Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện - Mức độ 2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện - Mức độ 2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 7150. [2H2-3.5-2] (THPT Chuyên Lam Sơn lần 2 -2017) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện đều cạnh a a 3 a 2 A. R a 2 . B. R . C. R . D. R a . 2 2 Lời giải Chọn C S a A D O B C / S . Mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều cạnh a có tâm là điểm O AC  BD . a 2 Khi đó bán kính của mặt cầu này là R OA .Câu 7150. [HH12.C2.3.D05.b] (THPT Chuyên 2 Lam Sơn lần 2 -2017) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện đều cạnh a a 3 a 2 A. R a 2 . B. R . C. R . D. R a . 2 2 Lời giải Chọn C S a A D O B C / S . Mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều cạnh a có tâm là điểm O AC  BD . a 2 Khi đó bán kính của mặt cầu này là R OA .Câu 20. [2H2-3.5-2] (SGD Bình Dương - 2 HKI - 2017 - 2018 - BTN) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a . a 3 a 6 A. R a 3 . B. R a 2 . C. R . D. R . 2 2 Lời giải Chọn C
2. A B D C I A B D C Gọi I là giao điểm của AC và A C . Khi đó, I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Bán kính R được tính bởi AC AA 2 A C 2 AA 2 A B 2 A D 2 a2 a2 a2 a 3 R IA . 2 2 2 2 2 Câu 27: [2H2-3.5-2] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B . Biết SA  ABCD , AB BC a , AD 2a , SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E . a 30 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. a . 6 3 2 Lời giải Chọn D S D A E B C * Do SA  ABCD SA  AC S· AC 90 . * Do BC  SAB BC  SC S· BC 90 . * Do CE//AB CE  SAD CE  SE S· EC 90 . Suy ra các điểm A , B , E cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là mặt cầu đường kính SC . SC Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là: R . 2 Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: AC AB 2 a 2 SC AC 2 2a SC R a . 2
3. Câu 8. [2H2-3.5-2] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông tại B . Biết SA 2a , AB a , BC a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. a . B. 2a . C. a 2 . D. 2a 2 . Lời giải Chọn C. BC  SA Ta có: SA  ABC và tam giác ABC vuông tại B nên BC  SB . BC  AB Do đó các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của cạnh SC và bán kính 1 1 1 R SA2 AC 2 SA2 AB2 BC 2 4a2 a2 3a2 a 2 . 2 2 2 Câu 11: [2H2-3.5-2] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu? A. Hình tứ diện. B. Hình hộp chữ nhật. C. Hình chóp ngũ giác đều. D. Hình chóp có đáy là hình thang vuông. Lời giải Chọn D Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu. Câu 17: [2H2-3.5-2] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. I là trung điểm SC . B. I là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD . C. I là giao điểm của AC và BD . D. I là trung điểm SA . Lời giải Chọn A
4. Gọi I là trung điểm SC . Ta có SA  ABCD SA  AC tam giác SAC vuông tại A IA IC IS 1 Lại có: AB , AD là hình chiếu vuông góc của SB , SD lên mặt phẳng ABCD Mà BC  AB , CD  AD nên BC  SB , CD  SD (định lí ba đường vuông góc) IB IC IS các tam giác SBC và SAD vuông tại B và D 2 . IC ID IS Từ 1 và 2 suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Vậy tâm I mặt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC . Câu 10: [2H2-3.5-2](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2- 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA a 6 và vuông góc với đáy ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A. 8 a2 B. a2 2 C. 2 a2 D. 2a2 Lời giải Chọn A S A I B D C 1 Gọi I là trung điểm của SC . Ta có IS IA IB IC ID SC nên I là tâm mặt cầu 2 ngoại tiếp S.ABCD . 1 1 1 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R SC SA2 AC 2 6a2 2a2 a 2 . 2 2 2 Diện tích mặt cầu S 4 R2 8 a2 . Câu 41: [2H2-3.5-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB CD a , BC AD b , AC BD c . A. a2 b2 c2 . B. 2 a2 b2 c2 .
5. 1 1 C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 . 2 2 2 Lời giải Chọn C Dựng hình hộp AB CD .A BC D B' C A D' B C' A' D Xét mặt bên CD DC là hình bình hành có CD AB C D nên mặt bên CD DC là hình chữ nhật. Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp AB CD .A BC D đều là các hình chữ nhật. Do đó AB CD .A BC D là hình hộp chữ nhật. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Kí hiệu AB x, AD y, AA z thì ta có x2 z2 a2 , x2 y2 c2 , z2 y2 b2 . a2 b2 c2 Suy ra x2 y2 z2 . 2 AC 1 Do đó: R a2 b2 c2 . 2 2 2 Câu 3: [2H2-3.5-2] (THPT CHU VĂN AN) Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. R a 2 . B. .R a C. . R aD. 3. R 2a Lời giải Chọn A. Kí hiệu ABCDEF.A B C D E F là lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a ; O B E  BE . Khi đó OA OB OC OD OE OF OA OB OC OD OE OF BE Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là O và bán kính bằng R . 2
6. Vì BEE B là hình vuông cạnh 2a , đường chéo BE 2 2a nên bán kính mặt cầu là R a 2 . Câu 4: [2H2-3.5-2] (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và cạnh AB 3 . Cạnh bên SA 6 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là ? 3 2 3 6 A. . B. 9. C. 6 . D. . 2 2 Lời giải Chọn C. Gọi I là trung điểm SC . Ta có SAC vuông tại A nên IA IC IS 1 BC  AB Lại có BC  SB SBC vuông tại B. BC  SA Suy ra IB IC IS 2 . SC Từ 1 và 2 I; là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 2 2 2 2 Vì ABC vuông tại B nên: AC AB BC 3 3 3 2 . 2 2 Vì SAC vuông tại A nên: SC SA AC 6 18 2 6 . Vậy R 6 . Câu 5: [2H2-3.5-2] (THPT SỐ 2 AN NHƠN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên SAB là tam giác cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc A· SB 120 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD . A. 84 . B. 28 . C. 14 . D. 42 . Câu 6: [2H2-3.5-2] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là: 3 a2 A. S 3 a2 . B. S . C. S a 2 . D. S 12 a 2 . 4 Câu 7: [2H2-3.5-2] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A , có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a , AB b , AC c . Mặt cầu đi qua các đỉnh A , B , C , S có bán kính R bằng 1 A. R a2 b2 c2 . B. R 2 a2 b2 c2 . 2 2 a b c C. R a2 b2 c2 . D. R . 3 Lời giải Chọn A.
7. Gọi D là trung điểm BC và E là trung điểm SA. Gọi I là tâm mặt cầu cầu đi qua các đỉnh A, B,C, S . Khi đó I là giao điểm của đường thẳng đi qua D , song song với SA và mặt phẳng trung trực của SA. Do đó IDEA là hình chữ nhật. 1 1 1 Vậy R IA AE 2 AD2 SA2 BC 2 a2 b2 c2 . 4 4 2 Câu 8: [2H2-3.5-2] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 6. Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều.Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó A. R = 2 3 . B. R = 21 . C. R= 3 . D. R = 3 3 . Lời giải C M I B D H S Chọn B. Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD Xét hình chóp SBCD có: CB SC CD 6 , BS 3 2 , SD 6 và BD 6 2 Gọi H là hình chiếu của C lên SBD H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD Kẻ đường trung trực của BC cắt CH tại I suy ra IC IB IS ID IA 9 7 Dùng công thức Hê-rông ta tính được: S . SBD 2 BS.SD.BD 12 Mặt khác ta có BH là bán kính đường tròn ngoại tiếp SBD , suy ra: BH 4S SBD 7 CB2 CB2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R IC 21 2CH 2 BC 2 BH 2
8. Câu 9: [2H2-3.5-2] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA a 3. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 4 a2 4 a2 a2 3 A. 5 a2 . B. . C. . D. . 5 3 6 Câu 10: [2H2-3.5-2] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là a 3 a 2 a 3 A. R a . B. R . C. R . D. R . 2 2 3 Lời giải Chọn D. S M Δ I D C O A B Gọi O AC  BC . Khi đó SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Gọi là đường trung trực của cạnh SA và I  SO thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . SM SI SM.SA a a 3 Ta có SMI và SOA đồng dạng nên SI OI . SO SA SO 3 6 a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R IA AO2 IO2 . 3 Câu 15: [2H2-3.5-2] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, B· AD 60 , SCD và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 45. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD . 7 7 7 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 3 Lời giải Chọn D. ABCD là hình thoi có B· AD 60 ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1. SAD  ABCD SCD  ABCD SD  ABCD . SAD  SCD SD
9. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Kẻ Gx / /SD Gx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Trong mặt phẳng SDG , kẻ đường thẳng Ky vuông góc với SD và cắt Gx tại I (với K là trung điể m SD . I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD . 1 2 3 3 21 Ta có IG KD , DG . ID IG2 GD2 . 2 3 2 3 6 2 21 7 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là S 4 . . 6 3 Câu 21: [2H2-3.5-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD 2a và AA 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C . 3a 3a A. R 3a . B. R . C. R . D. R 2a . 4 2 Lời giải Chọn C. Ta có ·AB C ·ABC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C có đường kính AC . Do đó 1 2 2 3a bán kính là R a2 2a 2a . 2 2 Câu 23: [2H2-3.5-2] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nhau và OA a, OB 2a, OC 3a. Diện tích của mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng A. S 8 a2. B. S 14 a2. C. S 12 a2. D. S 10 a2. Lời giải Chọn B. Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó , Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Gọi N là trung điểm của AO . Trong OA, Mx , dựng đường trung trực Ny của OA Gọi I Ny  Mx . Khi đó , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện OABC . 1 a 13 a 14 Có : OM BC . R OI OM 2 ON 2 2 2 2 Diện tích của mặt cầu : S 4 R2 14 a2 Câu 24: [2H2-3.5-2] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Một mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a . Diện tích mặt cầu S là:
10. 3 a2 3 a2 A. . B. . C. 6 a2 . D. 3 a2 . 4 2 Lời giải Chọn B. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Trong mặt phẳng ABO dựng đường trung trực của AB cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a2 2 AB2 a2 3 Ta có: AO AB2 BO2 a2 a , R IA a . 3 3 2AO 2 8 2a 3 3 3 a2 Diện tích mặt cầu S là: S 4 R2 4 a2. 8 2 Câu 28: [2H2-3.5-2] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ diện S.ABCD có tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. 7 21 7 21 A. a3 . B. a3. 54 54 7 7 C. a3 . D. a3. 3 3 Lời giải Chọn A. Gọi H là trung điểm của AB . Vậy SH  ABCD Gọi O là tâm của hình vuông , G là trọng tâm SAB .
11. Dựng Ox là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD ( Ox / /SH ) . Dựng Gy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gy / /OH S.ABCD Gọi I Ox  Gy . Khi đó , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 2 2 2 2 a 3 a a 21 Có : R SI SG GI . 3 2 2 6 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. 3 4 3 4 a 21 7 21 3 V R a . 3 3 6 54 Câu 30: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 2a a 3 4a A. R . B. R . C. R . D. R . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, BC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2 a 3 Ta có AG AN ; SG AG.tan 60 a 3 3 AG 2a 3 SA cos60o 3 SM SI SM.SA 1 SA2 2a SMI # SGA R SI  SG SA SG 2 SG 3 Câu 31: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2 2a . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a. A. 64 a2 . B. 16 a2 . C. 8 a2 . D. 4 a2 . Lời giải
12. Chọn B. S A C B CB  AB · Có CB  SAB CB  SB SBC 90 CB  SA Mặt khác: SA  AC S·AC 90 Suy ra: S·BC S·AC 90 do đó mặt cầu đường kính SC là mặt cầu ngoại tiếp S.ABC . Xét tam giác vuông ABC ta có: AC 2 AB2 BC 2 8a2 Xét tam giác vuông SAC ta có: SC 2 SA2 AC 2 8a2 8a2 16a2 SC 4a SC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là: R 2a . 2 Diện tích mặt cầu là: S 4 R2 16 a2 Câu 32: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN BẾN TRE )Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . 8 3 a3 32 3 a3 A. V . B. V . 27 9 32 3 a3 32 3 a3 C. V . D. V . 81 27 Lời giải Chọn D. Gọi O,O lần lượt là tâm các tam giác ABC và A B C . Gọi I là trung điểm OO , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C . 2 2 2 2 a 3 2 2a 3 Khi đó bán kính mặt cầu: r OA OI  a . 3 2 3 3 3 4 3 4 2a 3 32 3 a Vậy V r . 3 3 3 27 Câu 33: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 3 2 và đường cao bằng 3 3 . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. A. 48 . B. 4 3 . C. 12 . D. 32 3 . Lời giải
13. Chọn A. Gọi O là tâm của ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD ( do ABCD là hình vuông). SO  ABCD ( do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều) nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp của ABCD . Gọi M là trung điểm SA, trong SAO , kẻ đường trung trực d của SA cắt SO tại I . Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Bán kính r IS IA IB IC ID 2 2 AC Mà: SA SO 27 9 6 ( tam giác SOA vuông tại O ) 2 Ta có SIM đồng dạng SAO ( góc-góc) IS SM SA.SM SA2 36 IS 2 3 SA SO SO 2SO 6 3 Suy ra: S 4 r 2 4 .12 48 Câu 34: [2H2-3.5-2] (THPT A HẢI HẬU) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 4 3 a3 5 15 a3 A. V .B. V . 27 54 5 a3 5 15 a3 C. V . D. V . 3 18
14. Câu 36: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 32 4 A. V a3 . B. V a3 . 3 3 4 2 C. V 4 a3 . D. V a3 . 3 Lời giải Chọn B. SC SA2 AC2 Bán kính khối cầu S.ABCD là: R a 2 2 4 4 Thể tích khối cầu V R3 a3 .Câu 10: [2H2-3.5-2] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) 3 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 32 4 4 2 A. V a3 . B. V a3 . C. V 4 a3 . D. V a3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B. SC SA2 AC 2 Bán kính khối cầu S.ABCD là: R a . 2 2 4 4 Thể tích khối cầu V R3 a3 . 3 3 Câu 3: [2H2-3.5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác ABC vuông cân tại A , AD 2a , AB a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng a 6 a 6 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 2 Lời giải Chọn B BC a 2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : r . 2 2
15. 2 2 AD 2 2 a a 6 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : R r a . 2 2 2 Câu 7: [2H2-3.5-2](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có SA 6 , SB 8 , SC 10 và SA , SB , SC đôi một vuông góc. A. S 100 .B. S 400 .C. S 200 .D. S 150 . Lời giải Chọn C 1 Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SO SA2 SB2 SC 2 5 2 . 2 Diện tích mặt cầu S 4 R2 200 . Câu 3: [2H2-3.5-2](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Xét mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều có cạnh bằng 2 . Tính bán kính của mặt cầu đó. 2 2 A. 1.B. .C. .D. 2 . 2 4 Lời giải Chọn B A K I B D H M C Do ABCD là tứ diện đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện cũng trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD H là trọng tâm của tam giác BCD . Do ABCD là tứ diện đều nên AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Gọi K là trung điểm của cạnh AB .
16. Mặt phẳng trung trực của AB qua K cắt AH tại I Khi đó I là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình tứ diện. Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có r IK . AK KI AK.HB Ta có AKI ∽ AHB KI . AH HB AH 2 3 2 6 2 Với BH ; AH ; AK 1. Khi đó ta có KI . 3 3 2 Câu 42: [2H2-3.5-2] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD a 3 và ·AC A 45 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó bằng 4 a3 2 4 a3 8 a3 2 16 a3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C A a 3 D a B C I A' D' 45° B' C' Gọi I là giao điểm của AC và A C khi đó I là trung điểm của AC và I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . A C AC Ta có : A C a2 3a2 2a AC 2a 2 R a 2 . cos 45 2 4 4 3 8 a3 2 Vậy thể tích khối cầu là : V R3 a 2 . 3 3 3 Câu 35: [2H2-3.5-2] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có 9 cạnh bằng nhau và bằng 2a . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. 28 a2 7 a2 28 a2 7 a2 A. S . B. S . C. S . D. S . 9 9 3 3 Lời giải Chọn C
17. C A O B I C O A B Gọi O , O làn lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C Ta có OO là trục của mặt phẳng ABC và A B C Trong mặt phẳng AA ,OO , dựng đường trung trực d của cạnh AA Khi đó d cắt OO tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A B C , bán kính R IB OI 2 OB2 Mặt khác 2 2a 3 2a 3 Tam giác ABC đều cạnh 2a , có O là trọng tâm nên OB . 3 2 3 a 21 R 3 28 a2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là S 4 R2 . 3 Câu 26: [2H2-3.5-2](CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật SA 12a , SA  ABCD và AB 3a , AD 4a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. R 6,5a . B. R 13a . C. R 12a . D. R 6a . Lời giải Chọn A Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của SC . 2 2 AS AC 1 2 2 Ta có: AI AS AC . 2 2 2 1 1 AI AS 2 AB2 BC 2 a 122 32 42 6,5a . 2 2
18. Câu 29: [2H2-3.5-2] (Sở GD Thanh Hoá – Lần 1-2018 – BTN) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh 2a . 3a A. R a . B. R 2a 3 . C. R . D. R 3a . 3 Lời giải Chọn D B' O' C' A' D' I C B O A D Gọi O , O lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và A B C D và gọi I là trung điểm của OO khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D . 1 Theo đề bài ta có OO 2a OI a ; AO AC a 2 . 2 Xét tam giác vuông AOI có IA AO2 IO2 a2 2a2 a 3 . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A B C D là R a 3 . Câu 279. [2H2-3.5-2] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình chóp S.ABC có 1 SA  ABC , SA 2a , tam giác ABC cân tại A, BC 2a 2 , cos ·ACB . Tính diện tích S 3 của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 97 a2 97 a2 97 a2 97 a2 A. S . B. S . C. S . D. S . 4 2 3 5 Lời giải Chọn A BC Gọi H là trung điểm của BC HC a 2 . 2 Do ABC cân tại A AH  BC . 1 cos ·ACB AC 3HC AC 3a 2 . 3
19. AH AC 2 HC 2 18a2 2a2 4a . Gọi M là trung điểm AC , trong mp ABC vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 1 1 2 2 Ta có cos ·ACH sinC· AH cosC· AH . 3 3 3 2 AM 3a 9a Trong AMO vuông tại M AO 2 cosC· AH 2 2 4 3 Gọi N là trung điểm SA . Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O và vuông góc mp ABC tại I . Chứng minh được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có ANIO là hình chữ nhật 81a2 97a2 97 đường chéo AI AO2 AN 2 a2 a . 16 16 4 97a2 97 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S 4 R2 4 a2 (đvdt). 16 4 Câu 283. [2H2-3.5-2] Cho hình chóp đều S.ABC có A B a , SB 2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 3 a2 3a2 12 a2 12a2 A. S B. S C. S D. S 11 11 11 11 Lời giải Chọn C Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Xác định tâm mặt cầu Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Trong tam giác SOA dựng đường trung trực của cạnh bên SA , cắt SO tại I và cắt SA tại trung điểm J .
20. I SO IA IB IC Ta có: IA IB IC IS I IA IS Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tính bán kính mặt cầu Gọi M AO  BC thì M là trung điểm của BC . AB 3 a 3 2 a 3 Ta có: AM AO AM . 2 2 3 3 3a2 a 33 Trong tam giác vuông SOA ta có SO SA2 AO2 4a2 9 3 Xét hai tam giác vuông đồng dạng SJI và SOA ta có: SI SJ SA2 4a2 2a 33 R SI SA SO 2SO a 33 11 2. 3 Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu 2 2 2 2a 33 12 a Diện tích mặt cầu là: S 4 R 4 . 11 11 Câu 14: [2H2-3.5-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng A. 6 B. 4 3 C. 8 D. 12 Lời giải Chọn D A' D' B' C' 2 I A D B C Ta có: B D 2 3 Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng R 3 . 2 2 2 Diện tích mặt cầu là: S 4πR2 4π 3 12π . Câu 3: [2H2-3.5-2] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Hình chóp đều S.ABCD tất cả các cạnh bằng a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. 4 a2 . B. a2 . C. 2 a2 . D. 2 a2 . Lời giải Chọn D
21. S M I A D O B C Gọi O là tâm mặt đáy, M là trung điểm SA , kẻ MI  SA , I SO . S.ABCD là hình chóp đều nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R IS . 1 a2 SA2 SM SI SM.SA a SMI đồng dạng với SOA SI 2 2 . SO SA SO SA2 OA2 a2 2 a2 2 2 2 Vậy Smc 4 R 2 a . Câu 31: [2H2-3.5-2] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018)Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA 2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng: A. 2 a2 .B. a2 .C. 3 a2 . D. 6 a2 . Lời giải Chọn D Ta chứng minh được:  BC  SAB BC  SB ΔSBC vuông tại B .  CD  SAD CD  SD ΔSCD vuông tại D .  SA  ABCD SA  AC ΔSAC vuông tại A . 1 Gọi O là trung điểm cạnh SC . Khi đó: OA OC OD OB OS SC . 2 Do đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . 1 1 1 a 6 Bán kính mặt cầu là: R SC SA2 AC 2 4a2 2a2 . 2 2 2 2
22. 3a2 Diện tích mặt cầu: S 4πR2 4π. 6πa2 . 2 Câu 32: [2H2-3.5-2] (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13a 5a 17a A. R . B. R . C. R . D. R 6a . 2 2 2 Lời giải. Chọn A BC  AB Ta có: BC  SAB BC  SB SBC vuông tại B . BC  SA CD  AD Tương tự: CD  SAD CD  SD SAD vuông tại D . CD  SA SA  ABCD SA  AC SAC vuông tại A . SC Gọi I là trung điểm SC ta có IA IB IC ID IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 2 S.ABCD . SC Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là R . 2 Ta có: AC AB2 BC 2 5a . SC SA2 AC 2 13a . 13a Vậy R . 2 Câu 39: [2H2-3.5-2] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương có thể tích bằng 64a3 . Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó bằng 16 a3 64 a3 32 a3 8 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
23. Khối lập phương có thể tích 64a3 nên cạnh bằng 4a . Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán 3 4a 4 4 3 32 a kính R 2a nên thể tích khối cầu V R3 2a . 2 3 3 3 Câu 1: [2H2-3.5-2] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB 1, BC 2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 3 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng: 3 A. 6 . B. . C. 12 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn A S I A C B Gọi I là trung điểm của SC . 1 Tam giác SAC vuông tại A IA IS IC SC 1 . 2 Dễ dàng chứng minh được BC  SAB BC  SB hay tam giác SBC vuông tại B 1 IB IS IC SC 2 . 2
24. 1 Từ 1 và 2 suy ra: IA IB IC IS SC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 1 1 1 6 S.ABC có bán kính R SC SA2 AC 2 SA2 AB2 BC 2 . 2 2 2 2 Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là: S 4 R2 6 . Câu 18: [2H2-3.5-2] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) . Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B , BA a, BC a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 5 a 5 A. R . B. R . C. R 2a 5 . D. R a 5 . 2 4 Lời giải Chọn A S I A C B Tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là trung điểm I của SC . AC AB2 BC 2 2a . Khi đó SC SA2 AC 2 a2 4a2 a 5 . SC a 5 Vậy R SI . 2 2 Câu 24: [2H2-3.5-2] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 2 . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: a3 a3 4 a3 A. .B. . C. 4 a3 .D. . 6 3 3 Lời giải Chọn D
25. S A D B C SA  BC  Ta có:  BC  SAB BC  SB . AB  BC Tương tự CD  SD . Khi đó S· AC S· BC S·DC 90. Nên SC là đường kính của mặt cầu S ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . SC Bán kính của S là R . 2 Ta có: AC a 2 nên SC SA2 AC 2 2a R a . 4 4 Vậy V R3 a3 . S 3 3 Câu 50. [2H2-3.5-2] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi H ; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Tính thể tích khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB . a3 a3 2 a3 A. 2 a3 . B. . C. . D. . 6 2 3 Lời giải Chọn D. BC  AB Ta có:  BC  SAB BC  AH mà AH  SB nên AH  SBC AH  HC BC  SA 
26. Do đó: ·AHC 90 . Mặt khác AK  KC ·AKC 90; ·ABC 90. Vậy năm điểm A , B , C , H , K cùng thuộc mặt AC a 2 cầu đường kính AC . Bán kính mặt cầu này là: R . 2 a Thể tích khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB là: 3 3 4 3 4 a 2 2 a V R . 3 3 2 3 Câu 6421: [2H2-3.5-2] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5 - 2017] Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), SA = a 2 và A·CB = 600 . Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là a. Tính độ dài cạnh AB. . a 3 a 6 a 2 A. AB = .B. AB = .C. AB = .D. AB = a 6 . 2 2 2 Lời giải Chọn B S Δ M K A I C B . Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC . Khi đó kẻ đường thẳng D qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC)Þ SA€ D . Trên trục D lấy K sao cho KA = KS , kẻ KM ^ SA với M là trung điểm SA . Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính KA = a . Xét tam giác KMA vuông tại SA2 a 2 M Þ MK = AK 2 - MA2 = AK 2 - = = AI . 4 2 AB a 6 Theo định li Sin ta có = 2AI Þ AB = 2AI.sin C = . sin C 2 Câu 6435. [2H2-3.5-2] [THPT An Lão lần 2 - 2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, AB 2a,CD a, A·BC 600 . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ? 2a 2a 3 a 3 A. R a .B. R .C. R . D. R . 3 3 3
27. Lời giải Chọn C Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và SB ta có HCD cân tại H . Mà A·BC B·DC 600 nên ABC vuông tại C . SH  (ABC), kẻ đường trung trực của SB cắt SH tại I suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp SM.SB 2a 3 hình chóp S.ABC . Ta có : SI.SH SM.SB SI . SH 3 S M I A B H D C . Câu 6471: [2H2-3.5-2] [THPT Chuyên Quang Trung-2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 1200 , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 35 41 37 39 A. a .B. a . C. a . D. a . 6 6 6 6 Lời giải Chọn D S d G B C 120° I M A D a . Do ·ABC 120 B· AD 60 suy ra ABD đều. DA DB DC a nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của SAB . Qua D kẻ d  (ABCD) , và qua G kẻ d  (SAB) . Gọi I d  d . Ta có IA IB IC ID . Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính 2 2 2 2 a 3 39 R IA AD MG a a . 6 6
28. Câu 7150. [2H2-3.5-2] (THPT Chuyên Lam Sơn lần 2 -2017) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện đều cạnh a a 3 a 2 A. R a 2 . B. R . C. R . D. R a . 2 2 Lời giải Chọn C S a A D O B C / S . Mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều cạnh a có tâm là điểm O AC  BD . a 2 Khi đó bán kính của mặt cầu này là R OA .Câu 7151: [2H2-3.5-2] [THPT Tiên Du 1- 2017] 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mặt cầu là mặt được tạo thành khi quay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của nó. B. Có ít nhất hai hình trụ không bằng nhau cùng ngoại tiếp một hình cầu. C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp là giao điểm bốn đường chéo của hình hộp đó. D. Các đỉnh của một hình chóp tứ giác cùng nằm trên một mặt cầu nào đó. Lời giải Chọn A Mặt cầu là mặt được tạo thành khi quay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của nó. Câu 7154: [2H2-3.5-2] [THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2 - 2017] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A , AB 2a 3 . Đường chéo BC tạo với mặt phẳng AA C C một góc bằng 60 . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bán kính của mặt cầu S bằng. a A. 3a . B. 2a . C. . D. a . 2 Lời giải Chọn B