Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Tổng hợp - Dạng 1: Bài tập tổng hợp nón, trụ, cầu - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 2 - Chủ đề 4: Tổng hợp - Dạng 1: Bài tập tổng hợp nón, trụ, cầu - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 48: [2H2-4.1-4] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho mặt cầu S có bán kính R không đổi, hình nón H bất kì nội tiếp mặt cầu S . Thể tích khối nón H là V1 ; và thể V1 tích phần còn lại của khối cầu là V2 . Giá trị lớn nhất của bằng: V2 81 76 32 32 A. .B. . C. .D. . 32 32 81 76 Lời giải Chọn D S I B A H Gọi I , S là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón. Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón và AB là một đường kính của đáy. V1 V V1 Ta có 1 . Do đó để đạt GTLN thì V1 đạt GTLN. V2 V V1 V2 TH 1: Xét trường hợp SI R R3 Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi SI R Lúc đó V . 1 3 TH 2: SI R I nằm trong tam giác SAB như hình vẽ. Đặt IH x x 0 . Ta có 3 1 2 1 2 2 4R 32 3 V1 HA .SH R x R x 2R 2x R x R x R . 3 3 6 6 3 81 R Dấu bằng xảy ra khi x . 3
2. 4 R3 V V 8 Khi đó 1 1 3 1 . V V V 4 3 32 3 19 2 1 R R 3 81 Câu 50: [2H2-4.1-4] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình cầu S tâm I , bán kính R không đổi. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. R R 2 A. h R 2 . B. h R . C. h . D. h . 2 2 Lời giải Chọn A O2 R h I r A B O1 h2 h2 Ta có R2 r 2 r R2 . 4 4 h2 Mà diện tích xung quanh hình trụ là S 2 rh 2 h R2 . 4 h 1 Xét hàm số f h 4R2 h2 h2 4R2 h2 R2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 h 2R . HẾT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B C A C B D A C B D D D A C D C D C B C A D B B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B B D D A C B D A B B B A A A A A C C A D D C C A Câu 36: [2H2-4.1-4] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy
3. tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán 4 kính bằng lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước 3 337 trào ra là cm3 . Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể. 3 A. 885,2 cm3 . B. 1209,2 cm3 . C. 1106,2 cm3 . D. 1174,2 cm3 . Lời giải Chọn B Gọi r, Rmc lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối cầu, a,b,c lần lượt là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. AB 3 Dễ dàng thấy a 4r , ABC đều cạnh 2r nên BH r 3 b r 3 2r . 2 3 4 4 4 3 4 4 4 3 1 2 1 3 Rmc r Vkc Rmc r r . Vkn r h r (do h r ) 3 3 3 3 3 3 3 4 1 3 4 3 337 Ta có phương trình 3. r r r 3 Rmc 4 . 3 3 3
4. Từ đó a 12 , b 6 3 3 . Gọi D, E, F lần lượt là 3 đỉnh của hình nón thì DEF đều có cạnh 6 bằng 6 và nội tiếp đường tròn có bán kính HM 2 3 . Từ đó 2sin 60 2 2 2 2 IH IM HM 4 2 3 2, c Rmc IH r 4 2 3 9 . Vậy thể tích nước ban đầu cũng chính là thể tích khối hộp chữ nhật 3 Vkhcn abc 12.9. 6 3 3 1209,2 cm . Câu 46: [2H2-4.1-4](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm . Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng 112 40 38 100 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S C N B M O A Gọi N , r1 tâm và bán kính của đường tròn nhỏ. M , r2 là tâm và bán kính của mặt cầu lớn. Do các mặt cầu tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt nón nên tam giác SCN vuông tại C , tam giác SBM vuông tại B .
5. Hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 nên ·ASO 30. 1 1 SO Ta có r sin 30.SM SM SO r r 3 ; 2 2 2 2 2 3 1 SO 2r r SN sin 30 SO r 2r r 2 1. 1 2 1 2 1 3 4 3 3 112 Thể tích hai khối cầu lớn, nhỏ trong hình nón là V r1 r2 3 3 Câu 18: [2H2-4.1-4] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Một chiếc cốc hình nón có chiều cao h 4 và bán kính đáy R 2 đang chứa một lượng nước có thể tích V . Người ta bỏ vào bên trong cốc một viên bi hình cầu có bán kính r 1 thì lượng nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính thể tích V của lượng nước có trong cốc. 2 5 16 5 5 8 5 5 4 4 5 A. V B. V C. V D. V 3 12 6 3 Lời giải Chọn A Xét mặt cắt bởi thiết diện đi qua trục của hình nón. Tam giác AOB có OA 2OB , 1 1 1 5 OH  AB 1 OA 5 . OH 2 OA2 OB2 OA2 Chiều cao của mực nước sau khi thả them viên bi vào hình nón là: 2 1 5 4 3 h OA r 1 5 V . 1 5 . V r 3 2 3 3 1 5 4 2 5 V V . 12 3 3
6. Câu 1: [2H2-4.1-4] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Thể tích khối chỏm cầu bán kính R , R chiều cao h . bằng 3 8 4 A. h R3 . B. h R3 . 81 3 8 8 C. h R3 . D. h R3 . 9 27 Lời giải Chọn A. 2 2 h R R 8 3 Ta có công thức V h R . R R . 3 3 9 81 Câu 19: [2H2-4.1-4] (THPT CHU VĂN AN) Cho hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. .V R3 B. V . C. V . D. .V 2 12 5 Lời giải Chọn C Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn là C : x2 y2 R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
7. R R 3 3 2 2 2 x 5 R V 2 R x dx 2 R x . R 3 R 12 2 2 Câu 23: [2H2-4.1-4] Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7, 2 cm ; đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm ; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm . Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 293 dm 3 . B. 170 dm3. C. 132 dm3. D. 954 dm3. Lời giải Chọn B Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm +) Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn R1 3,2 cm, bán kính đáy nhỏ r1 0,8 cm và chiều cao h 7, 2 cm. +) Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R 3, 2 cm. 1 2 2 2 3 Suy ra V h R1 R1r1 r1 R . 3 3 1 2 20288 .7,2 3,22 3,2.0,8 0,82 .3,23 170 cm3. 3 3 375 Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là 170.103 cm 3 170 dm 3. Câu 24: [2H2-4.1-4] Cho mặt cầu S có bán kính R a 3. Gọi T là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên S và có thiết diện qua trục của T lớn nhất. Tính diện tích toàn phần Stp của T . 2 2 2 2 A. Stp 9 a . B. Stp 9 a 3. C. Stp 6 a 3. D. Stp 6 a . Lời giải Chọn A Hình vẽ thiết diện qua trục như sau:
8. Ta có: AC 2R 2a 3. Đặt AD x, ta có: CD AC 2 AD2 12a2 x2 Vì thiết diện qua trục là lớn nhất nên AD.CD lớn nhất. Xét hàm số: 2 2 f x x. 12a x , x 0;2a 3 . 2x 12a2 2x2 Ta có: f x 12a2 x2 x. 2 12a2 x2 12a2 x2 12a2 2x2 f x 0 0 x a 6 12a2 x2 2 Ta có: f a 6 a 6. 12a2 a 6 a 6.a 6 6a2 ; f 2a 3 0 ; f 0 0 CD a 6 Vậy hình trụ có: bán kính đáy R ; chiều cao h AD a 6 2 2 a 6 a 6 S 2 r(r h) 2 . . a 6 9 a2 . tp 2 2 Câu 25: [2H2-4.1-4] Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
9. 112 40 25 10 A. cm3 . B. cm3 . C. cm3 . D. cm3 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S J C D H I A B O Gọi R là bán kính của hình nón. r1, r2 lần lượt là bán kính quả cầu lớn và quả cầu nhỏ. Thiết diện qua trục của hình nón như sau: 3 2SO 2.9 SAB là tam giác đều nên SO AB. AB 6 3. 2 3 3 SO 9 Gọi I là tâm tam giác SAB , r 3 1 3 3 SO Tam giác SCD có chiều cao là SH 3 3 SH 3 Gọi J là tâm tam giác SCD , r 1 2 3 3 4 3 4 3 4 3 3 4 112 Tổng thể tích hai quả cầu là: V r1 r2 r1 r2 27 1 . 3 3 3 3 3 Tính chất cần nhớ: Đối với tam giác đều: 2 + Bán kính đường tròn ngoại tiếp là trung tuyến tương ứng. 3 1 + Bán kính đường tròn nội tiếp là trung tuyến tương ứng. 3 Câu 28: [2H2-4.1-4] Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông; hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
10. B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy Lời giải Chọn A 1 Giả sử thiết kế theo hình hộp chữ nhật có chiều cao h và cạnh đáy a. Ta có V a2h 1 h . 1 a2 Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp là 4 2 2 S 4ah 2a2 2a2 2a2 6 . 1 a a a Vậy min S1 6 và dấu bằng xảy ra khi a h 1. Giả sử thiết kế theo hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy R , ta có 1 V R2h 1 h 2 R2 Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là 2 1 1 S 2 Rh 2 R2 2 R2 2 R2 33 2 . 2 R R R 1 1 Vậy min S 33 2 và dấu bằng xảy ra khi R h 3 2 2 2 3 Vì min S1 min S2 6 3 2 0 nên ta chọn thiết kế theo hình trụ để tiết kiệm vật liệu nhất, và 1 hình trụ có R h , hay chiều cao bằng đường kính đáy. 2 Câu 29: [2H2-4.1-4] Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . 125 1 2 125 5 2 2 A. V .B. V . 6 12 125 5 4 2 125 2 2 C. V . D. V . 24 4 Lời giải Chọn C
11. X Y Cách 1 : Khối tròn xoay gồm 3 phần: 2 5 5 125 Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng có thể tích V1 5 . 2 2 4 5 2 Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng có thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 V 2 3 2 2 12 Phần 3: khối nón cụt có thể tích là 2 1 5 2 1 5 2 5 2 5 2 5 125 2 2 1 V3 . 3 2 2 2 2 2 24 Vậy thể tích khối tròn xoay là 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2 V V V V . 1 2 3 4 12 24 24 Cách 2 : Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là
12. 125 V R2h T 4 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là 2 125 2 V R2h 2N 3 6 Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là 1 125 V R2h N 3 24 5 4 2 Thể tích cần tìm V V V V 125 . T 2N N 24 Câu 30: [2H2-4.1-4] Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng AB . Biết AB 12 3 cm , BC 6 cm và BQ 18 cm . Hãy tính thể tích của hộp nữ trang. A. 216 3 3 4 cm3. B. 216 4 3 3 cm3. C. 261 3 3 4 cm3. D. 261 4 3 3 cm3. Lời giải Chọn A Ta có V BQ.SABCDE . Trong đó SABCDE SABCE SCDE SABCE SMCDE S MCE .122.120 1 6.12 3 .6.12 3 12 3 3 4 . 360 2 Thể tích hộp nữ trang là V 18.12 3 3 4 216 3 3 4 cm3 . Câu 31: [2H2-4.1-4] Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là A. 64 .B. 34 .C. 32 .D. 16. Lời giải Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy tâm cầu sẽ có toạ độ là I a;a;a với a 0 và có bán kính R a .
13. Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9, 10, 11 nên nói cách khác điểm A 9;10;13 thuộc mặt cầu. Từ đó ta có phương trình: 9 a 2 10 a 2 13 a 2 a 2 . Giải phương trình ta được nghiệm a 7 hoặc a 25 . Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 2 7 25 64 . Câu 32: [2H2-4.1-4] Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng 0,5 cm , chiều cao bằng 10 cm . Người ta làm các hộp đựng phấn có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước 5 cm 9 cm 10 cm . Khi xếp 500 viên phấn vào 11 hộp ta được kết quả nào trong các khả năng sau: A. Có thể xếp thêm trên 5 viên.B. Có thể xếp thêm 5 viên. C. Thừa 5 viên. D. Vừa đủ. Lời giải Chọn C Đường kính đáy của hình trụ là d 0,5 2 1 cm . Ta thấy hộp đựng phấn có chiều dài đáy, chiều rông đáy và chiều cao lần lượt là 9 cm ,5 cm ,10 cm . Nên mỗi hộp có thể xếp được 5 hàng phấn, mỗi hàng phấn gồm 9 viên (hình vẽ), khi đó số viên phấn ở mỗi hộp là 5 9 45 viên. Vậy 11 hộp phấn có tất cả 45 11 495 viên. Khi xếp 500 viên phấn vào 11 hộp thì sẽ thừa ra 5 CHƯƠNG 3: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Câu 46: [2H2-4.1-4] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm . Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng
14. 112 40 38 100 A. .B. .C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S C N B M O A Gọi N , r1 tâm và bán kính của đường tròn nhỏ. M , r2 là tâm và bán kính của mặt cầu lớn. Do các mặt cầu tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt nón nên tam giác SCN vuông tại C , tam giác SBM vuông tại B . Hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 nên ·ASO 30. 1 1 SO Ta có r sin 30.SM SM SO r r 3 ; 2 2 2 2 2 3 1 SO 2r r SN sin 30 SO r 2r r 2 1. 1 2 1 2 1 3 4 3 3 112 Thể tích hai khối cầu lớn, nhỏ trong hình nón là V r1 r2 3 3 Câu 50: [2H2-4.1-4] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho khối trụ có chiều cao h 16 và hai đáy là hai đường tròn tâm O , O với bán kính R 12. Gọi I là trung điểm của OO và AB là một dây cung của đường tròn O sao cho AB 12 3 . Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng IAB . A. 120 3 80π .B. 48π 24 3 .C. 60 3 40π .D. 120 3 . Lời giải
15. Chọn A. F O' E I D A O x H C B y 2 2 AB Gọi d là khoảng cách từ O đến dây cung AB d R 6. 2 h / 2 8 4 3 Gọi là góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy. Do đó tan cos . d 6 3 5 Đưa hệ trục tọa độ Oxy vào mặt phẳng đáy, gốc trùng với tâm O , trục Ox vuông góc với AB , trục Oy song song với AB . 6 144π Do đó S 2 122 x2 dx 72 3 . ABCD 6 3 SABCD SABCD Áp dụng công thức cos suy ra Sthietdien 120 3 80π . Sthietdien cos HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.C.C 2.A.A 3.C.C 4.B.B 5.B.B 6.C.C 7.B.B 8.D.D 9.C.C 10.B.B 11.D.D 12.B.B 13.A.A 14.B.B 15.B.B 16.D.D 17.C.C 18.D.D 19.C.C 20.B.B 21.D.D 22.A.A 23.D.D 24.D.D 25.A.A 26.C.C 27.A.A 28.A.A 29.B.B 30.D.D 31.D.D 32.A.A 33.C.C 34.B.B 35.A.A 36.D.D 37.B.B 38.D.D 39.A.A 40.C.C 41.C.C 42.D.D 43.D.D 44.D.D 45.C.C 46.B.B 47.C.C 48.A.A 49.A.A 50.A.A Câu 295. [2H2-4.1-4] Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé V nhất của tỉ số 1 V2 1 A. 2 B. 2 2 C. D. 2 3 Lời giải
16. Chọn D Gọi P là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì P cắt hình nón. Theo tam giác cân SAB , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân. Khi đó, bán kính r1 của hình rh cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức r1 r h2 r 2 3 h2 1 1 3 r 2 1 1 x 2 V1 1 1 h 2 , ở đó 2 x 0 V2 4 h 4 x r r 2 3 2 1 1 x 1 x 1 x 2 2 1 x Xét f x , f ' x 4x 4.2x2 x 1 2 1 x 1 Vì 0 nên khi xét dấu của f x , ta chỉ cần xét dấu của g x x 2 2 1 x . 4.2x2 x 1 1 1 Ta có g ' x 1 . Dễ thấy g ' x 0 vì khi x 0 thì 1, đồng thời x 1 x 1 g x 0 x 8 Vậy g x là hàm tăng trên miền x 0 và g 8 0 nên Với 0 x 8 thì g x 0; V V Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 tại x 8 suy ra 1 2 . V2 V2 Câu 48: [2H2-4.1-4] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho mặt cầu S bán kính R . Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu S . Thể tích lớn nhất của khối nón N là: 32 R3 32R3 32 R3 32R3 A. . B. . C. . D. . 81 81 27 27 Lời giải
17. Chọn A Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S . Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI h với h R . Thể tích khối nón được tạo nên bởi N là: 1 1 2 1 2 2 1 3 2 V h.S C h. .r h. . R h R h 2h R . 3 3 3 3 Xét hàm số: f h h3 2h2 R với h R;2R . Ta có f h 3h2 4hR . 4R f h 0 3h2 4hR 0 h 0 (loại) hoặc h . 3 Bảng biến thiên: 32 4R Ta có: max f h R3 tại h . 27 3 1 32 32 Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất là V R3 R3 khi 3 27 81 4R h . 3 1 Chú ý: Sau khi tính được V h3 2h2 R ta có thể làm như sau: 3 3 3 1 3 2 1 2 h h 4R 2h 32 R V h 2h R h 2R h .h.h 4R 2h . 3 3 6 6 3 81 4R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi h = 4R- 2h Û h = . 3
18. Câu 7307: [2H2-4.1-4] [THPT Thuận Thành - 2017] Cho hình nón tròn xoay N có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng P , đường cao SO h. Điểm O thay đổi trên đoạn SO sao cho SO x 0 x h . Hình trụ tròn xoay T có đáy thứ nhất là hình tròn tâm O bán kính r 0 r r nằm trên mặt phẳng P , đáy thứ hai là hình tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng Q , Q vuông góc với SO tại O (đường tròn đáy thứ hai của T là giao tuyến của Q với mặt xung quanh của N . Hãy xác định giá trị của x để thể tích phần không gian nằm phía trong N nhưng phía ngoài của T đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 1 A. x h .B. x h . C. x h . D. x h . 3 2 3 4 Lời giải Chọn C 2 Vlt = (h- x)pr¢ . Áp dụng Talet vào DSOA có O¢B//OA. . O¢B SO¢ r¢ x rx = Û = .Þ r¢= OA SO r h h 2 2 pr Þ Vlt = (h- x)x . . h2 Để thể tích phần trong (N) ngoài (T ) nhỏ nhất. 2 Þ Vlt : lớn nhất Þ (h- x)x lớn nhất. Xét hàm số y = f (x)= (h- x)x2 . y¢= 2xh- 3x2 = x(2h- 3x) éx = 0 ê y¢= 0 Þ ê 2h . . êx = ëê 3 S x B O' h A r' r O . Câu 7319: [2H2-4.1-4] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình - 2017] Trong mặt phẳng P cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 7 và hình tròn C có tâm M , đường kính bằng 14 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng PM .
19. . 343 7 2 343 6 2 A. V . B. V . 6 6 343 4 3 2 343 12 2 C. V .D. V . 6 6 Lời giải Chọn C . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có thể tích khối tròn xoay gồm chỏm cầu sinh bởi cung lớn NQ khi quay quanh Ox và khối nón đỉnh P , đường kính đáy là NQ. Vậy thể tích được tính bằng: 2 7 1 7 2 7 2 343 4 3 2 49 2 . . . V x dx 7 2 3 2 2 6 2 Câu 7324: [2H2-4.1-4] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017] Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1,tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 3 6 6 3 6 3 A. r , h .B. r , h .C. r , h .D. r , h . 3 3 2 2 3 3 2 2 Lời giải Chọn C
20. Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của. O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy. dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h2 r 2 R2 0 h R 1 r 2 1 h2 . 3 Thể tích khối trụ là: V r 2h (1 h2 ) h f (h) f '(h) (1 3h2 ) 0 h . 3 . . 2 3 6 3 Vậy: MaxV (đvtt) khi r và h . 0;1 9 3 3 Câu 7326: [2H2-4.1-4] [THPT Chuyên SPHN - 2017] Cho hình nón có đáy là hình tròn tâm O , bán kính R và có chiều cao h . Hãy tính chiều cao của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón đã cho. h h 3h h A. .B. .C. . D. . 2 3 4 4 Lời giải Chọn B Đặt h , r 0 h h,0 r R lần lượt là chiều cao và bán kính hình trụ. Ta có thể tích khối trụ là V h . r 2 . h R r hr Lại có NPB đồng dạng SOB nên: h h . h R R 3 r r Cosi R r 2 2 2 hr 4 h r r 4 h 2 2 4 hR Ta được V h . r r h . . R r . . R R 2 2 R 3 27 4 hR2 r 2 1 Vậy V đạt được khi R r r R h h . max 27 2 3 3