Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 2.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 2.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 31. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Khinh khí cầu của Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu 22 này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy và làm 7 tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). A. 380,29 m2 . B. 697,19 m2 . C. 190,14 m2 . D. 95,07 m2 . Lời giải Chọn A 11 Bán kính của khi khí cầu là R m . 2 Diện tích mặt cầu là S 4 R2 121 380.29 m2 . Câu 2: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT TRIỆU SƠN 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biết SB a 3. Khi đó bán kính mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng SBD là: 2 2 2 5 A. R a . B. R a . C. R a . D. R a . 5 5 5 Lời giải Chọn A Câu 3: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHU VĂN AN) Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. R a 2 . B. .R a C. . R aD. 3. R 2a Lời giải Chọn A Kí hiệu ABCDEF.A B C D E F là lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a ; O B E  BE . Khi đó OA OB OC OD OE OF OA OB OC OD OE OF BE Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là O và bán kính bằng R . 2 Vì BEE B là hình vuông cạnh 2a , đường chéo BE 2 2a nên bán kính mặt cầu là R a 2 .
2. Câu 4: [HH12.C2.3.BT.b] (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và cạnh AB 3. Cạnh bên SA 6 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là ? 3 2 3 6 A. . B. 9. C. 6 . D. . 2 2 Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm SC . Ta có SAC vuông tại A nên IA IC IS 1 BC  AB Lại có BC  SB SBC vuông tại B. BC  SA Suy ra IB IC IS 2 . SC Từ 1 và 2 I; là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 2 2 2 2 Vì ABC vuông tại B nên: AC AB BC 3 3 3 2 . 2 2 Vì SAC vuông tại A nên: SC SA AC 6 18 2 6 . Vậy R 6 . Câu 5: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT SỐ 2 AN NHƠN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên SAB là tam giác cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc A· SB 120 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD . A. 84 . B. 28 . C. 14 . D. 42 . Câu 6: [HH12.C2.3.BT.b] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là: 3 a2 A. S 3 a 2 . B. S . C. S a 2 . D. S 12 a 2 . 4 Câu 7: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A , có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a , AB b, AC c . Mặt cầu đi qua các đỉnh A , B , C , S có bán kính R bằng 1 A. R a2 b2 c2 . B. R 2 a2 b2 c2 . 2 2 a b c C. R a2 b2 c2 . D. R . 3 Lời giải Chọn A
3. Gọi D là trung điểm BC và E là trung điểm SA. Gọi I là tâm mặt cầu cầu đi qua các đỉnh A, B,C, S . Khi đó I là giao điểm của đường thẳng đi qua D , song song với SA và mặt phẳng trung trực của SA. Do đó IDEA là hình chữ nhật. 1 1 1 Vậy R IA AE 2 AD2 SA2 BC 2 a2 b2 c2 . 4 4 2 Câu 8: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 6. Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều.Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó A. R = 2 3 .B. R = 21 . C. R= 3. D. R = 3 3 . Lời giải C M I B D H S Chọn B Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD Xét hình chóp SBCDcó: CB SC CD 6 , BS 3 2 , SD 6 và BD 6 2 Gọi H là hình chiếu của C lên SBD H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD Kẻ đường trung trực của BC cắt CH tại I suy ra IC IB IS ID IA 9 7 Dùng công thức Hê-rông ta tính được: S . SBD 2 BS.SD.BD 12 Mặt khác ta có BH là bán kính đường tròn ngoại tiếp SBD , suy ra: BH 4S SBD 7 CB2 CB2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R IC 21 2CH 2 BC 2 BH 2 Câu 9: [HH12.C2.3.BT.b] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA a 3. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
4. 4 a2 4 a2 a2 3 A. 5 a 2 . B. . C. . D. . 5 3 6 Câu 10: [HH12.C2.3.BT.b] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là a 3 a 2 a 3 A. R a . B. R . C. R .D. R . 2 2 3 Lời giải Chọn D S M Δ I D C O A B Gọi O AC  BC . Khi đó SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Gọi là đường trung trực của cạnh SA và I SO thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. SM SI SM.SA a a 3 Ta có SMI và SOA đồng dạng nên SI OI . SO SA SO 3 6 a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R IA AO2 IO2 . 3 Câu 15: [HH12.C2.3.BT.b] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, B· AD 60 , SCD và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 45. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD. 7 7 7 7 A. . B. . C. .D. . 2 4 6 3 Lời giải Chọn D. ABCD là hình thoi có B· AD 60 ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1. SAD  ABCD SCD  ABCD SD  ABCD . SAD  SCD SD Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Kẻ Gx / /SD Gx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Trong mặt phẳng SDG , kẻ đường thẳng Ky vuông góc với SD và cắt Gx tại I (với K là trung điể m SD. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD. 1 2 3 3 21 Ta có IG KD , DG . ID IG2 GD2 . 2 3 2 3 6 2 21 7 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là S 4 . . 6 3
5. Câu 21: [HH12.C2.3.BT.b] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD 2a và AA 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C . 3a 3a A. R 3a . B. R .C. R . D. R 2a . 4 2 Lời giải Chọn C Ta có ·AB C ·ABC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C có đường kính AC . Do đó bán 1 2 2 3a kính là R a2 2a 2a . 2 2 Câu 23: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nhau và OA a, OB 2a, OC 3a. Diện tích của mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng A. S 8 a 2 . B. S 14 a 2 . C. S 12 a 2 . D. S 10 a 2 . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó , Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Gọi N là trung điểm của AO . Trong OA, Mx , dựng đường trung trực Ny của OA Gọi I Ny  Mx . Khi đó , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện OABC . 1 a 13 a 14 Có : OM BC . R OI OM 2 ON 2 2 2 2 Diện tích của mặt cầu : S 4 R 2 14 a 2 Câu 24: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Một mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a . Diện tích mặt cầu S là: 3 a2 3 a2 A. . B. . C. 6 a 2 . D. 3 a 2 . 4 2 Lời giải Chọn B
6. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Trong mặt phẳng ABO dựng đường trung trực của AB cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a2 2 AB2 a2 3 Ta có: AO AB2 BO2 a2 a , R IA a . 3 3 2AO 2 8 2a 3 3 3 a2 Diện tích mặt cầu S là: S 4 R2 4 a2. 8 2 Câu 28: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ diện S.ABCD có tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. 7 21 7 21 A. a3 . B. a3. 54 54 7 7 C. a3 . D. a3. 3 3 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của AB . Vậy SH  ABCD Gọi O là tâm của hình vuông , G là trọng tâm SAB . Dựng Ox là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD ( Ox / /SH ) . Dựng Gy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gy / /OH S.ABCD Gọi I Ox  Gy . Khi đó , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 2 2 2 2 a 3 a a 21 Có : R SI SG GI . 3 2 2 6 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. 3 4 3 4 a 21 7 21 3 V R a . 3 3 6 54
7. Câu 30: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 2a a 3 4a A. R .B. R . C. R . D. R . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, BC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2 a 3 Ta có AG AN ; SG AG.tan60 a 3 3 AG 2a 3 SA cos60o 3 SM SI SM.SA 1 SA2 2a SMI # SGA R SI  SG SA SG 2 SG 3 Câu 31: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2 2a . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a. A. 64 a 2 .B. 16 a2 . C. 8 a 2 . D. 4 a 2 . Lời giải Chọn B S A C B CB  AB · Có CB  SAB CB  SB SBC 90 CB  SA Mặt khác: SA  AC S·AC 90 Suy ra: S·BC S·AC 90 do đó mặt cầu đường kính SC là mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
8. Xét tam giác vuông ABC ta có: AC 2 AB 2 BC 2 8a 2 Xét tam giác vuông SAC ta có: SC 2 SA2 AC 2 8a 2 8a 2 16a 2 SC 4a SC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là: R 2a . 2 Diện tích mặt cầu là: S 4 R 2 16 a 2 Câu 32: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHUYÊN BẾN TRE )Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . 8 3 a3 32 3 a3 A. V . B. V . 27 9 32 3 a3 32 3 a3 C. V . D. V . 81 27 Lời giải Chọn D Gọi O,O lần lượt là tâm các tam giác ABC và A B C . Gọi I là trung điểm OO , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . 2 2 2 2 a 3 2 2a 3 Khi đó bán kính mặt cầu: r OA OI  a . 3 2 3 3 3 4 3 4 2a 3 32 3 a Vậy V r . 3 3 3 27 Câu 33: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 3 2 và đường cao bằng 3 3 . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. A. 48 . B. 4 3 . C. 12 . D. 32 3 . Lời giải
9. Chọn A Gọi O là tâm của ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD ( do ABCD là hình vuông). SO  ABCD ( do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều) nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp của ABCD . Gọi M là trung điểm SA, trong SAO , kẻ đường trung trực d của SA cắt SO tại I . Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Bán kính r IS IA IB IC ID 2 2 AC Mà: SA SO 27 9 6 ( tam giác SOA vuông tại O ) 2 Ta có SIM đồng dạng SAO ( góc-góc) IS SM SA.SM SA2 36 IS 2 3 SA SO SO 2SO 6 3 Suy ra: S 4 r 2 4 .12 48 Câu 34: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT A HẢI HẬU) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 4 3 a3 5 15 a3 A. V .B. V . 27 54 5 a3 5 15 a3 C. V . D. V . 3 18 Câu 36: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
10. 32 4 A. V a3 . B. V a3 . 3 3 4 2 C. V 4 a 3 . D. V a3 . 3 Lời giải Chọn B SC SA2 AC2 Bán kính khối cầu S.ABCD là: R a 2 2 4 4 Thể tích khối cầu V R3 a3 .Câu 20. [HH12.C2.3.BT.b] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 - 3 3 2018 - BTN) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a . a 3 a 6 A. R a 3 . B. R a 2 . C. R . D. R . 2 2 Lời giải Chọn C A B D C I A B D C Gọi I là giao điểm của AC và A C . Khi đó, I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Bán kính R được tính bởi AC AA 2 A C 2 AA 2 A B 2 A D 2 a2 a2 a2 a 3 R IA . 2 2 2 2 2 Câu 27: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B . Biết SA  ABCD , AB BC a , AD 2a , SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E . a 30 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. a . 6 3 2 Lời giải Chọn D S D A E B C
11. * Do SA  ABCD SA  AC S· AC 90 . * Do BC  SAB BC  SC S· BC 90 . * Do CE//AB CE  SAD CE  SE S· EC 90 . Suy ra các điểm A , B , E cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là mặt cầu đường kính SC . SC Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là: R . 2 Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: AC AB 2 a 2 SC AC 2 2a SC R a . 2 Câu 18. [HH12.C2.3.BT.b] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. B. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Lời giải Chọn A Điều kiện cần để một hình hộp có một mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình hộp là đa giác nội tiếp. Câu 14. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . 32 3 a3 32 3 a3 8 3 a3 32 3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 27 9 27 81 Lời giải Chọn B A C O B I A' C' O' B' Dựng trục OO của hai đáy và gọi I là trung điểm của OO . Khi đó I là tâm của mặt cầu và bán kính mặt cầu R IA . a 3 2a 3 Trong tam giác vuông IO A ta có R O A 2 O I 2 với O A và O I 2a ta có R . Thể 3 3 4 32 3 a3 tích khối cầu V R3 V . 3 27 Câu 30. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho khối tứ diện OABC với OA , OB , OC từng đôi một vuông góc và OA OB OC 6 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . A. R 4 2 . B. R 2 . C. R 3.D. R 3 3 .
12. Lời giải Chọn A A N I C O M B Gọi M là trung điểm của BC , do tam giác OBC vuông tại O nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC . Qua M dựng đường thẳng d song song với OA khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC .Gọi là đường trung trực của cạnh OA và I là giao điểm của và d . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . 1 1 1 Ta có OM BC OB2 OC 2 3 2 ; ON IM OA 3. 2 2 2 2 Tam giác OMI vuông tại M nên IM OM 2 IM 2 3 2 32 3 3 . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là R 3 3 . Câu 8. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông tại B . Biết SA 2a , AB a , BC a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. a . B. 2a . C. a 2 . D. 2a 2 . Lời giải Chọn C. BC  SA Ta có: SA  ABC và tam giác ABC vuông tại B nên BC  SB . BC  AB Do đó các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của cạnh SC và bán kính 1 1 1 R SA2 AC 2 SA2 AB2 BC 2 4a2 a2 3a2 a 2 . 2 2 2
13. Câu 11: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu? A. Hình tứ diện. B. Hình hộp chữ nhật. C. Hình chóp ngũ giác đều. D. Hình chóp có đáy là hình thang vuông. Lời giải Chọn D Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu. Câu 17: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. I là trung điểm SC . B. I là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD . C. I là giao điểm của AC và BD . D. I là trung điểm SA . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm SC . Ta có SA  ABCD SA  AC tam giác SAC vuông tại A IA IC IS 1 Lại có: AB , AD là hình chiếu vuông góc của SB , SD lên mặt phẳng ABCD Mà BC  AB , CD  AD nên BC  SB , CD  SD (định lí ba đường vuông góc) IB IC IS các tam giác SBC và SAD vuông tại B và D 2 . IC ID IS Từ 1 và 2 suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Vậy tâm I mặt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC . Câu 24: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a , b , c . Tính bán kính của mặt cầu. a2 b2 c2 1 A. a2 b2 c2 . B. 2 a2 b2 c2 . C. .D. a2 b2 c2 . 3 2 Lời giải Chọn D Đường kính của mặt cầu chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu có bán kính 1 R a2 b2 c2 . 2
14. Câu 10: [HH12.C2.3.BT.b](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA a 6 và vuông góc với đáy ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A. 8 a2 B. a2 2 C. 2 a2 D. 2a2 Lời giải Chọn A S A I B D C 1 Gọi I là trung điểm của SC . Ta có IS IA IB IC ID SC nên I là tâm mặt cầu ngoại 2 tiếp S.ABCD . 1 1 1 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R SC SA2 AC 2 6a2 2a2 a 2 . 2 2 2 Diện tích mặt cầu S 4 R2 8 a2 . Câu 19: [HH12.C2.3.BT.b](Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh a . 2a 3a a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A B C A D I H B' C' A' D' Gọi I là giao của hai đường chéo của hình lập phương ABCD.A B C D ; H là trung điểm của AA . Gọi S là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương ABCD.A B C D . Khi đó mặt 1 a 2 cầu S có tâm là điểm I và bán kính R IH A C . 2 2 Câu 32: [HH12.C2.3.BT.b](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 60 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
15. 13 5 13 5 A. πa2 .B. πa2 .C. πa2 .D. πa2 . 3 3 9 9 Lời giải Chọn A a 3 Gọi H là tâm ABC thì AH . 3 Ta có ·A B, ABC ·A B, AB ·A BA 60 AA AB.tan 60 a 3 . a 3 Gọi M là trung điểm AA thì AM . Mặt phẳng trung trực của đoạn AA cắt trục của 2 đường tròn ngoại tiếp ABC tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. 3a2 a2 13a2 Ta có R2 IA2 IM 2 AM 2 AH 2 AM 2 . 4 3 12 13a2 13 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ S 4πR2 4π πa2 . 12 3 Câu 25: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng BC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Trong P , xét đường tròn C đường kính BC . Tính bán kính của mặt cầu chứa đường tròn C và đi qua điểm A . a 3 a 3 a 3 A. a 3 .B. . C. .D. . 2 3 4 Lời giải Chọn C Gọi S là mặt cầu chứa đường tròn C và đi qua điểm A ; H là đường cao tam giác đều ABC ; I là trọng tâm của tam giác ABC thì I cũng là tâm của mặt cấu S . 1 a 3 BC a Ta có IH AH , bán kính của đường tròn C là R 3 6 2 2 a 3 Bán kính của mặt cầu S là r IB BH 2 IH 2 . 3
16. Câu 2: [HH12.C2.3.BT.b] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy bằng 3a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng. 4 a3 2 4 a3 3 A. .B. 4 a3 2 .C. .D. 4 a3 3 . 3 3 Lời giải Chọn D 2 3a 3 Ta có: AH . a 3 ; SAH vuông cân SH AH a 3 . 3 2 SA2 6a2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là: R a 3 . 2SH 2a 3 4 4 3 Vậy V R3 a 3 4 a3 3 . 3 3 Câu 9: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a, AD 2a, AA 3a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB D a 6 a 14 a 3 a 3 A. R . B. R . C. R . D. R 2 2 4 2 Lời giải Chọn B B C D A B' C' A' D' Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB D cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Nên bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB D là AC AB2 AA 2 AD2 a 14 R . 2 2 2
17. Câu 14. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a . 3a A. R .B. R a .C. R 2 3a .D. R 3a . 3 Lời giải Chọn D A' D' B' C' I A D B C A C 2a 3 Ta có: R a 3 . 2 2 Câu 34. [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a và CD 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 5a 2 5a 2 5a 3 5a 3 A. R .B. R .C. R .D. R . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A A I B D C CD  BC Vì CD  AC , gọi I là trung điểm của AD . CD  AB Khi đó ta có tam giác ACD và ABD vuông cùng có cạnh huyền AD nên bốn điểm A , B , C và D cùng thuộc mặt cầu tâm I đường kính AD . 1 1 1 5a 2 Bám kính mặt cầu là: R AD AB2 BD2 AB2 BC 2 CD2 . 2 2 2 2 Câu 3: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng 2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ? a 6 2a 6 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 12 4
18. Lời giải Chọn A S I D A B C Gọi I là trung điểm của SC , ta có các tam giác SAC , SBC , SCD là các tam giác vuông có cạnh huyền SC nên các đỉnh S , A , B , C , D cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC có 1 1 1 a 6 tâm I , bán kính R SC SA2 AC 2 2a2 4a2 . 2 2 2 2 Câu 41: [HH12.C2.3.BT.b] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB CD a , BC AD b , AC BD c . A. a2 b2 c2 . B. 2 a2 b2 c2 . 1 1 C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . 2 2 2 Lời giải Chọn C Dựng hình hộp AB CD .A BC D B' C A D' B C' A' D Xét mặt bên CD DC là hình bình hành có CD AB C D nên mặt bên CD DC là hình chữ nhật. Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp AB CD .A BC D đều là các hình chữ nhật. Do đó AB CD .A BC D là hình hộp chữ nhật. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Kí hiệu AB x, AD y, AA z thì ta có x2 z2 a2 , x2 y2 c2 , z2 y2 b2 . a2 b2 c2 Suy ra x2 y2 z2 . 2 AC 1 Do đó: R a2 b2 c2 . 2 2 2 Câu 11: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Mặt cầu S có diện tích bằng 20 , thể tích khối cầu S bằng 20 5 20 4 5 A. . B. 20 5 . C. . D. . 3 3 3
19. Lời giải Chọn A Diện tích mặt cầu S : 4πR2 20π R 5 . 4 4 3 20 5 Thể tích khối cầu S là V πR3 π 5 . 3 3 3 Câu 6: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a và cạnh bên a 6 .Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. 18 a2 . B. 18a2 . C. 9a2 . D. 9 a2 . Lời giải Chọn D S M I A B O D C Gọi 463,51 là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm của SC . Trong mặt phẳng SOC dựng đường thẳng qua M và vuông góc với SC cắt SO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính r SI . Xét tam giác vuông ABC ta có: AC 2 2a . Xét tam giác vuông SOC ta có: SO SC 2 OC 2 2a . SM SI SM.SC 3a Xét SMI ∽ SOC ta có: SI . SO SC SO 2 2 3a 2 Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là: S 4 9 a . 2 Câu 11: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a , BC a 3 . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 .Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. R a. B. R 3a. C. R 4a. D. R 2a. Lời giải Chọn D S I A C B
20. Ta có SA  ABC nên tam giác SAC vuông tại A điểm A thuộc mặt cầu tâm I đường kính SC (1). Mặt khác ta lại có: BC  AB BC  SAB BC  SB hay tam giác SBC vuông tại B điểm B thuộc mặt BC  SA cầu tâm I đường kính SC (2). Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, B, S,C cùng thuộc mặt cầu tâm I đường kính BC . Xét tam giác vuông ABC ta có AC 2 AB2 BC 2 2a . Xét tam giác vuông SAC có SC 2 SA2 AC 2 16a2 SC 4a . BC Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R 2a . 2 Câu 19: [HH12.C2.3.BT.b] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a . 7 a2 7 a2 7 a2 3 a2 A. .B. . C. . D. . 3 6 5 7 Lời giải Chọn A R a 2 a 3 3 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều là tâm của hình lăng trụ tam giác đều đó. 2 2 a a 3 a 21 Khi đó, bán kính mặt cầu là: R . 2 3 6 2 2 2 a 21 7 a Diện tích mặt cầu: S 4 R 4 . 6 3 Câu 49. [HH12.C2.3.BT.b] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A 1;2;3 ; B 4;2;3 ;C 4;5;3 . Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là: A. 9 . B. 36 . C. 18 . D. 72 . Lời giải Chọn C Ta có: AB 3 ; BC 3; AC 3 2 nên tam giác ABC vuông cân tại B . Bán kính đường tròn ngoại tiếp 3 2 tam giác ABC là R . 2 Diện tích mặt cầu cần tìm là: S 4 r 2 18 .