Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 3: Khối cầu - Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 49. [2H2-3.5-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với B· AC 120 , AB AC a . Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm a3 BC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là V . 16 91a a 13 13a A. R . B. R . C. R . D. R 6a . 8 4 2 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm BC . a a 3 Có AB a, B· AH 60 AH ; BH và BC a 3 . 2 2 1 a3 1 1 3 a 3 V DH.S DH. a2 DH . ABCD 3 ABC 16 3 2 2 4 a 7 Vậy DA AH 2 DH 2 . 4 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì bán kính đường tròn đó là BC R AO a . Vậy H là trung điểm AO . 2sin A Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường thẳng này cắt AD tại S với D là trung điểm a 3 a 7 3 3a 7 SA . Vậy SO 2DH , SA 2DA và SM SA . 2 2 4 8 Từ trung điểm M của đoạn AD kẻ đường vuông góc với AD , cắt SO tại I . Dễ dàng có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . MI SM 3 7a a 21 Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên MI a. . OA SO a 3 4 8. 2 a 91 Bán kính mặt cầu bằng R ID MI 2 MD2 . ABCD 8 Câu 18. [2H2-3.5-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên
2. SA a 3 . 3a 6 3a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 2 2 2 8 Lời giải Chọn A S H C I A M O B Gọi H là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng SAO kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với SA cắt SO tại I . Khi đó IS IA IB IC . a 3 a 3 2 6a Ta có: AM ; AO ; SO SA2 OA2 2 3 3 SI SH SH.SA 3 6a Do SHI ∽ SOA ta có: SI . SA SO SO 8 Câu 28: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao h 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là: A. S 9 . B. S 6 . C. S 5 . D. S 27 . Lời giải Chọn A S H A C O M B I Gọi O là tâm của ABC suy ra SO  ABC và SO h 1; 2 3 OA  6  2 . 3 2 Trong tam giác vuông SAO , ta có SA SO2 OA2 1 2 3 . Trong mặt phẳng SAO kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra IS IA IB IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
3. Gọi H là trung điểm của SA , ta có SHI đồng dạng với SOA nên 3  3 SH.SA 3 R IS 2 . Vậy diện tích mặt cầu S 4 R2 9 . SO 1 2 mc Câu 41: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. 1 3 3 A. 4a2 3b2 . B. 4a2 3b2 . 18 3 18 3 3 3 C. 4a2 b2 . D. 4a2 3b2 . 18 3 18 2 Lời giải Chọn B A C I M B O A C I M B Gọi I, I lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm của II . Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. a 3 b Ta có: AI , IO suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là 3 2 a2 b2 1 R 4a2 3b2 3 4 2 3 4 3 2 2 3 Vậy V O;R R 4a 3b . 3 18 3 Câu 34. [2H2-3.5-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. S 8 a2 . B. S 6 a2 . C. S 12 a2 . D. S 4 a2 . Lời giải Chọn D
4. Gọi I là trung điểm SC . Do S· AC S· BC S·DC 90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Ta có: S·C, ABCD S· CA 45 . 1 Suy ra: SA AC a 2 . Do đó bán kính mặt cầu R IA SC a . 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 a2 . Câu 28: [2H2-3.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và ·ASB 90 , B· SC 60 , C· SA 120 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC là . 4 A. 4 a2 .B. 2 a2 . C. a2 . D. a3 . 3 Lời giải Chọn A Xét tam giác SAB theo định lí cosin ta có : AB2 SA2 SB2 2SA.SB cos ·ASB a2 a2 2a.a.cos90 2a2 AB a 2 Xét tam giác SAC theo định lí cosin ta có : AC2 SA2 SC2 2SA.SC cos ·ASC a2 a2 2a.a.cos120 3a2 AC a 3 Xét tam giác SBC theo định lí cosin ta có : BC2 SC2 SB2 2SC.SB cos ·ASB a2 a2 2a.a.cos60 a2 AB a Vậy AB2 BC2 AC2 ABC vuông tại B . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC . Vì SA SB SC a OA OB OC Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC mà ABC vuông tại B O là trung điểm AC . SO là trục của mặt phẳng đáy ABC Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt SO tại I I là tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp S.ABC . SI SE Xét SEI ∽ SOC g g 1 SC SO a Với SE , SC a 2 a2 a Mặt khác SOC vuôn tại O áp dụng định lí pitago SO2 SB2 BO2 SO 4 2 Thay vào 1 SI a vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là a diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là 4 a2 . Câu 28. [2H2-3.5-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
5. A B C A' B' C' A. 24 a2 .B. 6 a2 .C. 4 a2 .D. 3 a2 . Lời giải Chọn B A B H M C R I A' B' M' C' \ Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC , B C . Dễ thấy trung điểm I của MM là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Kẻ AH vuông góc BC (H BC) ·AC H ·AC ,(BCC B ) 30 . 2 Ta có: AC BC 2 AB2 2a 2 a 3 a . AB.AC a 3.a a 3 AH.BC AB.AC AH . BC 2a 2 a 3 AH Trong tam giác vuông AHC , có: AC 2 a 3 . sin 30 1 2 2 Trong tam giác vuông ACC , có CC AC 2 AC 2 a 3 a2 a 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 CC BC a 2 2a 6 2 Bán kính R IB MI MB a 2 2 2 2 4 6a2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 . 6 a2 . 4
6. Câu 45: [2H2-3.5-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , AD a 2 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trung a 2 điểm H của BC , SH . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD . 2 a 2 a 5 a 17 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Lời giải Chọn C Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD và tam giác BHD . 2 a 2 2 2 a 2 2 a 6 2 Ta có HB , HD HC DC a và BD a 2a a 3 . 2 2 2 Áp dụng định lí Cô sin, ta có a2 3a2 3a2 · 1 · 2 cos BHD 2 2 sin BHD . a 2 a 6 3 3 2 . 2 2 1 a 2 a 6 2 a2 2 Diện tích tam giác BHD là S . . . . BHD 2 2 2 3 4 a 2 a 6 . .a 3 HB.HD.BD 3a 2 Do đó r 2 2 . 4S a2 2 2
7. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH . Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E . Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm. SH 2 SH 2 9a2 a2 a 17 Ta có R r 2 MH 2 r 2 r 2 . 4 4 2 8 4 Câu 48. [2H2-3.5-3](Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB là: a3 2 a3 a3 A. .B. .C. 2 a 3 .D. . 2 3 6 Lời giải Chọn B Cách 1: Nhận xét : ·AKC ·AHC ·ABC 90 , nên 4 điểm A, H, K, B thuộc mặt cầu đường a 2 4 a3 2 kính AC . Bán kính R OA V R 3 2 3 3 . Cách 2: Dựng hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm AB . Tam giác AHB vuông tại H và MO  HAB suy ra MO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB . Tam giác AKC vuông tại K suy ra OA OK . Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 2 4 a3 2 AHKB và bán kính R OA V R 3 . 2 3 3 Câu 50. [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC a 3 , S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a . A. S 4 a2 . B. S 8 a2. C. S 12 a2 . D. S 16 a2 . Lời giải Chọn C
8. S M I A H C B Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC . Khi đó 5 điểm A , B , C , H , S cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SB . Do A , B , C , H cùng thuộc một mặt phẳng nên ABHC là tứ giác nội tiếp. Theo giả thiết ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABHC là hình vuông d A, SBC d H, SBC . Trong mặt phẳng SHC kẻ HM  SC , M SC khi đó d H, SBC HM a 2 . Xét tam giác vuông SHC ta có 1 1 1 HM 2.HC 2 SH 2 6a2 SH a 6 . HM 2 HC 2 SH 2 HM 2 HC 2 Xét tam giác vuông SHB ta có SB2 SH 2 HB2 6a2 6a2 12a2 SB 2a 3 . 1 Do I là trung điểm của SB nên IH SB a 3 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là S 4 a 3 12 a2 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.A 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B 10.B 11.B 12.C 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.C 19.C 20.A 21.C 22.A 23.D 24.A 25.D 26.D 27.A 28.B 29.D 30.A 31.A 32.A 33.C 34.B 35.D 36.C 37.A 38.A 39.A 40.D 41.D 42.A 43.C 44.A 45.B 46.C 47.B 48.B 49.B 50.C BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Câu 18: [2H2-3.5-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB 4a , CD 6a , các cạnh còn lại có độ dài a 22 . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . a 79 5a a 85 A. R . B. R . C. R . D. R 3a . 3 2 3 Lời giải Chọn C
9. Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB . AB  CN Ta có: AB  MN ; tương tự CD  MN . Suy ra MN là đường trung trực và là AB  DN đoạn vuông góc chung của AB và CD . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì I thuộc MN . Xét tam giác ANC vuông tại N có: CN AC 2 NA2 22a2 4a2 3 2a . Xét tam giác CMN vuông tại M có: MN CN 2 CM 2 18a2 9a2 3a . Lại có: IM IN 3a IM IN 3a IM IN 3a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IM MC IN NA IM IN NA MC IM IN IM IN 5a 2 IM IN 3a IM a 3 5 . IM IN a 7 3 IN a 3 4 85 Vậy bán kính cần tìm là R IM 2 MC 2 a2 9a2 a . 9 3 Câu 32: [2H2-3.5-3](THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , AD 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 250 3 125 3 500 3 A. V B. V C. V 3 6 27 50 3 D. V 27 Lời giải Chọn C
10. S M I A D O B C Gọi O AC  BD . Do các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc 60 nên SO  ABCD hay SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SB , trong mặt phẳng SBC kẻ đường thẳng qua M và vuông góc với SB cắt SO tại I khi đó ta có IA IB IC ID IS hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 5 Theo giả thiết ta có AB 3 , AD 4 nên BO . Mà góc giữa SB và mặt phẳng 2 BO 5 3 ABCD bằng 60 hay S· BO 60 SB 5 , SO . cos60 2 5 5. SM.SB 5 3 Ta có SMI : SOB nên SI 2 . SO 5 3 3 2 Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 3 4 5 3 500 3 V . 3 3 27 Câu 30: [2H2-3.5-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD .Biết rằng AB a , và ·ASB 60 . Tính diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 13 a2 13 a2 11 a2 11 a2 A. S .B. S . C. S . D. S . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B
11. S d A D O B C Gọi R1, R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và mặt bên SAB . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 1 1 2 2 AB a a Khi đó R1 AC a 3a a và R2 . 2 2 2sin ·ASB 2sin 60 3 Vì hình chóp đã cho có mặt bên SAB vuông góc với đáy ABCD nên bán kính mặt cầu hình chóp S.ABCD được tính theo công thức: AB2 a2 a2 13a2 R2 R2 R2 a2 . 1 2 4 3 4 12 13 a2 Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: S 4 R2 . 3 Câu 42: [2H2-3.5-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ·ASB 120 . 5 15 4 3 5 13 78 A. V . B. V . C. V . D. V . 54 27 3 27 Lời giải Chọn A
12. Gọi H là trung điểm AB , do SAB  ABC , tam giác ABC đều và tam giác SAB cân tại S nên SH  ABC và CH  SAB . Gọi I và J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác SAB . Dựng đường thẳng Ix//SH và Jy//CH thì Ix  ABC và Jy  SAB nên Ix là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và Jy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Khi đó Ix  Jy O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 3 SA.SB.AB AB 3 Ta có OJ IH . R SJ . SAB 1 6 4. .SA.SB.sin120 3 3 2 3 1 1 15 4 3 4 15 5 15 Vậy R SO nên V R . 3 12 6 3 3 6 54 Câu 43: [2H2-3.5-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Người ta đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là 8a A. 5a . B. 3a .C. 2 2a . D. . 3 Lời giải Chọn C A K N H M B I C Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác ABC với A là đỉnh của hình nón và BC là đường kính đáy của hình nón có tâm đáy là I . Gọi M và N lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính 2a và a . H và K lần lượt là điểm tiếp xúc của AC với hai đường tròn tâm M và N . Ta có: NK là đường trung bình trong tam giác AMH suy ra N là trung điểm của AM . AM 2MN 2.3a 6a AI 8a . Ta lại có hai tam giác vuông AIC và AHM đồng dạng
13. IC AI 8a.2a suy ra IC 2a 2 . HM AH 36a2 4a2 Vậy bán kính hình nón là R 2a 2 . Câu 33: [2H2-3.5-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A 3;1; 2 , C 1;5;4 . Biết rằng tâm hình chữ nhật A B C D thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . 91 5 3 74 7 3 A. . B. . C. .D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D A B I D C E A' B' I' D' C' Gọi I là trung điểm của AC Tọa độ điểm I 2;3;1 Gọi I là tâm hình chữ nhật A B C D I a;0;0 .   Ta có: II  ABCD II  AC II .AC 0 a 2 2 3 .4 1 .6 0 a 7 I 7;0;0 . Gọi E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D E là trung điểm của 5 3 1 AC E ; ; . 2 2 2 7 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D là R AI . 2 Câu 46: [2H2-3.5-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a , BC a 2 , SC 2a và ·ASC 60. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC . a 3 a A. R a . B. R . C. R a 3 . D. R . 2 2 Lời giải Chọn A
14. S O A C P B AC AC 3 Ta có sin ·ASC sin 60 AC a 3 . SC 2a 2 Do đó AB2 BC 2 AC 2 ABC vuông tại B . Gọi P là trung điểm của cạnh AC thì P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Gọi O là trung điểm của cạnh SC OS OC . Ta có OP // SA mà SA  ABC OP  ABC . Do đó OP là trục đường tròn ngoại tiếp ABC OA OB OC . 1 Như vậy R OA OB OC OS SC a . 2 Câu 32. [2H2-3.5-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD đều có AB 2 và SA 3 2 . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng 33 7 9 A. . B. . C. 2 . D. . 4 4 4 Lời giải Chọn D Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của SD , trong mp (SDH ) kẻ đường trung trực của đoạn SD cắt SH tại O thì OS OA OB OC OD nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . Bán kính mặt cầu là R SO .
15. SO SM SD.SM SD2 Ta có SMO ∽ SHD R SO . SD SH SH 2SH Với SH 2 SD2 HD2 18 2 16 SH 4. SD2 9 Vậy R . 2SH 4 Câu 11: [2H2-3.5-3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a, góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng AA B B bằng 30. Gọi H là trung điểm của AB. Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A .ABC. a 3 a 2 a 6 a 30 A. R . B. R . C. R . D. R . 6 2 6 6 Lời giải Chọn D A C d B M I A C G H B a 3 Ta có Tam giác ABC đều cạnh a CH  AB và CH . 2 Suy ra CH  ABC , nên A C; ABC A C; A H C· A H 30 . 3a A H CH.cot 30 , AA A H 2 AH 2 a 2 . 2 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại trọng tâm G . Dựng đường trung trực của AA trong mặt phẳng AA G cắt trục đường tròn tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A .ABC có bán kính là IA . a 3 a 2 a2 a2 a 30 Ta có AG , AM AI AM 2 AG2 3 2 3 2 6 Câu 16: [2H2-3.5-3] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có 1 SA  ABC , SA 2a , tam giác ABC cân tại A , BC 2a 2 , cos ·ACB . Tính diện tích 3 S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 97 a2 97 a2 A. S . B. S . 4 2
16. 97 a2 97 a2 C. S . D. S . 3 5 Lời giải Chọn A. S N I A M C O H B BC Gọi H là trung điểm của BC HC a 2 . 2 Do ABC cân tại A AH  BC . 1 cos ·ACB AC 3HC AC 3a 2 . 3 AH AC 2 HC 2 18a2 2a2 4a . Gọi M là trung điểm AC , trong mp ABC vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 1 1 2 2 Ta có cos ·ACH sinC· AH cosC· AH . 3 3 3 2 AM 3a 9a Trong AMO vuông tại M AO 2 cosC· AH 2 2 4 3 Gọi N là trung điểm SA. Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O và vuông góc mp ABC tại I . Chứng minh được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có ANIO là hình chữ nhật 81a2 97a2 97 đường chéo AI AO2 AN 2 a2 a . 16 16 4 97a2 97 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S 4 R2 4 a2 (đvdt). 16 4 Câu 17: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp S.ABC , tam giác ABC vuông tại đỉnh A, AB 1 cm , AC 3 cm . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C . Khoảng cách 3 từ C đến mặt phẳng SAB bằng cm . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 bằng 5 5 5 A. cm2 . B. 20 cm2 . C. cm2 . D. 5 cm2 . 4 6 Lời giải Chọn D.
17. S I K C B E 1 3 H A Gọi I là trung điểm của SA IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Gọi E, H lần lượt là trung điểm của BC, AB Ta có : AB  AC EI  AB, AB  SB IH  AB AB  IHE SAB  IHE Kẻ EK  IH EK  SAB d C, SAB 3 EK d E, SAB 2 4 Do IBC cân tại I IE  BC Mà IE  AB IE  ABC IE  EH 1 1 1 1 1 1 16 4 Xét IHE vuông tại E 4 EK 2 EH 2 IE 2 IE 2 EK 2 EH 2 3 3 1 5 IE 2 IC 2 IE 2 EC 2 S 4 R2 5 4 4 mc Câu 18: [2H2-3.5-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là 2 2 2 4a a h A. h . B. . 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4a h a h a C. h . D. . 3 3 4 3 3 4 3 Lời giải Chọn C.
18. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Gọi G,G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C . Vậy GG là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy. Trong mặt phẳng AA G G , kẻ đường trung trực d tại trung điểm M của AA và cắt GG' tại I . Khi đó ta có IA IA . Mà I GG IA IB IC IA IB IC . Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là I là bán kính là IA . 2 a 3 a 3 h IM GA , MA . 3 2 3 2 a2 h2 Ta có IA IM 2 MA 2 . 3 4 3 2 3 2 2 2 4 3 4 a h 4a 2 h a Vậy thể tích khối cầu là V IA h . 3 3 3 4 3 3 4 3 Câu 26: [2H2-3.5-3] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , SA  ABCD và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK  SD tại K . Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B,C, E, K bằng: 1 6 3 A. a . B. a. C. a . D. a . 2 2 2 Lời giải Chọn B. Ta có: S BC  AB BC  SAB BC  SB BC  SA Tứ giác ABCE là hình bình hành AB / /CE CE  AD K Mà CE  SA CE  SAD CE  SD mà EK  SD A E D B C
19. SD  CEK SK  CK Suy ra các điểm A, B, E, K cùng nhìn hai điểm S,C dưới một góc vuông nên 6 điểm S, A, B,C, E, K cùng thuộc mặt cầu đường kính SC . SC SA2 AC2 2a2 2a2 Bán kính mặt cầu: R a . 2 2 2 Câu 35: [2H2-3.5-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB BC a 3 , góc S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. 16 a2 . B. 8 a2 . C. 12 a2 . D. 2 a2 . Lời giải Chọn C Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) . Ta có: AB  SA, AB  SD AB  (SAD) AB  AD. Tương tự CB  (SCD) BC  DC . Suy ra ABCD là hình vuông Gọi H là hình chiếu của D trên SC DH  (SBC) d(A,(SBC) d(D,(SBC) DH a 2 1 1 1 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SCD , ta có SD a 6 . SD2 SH 2 DC 2 Gọi I là trung điểm SB ta có IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SC S.ABC. Suy ra bán kính mặt cầu là r a 3 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 S.ABC là S 4 r 2 12 a2 Câu 1: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 43 43 43 43 A. .B. .C. . D. . 48 36 4 12 Lời giải Chọn D Gọi H , M lần lượt là trung điểm BC , SA ; G là trọng tâm ABC . Ta có ·SBC , ABC S·H, AH S· HA 60 3 3 ABC đều, cạnh bằng 1 AH SA AH tan 60 2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
20. 2 2 2 2 2 2 2 2 SA 2 3 1 43 R IA IG AG AH 2 3 4 3 48 43 43 Diện tích mặt cầu S 4 R2 4  . 48 12 Câu 2: [2H2-3.5-3] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , AB AC a , AA a 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C là 4 a2 A. .B. 4 a 2 .C. 12 a2 . D. 4 3 a2 . 3 Lời giải Chọn B Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A B C . Gọi I, I lần lượt là trung điểm của BC và B C . Do tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên trung điểm O của II là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A B C . 1 1 Bán kính mặt cầu là R BC 2 C C 2 2a2 2a2 a . 2 2 Diện tích mặt cầu là 4 a 2 . Câu 3: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S.ABC có AB a, AC 2a, B· AC 60o , SA  ABC và SA a 3 . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng a 55 a 7 a 10 a 11 A. R .B. R .C. R .D. R . 6 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos A a 3 . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và  ABC tại O . Trong mặt phẳng SA, , đường trung trực của SA cắt tại I . Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có r AO Áp dụng đinh lý sin trong ABC ta có: BC SA2 7a2 a 7 2r AO r a R2 r 2 R . sin A 4 4 2 Câu 4: [2H2-3.5-3] Cho hình chóp tam giác S.ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A và BC 4a . Cạnh bên SA 3a và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó (Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng
21. 25 a3 125 a3 125 a3 25 a2 125 a3 125 a3 A. ; .B. 25 a2; .C. ; .D. 25 a2; . 4 6 3 4 6 6 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm của BC , K là trung điểm của SA . Qua H dựng đường thẳng  ABC PSA . Qua K dựng đường thẳng  SA P AH . Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là I  . Xét tam giác IHA vuông tại H ta có: 2 2 2 2 SA BC 5a r IA IH AH . 2 2 2 Diện tích hình cầu: S 4 r 2 25 a 2 . 4 125 a3 Thể tích khối cầu: V r3 . 3 6 Câu 5: [2H2-3.5-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết rằng AB AA a, AC 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bằng a 5 a 3 a 2 A. . B. a. C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có BC AC 2 AB2 a 5. Gọi I là trung điểm của B C , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C .
22. Gọi O là trung điểm của A C . Tam giác MA C vuông cân tại M. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C . OI  A C OI€ A B Ta có OI  ACC A . OI  MO Suy ra OI là trục của tam giác MA C . Suy ra IA IC IM IB . 1 1 a 5 Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bán kính R B C BC . 2 2 2 Câu 32: [2H2-3.5-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho S là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh 2a. Tính bán kính R của mặt cầu S . a 6 a 3 a 6 a A. R .B. R .C. R .D. R . 4 4 2 2 Lời giải Chọn C S.ABC là tứ diện đều nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Trong mặt phẳng SAO , kẻ đường trung trực d của cạnh SA , d cắt SO tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. SN.SA SA2 SAO : SIN SI SO 2 SA2 AO2 4a2 a 6 Vậy R SI . 2 2 2 2a 3 2 4a2 . 3 2 Câu 47. [2H2-3.5-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB 3 , BC 4 . Hai mặt phẳng SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy một góc 45. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 5 2 25 2 125 3 125 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3
23. Lời giải Chọn D Hai mặt phẳng SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABC . BC  AB Ta cũng có BC  SB . BC  SA Suy ra SAC và SBC là hai tam giác vuông tại A và B . IA IC IS Gọi I là trung điểm của SC thì IA IB IC IS I là tâm mặt cầu IB IC IS S ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Vì SA  ABC nên ·SC , ABC S· CA 45. Ta lần lượt tính được: AC AB2 BC 2 5 ; SA AC 5 ; SC AC 2 5 2 . SC 5 2 Suy ra bán kính mặt cầu S là R . 2 2 3 4 5 2 125 2 S Vậy thể tích khối cầu là V . . . 3 2 3 Câu 28. [2H2-3.5-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a , SA  ABC , SA a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a 6 2 3a a a 21 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Lời giải S x M I A C G B Chọn D Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC , dựng trục Gx của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó Gx//SA . Trong mặt phẳng SAG dựng đường trung trực cạnh SA , cắt Gx tại I . Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính là R SM 2 MI 2 .
24. 2 a 3 a 3 1 a 3a2 a2 a 21 Mà MI AG . ; SM SA . Nên R . 3 2 3 2 2 9 4 6 Câu 19: [2H2-3.5-3](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60o . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 4 a3 43 43 43 A. .B. .C. .D. . 12 36 4 12 Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của BC thì AM  BC (1). Mặt khác SA  ABC nên SA  BC (2). Từ (1) và (2) suy ra BC  SAM . Do đó góc giữa SBC và ABC là góc SMA . 3 3 Vậy S· MA 60o . Trong tam giác vuông SAM có SA AM.tan S· MA . 3 . 2 2 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Qua G dựng đường thẳng song song với SA , cắt mặt phẳng trung trực của đoạn SA tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 1 3 Ta có IG SA . 2 4 2 2 2 2 2 3 2 3 9 1 43 Trong tam giác vuông AIG có IA IG GA . . 4 3 2 16 3 48 43 43 Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có diện tích bằng 4 IA2 4 . 48 12 Câu 44: [2H2-3.5-3](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có AB 3 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc miền trong tam
25. giác ABC sao cho ·AHB 120 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB , biết SH 4 3 . A. R 5 .B. R 3 5 .C. R 15 .D. R 2 3 . Lời giải Chọn C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam AB giác AHB . Áp dụng định lí sin trong tam giác AHB ta có 2r sin ·AHB AB r 3 . 2sin ·AHB Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng AHB . Gọi M là trung điểm của SH . Trong mặt phẳng SHO đựng đường trung trực của đoạn SH cắt d tại I . Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB và có bán kính là 2 2 HI OI 2 HO2 2 3 3 15 . Câu 39: [2H2-3.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB AC a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a3 7 a3 21 a3 21 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 54 54 54 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức giải nhanh ta được. Câu 39. [2H2-3.5-3] (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB AC a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. a3 7 a3 21 a3 21 a3 A. V B. V C. V D. V 3 54 54 54 Lời giải
26. Chọn B + Gọi H là trung điểm của AB , ta có SH  ABC K là trung điểm của BC, suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC G là trọng tâm tam giác SAB + Dựng hình chữ nhật HKIG , khi đó IK là trục của đáy, IG là trục của mặt bên suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp +Bán kính r IA 2a 1 a 3 a 21 +Ta có AK ; IK GH SH IA AK 2 IK 2 2 3 6 6 4 7 a3 21 Vậy thể tích khối cầu V r3 3 54 Câu 34. [2H2-3.5-3] (TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . a 7 a 3 A. R . B. R a . C. R . D. R a . 2 12 3 4 Lời giải Chọn B