Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 3.5 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 3: Khối cầu - Mức độ 3.5 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 35: [HH12.C2.3.BT.c] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a Mặt bên SAB vuông góc với đáy, ·ASB 60o , SB a . Gọi S là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với SAC . Tính bán kính r của mặt cầu S . 3 3 A. r 2a .B. r 2a .C. r 2a 3 .D. r a . 19 19 Lời giải Chọn B Ta có SAB  ABC , SAB  ABC AB , BC  AB BC  SAB . Vẽ BM  SA tại M SA  BMC SAC  BMC , vẽ BH  MC tại H BH  SAC r BH . a 3 2a. a 3 BC.BM 3 Ta có BM sin 60o.SB BM , BH 2 2a . 2 BC 2 BM 2 3a2 19 4a2 4 3 Vậy bán kính của mặt cầu S bằng 2a . 19 Câu 45. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy là 45. Gọi N là điểm thuộc cạnh SA sao cho SA 4SN , h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là 4 A. 8R 5h . B. 5R 4h . C. 2R 5h . D. R h . 5 5 Lời giải Chọn A
2. S N I A D O B C Ta có SA  ABCD tại A . Suy ra góc giữa SC và ABCD là S· CA . Theo giả thuyết S· CA 45 SA AC AB2 BC 2 a 5 . Vậy h a 5 . Gọi O là trung điểm AC và I là trung điểm NC IN IC IA IB nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC 2 1 1 3 2 5 5a R IC NC a 5 a 5 . 2 2 4 8 R 5 Suy ra 8R 5h . h 8 Câu 28: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h 3 (hình vẽ). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là S A C H M B 100 25 100 A. . B. . C. . D. 100 . 3 3 27 Lời giải Chọn C * Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm H khi đó D thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. * Do SAD là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD là đường tròn lớn của mặt cầu.
3. S A C H M D B 4 10 * Ta có: AD AM 2 3 , SA SD SH 2 AH 2 , bán kính mặt cầu ngoại tiếp 3 3 hình chóp là: SA.SD.AD SA.SD.AD SA2 5 R 4S SAD 2AD.SH 2SH 3 3 100 Diện tích mặt cầu là: S 4 R2 . 27 Câu 49: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Một khối đa diện H được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3 , ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một “góc” của nó như hình vẽ. C B D C' B' D' A' Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng A B C D , BCC B và DCC D . Tính bán kính của S . 2 3 2 3 A. . B. 3 3 . C. . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn B z C B D M I C' y B' D' A' x
4. Gọi M là đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 1 nằm trên đường chéo AC và nằm trên khối còn lại sau khi cắt. Gọi I là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa yêu cầu bài toán. Ta có d I, A B C D d I, BCC B d I, DCC D Suy ra I thuộc đoạn thẳng C M và mặt cầu tâm I cần tìm đi qua điểm M . Đặt d I, DCC D a , ta có IC a 3 . Mà C A 3 3 , AM 3 . Suy ra IM 2 3 a 3 2 3 Ta có d I, DCC D IM a 2 3 a 3 a 3 3 . 1 3 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho C 0;0;0 , B 0;3;0 , D 3;0;0 , C 0;0;3 . x t Khi đó M 2;2;2 . Ta có phương trình đường thẳng C M là y t I t;t;t với 2 t 0 do z t I thuộc đoạn thẳng C M . Ta có d I, Oyz IM t 3 t 2 2 t 2 t 3 t 3 3 . Suy ra R IM 3 3 . Câu 50: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Biết SA AB a , AD 2a , SA  ABCD . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 2a 39 a 3 3a 3 a 6 A. . B. . C. .D. . 13 2 4 2 Lời giải Chọn. D. S a I a A B 2a D C Dễ thấy S· AC S· BC S·DC 90. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đường a 6 kính là cạnh SC SA2 AC 2 a 6 . Vậy bán kính R . 2 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B 13.A 14.A 15.C 16.D 17.C 18.C 19.D 20.B 21.C 22.A 23.A 24.A 25.A 26.A 27.D 28.B 29.B 30.B 31.D 32.C 33.D 34.D 35.B 36.B 37.D 38.A 39.D 40.D 41.A 42.B 43.B 44.D 45.C 46.A 47.C 48.B 49.D 50.D Câu 21. [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AC 2a , AA 3a nội tiếp mặt cầu S . Tính diện tích mặt cầu .
5. 7 A. 13 a2 . B. 6 a2 . C. 56 a2 . D. a2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A C' B' O' D' A' I C B O . D A Gọi OO là đường cao của hình hộp và I là trung điểm của OO . Ta có I cách đều các đỉnh của hình hộp chữ nhật. Vậy I là tâm mặt cầu S . 9a2 a 13 Bán kính mặt cầu S là R OI 2 OA2 a2 . 4 2 Diện tích mặt cầu S 4 R2 13 a2 . Câu 12: [HH12.C2.3.BT.c] (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 60 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13 a2 5 a2 13 a2 5 a2 A. S .B. S . C. S .D. S . 12 3 36 9 Lời giải Chọn B S G I A D H O B C Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Vì SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SH  ABCD . Gọi O , G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB . CH  AB Ta có  CH  SAB . CH  SH  Từ O kẻ đường thẳng 1  ABC 1 //SH . Trong mặt phẳng 1 ;SH từ G kẻ đường thẳng 2 //CH và 2  1 I . Do 2 //CH 2  SAB . Vì I 1 IA IB IC 1 . Vì I 2 IA IB IS 2 . Từ 1 , 2 có I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
6. a 3 a 3 Các tam giác ABC và SAB đều cạnh a nên SG và GI OH . 3 6 3a2 3a2 a 15 Bán kính của mặt cầu là R SI SG2 GI 2 . 9 36 6 5 a2 Do đó diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: S 4 R2 . 3 Câu 2: [HH12.C2.3.BT.c] [2017]Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên a 21 bằng . Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. 6 R Tỉ số bằng: h 7 7 7 1 A. B. . C. . D. . 12 24 6 2 Lời giải Chọn C a 3 Gọi O là tâm ABC , suy ra SO  ABC và AO . 3 a Trong SOA, ta có h SO SA2 AO2 . 2 Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra ● I d nên IS IA . ● I SO nên IA IB IC . Do đó IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC . Gọi M là tung điểm SA , ta có SMI ÿ SOA nên SM.SA SA2 7a R 7 R SI . Vậy . SO 2SO 12 h 6 Câu 3: [HH12.C2.3.BT.c] [2017] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:
7. 4 a3 2 a3 6 8 a3 6 8 a3 6 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 27 Lời giải Chọn D Gọi O AC  BD , suy ra SO  ABCD . Ta có 600 =S·B, ABCD S·B,OB S· BO . a 6 Trong SOB , ta có SO OB.tan S· BO . 2 Ta có SO là trục của hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB . I SO IA IB IC ID Gọi I SO  d IA IB IC ID IS R . I d IS IB SB SD Xét SBD có SBD đều. · · o SBD SBO 60 Do đó d cũng là đường trung tuyến của SBD . Suy ra I là trọng tâm SBD . 2 a 6 4 8 a3 6 Bán kính mặt cầu R SI SO . Suy ra V R3 . 3 3 3 27 Câu 4: [HH12.C2.3.BT.c] [2017] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: a 1 3 a 6 2 a 6 2 a 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn B
8. Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc S·MH (I SH ) . Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r IH . a 2 Ta có SH SA2 AH 2 ; 2 a 3 a SM ; MH . 2 2 Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: IS MS SH MS MH SH.MH a a 6 2 IH . IH MH IH MH MS MH 2 6 4 Câu 9: [HH12.C2.3.BT.c] [CHUYÊN KHTN L4] [2017] Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. minV 8 3 . B. minV 4 3 . C. minV 9 3 . D. minV 16 3 . Lời giải Chọn A Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có SIJ ~ SMH
9. SI IJ MH SH IH IJ SH 2 HM 2 SM MH MH 2 SH 1 2 SH 2 HM 2 a2 12 SH 2 2a2SH 0 2a2 SH a2 12 a2 12 1 3 2a4 3 1 1 12 1 S S .SH .Ta có S 8 3 ABC 2 1 12 2 4 3 6 a 12 6 a a 48 a2 a4 Câu 11: [HH12.C2.3.BT.c] [CHUYÊN VINH – L2] [2017] Cho lăng trụ ABC.A B C có AB AC a, BC 3a . Cạnh bên AA 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Lời giải Chọn B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua O vuông góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực của AA tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. AB2 AC 2 BC 2 1 Mặt khác cos µA 2.AB.AC 2 BC a 3 Ta có: R a do đó R IA OI 2 OA2 a2 a2 a 2 . ABC 2sinA 2sin1200 Câu 12: [HH12.C2.3.BT.c] [2017] Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC) ; tam giác ABC cân tại A, AB a ; B· AC 120 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A, B,C, K, H . A. R a 3 B. R a C. R 2a D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Lời giải
10. Chọn B Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AD là một đường kính của đường tròn (I) . Tam giác ACD vuông tại C , suy ra: DC  AC mà DC  SA nên DC  (SAC) . AK  KC Ta lại có: AK  KC . AK  DC(do DC  (KCD) Suy ra tam giác AKD vuông tại K , suy ra: IA ID IK . Tương tự như trên ta cũng có: IA ID IH . Vậy thì IA IB IC IK IH , do đó 5 điểm A, B,C, K, H cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm). Bán kính R của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Áp dụng định lý cos ta có: BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos120 a 3 . BC BC a 3 Áp dụng định lý sin ta có: 2R R a . ChọnB. sin A 2sin A 3 2. 2 Câu 14: [HH12.C2.3.BT.c] [2017] Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, biết AB 1; AC 3 . Gọi M là trung điểm BC , biết SM  (ABC) . Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SMAB vàb SMAC bằng 15 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 21 25 A. B. 20 C. D. 4 4 4 Lời giải Chọn C
11. S N I A C M B Dễ kiểm tra được BC 2a và tam giác MAB đều cạnh a . Đặt SM h . Gọi R1, R2 và R lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình SMAB , SMAC và S.ABC . Gọi r1,r2 và r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác MAB , MAC và ABC . 3 AC Ta có: r và r 1. 1 2 2 2.sin120 Vì SA  (MAB) , SA  (MAC) nên dễ kiểm tra được: 2 2 2 2 2 h 2 h 3 2 h 2 h R1 r1 và R2 r2 1. 2 4 4 2 4 2 2 Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: 4 R1 R2 15 h2 3 h2 15 Suy ra: 1 . Từ đây tìm được h 2 . 4 4 4 4 Dựng trung trực của SC , cắt SM tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của S.ABC . SN.SC 5 Dễ kiểm tra SI.SM SN.SC , suy ra R SI . SM 4 2 5 25 Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S 4 . ChọnC. 4 4 Câu 43: [HH12.C2.3.BT.c] Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và SA SB SC 4 3 cm .Gọi D là điểm đối xứng của B qua C . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng A. 5cm . B. 3 2cm . C. 26cm . D. 37cm . Lời giải Chọn D
12. Cách 1: Dựng CG vuông góc với ABC , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , mặt phẳng này cắt CG tại F . Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD . Đặt SF R Xét hình chữ nhật: CGSH FC SH FG SH R2 CH 2 1 Lại có: FC R2 CB2 2 .Từ (1) và (2) suy ra SH R2 CH 2 R2 CB2 6 R2 12 R2 36 5 R2 12 0 R 37 cm Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có: C 0;0;0 , A 3 3; 3;0 , B 3 3;3;0 , S 2 3;0;6 F CG F 0;0;t FA FS 36 t 2 12 t 6 2 t 1 SC 37 cm