›
›
›

Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

doc 30 trang xuanthu 400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • doctrac_nghiem_hinh_hoc_lop_12_tach_tu_de_thi_thu_thpt_quoc_gia.doc

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

  1. Câu 49. [HH12.C2.3.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với B· AC 120 , AB AC a . Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm BC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là a3 V . 16 91a a 13 13a A. R . B. R . C. R . D. R 6a . 8 4 2 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm BC . a a 3 Có AB a, B· AH 60 AH ; BH và BC a 3 . 2 2 1 a3 1 1 3 a 3 V DH.S DH. a2 DH . ABCD 3 ABC 16 3 2 2 4 a 7 Vậy DA AH 2 DH 2 . 4 BC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì bán kính đường tròn đó là R AO a . 2sin A Vậy H là trung điểm AO . Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường thẳng này cắt AD tại S với D là trung điểm SA . a 3 a 7 3 3a 7 Vậy SO 2DH , SA 2DA và SM SA . 2 2 4 8 Từ trung điểm M của đoạn AD kẻ đường vuông góc với AD , cắt SO tại I . Dễ dàng có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . MI SM 3 7a a 21 Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên MI a. . OA SO a 3 4 8. 2 a 91 Bán kính mặt cầu bằng R ID MI 2 MD2 . ABCD 8 Câu 18. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA a 3 .
  2. 3a 6 3a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 2 2 2 8 Lời giải Chọn A S H C I A M O B Gọi H là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng SAO kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với SA cắt SO tại I . Khi đó IS IA IB IC . a 3 a 3 2 6a Ta có: AM ; AO ; SO SA2 OA2 2 3 3 SI SH SH.SA 3 6a Do SHI ∽ SOA ta có: SI . SA SO SO 8 Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao h 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là: A. S 9 . B. S 6 . C. S 5 . D. S 27 . Lời giải Chọn A S H A C O M B I 2 3 Gọi O là tâm của ABC suy ra SO  ABC và SO h 1; OA  6  2 . 3 2 Trong tam giác vuông SAO , ta có SA SO2 OA2 1 2 3 . Trong mặt phẳng SAO kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra IS IA IB IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Gọi H là trung điểm của SA , ta có SHI đồng dạng với SOA nên 3  3 SH.SA 3 R IS 2 . Vậy diện tích mặt cầu S 4 R2 9 . SO 1 2 mc
  3. Câu 41: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. 1 3 3 A. 4a2 3b2 . B. 4a2 3b2 . 18 3 18 3 3 3 C. 4a2 b2 . D. 4a2 3b2 . 18 3 18 2 Lời giải Chọn B A C I M B O A C I M B Gọi I, I lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm của II . Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. a 3 b Ta có: AI , IO suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là 3 2 a2 b2 1 R 4a2 3b2 3 4 2 3 4 3 2 2 3 Vậy V O;R R 4a 3b . 3 18 3 Câu 20: [HH12.C2.3.BT.c] (CỤM 2 TP.HCM) Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2a, góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45. Tính theo a thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 10 a3 A. V 6 a3. B. V . 3 5 a3 5 10 a3 C. V . D. V . 6 3 Lời giải Chọn D . Gọi O AC BD và I là trung điểm SC . Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA IB IC ID . Mặt khác do và I là trung điểm SC nên IS IC . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
  4. Do SA  ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên ABCD . Vậy S· CA SC, ABCD 45 . 1 1 AC 5a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R SC . . 2 2 2 2 2 3 4 5a 5 10 a3 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là V . 3 2 2 3 Câu 11: [HH12.C2.3.BT.c] Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng AA B B bằng 30. Gọi H là trung điểm của AB. Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A .ABC. a 3 a 2 a 6 a 30 A. R . B. R . C. R . D. R . 6 2 6 6 Lời giải Chọn D A C d B M I A C G H B a 3 Ta có Tam giác ABC đều cạnh a CH  AB và CH . 2 Suy ra CH  ABC , nên A C; ABC A C; A H C· A H 30 . 3a A H CH.cot 30 , AA A H 2 AH 2 a 2 . 2 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại trọng tâm G . Dựng đường trung trực của AA trong mặt phẳng AA G cắt trục đường tròn tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A .ABC có bán kính là IA . a 3 a 2 a2 a2 a 30 Ta có AG , AM AI AM 2 AG2 3 2 3 2 6 Câu 16: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có 1 SA  ABC , SA 2a , tam giác ABC cân tại A , BC 2a 2 , cos ·ACB . Tính diện tích S của 3 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 97 a2 97 a2 A. S . B. S . 4 2 97 a2 97 a2 C. S . D. S . 3 5
  5. Lời giải Chọn A S N I A M C O H B BC Gọi H là trung điểm của BC HC a 2 . 2 Do ABC cân tại A AH  BC . 1 cos ·ACB AC 3HC AC 3a 2 . 3 AH AC 2 HC 2 18a2 2a2 4a . Gọi M là trung điểm AC , trong mp ABC vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 1 1 2 2 Ta có cos ·ACH sinC· AH cosC· AH . 3 3 3 2 AM 3a 9a Trong AMO vuông tại M AO 2 cosC· AH 2 2 4 3 Gọi N là trung điểm SA. Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O và vuông góc mp ABC tại I . Chứng minh được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có ANIO là hình chữ nhật 81a2 97a2 97 đường chéo AI AO2 AN 2 a2 a . 16 16 4 97a2 97 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S 4 R2 4 a2 (đvdt). 16 4 Câu 17: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại đỉnh A, AB 1 cm , AC 3 cm . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C . Khoảng cách 3 từ C đến mặt phẳng SAB bằng cm . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 2 5 5 5 A. cm2 . B. 20 cm2 . C. cm2 .D. 5 cm2 . 4 6 Lời giải Chọn D
  6. S I K C B E 1 3 H A Gọi I là trung điểm của SA IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của BC, AB Ta có : AB  AC EI  AB, AB  SB IH  AB AB  IHE SAB  IHE Kẻ EK  IH EK  SAB d C, SAB 3 EK d E, SAB 2 4 Do IBC cân tại I IE  BC Mà IE  AB IE  ABC IE  EH 1 1 1 1 1 1 16 4 Xét IHE vuông tại E 4 EK 2 EH 2 IE 2 IE 2 EK 2 EH 2 3 3 1 5 IE 2 IC 2 IE 2 EC 2 S 4 R2 5 4 4 mc Câu 18: [HH12.C2.3.BT.c] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là 2 2 2 4a a h A. h . B. . 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4a h a h a C. h . D. . 3 3 4 3 3 4 3 Lời giải Chọn C
  7. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Gọi G,G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C . Vậy GG là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy. Trong mặt phẳng AA G G , kẻ đường trung trực d tại trung điểm M của AA và cắt GG' tại I . Khi đó ta có IA IA . Mà I GG IA IB IC IA IB IC . Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là I là bán kính là IA . 2 a 3 a 3 h IM GA , MA . 3 2 3 2 a2 h2 Ta có IA IM 2 MA 2 . 3 4 3 2 3 2 2 2 4 3 4 a h 4a 2 h a Vậy thể tích khối cầu là V IA h . 3 3 3 4 3 3 4 3 Câu 26: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , SA  ABCD và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK  SD tại K . Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B,C, E, K bằng: 1 6 3 A. a .B. a. C. a . D. a . 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: BC  AB S BC  SAB BC  SB BC  SA Tứ giác ABCE là hình bình hành AB / /CE CE  AD K Mà CE  SA CE  SAD CE  SD mà EK  SD A SD  CEK SK  CK E D Suy ra các điểm A, B, E, K cùng nhìn hai điểm S,C dưới một góc vuông nên 6 điểm S, A, B,C, E, K cùng B C thuộc mặt cầu đường kính SC .
  8. SC SA2 AC2 2a2 2a2 Bán kính mặt cầu: R a . 2 2 2 Câu 35: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB BC a 3 , góc S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. 16 a2 . B. 8 a 2 .C. 12 a2 . D. 2 a 2 . Lời giải Chọn C Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABC ) . Ta có: AB  SA, AB  SD AB  (SAD) AB  AD. Tương tự CB  (SCD) BC  DC . Suy ra ABCD là hình vuông Gọi H là hình chiếu của D trên SC DH  (SBC) d(A,(SBC) d(D,(SBC) DH a 2 1 1 1 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SCD , ta có SD a 6 . SD2 SH 2 DC 2 Gọi I là trung điểm SB ta có IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. SC Suy ra bán kính mặt cầu là r a 3 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 2 S 4 r 2 12 a 2 Câu 1: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 43 43 43 43 A. .B. .C. .D. . 48 36 4 12 Lời giải Chọn D Gọi H , M lần lượt là trung điểm BC , SA ; G là trọng tâm ABC . Ta có ·SBC , ABC S·H, AH S· HA 60 3 3 ABC đều, cạnh bằng 1 AH SA AH tan 60 2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 2 2 2 2 2 2 2 SA 2 3 1 43 R IA IG AG AH 2 3 4 3 48 43 43 Diện tích mặt cầu S 4 R2 4  . 48 12 Câu 2: [HH12.C2.3.BT.c] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , AB AC a , AA a 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C là
  9. 4 a2 A. .B. 4 a 2 .C. 12 a2 . D. 4 3 a2 . 3 Lời giải Chọn B Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A B C . Gọi I, I lần lượt là trung điểm của BC và B C . Do tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên trung điểm O của II là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A B C . 1 1 Bán kính mặt cầu là R BC 2 C C 2 2a2 2a2 a . 2 2 Diện tích mặt cầu là 4 a 2 . Câu 3: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp S.ABC có AB a, AC 2a, B· AC 60o , SA  ABC và SA a 3 . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng a 55 a 7 a 10 a 11 A. R .B. R .C. R .D. R . 6 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos A a 3 . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và  ABC tại O . Trong mặt phẳng SA, , đường trung trực của SA cắt tại I . Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có r AO Áp dụng đinh lý sin trong ABC ta có: BC SA2 7a2 a 7 2r AO r a R2 r 2 R . sin A 4 4 2 Câu 4: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp tam giác S.ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A và BC 4a . Cạnh bên SA 3a và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó (Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng 25 a3 125 a3 125 a3 25 a2 125 a3 125 a3 A. ; .B. 25 a2; . C. ; .D. 25 a2; . 4 6 3 4 6 6 Lời giải Chọn D
  10. Gọi H là trung điểm của BC , K là trung điểm của SA . Qua H dựng đường thẳng  ABC PSA . Qua K dựng đường thẳng  SA P AH . Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là I  . Xét tam giác IHA vuông tại H ta có: 2 2 2 2 SA BC 5a r IA IH AH . 2 2 2 Diện tích hình cầu: S 4 r 2 25 a 2 . 4 125 a3 Thể tích khối cầu: V r3 . 3 6 Câu 5: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết rằng AB AA a, AC 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bằng a 5 a 3 a 2 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có BC AC 2 AB2 a 5. Gọi I là trung điểm của B C , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C . Gọi O là trung điểm của A C . Tam giác MA C vuông cân tại M. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C . OI  A C OI€ A B Ta có OI  ACC A . OI  MO Suy ra OI là trục của tam giác MA C . Suy ra IA IC IM IB .
  11. 1 1 a 5 Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bán kính R B C BC . 2 2 2 Câu 18. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD , biết tam giác BCD là tam giác đều cạnh a . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn. Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là: a3 3 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 4 Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD và H là hình chiếu của A trên BCD . Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Do đó GB GC GD GA. 2 2 a 3 Ta có GB BM BC 2 CM 2 AG . 3 3 3 Trong tam giác ACH có AH AG .Dấu bằng xảy ra khi H  G . 1 a2 3 S BC.BD.sin C· BD . BCD 2 4 1 1 a2 3 1 a2 3 a 3 a3 V AH.S . .AG . . . ABCD 3 BCD 3 4 3 4 3 12 a3 Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là . 12 Câu 34. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. S 8 a2 . B. S 6 a2 . C. S 12 a2 . D. S 4 a2 . Lời giải Chọn D
  12. Gọi I là trung điểm SC . Do S· AC S· BC S·DC 90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Ta có: S·C, ABCD S· CA 45 . 1 Suy ra: SA AC a 2 . Do đó bán kính mặt cầu R IA SC a . 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 a2 . Câu 21: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , SA  ABCD và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK  SD tại K . Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S , A , B , C , E , K là: 1 3 6 A. R a .B. R a .C. R a .D. R a . 2 2 2 Lời giải Chọn C S K A D E B C Vì E là trung điểm của AD , ABCD là hình thang vuông tại A và B và AB BC a , AD 2a nên AB BC CE AE ED a và CE//AB . Khi đó CE  AD , CE  SA nên CE  SE hay S· EC 90 và CE  SD . Mặt khác EK  SD do đó SD  CEK suy ra CK  SD hay S·CK 90 . Ta có CB  AB , CB  SA nên CB  SB hay S· BC 90. Ta cũng có CA  SA nên S· AC 90 Vậy các góc S· EC , S·CK , S· BC , S· AC cùng nhìn cạnh SC dưới một góc không đổi 90 nên các SC điểm S , A , B , C , E , K nằm trên mặt cầu tâm I là trung điểm của SC bán kính R . 2
  13. Ta có AC AB2 BC 2 a 2 ; SC AC 2 SA2 2a suy ra R a . Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và ·ASB 90 , B· SC 60 , C· SA 120 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC là . 4 A. 4 a2 .B. 2 a2 . C. a2 . D. a3 . 3 Lời giải Chọn A Xét tam giác SAB theo định lí cosin ta có : AB2 SA2 SB2 2SA.SB cos ·ASB a2 a2 2a.a.cos90 2a2 AB a 2 Xét tam giác SAC theo định lí cosin ta có : AC2 SA2 SC2 2SA.SC cos ·ASC a2 a2 2a.a.cos120 3a2 AC a 3 Xét tam giác SBC theo định lí cosin ta có : BC2 SC2 SB2 2SC.SB cos ·ASB a2 a2 2a.a.cos60 a2 AB a Vậy AB2 BC2 AC2 ABC vuông tại B . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC . Vì SA SB SC a OA OB OC Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC mà ABC vuông tại B O là trung điểm AC . SO là trục của mặt phẳng đáy ABC Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt SO tại I I là tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp S.ABC . SI SE Xét SEI ∽ SOC g g 1 SC SO a Với SE , SC a 2 a2 a Mặt khác SOC vuôn tại O áp dụng định lí pitago SO2 SB2 BO2 SO 4 2 Thay vào 1 SI a vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là a diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là 4 a2 . Câu 28. [HH12.C2.3.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng A B C A' B' C' A. 24 a2 .B. 6 a2 .C. 4 a2 .D. 3 a2 . Lời giải
  14. Chọn B A B H M C R I A' B' M' C' \ Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC , B C . Dễ thấy trung điểm I của MM là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Kẻ AH vuông góc BC (H BC) ·AC H ·AC ,(BCC B ) 30 . 2 Ta có: AC BC 2 AB2 2a 2 a 3 a . AB.AC a 3.a a 3 AH.BC AB.AC AH . BC 2a 2 a 3 AH Trong tam giác vuông AHC , có: AC 2 a 3 . sin 30 1 2 2 Trong tam giác vuông ACC , có CC AC 2 AC 2 a 3 a2 a 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 CC BC a 2 2a 6 2 Bán kính R IB MI MB a 2 2 2 2 4 6a2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 . 6 a2 . 4 Câu 45: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , AD a 2 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trung a 2 điểm H của BC , SH . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD . 2 a 2 a 5 a 17 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Lời giải Chọn C
  15. Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD và tam giác BHD . 2 a 2 2 2 a 2 2 a 6 2 Ta có HB , HD HC DC a và BD a 2a a 3 . 2 2 2 Áp dụng định lí Cô sin, ta có a2 3a2 3a2 · 1 · 2 cos BHD 2 2 sin BHD . a 2 a 6 3 3 2 . 2 2 1 a 2 a 6 2 a2 2 Diện tích tam giác BHD là S . . . . BHD 2 2 2 3 4 a 2 a 6 . .a 3 HB.HD.BD 3a 2 Do đó r 2 2 . 4S a2 2 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH . Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E . Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm. SH 2 SH 2 9a2 a2 a 17 Ta có R r 2 MH 2 r 2 r 2 . 4 4 2 8 4 Câu 48. [HH12.C2.3.BT.c] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB là: a3 2 a3 a3 A. .B. .C. 2 a 3 .D. . 2 3 6 Lời giải Chọn B
  16. Cách 1: Nhận xét : ·AKC ·AHC ·ABC 90 , nên 4 điểm A, H, K, B thuộc mặt cầu đường a 2 4 a3 2 kính AC . Bán kính R OA V R 3 2 3 3 . Cách 2: Dựng hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm AB . Tam giác AHB vuông tại H và MO  HAB suy ra MO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB . Tam giác AKC vuông tại K suy ra OA OK . Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 2 4 a3 2 AHKB và bán kính R OA V R 3 . 2 3 3 Câu 50. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC a 3 , S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a . A. S 4 a2 . B. S 8 a2. C. S 12 a2 . D. S 16 a2 . Lời giải Chọn C S M I A H C B Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC . Khi đó 5 điểm A , B , C , H , S cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SB . Do A , B , C , H cùng thuộc một mặt phẳng nên ABHC là tứ giác nội tiếp. Theo giả thiết ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABHC là hình vuông d A, SBC d H, SBC . Trong mặt phẳng SHC kẻ HM  SC , M SC khi đó d H, SBC HM a 2 . Xét tam giác vuông SHC ta có 1 1 1 HM 2.HC 2 SH 2 6a2 SH a 6 . HM 2 HC 2 SH 2 HM 2 HC 2 Xét tam giác vuông SHB ta có SB2 SH 2 HB2 6a2 6a2 12a2 SB 2a 3 . 1 Do I là trung điểm của SB nên IH SB a 3 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là S 4 a 3 12 a2 . BẢNG ĐÁP ÁN
  17. 1.C 2.D 3.A 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B 10.B 11.B 12.C 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.C 19.C 20.A 21.C 22.A 23.D 24.A 25.D 26.D 27.A 28.B 29.D 30.A 31.A 32.A 33.C 34.B 35.D 36.C 37.A 38.A 39.A 40.D 41.D 42.A 43.C 44.A 45.B 46.C 47.B 48.B 49.B 50.C BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Câu 18: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB 4a , CD 6a , các cạnh còn lại có độ dài a 22 . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a 79 5a a 85 A. R . B. R . C. R . D. R 3a . 3 2 3 Lời giải Chọn C Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB . AB  CN Ta có: AB  MN ; tương tự CD  MN . Suy ra MN là đường trung trực và là đoạn AB  DN vuông góc chung của AB và CD . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì I thuộc MN . Xét tam giác ANC vuông tại N có: CN AC 2 NA2 22a2 4a2 3 2a . Xét tam giác CMN vuông tại M có: MN CN 2 CM 2 18a2 9a2 3a . Lại có: IM IN 3a IM IN 3a IM IN 3a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IM MC IN NA IM IN NA MC IM IN IM IN 5a 2 IM IN 3a IM a 3 5 . IM IN a 7 3 IN a 3 4 85 Vậy bán kính cần tìm là R IM 2 MC 2 a2 9a2 a . 9 3
  18. Câu 32: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , AD 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 250 3 125 3 500 3 A. V B. V C. V D. 3 6 27 50 3 V 27 Lời giải Chọn C S M I A D O B C Gọi O AC  BD . Do các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc 60 nên SO  ABCD hay SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SB , trong mặt phẳng SBC kẻ đường thẳng qua M và vuông góc với SB cắt SO tại I khi đó ta có IA IB IC ID IS hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 5 Theo giả thiết ta có AB 3 , AD 4 nên BO . Mà góc giữa SB và mặt phẳng 2 BO 5 3 ABCD bằng 60 hay S· BO 60 SB 5 , SO . cos60 2 5 5. SM.SB 5 3 Ta có SMI : SOB nên SI 2 . SO 5 3 3 2 3 4 5 3 500 3 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là V . 3 3 27 Câu 39: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi B ', C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Biết AB a , AC 2a , B· AC 1200 , tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB 'C ' . a 21 a 7 a 3 a 21 A. R . B. R . C. R . D. R . 3 3 7 7 Lời giải Chọn A
  19. S C ' B ' A H K B C I Xét tam giác ABC có : BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos1200 7a2 BC a 7 Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB, AC . Kẻ IH, IK lần lượt là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB ' và ACC ' . I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB 'C ' và bán kính mặt cầu là R IA Mặt khác: I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC a 21 BC 2R.sin1200 R . 2.sin1200 3 Câu 46: [HH12.C2.3.BT.c] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm . Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng 112 40 38 100 A. cm3 .B. cm3 .C. cm3 .D. cm3 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Gọi AB là đường kính mặt nón, O là đỉnh, M , N lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung của hai mặt cầu và OA , OB (hình vẽ).
  20. O M N A B 1 Ta có tam giác OAB đều nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng r h 3. 3 Tương tự, tam giác OMN đều, có chiều cao h 9 2r 3 nên có bán kính đường tròn nội tiếp 1 r .3 1. 3 4 4 112 Thể tích hai khối cầu bằng V .r3 .r 3 . 3 3 3 Câu 32: [HH12.C2.3.BT.c](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45o . Tính Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 4 1 2 A. V πa3 .B. V πa3 . C. V πa3 .D. V πa3 . 3 3 3 Lời giải Chọn A Góc giữa SC và ABCD là góc S· CA bằng 45o nên tam giác SAC vuông cân tại A nên SC 2a . Ta có CB  SAB CB  SB SBC vuông tại B . CD  SAD CD  SD SCD vuông tại D . SC Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC , bán kính R a . 2 4 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là V πa3 . 3 Câu 41: [HH12.C2.3.BT.c] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a, AD a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. S 5 a2 .B. S 10 a2 .C. S 4 a2 .D. S 2 a2 . Lời giải
  21. Chọn A Gọi H là trung điểm AB SH  AB (vì SAB đều). Mặt khác SAB  ABCD SH  ABCD . Gọi O là giao điểm của AC, BD O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . Gọi G là trọng tâm SBC G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SBC . Qua O dựng đường thẳng d //SH d là trục của đường tròn O , qua G dựng đường thẳng //OH là trục của đường tròn H . d  I IA IB IC ID IS I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD . 3a Xét tam giác đều SAB có cạnh là a 3 SH SG a . 2 AD a Mặt khác IG OH . 2 2 a2 5a2 a 5 Xét tam giác vuông SIG : IS 2 SG2 IG2 a2 IS . 4 4 4 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là: S 4 R2 5 a2 . Câu 50: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên bằng a 2 . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 15 3a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 4 Lời giải Chọn A S N I A C H M B
  22. Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC , khi đó SH  ABC và là trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. Gọi N là trung điểm SA , mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SH tại I . Khi đó IS IA IB IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 1 2 SA2 SN.SA 1 a 2 a 15 Bán kính mặt cầu là R SI 2 . SH 2 2 2 2 5 SA AH 2 2 a 3 a 2 3 2 HẾT Câu 30: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD .Biết rằng AB a , và ·ASB 60 . Tính diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13 a2 13 a2 11 a2 11 a2 A. S .B. S . C. S . D. S . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B S d A D O B C Gọi R1, R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và mặt bên SAB . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 1 1 2 2 AB a a Khi đó R1 AC a 3a a và R2 . 2 2 2sin ·ASB 2sin 60 3 Vì hình chóp đã cho có mặt bên SAB vuông góc với đáy ABCD nên bán kính mặt cầu hình chóp S.ABCD được tính theo công thức: AB2 a2 a2 13a2 R2 R2 R2 a2 . 1 2 4 3 4 12 13 a2 Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: S 4 R2 . 3 Câu 42: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ·ASB 120 .
  23. 5 15 4 3 5 13 78 A. V . B. V . C. V . D. V . 54 27 3 27 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm AB , do SAB  ABC , tam giác ABC đều và tam giác SAB cân tại S nên SH  ABC và CH  SAB . Gọi I và J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác SAB . Dựng đường thẳng Ix//SH và Jy//CH thì Ix  ABC và Jy  SAB nên Ix là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và Jy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Khi đó Ix  Jy O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 3 SA.SB.AB AB 3 Ta có OJ IH . R SJ . SAB 1 6 4. .SA.SB.sin120 3 3 2 3 1 1 15 4 3 4 15 5 15 Vậy R SO nên V R . 3 12 6 3 3 6 54 Câu 25: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết AB BC a 3 , S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 16 a2 . B. 12 a2 . C. 8 a2 . D. 2 a2 . Lời giải Chọn B
  24. S H I D C A B Gọi D là hình chiếu của S trên ABCD . Do SA  AB DA  AB , và SC  CB DC  CB . Vậy suy ra ABCD là hình vuông. Trong SCD kẻ DH  SC tại H . Ta có AD // SBC d A, SBC d D, SBC DH . 1 1 1 Ta có SD a 6 . Suy ra SB 2a 3 . DH 2 DC 2 SD2 SB Gọi I là trung điểm SB suy ra I là tâm mặt cầu và R a 3 . 2 Vậy diện tích mặt cầu bằng S 4 R2 12 a2 . Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB cân tại O , OA OB 2a, ·AOB 120 . Trên đường thẳng vuông góc với P tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng P sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 3a 2 a 2 5a 2 5a 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A C B O I A D Gọi I là trung điểm của AB , ta có AI OA.sin 60 a 3 AB AB 3 AB 2AI 2a 3 , OI OA.cos60 a , CI a 3 , DI 3a . 2 2