Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 1: Tính bán kính khối cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 1: Tính bán kính khối cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 6871: [2H2-3.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SAD là tam giác điều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN . 5a 3 a 93 a 37 a 29 A. R .B. R . C. R . D. R . 12 12 6 8 Lời giải Chọn B . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị a 1 a 3 Vì SAD đều nên SM 2 Ta có: C 0; 0; 0 , N 0,5; 0; 0 ,. 3 M 0; 0,5; 0 , S 1; 0,5; . 2 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN có dạng: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 . Vì C S nên d 0 0,52 02 02 2a.0,5 2b.0 2c.0 0 2 2 2 Thay N, M , S ta được hệ phương trình: 0 0,5 0 2a.0 2b.0,5 2c.0 0 . 2 2 2 3 3 1 0.5 2a.1 2b.0.5 2c 0 2 2 1 1 5 3 Giải ta được: a ; b ; c ; d 0 4 4 12 a 93 Vậy bán kính R a2 b2 c2 d . (HS tự thêm a vào). 12 Câu 6871: [HH12.C2.3.D01.c] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SAD là tam giác điều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN .
2. 5a 3 a 93 a 37 a 29 A. R .B. R . C. R . D. R . 12 12 6 8 Lời giải Chọn B . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị a 1 a 3 Vì SAD đều nên SM 2 Ta có: C 0; 0; 0 , N 0,5; 0; 0 ,. 3 M 0; 0,5; 0 , S 1; 0,5; . 2 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN có dạng: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 . Vì C S nên d 0 0,52 02 02 2a.0,5 2b.0 2c.0 0 2 2 2 Thay N, M , S ta được hệ phương trình: 0 0,5 0 2a.0 2b.0,5 2c.0 0 . 2 2 2 3 3 1 0.5 2a.1 2b.0.5 2c 0 2 2 1 1 5 3 Giải ta được: a ; b ; c ; d 0 4 4 12 a 93 Vậy bán kính R a2 b2 c2 d . (HS tự thêm a vào). 12 Câu 21: [2H2-3.1-3](THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , SA  ABCD và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK  SD tại K . Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S , A , B , C , E , K là: 1 3 6 A. R a .B. R a .C. R a .D. R a . 2 2 2
3. Lời giải Chọn C S K A D E B C Vì E là trung điểm của AD , ABCD là hình thang vuông tại A và B và AB BC a , AD 2a nên AB BC CE AE ED a và CE//AB . Khi đó CE  AD , CE  SA nên CE  SE hay S· EC 90 và CE  SD . Mặt khác EK  SD do đó SD  CEK suy ra CK  SD hay S·CK 90 . Ta có CB  AB , CB  SA nên CB  SB hay S· BC 90. Ta cũng có CA  SA nên S· AC 90 Vậy các góc S· EC , S·CK , S· BC , S· AC cùng nhìn cạnh SC dưới một góc không đổi 90 nên các SC điểm S , A , B , C , E , K nằm trên mặt cầu tâm I là trung điểm của SC bán kính R . 2 Ta có AC AB2 BC 2 a 2 ; SC AC 2 SA2 2a suy ra R a . Câu 50: [2H2-3.1-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên bằng a 2 . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 15 3a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 4 Lời giải Chọn A
4. S N I A C H M B Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC , khi đó SH  ABC và là trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. Gọi N là trung điểm SA , mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SH tại I . Khi đó IS IA IB IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 1 2 SA2 SN.SA 1 a 2 a 15 Bán kính mặt cầu là R SI 2 . SH 2 2 2 2 5 SA AH 2 2 a 3 a 2 3 2 HẾT Câu 28: [2H2-3.1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB cân tại O , OA OB 2a, ·AOB 120 . Trên đường thẳng vuông góc với P tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng P sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 3a 2 a 2 5a 2 5a 2 A. .B. .C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A
5. C B O I A D Gọi I là trung điểm của AB , ta có AI OA.sin 60 a 3 AB AB 3 AB 2AI 2a 3 , OI OA.cos60 a , CI a 3 , DI 3a . 2 2 Cạnh OC CI 2 OI 2 a 2 , OD DI 2 OI 2 2a 2 CD CO OD 3a 2 . Do CID là mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD nên đường tròn ngoại tiếp tam giác CID là đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD được tính theo công thức CD.CI.DI CD.CI.DI 3a.a 3 3a 3 R . 4S CID 2CD.OI 2.a 2 Câu 46. [2H2-3.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a 2 , BC a , SC 2a và S· CA 30. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC . a 3 a A. R a 3 . B. R .C. R a . D. R . d 2 2 Lời giải Chọn C
6. S I 2a 30° C A H a 2 a B Ta có: AC SC.cos30 a 3 . AB2 BC 2 2a2 a2 3a2 AC 2 ABC là tam giác vuông ở B . Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AC , SC . Khi đó ta có: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . IH  ABC . 1 Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC . Suy ra R SC a . 2 Vậy R a . Câu 39: [2H2-3.1-3](THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi B ', C ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Biết AB a , AC 2a , B· AC 1200 , tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB 'C ' . a 21 a 7 a 3 a 21 A. R . B. R . C. R . D. R . 3 3 7 7 Lời giải Chọn A
7. S C ' B ' A H K B C I Xét tam giác ABC có : BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos1200 7a2 BC a 7 Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB, AC . Kẻ IH, IK lần lượt là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB ' và ACC ' . I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB 'C ' và bán kính mặt cầu là R IA Mặt khác: I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC a 21 BC 2R.sin1200 R . 2.sin1200 3 Câu 45: [2H2-3.1-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN . a 29 a 93 a 37 5a 3 A. R .B. R .C. R .D. R 8 12 6 12 Lời giải Chọn B
8. Gọi: - H là trung điểm của AD SH  ABCD . - I là trung điểm của MN I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. - d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy. - E là hình chiếu của I lên AD. - O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN . - K là hình chiếu của O lên SH. Đặt OI x . 1 a 2 a2 Ta có: CI MN ; OC IC 2 IO2 x2 ; 2 4 8 2 2 2 2 3a a a 10 KO HI IE EH ; 4 4 4 2 2 2 2 2 a 3 a 10 2 22a SO SK KO x x 3ax . 2 4 16 Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN nên SO OC a2 22a2 5 5 3a Suy ra: x2 x2 3ax 3ax a2 x . 8 16 4 12 a2 25a2 93 Vậy: R OC a. 8 48 12 Câu 35: [2H2-3.1-3] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC 2a Mặt bên SAB vuông góc với đáy, ·ASB 60o , SB a . Gọi S là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với SAC . Tính bán kính r của mặt cầu S . 3 3 A. r 2a .B. r 2a .C. r 2a 3 .D. r a . 19 19 Lời giải Chọn B
9. Ta có SAB  ABC , SAB  ABC AB , BC  AB BC  SAB . Vẽ BM  SA tại M SA  BMC SAC  BMC , vẽ BH  MC tại H BH  SAC r BH . a 3 2a. a 3 BC.BM 3 Ta có BM sin 60o.SB BM , BH 2 2a . 2 BC 2 BM 2 3a2 19 4a2 4 3 Vậy bán kính của mặt cầu S bằng 2a . 19 Câu 2: [2H2-3.1-3] [2017]Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 21 . Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số 6 R bằng: h 7 7 7 1 A. B. . C. . D. . 12 24 6 2 Lời giải Chọn C a 3 Gọi O là tâm ABC , suy ra SO  ABC và AO . 3 a Trong SOA, ta có h SO SA2 AO2 . 2 Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra ● I d nên IS IA . ● I SO nên IA IB IC . Do đó IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC .
10. Gọi M là tung điểm SA, ta có SMI ÿ SOA nên SM.SA SA2 7a R 7 R SI . Vậy . SO 2SO 12 h 6 Câu 11: [2H2-3.1-3] [CHUYÊN VINH – L2] [2017] Cho lăng trụ ABC.A B C có AB AC a, BC 3a . Cạnh bên AA 2a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Lời giải Chọn B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua O vuông góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực của AA tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. AB2 AC 2 BC 2 1 Mặt khác cos µA 2.AB.AC 2 BC a 3 Ta có: R a do đó R IA OI 2 OA2 a2 a2 a 2 . ABC 2sinA 2sin1200 Câu 12: [2H2-3.1-3] [2017] Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC) ; tam giác ABC cân tại A, AB a ; B· AC 120 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A, B,C, K, H . A. R a 3 B. R a C. R 2a D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Lời giải Chọn B
11. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AD là một đường kính của đường tròn (I) . Tam giác ACD vuông tại C , suy ra: DC  AC mà DC  SA nên DC  (SAC) . AK  KC Ta lại có: AK  KC . AK  DC(do DC  (KCD) Suy ra tam giác AKD vuông tại K , suy ra: IA ID IK . Tương tự như trên ta cũng có: IA ID IH . Vậy thì IA IB IC IK IH , do đó 5 điểm A, B,C, K, H cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm). Bán kính R của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Áp dụng định lý cos ta có: BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos120 a 3 . BC BC a 3 Áp dụng định lý sin ta có: 2R R a . ChọnB. sin A 2sin A 3 2. 2 Câu 393: [2H2-3.1-3] Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và SA SB SC 4 3 cm .Gọi D là điểm đối xứng của B qua C . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng A. 5cm . B. 3 2cm . C. 26cm . D. 37cm . Lời giải Chọn D
12. Cách 1: Dựng CG vuông góc với ABC , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , mặt phẳng này cắt CG tại F . Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD . Đặt SF R Xét hình chữ nhật: CGSH FC SH FG SH R2 CH 2 1 Lại có: FC R2 CB2 2 .Từ (1) và (2) suy ra SH R2 CH 2 R2 CB2 6 R2 12 R2 36 5 R2 12 0 R 37 cm Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có: C 0;0;0 , A 3 3; 3;0 , B 3 3;3;0 , S 2 3;0;6 F CG F 0;0;t FA FS 36 t 2 12 t 6 2 t 1 SC 37 cm Câu 6534: [2H2-3.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Biết SA a và ·ASB 90o . Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 3 a 3 2a 3 A. R .B. R a 3 .C. R . D. R . 3 2 3 Lời giải Chọn C
13. S E A C H M I B . Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên SH  ABC và SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Trong mặt phẳng SHA kẻ trung trực của SA cắt SH tại I . Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Ta có ASAB vuông cân tại S có SA a . a 6 a 6 AB a 2 AM AH . 2 3 a 3 SH SA2 AH 2 . 3 SA SH SE.SA a2 a 3 a 3 Lại có SHA : SEI SI : . SI SE SH 2 3 2 Câu 6871: [2H2-3.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SAD là tam giác điều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN . 5a 3 a 93 a 37 a 29 A. R .B. R . C. R . D. R . 12 12 6 8 Lời giải Chọn B . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị a 1 a 3 Vì SAD đều nên SM 2 Ta có:
14. C 0; 0; 0 , N 0,5; 0; 0 ,. 3 M 0; 0,5; 0 , S 1; 0,5; . 2 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN có dạng: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 . Vì C S nên d 0 0,52 02 02 2a.0,5 2b.0 2c.0 0 2 2 2 Thay N, M , S ta được hệ phương trình: 0 0,5 0 2a.0 2b.0,5 2c.0 0 . 2 2 2 3 3 1 0.5 2a.1 2b.0.5 2c 0 2 2 1 1 5 3 Giải ta được: a ; b ; c ; d 0 4 4 12 a 93 Vậy bán kính R a2 b2 c2 d . (HS tự thêm a vào). 12 Câu 7251:[2H2-3.1-3] [THPTNguyễnKhuyếnNĐ - 2017]Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 1, tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN . 93 37 29 5 3 A. R .B. R . C. R . D. R . 12 6 8 12 Lời giải Chọn A . Gọi O là trung điểm AD . Khi đó, SO vuông góc với ABCD . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 1 1 1 1 3 O 0;0;0 , D ;0;0 , M 0;1;0 , C ;1;0 , N ; ;0 , S 0;0; . 2 2 2 2 2 Gọi S là phương trình mặt cầu đi qua S , M, N , C . Ta có hệ phương trình:
15.  3 a 3c d 0 4 4 3 1 2b d 0 b 4 2 2 2 93 5 nên R a b c d . a 2b d 0 5 3 12 4 c 12 1 a b d 0 1 2 d 2 Câu 7262: [2H2-3.1-3] [Cụm 1 HCM -2017]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 7 21 11 1 A. R .B. R . C. R . D. R . 4 6 4 3 Lời giải Chọn B S N M I A D H B C . Gọi O là tâm của đáy, là trục của đáy ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là trục của mặt bên SAB. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có I là giao điểm của và d . 2 AD 2 AB 3 1 1 21 Ta có 2 2 . R IS IG SG 2 3 4 3 6 Câu 7265: [2H2-3.1-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh -2017] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có 2a 3 đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA = . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. 3 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD a 37 a 35 a 39 a 39 A. R = .B. R = . C. R = . D. R = . 6 7 7 7 Lời giải Chọn A
16. . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG  ABC Do CB CA CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Gọi I d là tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC x SK SG x . . Kẻ IK  SG. 2 a 3 a 3 IK CG AG . , SG SA2 AG2 a 3 2 3 2 2 2 2 2 a 2 2 2 a Ta có IS ID IK SK IC CD a x x a x 3 6 a 37 Vậy tâm cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là R x2 a2 6 Câu 7275: [2H2-3.1-3] [BTN 169-2017]Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 4 , đường cao SH 3. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 7 8 A. r 3 .B. r 2 . C. r .D. r . 3 3 Lời giải Chọn D . Gọi các điểm như hình vẽ bên. Trong đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra SH  ABC , và HA HB HC 7 . Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Trong tam giác vuông IHB ta có IH r2 7 . Khi đó. 3 r 0 SH SI IH r r 2 7 3 . 2 2 r 7 r 6r 9
17. r 3 8 8 r . r 3 3 Câu 7281: [2H2-3.1-3] [BTN 169-2017] Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 4 , đường cao SH 3. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 7 8 A. r 3 .B. r 2 . C. r .D. r . 3 3 Lời giải Chọn D . Gọi các điểm như hình vẽ bên. Trong đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra SH  ABC , và HA HB HC 7 . Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Trong tam giác vuông IHB ta có IH r2 7 . Khi đó. 3 r 0 SH SI IH r r 2 7 3 . 2 2 r 7 r 6r 9 r 3 8 8 r . r 3 3 Câu 7282: [2H2-3.1-3] [BTN 167-2017]Cho hình chóp S.ABCD có SA a; AB BC 2a; ·ABC 120 và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. a 17 a 17 a 17 a 17 A. .B. . C. .D. . 5 4 3 2 Lời giải Chọn D
18. S O a M D A C 2a 2a B H Trong ABC , gọi D là điểm đối xứng của B qua AC. Do tam giác ABC cân tại B và ·ABC 120 nên các tam giác ABD, DBC là các tam giác đều. Suy ra: DA DB DC 2a. Do đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Dựng đường thẳng qua D và song song SA  ABC là trục của đường tròn là ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M là trung điểm của SA, trong SA, , kẻ đường thẳng d qua M và song song AD, suy ra d  SA d là trung trực của đoạn SA. . Trong SA, , gọi O d  . Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC a2 a 17 Xét tam giác OAD, ta có R OA AD2 AM 2 4a2 4 2