế tích phễu bằng V r 2h . . 1 .x2 1 . 3 3 4 2 4 2 12 4 2 1 x2 Xét hàm số f x .x2 1 với x 0;2 . 12 4 2 1 x2 x3 1 x2 2 3 Ta có: f x 2x 1 2 8 x 1 2 x . 12 4 2 2 4 2 x 3 x 4 1 48 1 4 2 4 2 x 0 2 6 Cho f x 0 3x3 8 2 x 0 x . 3 2 6 x 0;2 3 2 6 2 3 2 6 Tính f 0 0, , f 2 0 nên thể tích phễu lớn nhất khi x . f 3 27 3