Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 2: Khối trụ - Dạng 6: Toán max, min liên quan khối trụ - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 2: Khối trụ - Dạng 6: Toán max, min liên quan khối trụ - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 454: [2H2-2.6-3] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng A. 106,25dm2 . B. 75dm2 . C. 50 5dm2 . D. 125dm2 . Lời giải Chọn B Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. 62,5 Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . Suy ra a2 62.5 250 125 125 125 125 S 4. .a a2 a2 a2 33 . .a2 75 . Dấu bằng xảy ra khi a2 a a a a a a 3 125 5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75. Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eN.r ( trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. 1.424.300;1.424.400 . B. 1.424.000;1.424.100 . C. 1.424.200;1.424.300 . D. 1.424.100;1.424.200 . Lời giải Chọn C Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1 1.153.600, N 5, A 1.038.229 S ln 1 S Ta có: S A.eN.r eN.r 1 r A 1 A 5 S ln 15. A 15.r 5 Gọi S2 là dân số đầu năm 2025, ta có S2 A.e 1.038.229.e 1.424.227,71 Câu 459: [2H2-2.6-3] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 6 3 6 3 3 6 A. r , h . B. r , h .C. r , h . D. r , h . 2 2 2 2 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
2. Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h2 r 2 R2 0 h R 1 r 2 1 h2 3 Thể tích khối trụ là: V r 2h (1 h2 ) h f (h) f '(h) (1 3h2 ) 0 h 3 3 h 0 1 3 f'(h) + 0 2 3 f(h) 9 0 0 2 3 6 3 Vậy: MaxV (đvtt) khi r và h 0;1 9 3 3 Câu 460: [2H2-2.6-3] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là: 91125 91125 A A. cm3 . B. cm3 . 4 2 108000 3 13500. 3 Q P C. cm3 . D. cm3 . Lời giải B M N C Chọn D Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN MQ BM 3 Đặt MN=x ( 0 x 90 ); MQ (90 x) AI BI 2 x x 3 3 Gọi R là bán kính của trụ R V ( )2 (90 x) ( x3 90x2 ) 2 T 2 2 8 3 13500. 3 Xét f (x) ( x3 90x2 ) với 0 x 90 . Khi đó: max f (x) khi x= 60. 8 x (0;90) Câu 467: [2H2-2.6-3] Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8 m . B. 1,2 m . C. 2 m . D. 2,4 m . Lời giải Chọn C 16 Gọi x (m) là bán kính của hình trụ (x > 0). Ta có: V = p.x 2.h Û h = x 2
3. 32p Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2px 2 + 2pxh = 2px 2 + ,(x > 0) x 32p Khi đó: S '(x) = 4px - , cho S '(x) = 0 Û x = 2 . x 2 Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2(m) nghĩa là bán kính là 2m . Câu 478: [2H2-2.6-3] Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu là 2p m3 mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu? 1 1 1 A. R = 2m,h = m . B. R = m,h = 8m .C. R = 4m,h = m . D. R = 1m,h = 2m . 2 2 8 Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính đáy thùng (m ), h: là chiều cao của thùng (m ). ĐK: R > 0,h > 0 2 Thể tích của thùng là: V = pR2h = 2p Û R2h = 2 Û h = R2 Diện tích toàn phần của thùng là: æ2 ö æ2 ö S = 2pRh + 2pR2 = 2pR h + R = 2pR ç + R÷= 2p ç + R2÷ tp ( ) ç 2 ÷ ç ÷ èçR ø÷ èçR ø÷ æ ö ç2 2÷ Đặt f (t ) = 2p ç + t ÷(t > 0) với t = R èçt ø÷ 3 æ 1 ö 4p (t - 1) f ' t = 4p çt - ÷= , f ' 1 = 0 Û t 3 = 1 Û t = 1 ( ) ç 2 ÷ 2 ( ) èç t ø÷ t Bảng biến thiên: t - ¥ 0 1 + ¥ f '(t ) - 0 + f (t) Min Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước R = 1m,h = 2m Câu 485: [2H2-2.6-3] Một thợ xây muốn sử dụng 1 tấm sắt có chiều dài là 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tông, 1 khung hình trụ có đáy là hình vuông và 1 khung hình trụ có đáy là hình tròn. Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích 2 khung là nhỏ nhất? A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 4 2 , . p + 4 p + 4
4. B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 2 4p , . p + 4 p + 4 C. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 2 4p + 14 , . p + 4 p + 4 D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 4p + 14 2 , . p + 4 p + 4 Lời giải Chọn B Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khung hình trụ có đáy là hình vuông và khung hình trụ có đáy là hình tròn. Gọi a là chiều dài của cạnh hình vuông và r là bán kính của hình tròn. Ta có: 2 2 V1 + V2 = a + pr (đơn vị thể tích). 1 2 Mà 4a + 2pr = 4 Û a = (2 - pr ),0 < r < . Suy ra 2 p 1 2 V (r ) = V + V = pr 2 + (2 - pr ) . 1 2 4 1 2 V ¢(r ) = 2pr - p (2 - pr ), V ¢(r ) = 0 Û r = . Lập bảng biến thiên suy ra 4 (p + 4) æ 4 ö ç ÷ Vmin = ç ÷. èçp + 4ø÷ 4p Vậy, phải chia tấm sắt thành 2 phần: phần làm lăng trụ có đáy là hình vuông là (m). (p + 4) Câu 7126. [2H2-2.6-3] (THPT Ngô Gia Tự -2017) Một người có một dải ruy băng dài 130 cm , người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? . A. 2000 cm3 . B. 1000 cm3 . C. 4000 cm3 . D. 1600 cm3 . Lời giải Chọn B Ta có 130 10 8r 4h h 30 2r .
5. V r 2h r 2 30 2r 30 r 2 2 r3 V 60 r 6 r 2 . V 0 r 10 Vmax V 10 1000 . Câu 7127. [2H2-2.6-3] (THPT Thuận Thành 2 -2017) Cho tam giác ABC cân tại A , AB AC 5a, BC 6a . Hình chữ nhật MNPQ có M , N lần lượt thuộc cạnh AB, AC và P, Q thuộc cạnh BC . Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác ABC được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn nhất. A. MN a . B. MN 2a . C. MN 5a . D. MN 4a . Lời giải Chọn D . Ta có: BH 3a; AH 4a . Đạt HQ x BQ 3a x 0 x 3a . MQ BQ 4 3 x Ta có: MQ . AH BH 3 3 2 4 3 x 2 x Khi đó: VT .x . 4 x 0 x 3a . 3 3 x3 Xét hàm sạ f x x2 0 x 3a . 3 Hàm sạ f x đạt giá trạ lạn nhạt tại x 2a MN 4a . Câu 7146. [2H2-2.6-3] (Sở Hải Dương -2017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ. A. 16 cm3 . B. 8 cm3 . C. 32 cm3 . D. 64 cm3 . Lời giải Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a 0 a 6 , chiều rộng b 0 b 6 . b Ta có chiều cao hình trụ bằng a , bán kính hình trụ bằng . 2 Theo giả thiết ta có a b 6 a 6 b . b2 Ta có V B.h 6 b . 4 2 3 2 b 0 Đặt f b 6b b f b 12b 3b f b 0 . 4 4 b 4
6. Lập bảng biến thiên ta thấy f b đạt giá trị lớn nhất khi b 4 a 2 . Vậy V 8 cm3 . Câu 454: [HH12.C2.2.D06.c] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng A. 106,25dm2 . B. 75dm2 . C. 50 5dm2 . D. 125dm2 . Lời giải Chọn B Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. 62,5 Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . Suy ra a2 62.5 250 125 125 125 125 S 4. .a a2 a2 a2 33 . .a2 75 . Dấu bằng xảy ra khi a2 a a a a a a 3 125 5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75. Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eN.r ( trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. 1.424.300;1.424.400 . B. 1.424.000;1.424.100 . C. 1.424.200;1.424.300 . D. 1.424.100;1.424.200 . Lời giải Chọn C Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1 1.153.600, N 5, A 1.038.229 S ln 1 S Ta có: S A.eN.r eN.r 1 r A 1 A 5 S ln 15. A 15.r 5 Gọi S2 là dân số đầu năm 2025, ta có S2 A.e 1.038.229.e 1.424.227,71 Câu 459: [HH12.C2.2.D06.c] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 6 3 6 3 3 6 A. r , h . B. r , h .C. r , h . D. r , h . 2 2 2 2 3 3 3 3 Lời giải
7. Chọn C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h2 r 2 R2 0 h R 1 r 2 1 h2 3 Thể tích khối trụ là: V r 2h (1 h2 ) h f (h) f '(h) (1 3h2 ) 0 h 3 3 h 0 1 3 f'(h) + 0 2 3 f(h) 9 0 0 2 3 6 3 Vậy: MaxV (đvtt) khi r và h 0;1 9 3 3 Câu 460: [HH12.C2.2.D06.c] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là: 91125 91125 A A. cm3 . B. cm3 . 4 2 108000 3 13500. 3 Q P C. cm3 . D. cm3 . Lời giải B M N C Chọn D Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN MQ BM 3 Đặt MN=x ( 0 x 90 ); MQ (90 x) AI BI 2 x x 3 3 Gọi R là bán kính của trụ R V ( )2 (90 x) ( x3 90x2 ) 2 T 2 2 8 3 13500. 3 Xét f (x) ( x3 90x2 ) với 0 x 90 . Khi đó: max f (x) khi x= 60. 8 x (0;90) Câu 467: [HH12.C2.2.D06.c] Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8 m . B. 1,2 m . C. 2 m . D. 2,4 m . Lời giải Chọn C 16 Gọi x (m) là bán kính của hình trụ (x > 0). Ta có: V = p.x 2.h Û h = x 2
8. 32p Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2px 2 + 2pxh = 2px 2 + ,(x > 0) x 32p Khi đó: S '(x) = 4px - , cho S '(x) = 0 Û x = 2 . x 2 Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2(m) nghĩa là bán kính là 2m . Câu 478: [HH12.C2.2.D06.c] Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu là 2p m3 mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu? 1 1 1 A. R = 2m,h = m . B. R = m,h = 8m .C. R = 4m,h = m . D. R = 1m,h = 2m . 2 2 8 Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính đáy thùng (m ), h: là chiều cao của thùng (m ). ĐK: R > 0,h > 0 2 Thể tích của thùng là: V = pR2h = 2p Û R2h = 2 Û h = R2 Diện tích toàn phần của thùng là: æ2 ö æ2 ö S = 2pRh + 2pR2 = 2pR h + R = 2pR ç + R÷= 2p ç + R2÷ tp ( ) ç 2 ÷ ç ÷ èçR ø÷ èçR ø÷ æ ö ç2 2÷ Đặt f (t ) = 2p ç + t ÷(t > 0) với t = R èçt ø÷ 3 æ 1 ö 4p (t - 1) f ' t = 4p çt - ÷= , f ' 1 = 0 Û t 3 = 1 Û t = 1 ( ) ç 2 ÷ 2 ( ) èç t ø÷ t Bảng biến thiên: t - ¥ 0 1 + ¥ f '(t ) - 0 + f (t) Min Vậy ta cần chế tạo thùng với kích thước R = 1m,h = 2m Câu 485: [HH12.C2.2.D06.c] Một thợ xây muốn sử dụng 1 tấm sắt có chiều dài là 4m , chiều rộng 1m để uốn thành 2m khung đúc bê tông, 1 khung hình trụ có đáy là hình vuông và 1 khung hình trụ có đáy là hình tròn. Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích 2 khung là nhỏ nhất? A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 4 2 , . p + 4 p + 4
9. B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 2 4p , . p + 4 p + 4 C. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 2 4p + 14 , . p + 4 p + 4 D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 4p + 14 2 , . p + 4 p + 4 Lời giải Chọn B Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khung hình trụ có đáy là hình vuông và khung hình trụ có đáy là hình tròn. Gọi a là chiều dài của cạnh hình vuông và r là bán kính của hình tròn. Ta có: 2 2 V1 + V2 = a + pr (đơn vị thể tích). 1 2 Mà 4a + 2pr = 4 Û a = (2 - pr ),0 < r < . Suy ra 2 p 1 2 V (r ) = V + V = pr 2 + (2 - pr ) . 1 2 4 1 2 V ¢(r ) = 2pr - p (2 - pr ), V ¢(r ) = 0 Û r = . Lập bảng biến thiên suy ra 4 (p + 4) æ 4 ö ç ÷ Vmin = ç ÷. èçp + 4ø÷ 4p Vậy, phải chia tấm sắt thành 2 phần: phần làm lăng trụ có đáy là hình vuông là (m). (p + 4) Câu 7126. [HH12.C2.2.D06.c] (THPT Ngô Gia Tự -2017) Một người có một dải ruy băng dài 130 cm , người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? . A. 2000 cm3 . B. 1000 cm3 . C. 4000 cm3 . D. 1600 cm3 . Lời giải Chọn B Ta có 130 10 8r 4h h 30 2r .
10. V r 2h r 2 30 2r 30 r 2 2 r3 V 60 r 6 r 2 . V 0 r 10 Vmax V 10 1000 . Câu 7127. [HH12.C2.2.D06.c] (THPT Thuận Thành 2 -2017) Cho tam giác ABC cân tại A , AB AC 5a, BC 6a . Hình chữ nhật MNPQ có M , N lần lượt thuộc cạnh AB, AC và P, Q thuộc cạnh BC . Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền trong nó) quanh trục đối xứng của tam giác ABC được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối tròn xoay lớn nhất. A. MN a . B. MN 2a . C. MN 5a . D. MN 4a . Lời giải Chọn D . Ta có: BH 3a; AH 4a . Đạt HQ x BQ 3a x 0 x 3a . MQ BQ 4 3 x Ta có: MQ . AH BH 3 3 2 4 3 x 2 x Khi đó: VT .x . 4 x 0 x 3a . 3 3 x3 Xét hàm sạ f x x2 0 x 3a . 3 Hàm sạ f x đạt giá trạ lạn nhạt tại x 2a MN 4a . Câu 7146. [HH12.C2.2.D06.c] (Sở Hải Dương -2017) Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12cm . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ. A. 16 cm3 . B. 8 cm3 . C. 32 cm3 . D. 64 cm3 . Lời giải Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a 0 a 6 , chiều rộng b 0 b 6 . b Ta có chiều cao hình trụ bằng a , bán kính hình trụ bằng . 2 Theo giả thiết ta có a b 6 a 6 b . b2 Ta có V B.h 6 b . 4 2 3 2 b 0 Đặt f b 6b b f b 12b 3b f b 0 . 4 4 b 4
11. Lập bảng biến thiên ta thấy f b đạt giá trị lớn nhất khi b 4 a 2 . Vậy V 8 cm3 . Câu 29. [2H2-2.6-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V cm3 . Hỏi bán kính R(cm) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất? 3V V V V A. R 3 . B. R 3 . C. R 3 . D. R 3 . 2 4 2 Lời giải Chọn D Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng phải ít nhất. V Ta có V R2h h . R2 V 2V Diện tích toàn phần của hình trụ là S 2 Rh 2 R2 2 R. 2 R2 2 R2 tp R2 R V V 2 R2 33 2 V 2 . R R V V 3 2 2 3 Vậy Stp 3 2 V khi 2 R R . min R 2 Câu 40: [2H2-2.6-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Xét hình trụ T nội tiếp một mặt cầu bán kính R và S là diện tích thiết diện qua trục của T . Tính diện tích xung quanh của hình trụ T biết S đạt giá trị lớn nhất 2 R2 R2 A. S . B. S . C. S 2 R2 . D. S R2 . xq 3 xq 3 xq xq Lời giải Chọn C C D I B A Gọi x là bán kính của hình trụ 0 x R . Diện tich thiết diện là S 2x.2 R2 x2 4x R2 x2 . 2 2 2 2 2 2 R 2 Vì 4x R x 2. x R x nên S 2R . Vậy Smax 2R khi x R x x . 2 Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là R 2 R 2 S 2 .2 2 R2 . xq 2 2 Câu 48: [2H2-2.6-3] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Mạt chiạc
12. cạc hình nón có chiạu cao h 4 và bán kính đáy R 2 đang chạa mạt lưạng nưạc có thạ tích V . Ngưại ta bạ vào bên trong cạc mạt viên bi hình cạu có bán kính r 1 thì lưạng nưạc dâng lên vạa phạ kín viên bi. Tính thạ tích V cạa lưạng nưạc có trong cạc. 2 5 16 5 5 A. V B. V 3 12 8 5 5 4 4 5 C. V D. V 6 3 Câu 41: [2H2-2.6-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là? A. h 3R .B. R h .C. h 2R .D. R 2h . Lời giải Chọn C V V R2h h R2 V V V V V S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R. 2 R2 3.3 2 R2. . 3.3 2 V 2 TP R2 R R R R V R2h S đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 R2 2 R2 2R h TP R R Câu 10: [2H2-2.6-3] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r 2m , chiều cao h 6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V . 32 32 32 32 A. V m3 .B. V m3 .C. V m3 .D. V m2 . 9 3 3 9 Lời giải Chọn D
13. Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , h ' 0 x 2;0 h 6 h 2 x Ta có: h 6 3x 6 2 Thể tích khối trụ: V x2h x2 6 3x 6 x2 3 x3 4 V (x) 12 x 9 x2 , V (x) 0 x 0  x 3 4 32 Khi đó ta có thể suy ra được với x thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V m2 3 9 Câu 25: [2H2-2.6-3] (THPT LÝ THÁI TỔ) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng 500 5 500 5 A. 3 cm .B. 10.3 cm . C. cm . D. 10. cm . Lời giải Chọn A. Gọi h cm là chiều cao hình trụ và R cm là bán kính nắp đậy. R 1000 O Ta có: V R 2h 1000 . Suy ra h . R2 h Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần Stp của hình trụ nhỏ nhất. O' 1000 Ta có: S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R. tp R2 1000 1000 1000 1000 2 R2 3.3 2 R2. . 33 2 .10002 R R R R 1000 500 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 R2 R 3 . R Câu 27: [2H2-2.6-3] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất. V V V V A. R 2h 2 3 .B. R 2h 2 . C. h 2R 2 .D. h 2R 2 3 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D. Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. 2 Ta có: Stp 2 R 2 Rh . V Do V R 2h nên h . Suy ra R2 V V V V V S 2 R2 2 R. 2 R2 3.3 2 R2. . 3.3 2 V 2 . tp R2 R R R R
14. V V V Đẳng thức xảy ra khi 2 R2 R 3 . Khi đó h 2 3 . R 2 2 Câu 28: [2H2-2.6-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là 12 cm . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ đó là: A. 32 cm3 .B. 8 cm3 . C. 16 cm3 . D. 64 cm3 . Lời giải. Chọn B. Gọi r là bán kính hình trụ, chiều cao h Ta có: 2r h 6 h 6 2r, 0 r 3 3 r r 6 2r Khi đó: V r 2h r 2 6 2r 8 3 Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là 8 cm3 . Câu 1333: [2H2-2.6-3] [Cụm 1 HCM - 2017] Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 100 cm3 , bán kính đáy x cm , chiều cao h cm (xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích thước của x và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất? A. h 5,031 cm và x 2,515 cm . . B. h 3,261 cm và x 3,124 cm . C. h 4,128 cm và x 2,747 cm . D. h 6,476 cm và x 2,217 cm . Lời giải Chọn D 100 Ta có thể tích của hộp là V x2.h 100 h . .x2 200 Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là S 2 xh 2 x2 2 .x2 (với x 0 ). tp x 200 Đặt f x 2 x2 . x 200 4 x3 200 50 Ta có f x 4 x , f x 0 4 x3 200 0 x 3 . x2 x2 Bảng biến thiên.
15. 50 x 0 3 f x 0 f x . 50 Dựa vào bảng biến thiên ta có f x đạt giá trị nhỏ nhất khi x 3 2,515 cm suy ra h 5,031 cm . Câu 1334: [2H2-2.6-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - 2017] Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 1m và 2 m. B. 2 dm và 1 dm. C. 2 m và 1m. D. 1 dm và 2 dm. Lời giải Chọn A Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng. Gọi V , Stp lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của thùng. V 2000 lít 2000 dm3 = 2 m3 . 2 V R2h 2 h . R2 2 2 2 2 2 2 3 2 Stp 2 R 2 Rh = 2 R 2 R 2 = 2 R 2 R 2 R . . 2 R R R R R R Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S nhỏ nhất R2 R 1 h 2 . tp R Câu 1371: [2H2-2.6-3] [BTN 164 - 2017] Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: 3 1 2 1 A. R 3 .B. R 3 . C. R 3 . D. R 3 . 2 2 Lời giải Chọn B Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: mét). 1 Ta có: V h R2 1 h . R2 1 2 S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R 2 R2 R 0 . tp R2 R 1 1 Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được f R R 3 h . min 2 1 3 4 2 Cách 2: Dùng bất đẳng thức: 1 1 1 1 1 S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R 2 R2 33 2 R2. . 33 2 . tp R2 R R R R 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi R3 . 2
16. Câu 44. [2H2-2.6-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. tan 2 . B. tan . C. tan . D. tan 1. 2 2 Lời giải Chọn B O' B A' O I B' A Gọi A là hình chiếu của A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O . Gọi B là hình chiếu của B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O . Gọi R là bán kính của đường tròn tâm O , suy ra: R 2a . Ta có: B· AB . Suy ra: AB 2R tan . Gọi I là trung điểm của AB OI  AB . Ta có: OI OB 2 IB 2 R2 R2 tan2 R 1 tan2 . 1 1 Và: S OI. AB R. 1 tan2 .2R tan R2 tan . 1 tan2 . OAB 2 2 1 1 1 Suy ra: V V OO .S .2R.R2 tan . 1 tan2 . OO AB 3 OAB .O A B 3 OAB 3 2 Ta có: VOO AB đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi tan . 1 tan đạt giá trị lớn nhất. t. t 1 2t 2 Xét hàm số f t t. 1 t 2 với t 0;1 có f t 1 t 2 với t 0;1 . 1 t 2 1 t 2 1 Xét f t 0 1 2t 2 0 t . 2 1 Vì 0 90 nên tan 0 t . 2 Bảng biến thiên:
17. 1 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có V khi t hay tan . max 2 2 Câu 18. [2H2-2.6-3](SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt, Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiêm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất. A. Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy. B. Hộp hình trụ có đường cao bằng một nửa bán kính đáy. C. Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. D. Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy. Lời giải Chọn D h r Gọi h , r , S lần lượt là đường cao, bán kính và diện tích toàn phần của hình trụ. Ta có S 2 r 2 2 rh 2 r 2 rh rh rh rh rh r 4h2 6 V 2 2 3 2 3 3 2 r 2 .3 r . . 2 .3 2 . 2 2 2 2 4 3 4 4S 3 rh h Thể tích khối trụ V r 2h . Dấu đẳng thức xảy ra khi r 2 r . 63 2 2 Câu 270. [2H2-2.6-3] [SỞ GD HÀ NỘI-2017] Cho mặt cầu S bán kính R . Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo bán kính R sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất R R 2 A. h R 2 . B. .h R C. . h D. . h 2 2 Lời giải Chọn A
18. h2 Ta có .OO h; IA R, AO r r 2 R2 4 Diện tích xung quanh của hình trụ h2 4R2 h2 S 2 rh h 4R2 h2 , 2 a2 b2 (dùng BĐT ab ). 2 2 2 2 2 Vậy .Smax 2 R h 4R h h R 2 Câu 454: [2H2-2.6-3] (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng A. 106,25dm2 . B. 75dm2 . C. 50 5dm2 . D. 125dm2 . Lời giải Chọn B Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. 62,5 Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . Suy ra a2 62.5 250 125 125 125 125 S 4. .a a2 a2 a2 33 . .a2 75 . Dấu bằng xảy ra khi a2 a a a a a a 3 125 5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75. Câu 455: (SỞ GD BẮC NINH) Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eN.r ( trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. 1.424.300;1.424.400 . B. 1.424.000;1.424.100 .
19. C. 1.424.200;1.424.300 . D. 1.424.100;1.424.200 . Lời giải Chọn C Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1 1.153.600, N 5, A 1.038.229 S ln 1 S Ta có: S A.eN.r eN.r 1 r A 1 A 5 S ln 15. A 15.r 5 Gọi S2 là dân số đầu năm 2025, ta có S2 A.e 1.038.229.e 1.424.227,71 Câu 459: [2H2-2.6-3] (QUẢNG XƯƠNG I) Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 6 3 6 3 3 6 A. r , h . B. r , h .C. r , h . D. r , h . 2 2 2 2 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h2 r 2 R2 0 h R 1 r 2 1 h2 3 Thể tích khối trụ là: V r 2h (1 h2 ) h f (h) f '(h) (1 3h2 ) 0 h 3 3 h 0 1 3 f'(h) + 0 2 3 f(h) 9 0 0 2 3 6 3 Vậy: MaxV (đvtt) khi r và h 0;1 9 3 3 Câu 460: [2H2-2.6-3] (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là: 91125 91125 A A. cm3 . B. cm3 . 4 2 Q P B M N C
20. 108000 3 13500. 3 C. cm3 . D. cm3 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN MQ BM 3 Đặt MN=x ( 0 x 90 ); MQ (90 x) AI BI 2 x x 3 3 Gọi R là bán kính của trụ R V ( )2 (90 x) ( x3 90x2 ) 2 T 2 2 8 3 13500. 3 Xét f (x) ( x3 90x2 ) với 0 x 90 . Khi đó: max f (x) khi x= 60. 8 x (0;90) Câu 467: [2H2-2.6-3] Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16 m3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8 m . B. 1,2 m . C. 2 m . D. 2,4 m . Lời giải Chọn C 16 Gọi x (m) là bán kính của hình trụ (x > 0). Ta có: V = p.x 2.h Û h = x 2 32p Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = 2px 2 + 2pxh = 2px 2 + ,(x > 0) x 32p Khi đó: S '(x) = 4px - , cho S '(x) = 0 Û x = 2 . x 2 Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2(m) nghĩa là bán kính là 2m . Câu 478: [2H2-2.6-3] Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu là 2p m3 mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có bán kính đáy R và chiều cao h là bao nhiêu? 1 1 1 A. R = 2m,h = m . B. R = m,h = 8m .C. R = 4m,h = m . D. R = 1m,h = 2m . 2 2 8 Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính đáy thùng (m ), h: là chiều cao của thùng (m ). ĐK: R > 0,h > 0 2 Thể tích của thùng là: V = pR2h = 2p Û R2h = 2 Û h = R2 Diện tích toàn phần của thùng là: æ2 ö æ2 ö S = 2pRh + 2pR2 = 2pR h + R = 2pR ç + R÷= 2p ç + R2÷ tp ( ) ç 2 ÷ ç ÷ èçR ø÷ èçR ø÷