Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 1: Hình nón khối nón - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 1: Hình nón khối nón - Mức độ 3.6 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 46: [HH12.C2.1.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a, AC b, AB c,b c. Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC, quanh cạnh AC, quanh cạnh AB, ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Sa , Sb , Sc . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Sb Sc Sa . B. Sb Sa Sc . C. Sc Sa Sb . D. Sa Sc Sb . Lời giải Chọn A A c b h a B C H Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A của tam giác, đặt AH h Ta có Sa .BA.AH .CA.AH h(c b) 2 Sb .BC.BA .BA c(a c) 2 Sc .CB.CA .CA b(a b) Do b c nên hiển nhiên Sc Sb. Do c a,h b nên hiển nhiên Sa Sc . Vậy Sa Sc Sb Câu 27: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB AC a , AA 2a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB A C là 4 a3 a3 A. a3 .B. .C. .D. 4 a3 . 3 3 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm cạnh CB Ta có
2. Tam giác ACB vuông tại A (vì AC  AB và AC  AA nên AC  AB ) 1 IA IC IB CB 2 Tam giác A B C vuông tại A (vì A B  A C và A B  AA nên A C  A B ) 1 IA IC IB CB 2 1 1 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB A C , bán kính R CB BB 2 BC 2 2 2 Mà BC a 2 (vì tam giác ABC vuông cân tại A , AB AC a ) R a 4 Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện AB A C là V a3 . 3 Câu 40: [HH12.C2.1.BT.c] [DS12.C2.5.BT.b] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) a Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình 3x 3 x có nghiệm duy nhất 3x 3 x A. a ¡ .B. 1 a 0 .C. a 0 .D. không tồn tại a . Lời giải Chọn A a x x x x x x 2x 2x Ta có: x x 3 3 a 3 3 3 3 a 3 3 1 . 3 3 Xét hàm số f x 32x 3 2x . Có f x 2.32x 2.3 2x 0, x ¡ . Do đó, hàm số y f x luôn đồng biến trên ¡ . Suy ra với mọi giá trị của a thì 1 luôn có nghiệm duy nhất. Câu 41: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC , hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là 1 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 2 4 3 3 Lời giải Chọn B
3. S A C O M B Gọi M là trung điểm của BC . Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có: SO  ABC tại O . Suy ra, O là tâm đường tròn nội tiếp và cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi a là độ dài cạnh của tam giác ABC . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 1 Do OM = OA nên ta có: 2 1 2 . .OM .SO 2 2 2 V1 3 OM OM 1 1 2 . V 1 2 OA OA 2 4 2 . .OA .SO 3 Câu 5: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018)Thiết diện qua trục của một hình nón N là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a , diện tích toàn phần của hình nón N bằng: 2 2 2a2 1 2 a 1 3 a a2 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B a 2 Ta có S Rl R2 , trong đó R , l a nên tp 2 2 2 a 2 a 2 1 2 a S . .a . . tp 2 2 2 Câu 39: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN 1 - 2017 - 2018) Cho hình nón N1 có chiều cao bằng 40 cm. Người ta cắt hình nón N1 bằng một mặt phẳng song song với
4. 1 mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N có thể tích bằng thể tích N . Tính chiều cao 2 8 1 h của hình nón N2 ? A. 40 cm.B. 10 cm. C. 20 cm.D. 5 cm. Lời giải Chọn C O α B' A' I' B I A Gọi R1 , R2 , h1 , h lần lượt là bán kính và chiều cao của các khối nón N1 , N2 . Gọi V1 , V2 thể tích của các khối nón N1 , N2 và gọi 2 là góc ở đỉnh của hình nón. 1 1 Ta có: V R2h ; V R2h . 1 3 1 1 2 3 2 1 2 R2 h 2 V2 1 3 1 R2 h 1 Theo đề bài ta có 2 . V 8 1 2 8 R h 8 1 R h 1 1 3 1 1 h3 tan2 1 h 1 1 Mặt khác ta lại có R h tan , R h tan h h h 20 . 1 1 2 h3 tan2 8 h 2 2 1 1 1 Câu 33: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h 20cm , bán kính đáy r 25cm . Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy 12cm . Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp . A. S 400 cm2 . B. S 406 cm2 . C. S 300 cm2 . D. S 500 cm2 . Lời giải Chọn D Ta có hình vẽ sau :
5. S 20 H 12 B O M 25 A Ta có: d O, OH 12 . 1 Diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp là: S SM.AB SM.MA . SAB 2 1 1 1 1 1 1 Trong tam giác SMO vuông tại O : OM 15 . OH 2 SO2 OM 2 122 202 OM 2 Suy ra SM SO2 OM 2 202 152 25 . Mặt khác ta có: M là trung điểm của AB và OM  AB . Xét tam giác MOA vuông tại M : MA OA2 OM 2 252 152 20 . 2 Vậy S SAB SM.MA 25.20 500 cm . Câu 34: [HH12.C2.1.BT.c] (THPT Lương Thế Vinh - HN - Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng 2a2 . Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD . a3 7 a3 7 a3 7 a3 15 A. . B. . C. . D. . 8 7 4 24 Lời giải Chọn A S C B O M D A
6. Gọi O AC  BD và M là trung điểm AB . Hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp a tứ giác ABCD có bán kính đáy là R OM và có chiều cao là h SO . 2 1 a2 Thể tích khối nón V Bh trong đó B R2 . 3 4 1 Diện tích tam giác SAB là 2a2 nên SM.AB 2a2 SM 4a . 2 a2 3a 7 3a 7 Trong tam giác vuông SOM ta có SO SM 2 OM 2 16a2 hay h . 4 2 2 a3 7 Vậy thể tích của khối nón V . 8 Câu 38: [HH12.C2.1.BT.c] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hình nón N có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O , góc ở đỉnh bằng 120 . Một mặt phẳng qua S cắt hình nón N theo thiết diện là tam giác vuông SAB . Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3 . Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón N A. Sxq 36 3 . B. Sxq 27 3 . C. Sxq 18 3 . D. Sxq 9 3 . Lời giải Chọn C Theo bài ra ta có tam giác SAB vuông tại S và OH 3 ; và B· SO 60 . r 2r Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh l SB l . sin 60 3 1 r 6 Suy ra BH AB . 2 3 6r 2 Xét tam giác OBH vuông tại H , ta có 9 r 2 r 3 3 . 9 6 3 Diện tích xung quanh S của hình nón N là S .r.l .3 3. 18 3 . xq xq 3 Câu 29: [HH12.C2.1.BT.c] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 4 , AB BC CA 3. Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC . A. 3 B. 13 C. 4 D. 2 2 Lời giải Chọn B
7. 2 2 2 2 2 3 3 Đường cao hình chóp là đường cao hình nón: h SO SA OA 4 . 13 . 3 2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : R OA 3 . 1 Vậy thể tích khối nón cần tìm: V h R2 13 . 3 Câu 6: [HH12.C2.1.BT.c] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM - 2017 - 2017] Một cái ly có dạng hình nón 2 được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính 3 miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu? A. 0,33 . B. 0,11 . C. 0,21 .D. 0,08 Lời giải Chọn B
8. Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R . Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính 2h 2R đường tròn đáy lần lượt là và 3 3 8V 19 Do đó thể tích lượng nước trong bình là Phần không chứa nước chiếm V . 27 27 Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón và ta gọi h' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước đó. R ' h' 19 Ta có và phần thể tích hình nón không chứa nước là V R h 27 3 3 h' 2 19 h 2 h' 19 h' 19 . R ' . R 3 27 3 h 27 h 3 Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly h' 3 3 19 là1 . h 3 Câu 5: [HH12.C2.1.BT.c] (QUẢNG XƯƠNG I) Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào 16 đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài là dm3 . Biết rằng một mặt của khối 9 trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là: 9 10 3 A. S dm2 . B. S 4 10 dm2 . C. S 4 dm2 . D. S dm2 . xq 2 xq xq xq 2 Lời giải Chọn B Xét hình nón: h SO 3r , r OB, l SA . Xét hình trụ: h1 2r NQ , r1 ON QI QI SI 1 r SQI : SBO r Thể tích khối trụ là: BO SO 3 1 3 2 r3 16 V r 2h r 2 h 6 l h2 r 2 2 10 S rl 4 10 dm2 t 1 1 9 9 xq Câu 19: [HH12.C2.1.BT.c] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R = 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. » 66° B. » 294° C. » 12,56° D. » 2,8° Lời giải Chọn A Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau: Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
9. x Khi đó x = 2pr Þ r = 2p x 2 Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là h = R2 - r 2 = R2 - 4p2 1 1 x 2 x 2 Thể tích khối nón sẽ là:V = pr 2h = p R2 - 3 3 4p2 4p2 Đến đây các em đạo hàm hàm V (x) tìm được GTLN của V (x) đạt được khi 2p x = R 6 = 4p 3 2 6p - 4p Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:2pR - 4p Þ a = 3600 » 660 2 6p Câu 35: [HH12.C2.1.BT.c] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 36 38 38 36 A. r = 4 . B. r = 6 . C. r = 4 . D. r = 6 . 2p2 2p2 2p2 2p2 Lời giải Chọn B 1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = pr 2h = 27 Þ r 2h = Þ h = . 3 p p r 2 Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. 812 1 812 1 S = 2prl = 2pr r 2 + h2 = 2pr r 2 + = 2p r 4 + xq p2 r 4 p2 r 2 812 1 812 1 812 1 812 1 = 2p r 4 + + ³ 2p 33 r 4. . 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 814 = 2 3p 6 (theo BĐT Cauchy) 4p4 812 1 38 38 S nhỏ nhất Û r 4 = Û r 6 = Û r = 6 . xq 2p2 r 2 2p2 2p2 Câu 50: [HH12.C2.1.BT.c] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67cm D. 58,80cm . Lời giải Chọn D
10. Đặt b,a,h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l BO2 OA 2 2BO.OA .cos 2 (1). a 4 a l(B¼B ) OA OB AB AB AB. B A AB (a b)2 h2 . 1 1 b 4 b l(A¼A ) OB OB 2 b 2 b 2 (a b) 2 (a b) AB a a b b (a b)2 h2 (a). 1 OB (b) . AB (a b)2 h2 OB b b a b b (a b)2 h2 OA OB BA (a b)2 h2 (c). a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l. l 58,79609cm 58,80 Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung B¼B tại điểm nào khác B, ¼ 1 b tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 2 cos . a Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).