Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Tổng hợp - Dạng 1: Bài tập tổng hợp nón, trụ, cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Tổng hợp - Dạng 1: Bài tập tổng hợp nón, trụ, cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 463: [2H2-4.1-3] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 X được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . 125 1 2 125 5 2 2 A. V . B. V . 6 12 125 5 4 2 125 2 2 Y C. V . D. V . 24 4 Lời giải Chọn C Cách 1 : Khối tròn xoay gồm 3 phần: 5 Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 5 125 V1 5 . 2 4 5 2 Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 V 2 3 2 2 12 Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 2 1 5 2 1 5 2 5 2 5 2 5 125 2 2 1 V3 . 3 2 2 2 2 2 24 Vậy thể tích khối tròn xoay là 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2 V V V V . 1 2 3 4 12 24 24 Cách 2 : Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là 125 V R2h T 4 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là 2 125 2 V R2h 2N 3 6 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là 1 125 V R2h N 3 24 5 4 2 Thể tích cần tìm V V V V 125 . T 2N N 24
2. Câu 7123. [2H2-4.1-3] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 m. Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc cạnh BC thỏa mãn NC 2NB. Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác ADCNM quanh trục BC. Tính V. . 35 V m3 . 36 A M B N C 5 A. . D B. V m3 . 6 17 11 C. V m3 . D. V m3 . 18 12 Lời giải Chọn C Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông ABCD quanh trục BC là V1 . Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác MBN quanh trục BC là V2 . 1 1 1 V .r 2.h .12.1 ; MB r ; h BN BC 1 2 2 3 3 2 . 1 2 1 1 1 V2 .r .h . 3 3 2 3 36 35 Vậy V V V . 1 2 36 36 Câu 7144. [2H2-4.1-3] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường tròn C tâm O và C’ tâm O’. Xét hình nón tròn xoay có đỉnh O’ và đáy là đường tròn C . Xét hai mệnh đề sau: (I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều O’AB thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’ . (II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’ thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác O’AB vuông cân tại O’. Hãy chọn câu đúng. A. Cả 2 sai. B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Cả 2 Câu đúng. Lời giải Chọn A Gọi O’AB là thiết diện qua trục của hình nón. BB’A’ là thiết diện qua trục của hình trụ. a 3 Xét (I): Nếu O’AB là tam giác đều, AB a thì O’O . 2 a 3 ⟹ A’A O’O nên ABB’A’ chỉ là hình chữ nhật. Vậy (I) sai. 2
3. Xét (II): Nếu ABB’A’ là hình vuông, AB a , thì: OO’ a : Sai ( tam giác vuông thì đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền). Như vậy O’AB không phải là tam giác vuông cân tại O’: (II) sai. Câu 463: [HH12.C2.4.D01.c] (MINH HỌA L2) Cho hai hình vuông có cùng cạnh X bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . 125 1 2 125 5 2 2 A. V . B. V . 6 12 125 5 4 2 125 2 2 Y C. V . D. V . 24 4 Lời giải Chọn C Cách 1 : Khối tròn xoay gồm 3 phần: 5 Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 5 125 V1 5 . 2 4 5 2 Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 V 2 3 2 2 12 Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 2 1 5 2 1 5 2 5 2 5 2 5 125 2 2 1 V3 . 3 2 2 2 2 2 24 Vậy thể tích khối tròn xoay là 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2 V V V V . 1 2 3 4 12 24 24 Cách 2 : Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là 125 V R2h T 4 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là 2 125 2 V R2h 2N 3 6 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là 1 125 V R2h N 3 24 5 4 2 Thể tích cần tìm V V V V 125 . T 2N N 24
4. Câu 7123. [HH12.C2.4.D01.c] (THPT THÁI PHIÊN HP -2017) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 m. Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc cạnh BC thỏa mãn NC 2NB. Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác ADCNM quanh trục BC. Tính V. . 35 V m3 . 36 A M B N C 5 A. . D B. V m3 . 6 17 11 C. V m3 . D. V m3 . 18 12 Lời giải Chọn C Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông ABCD quanh trục BC là V1 . Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác MBN quanh trục BC là V2 . 1 1 1 V .r 2.h .12.1 ; MB r ; h BN BC 1 2 2 3 3 2 . 1 2 1 1 1 V2 .r .h . 3 3 2 3 36 35 Vậy V V V . 1 2 36 36 Câu 7144. [HH12.C2.4.D01.c] (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04 -2017) Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường tròn C tâm O và C’ tâm O’. Xét hình nón tròn xoay có đỉnh O’ và đáy là đường tròn C . Xét hai mệnh đề sau: (I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều O’AB thì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’ . (II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABB’A’ thì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác O’AB vuông cân tại O’. Hãy chọn câu đúng. A. Cả 2 sai. B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Cả 2 Câu đúng. Lời giải Chọn A Gọi O’AB là thiết diện qua trục của hình nón. BB’A’ là thiết diện qua trục của hình trụ. a 3 Xét (I): Nếu O’AB là tam giác đều, AB a thì O’O . 2 a 3 ⟹ A’A O’O nên ABB’A’ chỉ là hình chữ nhật. Vậy (I) sai. 2
5. Xét (II): Nếu ABB’A’ là hình vuông, AB a , thì: OO’ a : Sai ( tam giác vuông thì đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền). Như vậy O’AB không phải là tam giác vuông cân tại O’: (II) sai. Câu 21: [2H2-4.1-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho tam giác vuông cân ABC có AB AC a 2 và hình chữ nhật MNPQ với MQ 2MN được xếp chồng lên nhau sao cho M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI , với I là trung điểm PQ . 11 a3 5 a3 11 a3 17 a3 A. V .B. V . C. V .D. V . 6 6 8 24 Lời giải Chọn D Ta có: BC AB2 AC 2 2a MN a , MQ 2a . a 3 Gọi E , F lần lượt là trung điểm MN và BC . Ta có AF a , EF IF a . 2 2 2 1 2 2 1 2 3 a 17 3 Vậy, thể tích cần tìm V .AF.FB .IF.IQ .a.a . a. a . 3 3 2 2 24 Câu 42. [2H2-4.1-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 2a , AC a . Quay tam giác này quanh trạc AB , ta đưạc mạt hình nón đạnh B . Gại S1 là diạn tích toàn phạn cạa hình nón đó và S2 là diạn tích S mạt cạu có đưạng kính AB . Khi đó, tạ sạ 1 là: S2
6. S 3 S 2 S S 1 A. 1 . B. 1 . C. 1 1. D. 1 . S2 2 S2 3 S2 S2 2 Lời giải Chọn C B A C Hình nón có : h AB BC 2 AB2 a 3 Gọi x m là cạnh của tam giác đều, 20 0 x . 3 20 3x l BC 2a Suy ra cạnh hình vuông là m . 4 2 2 Diện tích toàn phần của hình nón S1 Rl R 3a 1 a 3 Mặt cầu đường kính AB có bán kính R AB . 2 2 2 a 3 Diện tích mặt cầu S 4 R2 4 3 a2 . 2 2 S Vậy 1 1. S2 Câu 35: [2H2-4.1-3] (THPT Kim Liên - HN - Lản 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam giác ABC có 2 ·ABC 45 , ·ACB 30 , AB . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta đưạc 2 khại tròn xoay có thạ tích V bạng: 3 1 3 1 3 1 3 1 3 A. V .B. V . C. V . D. V . 2 24 8 3 Lời giải Chọn B
7. B A H C AC 1 AB AC BC Ta có 5 1 3 . sin 30 sin 45 sin105 BC 2 sin 12 2 1 Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A . Ta có AH.BC AB.AC.sin105 AH . 2 1 1 3 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V .AH 2.BC . 3 24 Câu 49: [2H2-4.1-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã V cho. Tính 1 . V2 A. 4 . B. 2 . C. 8 . D. 16. Lời giải Chọn C S M I A O B Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1. Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB . Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón. 2 2 3 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là R SI SO . . 3 3 2 3 1 1 3 3 Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là r IO SO . . 3 3 2 6
8. 4 4 3 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là V R3 . 1 3 27 4 3 3 Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là V2 r . 3 54 V1 Vậy 8. V2 Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lản 2 - 2018 - BTN) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gại N là điạm thuạc cạnh AD sao cho AN 2DN . Đưạng thạng qua N vuông góc vại BN cạt BC tại K . Thạ tích khại tròn xoay tạo thành khi quay tạ giác ANKB quanh trạc BK bạng 4 7 6 3 A. V a3 B. V a3 C. V a3 D. V a3 3 6 7 2 Lời giải Chọn B K K D C a I N a I N A A B Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ). 2 Ta có IB AN a . 3 BN BN BN 2 BI 2 IN 2 13a Xét tam giác NKB vuông tại N , BK . cos N· BK BI BI BI 6 BN 3a Do đó KI BK BI . 2 1 1 3 a3 Thể tích khối nón là V NI 2.KI .a2. a . 1 3 3 2 2 2 2 a3 Thể tích khối trụ là V .NI 2.BI .a2. a . 2 3 3 7 a3 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V V . 1 2 6
9. Câu 47: [2H2-4.1-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lản 2 - 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gại N là điạm thuạc cạnh AD sao cho AN 2DN . Đưạng thạng qua N vuông góc vại BN cạt BC tại K . Thạ tích khại tròn xoay tạo thành khi quay tạ giác ANKB quanh trạc BK bạng 4 7 6 3 A. V a3 B. V a3 C. V a3 D. V a3 3 6 7 2 Lời giải Chọn B K K D C a I N a I N A A B Sau khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối trụ có chung đáy (hình vẽ). 2 Ta có IB AN a . 3 BN BN BN 2 BI 2 IN 2 13a Xét tam giác NKB vuông tại N , BK . cos N· BK BI BI BI 6 BN 3a Do đó KI BK BI . 2 1 1 3 a3 Thể tích khối nón là V NI 2.KI .a2. a . 1 3 3 2 2 2 2 a3 Thể tích khối trụ là V .NI 2.BI .a2. a . 2 3 3 7 a3 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V V . 1 2 6 Câu 42: [2H2-4.1-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Ông An đặt hàng cho một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao X để làm loại chai nước có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính R 5cm , bán kính cổ chai r 2cm , AB 3cm , BC 6cm , CD 16cm . Tính thể tích V phần không gian bên trong của chai nước.
10. A. V 490 cm3 B. V 412 cm3 C. V 464 cm3 D. V 494 cm3 Lời giải Chọn A Thể tích khối trụ bán kính đáy là R chiều cao CD là: 2 3 V1 R .CD 400 cm . Thể tích khối nón cụt có chiều cao BC là: 1 1 V BC R2 R2. r 2 r 2 .6 .25 .25. .4 .4 78 cm3 . 2 3 2 Thể tích khối trụ bán kính đáy là r chiều cao AB ( khối cổ chai) là: 2 3 V3 r .AB 12 cm . 3 Thể tích phần không gian bên trong của chai nước là: V V1 V2 V3 490 cm . Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x . B. x . C. x . D. x . 2 3 3 3 Lời giải Chọn B S O' r' O r SO h x r Theo định lí Ta-Let ta có: , 0 x h . SO x h r 2 2 h x r r 2 Thể tích hình trụ là: V r 2 x .x x h x . h2 h2
11. 3 h x h x x 3 2 h x h x 2 2 4h Xét M x x h x 4. . .x 4 . 2 2 3 27 h x h Dấu " " xảy ra khi x x . 2 3 Câu 40: [2H2-4.1-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón N có bán kính đáy r 20(cm) , chiều cao h 60(cm) và một hình trụ T nội tiếp hình nón N (hình trụ T có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T có diện tích xung quanh lớn nhất? 32000 A. V 3000 (cm3 ). B. V (cm3 ). 9 C. V 3600 (cm3 ). D. V 4000 (cm3 ). Lời giải Chọn A S K' H' I' H A K I B Gọi độ dài bán kính hình trụ là x cm 0 x 20 , chiều cao của hình trụ là h'. h SI I K SI II I K h h x 60 h x Ta có: . h SI AI SI AI h r 60 20 60 h 3x h 60 3x . Diện tích xung quanh của hình trụ là: S 2 x.h 2 x 60 3x 2 60x 3x2 2 100 3 x 10 2 200 . Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi x 10 . Khi đó thể tích khối trụ là: V x2.h .102.30 3000 . Câu 48. [2H2-4.1-3] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Có một khối cầu bằng gỗ bán kính 1 R 10cm . Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng R đối xứng nhau qua tâm 2 khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu. Người thợ đã khoan bỏ đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc với trục hình trụ là một hình
12. 1 tròn có bán kính bằng R . Tính thể tích V của phần còn lại của khối cầu (làm tròn đến số thập 2 phân thứ ba). A. V 2828,441cm3 .B. V 2774,570cm3 .C. V 2811,293cm3 .D. V 2720,699cm3 . Lời giải Chọn D 4 Thế tích khối cẩu ban đầu là V R3 . 1 3 R2 3 Ta có MH R2 R , suy ra chiều cao trụ là 2MH R 3 . 4 2 2 R 3 3 Thể tích khối trụ bị khoan đi là V2 . 3R R . 2 4 R Thể tích hai chỏm cầu V 2 R2 x2 dx . 3 3 R 2 3 Khi cho R 10cm ta có V V1 V2 V3 2720,699cm . Câu 10: [2H2-4.1-3] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào trong một thùng hình trụ chiều cao 3cm và bán kính đáy bằng 12 cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy) A. 10 lần. B. 20 lần. C. 24 lần. D. 12 lần. Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích hình trụ là S .R2.h .122.3 432. cm3 . 1 4 2 Thể tích mỗi lần múc là S . . .R3 . .27 18 cm3 . 1 2 3 3 432 Số lần múc để đầy thùng nước là n 24 lần. 18 Câu 15: [2H2-4.1-3] Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: A. 65,09% .B. 47,64% .C. 82,55% .D. 83,3% . Lời giải Chọn B Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d,d,3d . 3 Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là V1 d.d.3d 3d
13. 4 d 3 d 3 Thể tích của ba quả bóng bàn: V 3 r3 4 . 2 3 8 2 Thể tích phần không gian còn trống: V3 V1 V2 d 3 3d 3 3 V3 2 2 Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: 3 ; 47,64% . V1 3d 3 Câu 16: [2H2-4.1-3] Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả 3 bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. 4 Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: A. 9V1 8V2 B. 3V1 2V2 C. 16V1 9V2 .D. 27V1 8V2 Lời giải Chọn A h O r = 1 2 r2 O' Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén. r h Theo giả thiết ta có h 2r r 2h và OO 1 . 1 1 2 4 2 2 2 h h 3 2 Ta có r2 h . 2 4 16 3 4 3 4 h 1 3 Thể tích của quả bóng là V1 r1 h 3 3 2 6 2 3 3 V1 8 và thể tích của chén nước là V2 B.h r2 h h . 16 V2 9 Câu 17: [2H2-4.1-3] Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn CD 3 , cạnh bên AD 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. 4 7 5 A. V 3 . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Lời giải Chọn C Theo hình vẽ: AH HD 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r AH 1, chiều cao CD 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng
14. nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ). 2 1 2 2 7 Vậy V .AH .CD 2. .AH .HD 3 . 3 3 3 Câu 18: [2H2-4.1-3] Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC, P , Q thuộc BC). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là 810 467 3 4 3 3 4 3 3 54 31 3 A. .B. .C. .D. . 24 96 96 12 Lời giải Chọn A Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng AH bằng hiệu thể tích khối nón khi quay tam giác ABC và thể tích khối trụ khi quay hình vuông MNPQ quanh trục là đường thẳng AH . MN AN CN NP Gọi độ dài cạnh hình vuông là x. Khi đó: 1 1 BC AC CA AH x x 1 x 2 3 3 1 3 2 2 2 1 1 3 x 810 467 3 V . . .x . 3 2 2 2 24
15. Câu 19: [2H2-4.1-3] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2cm . Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số). A. 4,81cm .B. 4, 25cm .C. 4, 26cm .D. 3,52cm . Lời giải Chọn C r 3 2 2 Vcoc nuoc r .h .15.3 135 . Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi : 4 290 V .10.32 5. .13 . 1 3 3 290 115 Thể tích của phần còn trống : V V V 135 . 2 1 3 3 Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc . 115 115 32.h h 4,26cm . 1 3 1 27 Câu 20: [2H2-4.1-3] Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ h số . r h h h 4 h 16 A. 3.B. .C. .D. . 2 r r r 3 r 3 Lời giải Chọn: A 4 + Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) V r3 . c 3 1 + Thể tích khối nón (phần ốc quế) V r 2h . N 3 3 1 2 3 4 3 h + Theo đề: VN VC r h r 3 . 4 3 4 3 r Câu 21: [2H2-4.1-3] Cho hình thang ABCD có Aµ Bµ 90 , AB BC a , AD 2a . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi hình thang ABCD quay quanh CD .
16. 7 a3 7 2 a3 7 2 a3 7 a3 A. .B. .C. .D. . 12 6 12 6 Lời giải Chọn B B Khối nón đỉnh D , trục CD có chiều cao CD a 2 , bán kính đáy CA a 2 nên có thể tích 1 2 2 a3 V CD. .CA2 . 1 3 3 a 2 a 2 Khối chóp cụt có trục CH , hai đáy có bán kính CA a 2 và HB nên thể tích 2 2 3 1 2 2 7 2 a khối chóp cụt là V2 CH. . CA HB CA.HB 3 12 1 2 a3 Khối chóp đỉnh C , trục CH có thể tích V CH. .HB2 3 3 12 7 2 a3 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: V V V V . 1 2 3 6 Câu 22: [2H2-4.1-3] Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước 1,5 m 8 m. Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành một hình vuông) và có chiều cao 1,5 m; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao 1,5 m. Gọi V1 , V2 V theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số 1 . V2 V V V V A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 3 V2 4 V2 2 V2 Lời giải Chọn B Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 8 2 3 là 2 m , chiều cao là 1,5 m V1 2 .1,5 6 m . 4 4 Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là 8 m bán kính hình tròn đáy là .
17. 2 4 24 Thể tích khối trụ là V2 . .1,5 . V 6 Vậy 1 . 24 V2 4 Câu 44. [2H2-4.1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn CD 3 , cạnh bên BC AD 2 . Cho hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là: 8 7 A. V 3 . B. V . C. V . D. V 2 . 3 3 Lời giải Chọn C E A B F D C Gọi E , F là hai điểm sao cho CDEF là hình chữ nhật và E , A , B , F thẳng hàng. Ta có EA AB BF 1, AD BC 2 , CD 3 , DE CF 1. Gọi V là thể tích cần tìm, V1 là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật CDEF quay quanh EF , V2 là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác AED quay quanh AE , V3 là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác BFC quay quanh BF . 1 1 1 1 7 V V V V DE 2.CD DE 2.AE CF 2.BF 3 . 1 2 3 3 3 3 3 3 Câu 48: [2H2-4.1-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Bên trong mạt khại trạ có mạt khại cạu nại tiạp khại trạ như hình vạ bên. Gại V1 là thạ tích cạa V1 khại trạ và V2 là thạ tích cạa khại cạu. Tính tạ sạ ? V2 V 3 V 4 V V A. 1 . B. 1 . C. 1 2 . D. 1 3 V2 2 V2 3 V2 V2 Lời giải Chọn A
18. Ta giả sử bán kính của mặt cầu là R 1, khi đó bán kính trụ cũng là R 1 và chiều cao trụ h 2 . 2 4 3 4 V1 3 Ta có: V1 R h 2 ; V2 R . 3 3 V2 2 Câu 36: [2H2-4.1-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình nón có bán kính đáy bằng 6 , chiều cao bằng 8 . Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tính bán kính mặt cầu đó. A. 5 .B. 1,75.C. 4,25 .D. 3 . Lời giải Chọn D. Đường phân giác của góc S· OA cắt SO tại I I là tâm mặt cầu cần tìm, bán kính r IO . Ta có: SO 8 , OA 6 SA 10 . SI SA SO IO SA 8 r 10 r 3 . IO OA IO OA r 6 Câu 37: [2H2-4.1-3] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm . Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu? A B S 64 5 39 32 10 39 A. cm B. cm C. cm D. cm 39 13 39 13 Lời giải Chọn D
19. Gọi P là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó P cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn. Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB . Nửa chu vi tam giác SAB là p 13 . 1 1 Diện tích tam giác SAB là S AB.d S, AB .10. 82 52 5 39 . 2 2 S 5 39 10 39 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : r , do đó đường kinh 2r . p 13 13 Câu 272. [2H2-4.1-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 1, đáy lớn CD 3 , cạnh bên AD 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. 4 7 5 A. V 3 . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Lời giải Chọn C Theo hình vẽ: AH HD 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r AH 1, chiều cao CD 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ). 2 1 2 2 7 Vậy V .AH .CD 2. .AH .HD 3 . 3 3 3 Câu 286. [2H2-4.1-3] Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. R 6 2R 2R 2R A. r B. r C. r D. r 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
20. Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) thay đổi về V r2h đạt giá trị lớn nhất Ta có: AC 2 AB2 BC 2 4R2 4r2 h2 2 1 2 1 3 2 V R h h h R h 0 h 2R 4 4 3 2 2 2R V ' h R h 4 3 4 3 2R Vậy V Vmax R 3 h 9 3 1 4R2 2R2 R 6 Lúc đó r2 R2 . r . 4 3 3 3 Câu 287. [2H2-4.1-3] Cho hình cầu S tâm O , bán kính R . Hình cầu S ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay T có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu S lại nội tiếp trong một nón tròn xoay N có góc ở đỉnh bằng 60 . Tính tỉ số thể tích của hình trụ T và hình nón N . V 2 V 2 V 6 2 A. T B. T C. T D. Đáp án khác. VN 6 VN 3 VN 2 Lời giải Chọn A
21. Bài toán quy về hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác đều SEF mà EF / / AB .Vì OAB là tam giác vuông cân nên AB BC R 2 .Suy ra 2 AB R3 2 VT BC 2 2 Ta thấy, tâm O của hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF . Như vậy, đường cao của tam giác SEF là SH 3OH 3R Trong tam giác EOH (vuông tại H, E¼OH 30). Ta có: EH OH. 3 R 3 1 1 Thể tích của hình nón V EH 2 .SH 3R2 .3R 3 R3 N 3 3 R3 2 V 2 Vậy T 2 . 3 VN 3 R 6 Câu 289. [2H2-4.1-3] Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là R 3 4R 3 2R 3 A. R 3 . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D Giả sử 2 x là chiều cao hình trụ (0 x R) (xem hình vẽ)
22. Bán kính của khối trụ là r R2 x2 . Thể tích khối trụ là: V (R2 x2 )2x . Xét hàm số V (x) (R2 x2 )2x, 0 x R R 3 Ta có : V '(x) 2 (R2 3x2 ) 0 x 3 . Bảng biến thiên: 2R 3 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là ; 3 4 R3 3 V . max 9 Câu 290. [2H2-4.1-3] Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . h h 2h h A. x . B. x . C. x . D. x . 2 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình r h x R nón, B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có: r (h x) . R h h R2 Thể tích khối trụ là: V xR2 x (h x)2 h2 R2 Xét hàm số V (x) x (h x)2 , 0 x h . h2 R2 h Ta có V '(x) (h x)(h 3x) 0 x hay x h. h2 3
23. Bảng biến thiên: h Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là x ; 3 4 R2h V . max 27 Câu 293. [2H2-4.1-3] Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước bằng: 64 R3 32 2 R3 32 R3 64 2 R3 A. B. C. D. 81 81 81 81 Lời giải Chọn C Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y 0 x R, 0 y 2R . Gọi SS ' là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có 2 x y 2R y . Gọi V1 là thể tích khối nón thì 3 3 1 2 1 4R 2y y y 32 R V1 x y y.y 2R y 4R 2y .y.y 3 3 6 6 3 81 32 R3 4R Vậy thể tích V đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi 4R 2y y y , từ đó 1 81 3 2 2 4R 4R 8R 2R 2 x 2R hay x . 3 3 9 3 Câu 294. [2H2-4.1-3] Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: 1 8 2 4 A. r3 B. r3 C. r3 D. r3 6 3 3 3 Lời giải
24. Chọn B Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB h.79b Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y x 0, y 2r thì 1 AH SA r AB.SH 2 r 2 y x x2 y2 r xy x2 y 2r Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là 1 1 y2 V x2 y r 2 : 2 3 3 y 2r y2 y2 4r 2 4r 2 4r 2 Ta có y 2r y 2r y 2r y 2r 4r 2 4r 2 y 2r 4r 2 y 2r . 4r 8r y 2r y 2r 1 4r 2 Từ đó V .8r3 , tức là V đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi y 2r y 4r từ đó 2 3 2 y 2r x r 2 .
25. Câu 5: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3] [2017]Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF 10 a3 10 a3 5 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 9 7 2 3 Lời giải Chọn A a 3 Ta có EF AF.tan  a.tan30 3 Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích 2 3 1 2 1 a 3 a V1 .EF .AF . .a 3 3 3 9 Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích 2 2 3 V2 .DC .BC .a .a a Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là a3 10 V V V a3 a3 1 2 9 9 Câu 7: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN BẮC GIANG] [2017] Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ.Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón 5 1 4 5 A. R3 . B. R3 . C. R3 . D. R3 . 12 3 3 6
26. Lời giải Chọn D R Ta có SI SB2 IB2 17R2 R2 4R SE 2R, EF . 2 1 4 Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) là V R2.4R R3 . 1 3 3 2 1 R 1 Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) là V .2R R3 2 3 2 6 7 Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là V V V V R3 . 3 1 2 2 6 2 3 Thể tích khối trụ là là V4 R .2R 2 R . 5 Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là V V V R3 . 4 3 6 Câu 8: [2H2-4.1-3] [CHUYÊN KHTN L4] [2017] Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay H , một mặt phẳng chứa trục của H cắt H theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của H (đơn vị cm3 ). 41 A. V 23 . B. V 13 . C. V . D. V 17 . H H H 3 H Lời giải Chọn C 1 16 Thể tích khối trụ là V Bh 1.52.4 9 . Thể tích khối nón là V 22.4 . tru non 3 3 1 2 16 2 41 Thể tích phần giao là: V 12.2 . Vậy V 9 . p.giao 3 3 H 3 3 3 Câu 5: [2H2-4.1-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Trong mặt phẳng cho góc xOy . Một mặt phẳng P thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc x· Oy cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B . Trong P lấy điểm M sao cho ·AMB 90 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. Điểm M chạy trên một mặt cầu. B. Điểm M chạy trên một mặt nón. C. Điểm M chạy trên một mặt trụ. D. Điểm M chạy trên một đường tròn. Lời giải Chọn B