Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 1: Hình nón, khối nón - Dạng 6: Toán max, min liên quan khối nón - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 1: Hình nón, khối nón - Dạng 6: Toán max, min liên quan khối nón - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R = 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. » 66° B. » 294° C. » 12,56° D. » 2,8° Lời giải Chọn A Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau: Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa). x Khi đó x = 2pr Þ r = 2p x 2 Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là h = R2 - r 2 = R2 - 4p2 1 1 x 2 x 2 Thể tích khối nón sẽ là:V = pr 2h = p R2 - 3 3 4p2 4p2 Đến đây các em đạo hàm hàm V (x) tìm được GTLN của V (x) đạt được khi 2p x = R 6 = 4p 3 2 6p - 4p Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:2pR - 4p Þ a = 3600 » 660 2 6p Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 36 38 38 36 A. r = 4 . B. r = 6 . C. r = 4 . D. r = 6 . 2p2 2p2 2p2 2p2 Lời giải Chọn B 1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = pr 2h = 27 Þ r 2h = Þ h = . 3 p p r 2 Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. 812 1 812 1 S = 2prl = 2pr r 2 + h2 = 2pr r 2 + = 2p r 4 + xq p2 r 4 p2 r 2 812 1 812 1 812 1 812 1 = 2p r 4 + + ³ 2p 33 r 4. . 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 814 = 2 3p 6 (theo BĐT Cauchy) 4p4
2. 812 1 38 38 S nhỏ nhất Û r 4 = Û r 6 = Û r = 6 . xq 2p2 r 2 2p2 2p2 Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67cm D. 58,80cm . Lời giải Chọn D Đặt b,a,h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l BO2 OA 2 2BO.OA .cos 2 (1). a 4 a l(B¼B ) OA OB AB AB AB. B A AB (a b)2 h2 . 1 1 b 4 b l(A¼A ) OB OB 2 b 2 b 2 (a b) 2 (a b) AB a a b b (a b)2 h2 (a). 1 OB (b) . AB (a b)2 h2 OB b b a b b (a b)2 h2 OA OB BA (a b)2 h2 (c). a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l. l 58,79609cm 58,80 Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung B¼B tại điểm nào khác B, ¼ 1 b tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 2 cos . a Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
3. Câu 470: [HH12.C2.1.D06.c] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R = 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. » 66° B. » 294° C. » 12,56° D. » 2,8° Lời giải Chọn A Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau: Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa). x Khi đó x = 2pr Þ r = 2p x 2 Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là h = R2 - r 2 = R2 - 4p2 1 1 x 2 x 2 Thể tích khối nón sẽ là:V = pr 2h = p R2 - 3 3 4p2 4p2 Đến đây các em đạo hàm hàm V (x) tìm được GTLN của V (x) đạt được khi 2p x = R 6 = 4p 3 2 6p - 4p Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:2pR - 4p Þ a = 3600 » 660 2 6p Câu 486: [HH12.C2.1.D06.c] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 36 38 38 36 A. r = 4 . B. r = 6 . C. r = 4 . D. r = 6 . 2p2 2p2 2p2 2p2 Lời giải Chọn B 1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = pr 2h = 27 Þ r 2h = Þ h = . 3 p p r 2 Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. 812 1 812 1 S = 2prl = 2pr r 2 + h2 = 2pr r 2 + = 2p r 4 + xq p2 r 4 p2 r 2 812 1 812 1 812 1 812 1 = 2p r 4 + + ³ 2p 33 r 4. . 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 814 = 2 3p 6 (theo BĐT Cauchy) 4p4
4. 812 1 38 38 S nhỏ nhất Û r 4 = Û r 6 = Û r = 6 . xq 2p2 r 2 2p2 2p2 Câu 501: [HH12.C2.1.D06.c] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67cm D. 58,80cm . Lời giải Chọn D Đặt b,a,h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l BO2 OA 2 2BO.OA .cos 2 (1). a 4 a l(B¼B ) OA OB AB AB AB. B A AB (a b)2 h2 . 1 1 b 4 b l(A¼A ) OB OB 2 b 2 b 2 (a b) 2 (a b) AB a a b b (a b)2 h2 (a). 1 OB (b) . AB (a b)2 h2 OB b b a b b (a b)2 h2 OA OB BA (a b)2 h2 (c). a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l. l 58,79609cm 58,80 Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung B¼B tại điểm nào khác B, ¼ 1 b tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 2 cos . a Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
5. Câu 43: [2H2-1.6-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a . A , B là hai điểm bất kỳ trên O . Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 96 48 96 24 Lời giải Chọn B S h B a/2 O A 1 1 Ta có V S .SO . Lại có S OA.OB.sin ·AOB . S.OAB 3 AOB AOB 2 a a 3 Mặt khác OA OB , SO h . 2 2 Do đó thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất khi sin ·AOB 1 OA  OB . 1 1 a a a 3 a3 3 Khi đó V     . max 3 2 2 2 2 48 Câu 42. [2H2-1.6-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x . Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. 2 R 6 2 R 2 2 R 3 R 6 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A R r Chu vi đường tròn đĩa là: C 2 R . Chu vi đường tròn đáy của hình nón là: C x x Bán kính đường tròn đáy hình nón là: r . 2
6. x2 Chiều cao của hình nón là: h R2 r 2 R2 . 4 2 1 1 x2 x2 Thể tích khối nón là: V . r 2.h . . R2 . 3 3 4 2 4 2 1 2 2 x 3 1 x 1 x 2 1 1 x 2 4 2 2 2 V x R 2 2 2 x 4 R x 2 . 6 4 3 4 x2 12 24 4 2 R2 x2 R2 4 2 1 1 8 2 R2 2 R 6 2 2 2 3 2 2 2 2 2 V 0 2 x 4 R x 2 x 2 4 R x x x x . 12 24 3 3 Câu 43: [2H2-1.6-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước. 3R 5R 5R 4R A. h B. h C. h D. 2 2 4 3 Lời giải Chọn D S O H M Gọi chiều cao của hình nón là x , 0 x 2R . Gọi bán kính đáy của hình nón là r ta có r 2 OM 2 OH 2 R2 x R 2 2Rx x2 x 2R x . 1 1 Thể tích của hình nón là V r 2.x x2 2R x . 3 3 3 x x 2R x 2 3 x x 2 2 x 8R Mặt khác ta lại có . . 2R x 2R x 2 2 3 4 27 1 32 R3 32 R3 V x2 2R x . Vậy maxV . Dấu " " xảy ra khi 3 27 27 x 4R 2R x x 2 3 Câu 40: [2H2-1.6-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?
7. 2 6 A. .B. .C. .D. . 4 3 3 2 Lời giải Chọn C Rx Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn bằng Rx , bán kính hình nón r 2 R2 x2 R Đường cao của hình nón h R2 r 2 R2 4 2 x2 4 2 2 2 2 3 1 2 1 R x R 2 2 R 4 2 2 Thể tích khối nón (phễu) V r h . 2 . 4 x 2 x 4 x 3 3 4 2 24 2 3 x2 x2 4 2 3 R3 Theo Cauchy ta có . . 4 2 x2 V . 2 2 27 27 x2 2 6 2 6 Dấu bằng xảy ra khi 4 2 x2 x . Vậy thể tích phễu lớn nhất khi x . 2 3 3 Câu 1373: [2H2-1.6-3] [BTN 163 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 38 36 36 38 A. r 6 . B. r 4 . C. r 6 . D. r 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 81 81 1 Thể tích của cốc: V r 2h 27 r 2h h . .  r 2 Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. 812 1 812 1 S 2 rl 2 r r 2 h2 2 r r 2 2 r 4 . xq 2 r 4 2 r 2 812 1 812 1 812 1 812 1 2 r 4 2 33 r 4. . . 2 2 r 2 2 2 r 2 2 2 r 2 2 2 r 2 814 2 3 6 (theo BĐT Cauchy). 4 4 812 1 38 38 S nhỏ nhất r 4 r 6 r 6 . xq 2 2 r 2 2 2 2 2 Câu 2150. [2H2-1.6-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) -2017] Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là.
8. . 6 2 6 2 6 A. .B. . C. .D. . 3 2 3 3 Lời giải Chọn D Không mất tính tổng quát ta chọn R 1. Khi đó, hình nón có đường sinh bằng 1 và chu vi đáy bằng 1.x (rad) nên có bán kính đáy bằng x x2 r và chiều cao bằng h l 2 r 2 1 . 2 4 2 1 1 x2 x2 1 x2 Thế tích phễu bằng V r 2h . . 1 .x2 1 . 3 3 4 2 4 2 12 4 2 1 x2 Xét hàm số f x .x2 1 với x 0;2 . 12 4 2 1 x2 x3 1 x2 2 3 Ta có: f x 2x 1 2 8 x 1 2 x . 12 4 2 2 4 2 x 3 x 4 1 48 1 4 2 4 2 x 0 2 6 Cho f x 0 3x3 8 2 x 0 x . 3 2 6 x 0;2 3 2 6 2 3 2 6 f 0 0 f 2 0 Tính , f , nên thể tích phễu lớn nhất khi x . 3 27 3 Câu 273. [2H2-1.6-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Lời giải Chọn A
9. Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh ·ASA 120 ·ASO 60 . r Suy ra SO OA.cot ·ASO . 3 Gọi H là trung điểm của AM và đặt x OH . r 2 Ta có: SH SO2 OH 2 x2 , AM 2AH 2 OA2 OH 2 2 r 2 x2 . 3 1 r 2 2 Diện tích tam giác SAM bằng s SH.AM x2 . r 2 x2 r 2. 2 3 3 2 r 2 r 2 r s r 2 đạt được khi x2 r 2 x2 x2 x . Tức là OH SO . max 3 3 3 3 Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu. Câu 274. [2H2-1.6-3] [2H2-4.1-3] [PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN-2017] Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A. Đáp án khác. B. R 4 2. C. R 2. D. R 2 2. Lời giải Chọn D Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất. AKM vuông tại K. Ta thấy IK r là bán kính đáy của chóp, AI h là chiều cao của chóp. IK 2 AI.IM r 2 h 6 h . 1 1 V r 2h h2 6 h 0 h 6 . 3 3
10. 1 V h2 6 h max y h3 6h2 max trên 0;6 . max 3 Câu 275. [2H2-1.6-3] [CHUYÊN ĐH VINH-2017] Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt C· AB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. 60. B. 45. C. arctan . D. 30 . 2 Lời giải Chọn C AC AB. cos 2R.cos CH AC.sin 2R.cos .sin ; AH AC.cos 2R.cos2 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V AH. CH 2 R3.cos4 .sin2 . 3 3 Đặt t cos2 0 t 1 8 V R3t 2 1 t 3 3 8 3 8 3 t t 2 2t R .t.t 2 2t R 6 6 3 2 1 Vậy V lớn nhất khi t khi arctan . 3 2  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f t t 2 1 t Câu 276. [2H2-1.6-3] [SỞ GD BẮC NINH-2017] Cho một hình nón N có đáy là hình tròn tâm O . Đường kính 2a và đường cao SO a . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn C . Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 2 a3 4 a3 7 a3 8 a3 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 81 Lời giải Chọn B Gọi là mặt phẳng qua trục của hình nón N cắt hình nón N theo thiết là tam giác SAB , cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C theo thiết diện là tam giác SCD , gọi I là giao điểm của SO và CD .Ta có: AB 2a OA a SO .Do đó tam giác SOA vuông cân tại S .Suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .Đặt SI AC x (0 x a) OI a x Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn C là: 1 1 1 1 V . .IC2.OI . .x2 (a x) x3 ax2 .V ' x . . 3x2 2ax 3 3 3 3
11. x 0 V ' x 0 2a .Bảng biến thiên: x 3 Câu 291. [2H2-1.6-3] Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h . h 2h h 3 A. x . B. x h 3 . C. x . D. x . 3 3 3 Lời giải Chọn A JB OJ h x R(h x) Từ hình vẽ ta có JB . IA OI h h 1 R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V (h x)2 x . 3 h2 1 R2 Xét hàm số V (x) (h x)2 x , 0 x h . 3 h2
12. 1 R2 h Ta có V '(x) (h x)(h 3x) 0 x h hay x . 3 h2 3 Bảng biến thiên: h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là x ; 3 4 R2h V . max 81 Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R = 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại? A. » 66° B. » 294° C. » 12,56° D. » 2,8° Lời giải Chọn A Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau: Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa). x Khi đó x = 2pr Þ r = 2p x 2 Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là h = R2 - r 2 = R2 - 4p2 1 1 x 2 x 2 Thể tích khối nón sẽ là:V = pr 2h = p R2 - 3 3 4p2 4p2 Đến đây các em đạo hàm hàm V (x) tìm được GTLN của V (x) đạt được khi 2p x = R 6 = 4p 3 2 6p - 4p Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:2pR - 4p Þ a = 3600 » 660 2 6p Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 36 38 38 36 A. r = 4 . B. r = 6 . C. r = 4 . D. r = 6 . 2p2 2p2 2p2 2p2
13. Lời giải Chọn B 1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = pr 2h = 27 Þ r 2h = Þ h = . 3 p p r 2 Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất. 812 1 812 1 S = 2prl = 2pr r 2 + h2 = 2pr r 2 + = 2p r 4 + xq p2 r 4 p2 r 2 812 1 812 1 812 1 812 1 = 2p r 4 + + ³ 2p 33 r 4. . 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 2p2 r 2 814 = 2 3p 6 (theo BĐT Cauchy) 4p4 812 1 38 38 S nhỏ nhất Û r 4 = Û r 6 = Û r = 6 . xq 2p2 r 2 2p2 2p2 Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67cm D. 58,80cm . Lời giải Chọn D Đặt b,a,h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l BO2 OA 2 2BO.OA .cos 2 (1). a 4 a l(B¼B ) OA OB AB AB AB. B A AB (a b)2 h2 . 1 1 b 4 b l(A¼A ) OB OB 2 b 2 b
14. 2 (a b) 2 (a b) AB a a b b (a b)2 h2 (a). 1 OB (b) . AB (a b)2 h2 OB b b a b b (a b)2 h2 OA OB BA (a b)2 h2 (c). a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l. l 58,79609cm 58,80 Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung B¼B tại điểm nào khác B, ¼ 1 b tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 2 cos . a Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó). Câu 7358:[2H2-1.6-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2 - 2017] Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là V 9a3 . Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là R sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít nhất. Tính R ? 3a 3a A. R .B. R .C. R 3 9a . D. R 3a . 3 2 6 2 Lời giải Chọn B . 3 6 6 3 1 2 27a 2 2 3a R V 9a R .h h l h R . 3 R 2 R4 Sxq R.l 3a 6 R6 3a 6 R6 3a 6 3a 6 3a 6 3a 6 .R. R4 6 . .R4 R4 R2 2R2 2R2 2R2 2R2 12 3a 9 a2 6 . 4 3 2 6 3a 6 3a Dấu bằng xảy ra khi R4 3a 2R6 R . 2R2 6 2 Câu 7369:[2H2-1.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng Lần 6 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 . Với chiều cao h và bán kính đáy là r . Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.
15. 36 38 36 38 A. r 6 .B. r 4 . C. r 4 . D. r 6 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 3V Ta có: V r 2h h suy ra độ dài đường sinh là: 3 r 2 3V 81 38 l h2 r 2 ( )2 r 2 ( )2 r 2 r 2 . r 2 r 2 2r 4 38 38 Diện tích xung quanh của hình nòn là: S rl r r 2 r 4 . xq 2r 4 2r 2 38 Áp dụng BDDT Cosi ta được giá trị nhỏ nhất là khi r 6 . 2 2 Câu 37: [2H2-1.6-3] (THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - 2018 - BTN – 6ID – HDG) Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 , với chiều cao h và bán kính đáy r . Giá trị r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất: 36 38 38 36 A. r 4 B. r 6 C. r 4 D. r 6 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 1 2 81 Ta có thể tích cốc hình nón V .r .h 27 h 2 . 3 .r 2 2 8 81 2 81 2 3 4 Khi đó l 2 r . Suy ra Sxq .r. 2 r 2 2 r . .r .r .r Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất. 8 3 2.3 8 4r 3 2 3 4 .r Ta xét f r 2 2 r f r . .r 38 2 r 4 2.r 2 38 f r 0 r 6 r . 2 2 0 38 6 Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì r 2 . 2