Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 4: Tổng hợp - Mức độ 4.1 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Bài 4: Tổng hợp - Mức độ 4.1 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 1: [HH12.C2.4.BT.d] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Thể tích khối chỏm cầu bán R kính R , chiều cao h . bằng 3 8 4 A. h R3 . B. h R3 . 81 3 8 8 C. h R3 . D. h R3 . 9 27 Lời giải Chọn A 2 2 h R R 8 3 Ta có công thức V h R . R R . 3 3 9 81 Câu 19: [HH12.C2.4.BT.d] (THPT CHU VĂN AN) Cho hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. .V R3 B. .C. V V . D. .V 2 12 5 Lời giải Chọn C Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn là C : x2 y2 R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
2. R R 3 3 2 2 2 x 5 R V 2 R x dx 2 R x . R 3 R 12 2 2 Câu 23: [HH12.C2.4.BT.d] Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7, 2 cm ; đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm ; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm . Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 293 dm 3 . B. 170 dm3. C. 132 dm3. D. 954 dm3. Lời giải Chọn B Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm +) Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn R1 3,2 cm, bán kính đáy nhỏ r1 0,8 cm và chiều cao h 7, 2 cm. +) Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R 3, 2 cm. 1 2 2 2 3 Suy ra V h R1 R1r1 r1 R . 3 3 1 2 20288 .7,2 3,22 3,2.0,8 0,82 .3,23 170 cm3. 3 3 375 Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là 170.103 cm 3 170 dm 3. Câu 24: [HH12.C2.4.BT.d] Cho mặt cầu S có bán kính R a 3. Gọi T là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên S và có thiết diện qua trục của T lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của T . 2 2 2 2 A. Stp 9 a . B. Stp 9 a 3. C. Stp 6 a 3. D. Stp 6 a . Lời giải Chọn A Hình vẽ thiết diện qua trục như sau:
3. Ta có: AC 2R 2a 3. Đặt AD x, ta có: CD AC 2 AD2 12a2 x2 Vì thiết diện qua trục là lớn nhất nên AD.CD lớn nhất. Xét hàm số: 2 2 f x x. 12a x , x 0; 2a 3 . 2x 12a2 2x2 Ta có: f x 12a2 x2 x. 2 12a2 x2 12a2 x2 12a2 2x2 f x 0 0 x a 6 12a2 x2 2 Ta có: f a 6 a 6. 12a2 a 6 a 6.a 6 6a2 ; f 2a 3 0 ; f 0 0 CD a 6 Vậy hình trụ có: bán kính đáy R ; chiều cao h AD a 6 2 2 a 6 a 6 S 2 r(r h) 2 . . a 6 9 a2 . tp 2 2 Câu 25: [HH12.C2.4.BT.d] Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
4. 112 40 25 10 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S J C D H I A B O Gọi R là bán kính của hình nón. r1, r2 lần lượt là bán kính quả cầu lớn và quả cầu nhỏ. Thiết diện qua trục của hình nón như sau: 3 2SO 2.9 SAB là tam giác đều nên SO AB. AB 6 3. 2 3 3 SO 9 Gọi I là tâm tam giác SAB , r 3 1 3 3 SO Tam giác SCD có chiều cao là SH 3 3 SH 3 Gọi J là tâm tam giác SCD , r 1 2 3 3 4 3 4 3 4 3 3 4 112 Tổng thể tích hai quả cầu là: V r1 r2 r1 r2 27 1 . 3 3 3 3 3 Tính chất cần nhớ: Đối với tam giác đều: 2 + Bán kính đường tròn ngoại tiếp là trung tuyến tương ứng. 3 1 + Bán kính đường tròn nội tiếp là trung tuyến tương ứng. 3 Câu 28: [HH12.C2.4.BT.d] Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông; hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
5. Lời giải Chọn A Giả sử thiết kế theo hình hộp chữ nhật có chiều cao h và cạnh đáy a. Ta có 1 V a2h 1 h . Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp là 1 a2 4 2 2 S 4ah 2a2 2a2 2a2 6 . 1 a a a Vậy min S1 6 và dấu bằng xảy ra khi a h 1. Giả sử thiết kế theo hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy R , ta có 1 V R2h 1 h 2 R2 Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là 2 1 1 S 2 Rh 2 R2 2 R2 2 R2 33 2 . 2 R R R 1 1 Vậy min S 33 2 và dấu bằng xảy ra khi R h 3 2 2 2 3 Vì min S1 min S2 6 3 2 0 nên ta chọn thiết kế theo hình trụ để tiết kiệm vật liệu nhất, 1 và hình trụ có R h , hay chiều cao bằng đường kính đáy. 2 Câu 29: [HH12.C2.4.BT.d] Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . 125 1 2 125 5 2 2 A. V .B. V . 6 12 125 5 4 2 125 2 2 C. V .D. V . 24 4 Lời giải Chọn C
6. X Y Cách 1 : Khối tròn xoay gồm 3 phần: 5 Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 5 125 V1 5 . 2 4 5 2 Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 V 2 3 2 2 12 Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 2 1 5 2 1 5 2 5 2 5 2 5 125 2 2 1 V3 . 3 2 2 2 2 2 24 Vậy thể tích khối tròn xoay là 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2 V V V V . 1 2 3 4 12 24 24 Cách 2 : Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là 125 V R2h T 4
7. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là 2 125 2 V R2h 2N 3 6 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là 1 125 V R2h N 3 24 5 4 2 Thể tích cần tìm V V V V 125 . T 2N N 24 Câu 30: [HH12.C2.4.BT.d] Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng AB . Biết AB 12 3 cm , BC 6 cm và BQ 18 cm . Hãy tính thể tích của hộp nữ trang. A. 216 3 3 4 cm3. B. 216 4 3 3 cm3. C. 261 3 3 4 cm3. D. 261 4 3 3 cm3. Lời giải Chọn A Ta có V BQ.SABCDE . Trong đó SABCDE SABCE SCDE SABCE SMCDE S MCE .122.120 1 6.12 3 .6.12 3 12 3 3 4 . 360 2 Thể tích hộp nữ trang là V 18.12 3 3 4 216 3 3 4 cm3 . Câu 31: [HH12.C2.4.BT.d] Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là A. 64 .B. 34 .C. 32 .D. 16. Lời giải Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy tâm cầu sẽ có toạ độ là I a;a;a với a 0 và có bán kính R a . Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A 9;10;13 thuộc mặt cầu. Từ đó ta có phương trình: 9 a 2 10 a 2 13 a 2 a2 . Giải phương trình ta được nghiệm a 7 hoặc a 25 .
8. Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 2 7 25 64 . Câu 32: [HH12.C2.4.BT.d] Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng 0,5 cm , chiều cao bằng 10 cm . Người ta làm các hộp đựng phấn có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước 5cm 9 cm 10 cm . Khi xếp 500 viên phấn vào 11 hộp ta được kết quả nào trong các khả năng sau: A. Có thể xếp thêm trên 5 viên.B. Có thể xếp thêm 5 viên. C. Thừa 5 viên. D. Vừa đủ. Lời giải Chọn C Đường kính đáy của hình trụ là d 0,5 2 1 cm . Ta thấy hộp đựng phấn có chiều dài đáy, chiều rông đáy và chiều cao lần lượt là 9 cm ,5 cm ,10 cm . Nên mỗi hộp có thể xếp được 5 hàng phấn, mỗi hàng phấn gồm 9 viên (hình vẽ), khi đó số viên phấn ở mỗi hộp là 5 9 45 viên. Vậy 11 hộp phấn có tất cả 45 11 495 viên. Khi xếp 500 viên phấn vào 11 hộp thì sẽ thừa ra 5 CHƯƠNG 3: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Câu 48: [HH12.C2.4.BT.d] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho mặt cầu S có bán kính R không đổi, hình nón H bất kì nội tiếp mặt cầu S . Thể tích khối nón V1 H là V1 ; và thể tích phần còn lại của khối cầu là V2 . Giá trị lớn nhất của bằng: V2 81 76 32 32 A. .B. . C. .D. . 32 32 81 76 Lời giải Chọn D
9. S I B A H Gọi I , S là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón. Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón và AB là một đường kính của đáy. V1 V V1 Ta có 1 . Do đó để đạt GTLN thì V1 đạt GTLN. V2 V V1 V2 TH 1: Xét trường hợp SI R R3 Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi SI R Lúc đó V . 1 3 TH 2: SI R I nằm trong tam giác SAB như hình vẽ. Đặt IH x x 0 . Ta có 3 1 2 1 2 2 4R 32 3 V1 HA .SH R x R x 2R 2x R x R x R . 3 3 6 6 3 81 R Dấu bằng xảy ra khi x . 3 4 R3 V V 8 Khi đó 1 1 3 1 . V V V 4 3 32 3 19 2 1 R R 3 81 Câu 41. [HH12.C2.4.BT.d] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
10. d Hình 1 Hình 2 5 3 9 3 5 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 3 8 6 2 Lời giải Chọn A d S V1 A I H V2 B M K C Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình SIABK quay quanh trục SK . 1 3 Tam giác SIH quay quanh trục SK tạo thành khối nón có r IH ; h SH . 1 2 1 2 1 1 1 3 3 Thể tích khối nón này bằng V r 2h . . 1 3 1 1 3 4 2 24
11. 3 Hình thang vuông HABK quay quanh trục HK tạo thành hình nón cụt có R AH ; 2 3 r BK 1; h HK SH . 2 h 2 2 3 9 3 19 3 Thể tích khối nón cụt này bằng V2 . R r R.r . 1 . 3 3 2 4 2 24 5 3 Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng V 2 V V . 1 2 3 Câu 46: [HH12.C2.4.BT.d](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm . Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng 112 40 38 100 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S C N B M O A Gọi N , r1 tâm và bán kính của đường tròn nhỏ. M , r2 là tâm và bán kính của mặt cầu lớn. Do các mặt cầu tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt nón nên tam giác SCN vuông tại C , tam giác SBM vuông tại B . Hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 nên ·ASO 30.
12. 1 1 SO Ta có r sin 30.SM SM SO r r 3 ; 2 2 2 2 2 3 1 SO 2r r SN sin 30 SO r 2r r 2 1. 1 2 1 2 1 3 4 3 3 112 Thể tích hai khối cầu lớn, nhỏ trong hình nón là V r1 r2 3 3 Câu 50: [HH12.C2.4.BT.d] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình cầu S tâm I , bán kính R không đổi. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. R R 2 A. h R 2 . B. h R . C. h . D. h . 2 2 Lời giải Chọn A O2 R h I r A B O1 h2 h2 Ta có R2 r 2 r R2 . 4 4 h2 Mà diện tích xung quanh hình trụ là S 2 rh 2 h R2 . 4 h 1 Xét hàm số f h 4R2 h2 h2 4R2 h2 R2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 h 2R . HẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B C A C B D A C B D D D A C D C D C B C A D B B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B B D D A C B D A B B B A A A A A C C A D D C C A Câu 36: [HH12.C2.4.BT.d] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại
13. có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối 4 nón một khối cầu có bán kính bằng lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ 3 337 ngập trong nước và lượng nước trào ra là cm3 . Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể. 3 A. 885,2 cm3 . B. 1209,2 cm3 . C. 1106,2 cm3 . D. 1174,2 cm3 . Lời giải Chọn B Gọi r, Rmc lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối cầu, a,b,c lần lượt là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. AB 3 Dễ dàng thấy a 4r , ABC đều cạnh 2r nên BH r 3 b r 3 2r . 2 3 4 4 4 3 4 4 4 3 1 2 1 3 Rmc r Vkc Rmc r r . Vkn r h r (do h r ) 3 3 3 3 3 3 3 4 1 3 4 3 337 Ta có phương trình 3. r r r 3 Rmc 4 . 3 3 3 Từ đó a 12 , b 6 3 3 . Gọi D, E, F lần lượt là 3 đỉnh của hình nón thì DEF đều có cạnh 6 bằng 6 và nội tiếp đường tròn có bán kính HM 2 3 . Từ đó 2sin 60 2 2 2 2 IH IM HM 4 2 3 2, c Rmc IH r 4 2 3 9 .
14. Vậy thể tích nước ban đầu cũng chính là thể tích khối hộp chữ nhật 3 Vkhcn abc 12.9. 6 3 3 1209,2 cm . Câu 50: [HH12.C2.4.BT.d] (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc). 3 5 1 5 A. 3 B. 2 C. D. 2 2 Lời giải Chọn C O K A B I H D O' C Đặt AB 2a , DC 2b , O O 2c . Ta có V1 là thể tích chiếc cốc, V2 là thể tích của bi. Ta có CK 2c , CB a b , BK a b . Do tam giác CKB vuông tại K ta có CB2 CK 2 BK 2 a2 b2 2ab 4c2 a2 b2 2ab ab c2 . 2c 2 2 4 3 Mặt khác V1 a b ab , V2 c . 3 3 Theo giả thiết lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu, suy ra 2 2 3 V1 2V2 c a b ab 4c a 3 5 a 3 5 a2 b2 ab 4ab , do a b nên . b 2 b 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B B C C B C C B C A D A A A B C A A C B C A D D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B B B D C B D D A B B A B D D D B A C D A D D C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 18: [HH12.C2.4.BT.d] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Một chiếc cốc hình nón có chiều cao h 4 và bán kính đáy R 2 đang chứa một lượng nước có thể tích V . Người ta bỏ vào bên trong cốc một viên bi hình cầu có bán kính r 1 thì lượng nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính thể tích V của lượng nước có trong cốc.
15. 2 5 16 5 5 8 5 5 4 4 5 A. V B. V C. V D. V 3 12 6 3 Lời giải Chọn A Xét mặt cắt bởi thiết diện đi qua trục của hình nón. Tam giác AOB có OA 2OB , 1 1 1 5 OH  AB 1 OA 5 . OH 2 OA2 OB2 OA2 Chiều cao của mực nước sau khi thả them viên bi vào hình nón là: 2 1 5 4 3 h OA r 1 5 V . 1 5 . V r 3 2 3 3 1 5 4 2 5 V V . 12 3 3