Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 6: Tổng hợp về phương pháp tọa độ không gian - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Bài 6: Tổng hợp về phương pháp tọa độ không gian - Mức độ 3.2 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 35.[HH12.C3.6.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét đường thẳng đi qua điểm A 0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx . Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B 0;4;0 tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng và trục Ox . 1 65 A. . B. 3 2 . C. 6 . D. . 2 2 Lời giải Chọn A z A 1 I C 1 2 B 4 O y x Vì đường thẳng đi qua điểm A 0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì song song với trục Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz . Dễ thấy OA là đường vuông góc chung của và Ox . 1 Xét mặt phẳng đi qua I 0;0; và là mặt phẳng trung trực của OA . Khi đó // , Ox// 2 và mọi điểm nằm trên có khoảng cách đến và Ox là bằng nhau. Vậy tập hợp điểm C là các điểm cách đều đường thẳng và trục Ox là mặt phẳng . 1 1 Mặt phẳng đi qua I 0;0; có véc tơ pháp tuyến là k 0;0;1 nên có phương trình: z 0 . 2 2 Đoạn BC nhỏ nhất khi C là hình chiếu vuông góc của B lên . Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa 1 điểm B 0;4;0 tới điểm C chính là khoảng cách từ B 0;4;0 đến mặt phẳng : z 0 suy ra 2 1 0 2 1 min BC d B; . 1 2 Câu 14: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y 2z 10 0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 2 y 1 z 3 25 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn C . Gọi V1 là thể tích khối cầu S , V2 là thể tích khối nón N có đỉnh là giao điểm của mặt cầu S với đường thẳng đi qua tâm mặt cầu S và vuông góc với mặt phẳng P , đáy là đường tròn C . V Biết độ dài đường cao khối nón N lớn hơn bán kính của khối cầu S . Tính tỉ số 1 . V2 V 125 V 125 V 125 V 375 A. 1 .B. 1 .C. 1 .D. 1 . V2 32 V2 8 V2 96 V2 32 Lời giải Chọn A 4 500 Mặt cầu S có tâm I 2;1;3 và bán kính R 5 V R3 . 1 3 3
2. Ta có: d d I; P 3 Bán kính của C là r R2 d 2 4 . 1 128 Độ dài đường cao khối nón N là h R d 8. Suy ra: V r 2h . 2 3 3 V 125 Vậy: 1 . V2 32 Câu 11: [HH12.C3.6.BT.c] [B1D1M3] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;2 , B 5;4;4 và mặt phẳng (P) : 2x y z 6 0 . Tọa độ điểm M nằm trên mp(P) sao cho MA 2 MB 2 nhỏ nhất là: A. M 1;1;5 . B. M 0;0;6 . C. M 1;1;9 . D. M 0; 5;1 . Câu 12: [HH12.C3.6.BT.c] [B1D1M3] (THPT TIÊN LÃNG) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 2;1; 1 , C 0;4;6 . Điểm M di chuyển trên trục Ox . Tìm tọa độ M    để P MA MB MC có giá trị nhỏ nhất. A. -2;0;0 . B. 2;0;0 . C. -1;0;0 .D. 1;0;0 . Lời giải Chọn D Gọi M x;0;0 Ox, x ¡ .    Khi đó MA 1 x;1;1 ,MB 2 x;1; 1 ,MC x;4;6 .    MA MB MC 3 3x;6;6 . Với mọi số thực x , ta có    P MA MB MC 3 3x 2 62 62 9x2 18x 81 9 x 1 2 72 72 ; P 72 x 1.    Vậy GTNN của P MA MB MC là 72 , đạt được khi và chỉ khi x 1 . Do đó M 1;0;0 là điểm thoả mãn đề bài. Câu 10: [HH12.C3.6.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Trong không gian cho ba điểm A 1;1;1 , B 1;2;1 , C 3;6; 5 . Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất là A. M 1;2;0 .B. M 0;0; 1 . C. M 1;3; 1 .D. M 1;3;0 . Lời giải Chọn D Lấy G 1;3; 1 là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có:   2   2   2 MA2 MB2 MC 2 MG GA MG GB MG GC 3MG2 GA2 GB2 GC 2 . Do đó MA2 MB2 MC 2 bé nhất khi MG bé nhất. Hay M là hình chiếu của điểm G lên mặt phẳng Oxy . Vậy M 1;3;0 .
3. Câu 39. [HH12.C3.6.BT.c] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 2 , B 3;7; 18 và mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Điểm M a,b,c thuộc P sao cho mặt phẳng ABM vuông góc với P và MA2 MB2 246 . Tính S a b c . A. 0 .B. 1.C. 10. D. 13. Lời giải Chọn D   Gọi M a;b;c P . Ta có AB 2;4; 16 , AM a 1;b 3;c 2 .   AM , AB 2 8b 2c 20; 8a c 6; 2a b 1 là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABM .   Vì mp ABM vuông góc với mp P nên nABM .nP 0 2a 5b c 11 0 . Mặt khác A , B không thuộc P và nằm cùng một phía đối với mp P . Ta có AB 2 69 . Gọi I là trung điểm của AB , ta có I 2;5; 10 . MA2 MB2 AB2 Vì MI là trung tuyến của tam giác AMB MI 2 54. 2 4 2a b c 1 0 a 4 Khi đó ta có hệ phương trình 2a 5b c 11 0 b 2 . 2 2 2 c 7 a 2 b 5 c 10 54 Vậy S a b c 4 2 7 1. Câu 39. [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 ;M 1;1;1 . Mặt phẳng P thay đổi qua AM cắt các tia Oy;Oz lần lượt tại B,C . Khi mặt phẳng P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 5 6 . B. 3 6 .C. 4 6 . D. 2 6 . Lời giải Chọn C Gọi B 0;b;0 ,C 0;0;c , khi đó b,c 0 . x y z Phương trình mặt phẳng P  ABC : 1. 2 b c 1 1 1 1 1 1 Mà M P 1 bc 2 b c . 2 b c b c 2 2 b c 2 Do bc 2 b c b c 8 b c b c 8 (do b,c 0 ). 4     Ta có: AB 2;b;0 , AC 2;0;c AB, AC bc;2c;2b .
4. 1   1 Do đó S AB, AC b2c2 4b2 4c2 ABC 2 2 2 1 2 2 6 b2 c2 b c b c b c b c . 2 2 Vậy S ABC 4 6 . b,c 0 Dấu “=” xảy ra khi b c 8 b c 4 . b c Câu 41. [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 0;0;0 . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt phẳng ABC , BCD , CDA , DAB . A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 8 . Lời giải Chọn D Gọi điểm cần tìm là M x0 ; y0 ; z0 . x y z Phương trình mặt phẳng ABC là: 1 x y z 1 0 . 1 1 1 Phương trình mặt phẳng BCD là: x 0 . Phương trình mặt phẳng CDA là: y 0. Phương trình mặt phẳng DAB là: z 0 . Ta có M cách đều 4 mặt phẳng ABC , BCD , CDA , DAB nên: x0 y0 x0 y0 z0 1 x0 y0 z0 x0 z0 . 3 x0 y0 z0 1 x0 Ta có các trường hợp sau: x0 y0 z0 1 TH1: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 3 3 x0 y0 z0 1 TH2: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 1 3 x0 y0 z0 1 TH3: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 1 3 x0 y0 z0 1 TH4: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 3 3 x0 y0 z0 1 TH5: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 1 3 x0 y0 z0 1 TH6: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 1 3 x0 y0 z0 1 TH7: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 1 3
5. x0 y0 z0 1 TH8: x0 y0 z0 . x0 y0 z0 1 3x0 3 1 Vậy có 8 điểm M thỏa mãn bài toán. Câu 33: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Trong không x 1 y z 2 gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , mặt phẳng 2 1 1 P : x y 2z 5 0 và A 1; 1;2 . Đường thẳng cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ phương của là: A. u 2;3; 2 B. u 1; 1; 2 C. u 3;5;1 D. u 4;5; 13 Lời giải Chọn A Điểm M d M 1 2t;t;2 t , A là trung điểm của MN N 3 2t; 2 t;2 t Điểm N P 3 2t 2 t 2 2 t 5 0 t 2 M 3;2;4 , N 1; 4;0  MN 4; 6; 4 2 2;3;2 . Câu 30: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2;3 , B 1;0; 1 , C 2; 1;2 . Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài 3 30 đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng có tọa độ là 10 A. 0;0;1 B. 0;0;3 C. 0;0;2 D. 0;0;4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng ABC đi qua B 1;0; 1 và có một véctơ pháp tuyến là   n AB, BC 10; 4;2 2 5;2; 1 . Phương trình mặt phẳng ABC : 5x 2y z 6 0 . Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D 0;0;d của tứ diện ABCD bằng d D, ABC . d 6 3 30 d 15 Theo bài ra ta có d 6 9 . 25 4 1 10 d 3 Do D thuộc tia Oz nên D 0;0;3 . Câu 44: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A .ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và CMN . 2 3 2 2 2 4 2 A. B. C. D. 5 4 5 13 Lời giải Chọn C
6. Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O 0;0;0 , 1 1 3 3 a 6 3 6 A ;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;0 , H 0; ;0 , A H A 0; ; 2 2 2 6 3 6 3   3 6  Ta có AB A B B 1; ; . Dễ thấy ABC có vtpt n 0;0;1 . 1 6 3 1 3 6 3 3 6 M là trung điểm AA M ; ; , N là trung điểm BB N ; ; 4 12 6 4 12 6   1 5 3 6 MN 1;0;0 , CM ; ; 4 12 6  6 5 3 3 CMN có vtpt n 0; ; 0;2 2;5 2 6 12 12 5 1 2 2 cos tan 1 33 cos2 5 Câu 37: [HH12.C3.6.BT.c] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Trong không gian với hệ tọa x 3 y 3 z độ Oxyz , cho đường thẳng d : , mặt phẳng P : x y z 3 0 và điểm 1 3 2 A 1;2; 1 . Cho đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng P . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến . 2 3 4 3 16 A. .B. .C. 3 .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng P có một véctơ pháp tuyến là n 1;1; 1 .  Gọi M  d M 3 t;3 3t;2t AM 2 t;1 3t;2t 1 .   Đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng P nên AM  n AM.n 0 2 t 1 3t 1 2t 1 0 t 1.  Khi đó, đường thẳng đi qua A và nhận AM 1; 2; 1 làm véctơ chỉ phương.
7.   2 2 AM ,OA 4 4 4 3 Suy ra d O,  . AM 6 3 Câu 23: [HH12.C3.6.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;5; 3 , B 2;1;1 , C 2;0;1 và mặt phẳng :3x 4y 5z 1 0 . Gọi D a;b;c (với c 0 ) thuộc sao cho có vô số mặt phẳng P chứa C , D và khoảng cách từ A đến P gấp 3 lần khoảng cách từ B đến P . Tính giá trị biểu thức S a2 b2 c2 . A. S 18 B. S 32 C. S 20 D. S 26 Lời giải Chọn D. Ta có: AI d A, P d A, P 3d B, P đường thẳng AB cắt P tại I sao cho 3 . BI d B, P   Từ đó AI 3BI . Lại có A 2;5; 3 , B 2;1;1 I 1;2;0 hoặc I 4; 1;3 . Có vô số mặt phẳng P chứa C , D nên C , I , D thẳng hàng, hay D CI . Mà D D CI  . . Trường hợp I 1;2;0 :  x 1 y 2 z Ta có IC 3; 2;1 IC : . 3 2 1 x 1 y 2 z Toạ độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 3 2 1 . 3x 4y 5z 1 0 D 4;4; 1 (không thoả mãn điều kiện c 0 ). . Trường hợp I 4; 1;3 :  x 4 y 1 z 3 Ta có IC 6;1; 2 IC : . 6 1 2 x 4 y 1 z 3 Toạ độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình 6 1 2 . 3x 4y 5z 1 0 D 4; 1;3 (thoả mãn điều kiện c 0 ). S a2 b2 c2 4 2 1 2 32 26 . Câu 33: [HH12.C3.6.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;1 , đường thẳng x 1 y z 1 : và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Gọi Q là mặt phẳng chứa và 2 1 1 khoảng cách từ A đến Q lớn nhất. Tính thể tích khối tứ diện tạo bởi Q và các trục tọa độ Ox,Oy,Oz
8. 1 1 1 1 A. B. C. D. 36 6 18 2 Lời giải Chọn A Mặt phẳng Q chứa và khoảng cách từ A đến Q lớn nhất khi mặt phẳng x 1 y z 1 Q đi qua hình chiếu H của A 1; 1;1 lên : và vuông góc với AH . 2 1 1 x 1 y z 1 Ta gọi hình chiếu của A 1; 1;1 lên : là H 1 2t;t; 1 t . 2 1 1   1 Vì AH 2t;t 1; 2 t vuông góc u 2;1; 1 nên 4t t 1 2 t 0 t . 2 1 1  1 3 Do đó mặt phẳng Q qua H 0; ; và nhận AH 1; ; làm vecto pháp 2 2 2 2 tuyến. x y z Vậy Q : 2x y 3z 1 0 Q : 1. 1 1 1 2 3 1 Mặt phẳng Q các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại các điểm K ;0;0 , B 0;1;0 , 2 1 C 0;0; nên thể tích khối tứ diện tạo bởi Q và các trục tọa độ Ox,Oy,Oz là: 3 1 1 1 1 V . .1. . OKBC 6 2 3 36 Câu 38: [HH12.C3.6.BT.c] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG- LẦN 2-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : m2 1 x 2m2 2m 1 y 4m 2 z m2 2m 0 luôn chứa một đường thẳng cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua M 1; 1;1 vuông góc với và cách O một khoảng lớn nhất có véc tơ chỉ phương u 1;b;c . Tính b2 c . A. 2 B. 23 C. 19 D. 1 Lời giải Chọn C Ta có m2 1 x 2m2 2m 1 y 4m 2 z m2 2m 0 m2 x 2y 1 m 2y 4z 2 x y 2z 0.  Cho m 0 ta có mặt phẳng P0 : x y 2z 0 có một véc tơ pháp tuyến là n0 1; 1;2 .  Cho m 1 ta có mặt phẳng P1 : 2x y 6z 1 0 có một véc tơ pháp tuyến là n1 2; 1;6 .    Suy ra đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là u n ,n 4; 2;1 . 0 1 Gọi H là hình chiếu của O trên d . Ta có OH OM . d cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi d  OM , khi đó d có một véc tơ chỉ phương là    u u ,OM 1;5;6 . d
9. Vậy b 5 , c 6 suy ra b2 c 19 . Câu 41: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Trong không gian với hệ x 1 t x 4 3t tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 2 2t và d2 : y 3 2t . Trên đường thẳng d1 lấy z 3 t z 1 t hai điểm A, B thỏa mã AB 3 . Trên đường thẳng d2 lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD 4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD . 4 21 5 21 A. V 7 B. V 2 21 C. V D. V 3 6 Lời giải Chọn B  Ta có d1 đi qua điểm M 1;2; 3 và có vtcp u1 1; 2; 1 . Đường thẳng d2 đi qua điểm  N 4;3;1 và có vtcp u2 3;2; 1 .    Khi đó u ,u 4; 2;8 và MN 3;1;4 . 1 2    Do đó u ,u .MN 12 2 32 42 nên hai đường thẳng đã cho luôn chéo nhau 1 2 42 Và d d ;d 21 . 1 2 16 4 64   Mà u1.u2 0 nên d1  d2 . 1 Ta có V .AB.CD.d AB;CD .sin AB,CD 2 21. ABCD 6 Câu 25: [HH12.C3.6.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2;1;0 , B 0;4;0 ,C 0;2; 1 . Biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC và cắt x 1 y 1 z 2 đường thẳng d : tại điểm D a;b;c thỏa mãn a 0 và tứ diện ABCD có 2 1 3 17 thể tích bằng . Tổng a b c bằng 6 A. 5 . B. 4 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn A  Do D d nên D 2t 1;t 1;3t 2 suy ra AD 2t 1;t 2;3t 2   Ta có: AB; AC 3; 2;4 1 17 1    17 t Ta có V AB, AC .AD 4t 15 17 2 ABCD 6 6 6 t 8 1 7 Loại t 8 vì không thỏa a 0 . Do đó D 2; ; vậy a b c 5. 2 2 Câu 46: [HH12.C3.6.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y + z + 1= 0 và (Q) : 2x y 2z 4 0 . Gọi M là điểm thuộc mặt
10. phẳng (P) sao cho điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Q) nằm trên trục hoành. Tung độ của điểm M bằng: A. 4 B. 2 C. - 5 D. 3 Lời giải Chọn A Gọi A là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Q) vì A Î Ox nên ta có A(a;0;0) . ïì x = a + 2t ï Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) có dạng d :íï y = - t (t Î ¡ ). ï îï z = 2t Ta có (Q) Çd = I , I Î d nên I(a + 2t;- t;2t) . Mặt khác I Î (Q) nên 2(a 2t) t 4t 4 0 4 2a æ - 4- 2a 4+ 2a - 8- 4aö t . Nên I ça + 2. ; ; ÷ 9 èç 9 9 9 ø÷ æ - 4- 2a 8+ 4a - 16- 8aö Þ M ç2a + 4. - a; ; ÷. èç 9 9 9 ø÷ - 4- 2a 8+ 4a - 16- 8a M Î (P) Þ 2a + 4. - a + 2. + + 1= 0 9 9 9 Û 9a- 16- 8a + 16+ 8a- 16- 8a + 9 = 0 Û a = 7 . Vậy M (- 1;4;- 8). Câu 39: [HH12.C3.6.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 10y 2z 6 0 . Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng y m và x z 3 0 tiếp xúc với mặt cầu S . Tích tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng A. 11.B. 10 .C. 5 .D. 8 . Lời giải Chọn A Mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 10y 2z 6 0 có tâm I 2; 5;1 và bán kính R 6 . x t Giao tuyến của hai mặt phẳng y m và x z 3 0 là đường thẳng : y m , t ¡ . z 3 t  đi qua A 0;m;3 và có một véc tơ chỉ phương u 1;0; 1 , IA 2;m 5;2 ,  IA,u m 5;0; m 5 . tiếp xúc với mặt cầu S khi và chỉ khi  IA,u 2 2 m 5 2 d I, R 6 6 m 10m 11 0 . u 2 Vậy tích m1.m2 11. Câu 18: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0;0 , B 0; 1;0 , C 0;0; 2 . M là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng ABC có độ dài OM nhỏ nhất bẳng
11. 3 2 A. .B. .C. 6 .D. 20 . 4 3 Lời giải Chọn B x y z Phương trình mặt phẳng ABC : 1 2x 2y z 2 0 . 1 1 2 M là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng ABC có độ dài OM nhỏ nhất khi và chỉ khi OM  ABC . 2 Độ dài OM nhỏ nhất bẳng d O, ABC . 3 Câu 23: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z m 0 ( m là tham số ) và mặt cầu S có phương 2 2 trình x 2 y 1 z2 16 . Tìm các giá trị của m để P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất. A. m 1.B. m 0 . C. m 1. D. 1 4 3 m 1 4 3 . Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 2; 1;0 Để P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất thì I P Suy ra: 2 1 m 0 m 1 Câu 37: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình x y z 3 0 và hai điểm A 1; 3; 4 , B 1;2;1 . M là điểm di động trên P , giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 4MB2 là 8 3 A. 20 3 .B. 48 .C. .D. 55 . 3 Lời giải Chọn D x 4x x A B 1 I 5   yA 4yB Gọi I là điểm sao cho IA 4IB 0 ta có yI 1 I 1;1;0 . 5 zA 4zB zI 0 5 * Ta có:  2  2   2   2    MA2 4MB2 MA 4MB IA IM 4 IB IM 5IM 2 2IM IA 4IB MA2 4MB2
12. MA2 4MB2 5IM 2 IA2 4IB2 MA2 4MB2 nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) . IM d I; P 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 4MB2 là: MA2 4MB2 5IM 2 IA2 4IB2 15 32 8 55 . Câu 38: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 1;2; 1 , C 1;0;1 . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn tứ diện ABCD là tứ diện vuông tại D (tức là DA, DB, DC đôi một vuông góc)? A. 12 .B. Vô số.C. 2 .D. 6 . Lời giải Chọn C   Gọi D x; y; z là điểm cần tìm, ta có: AD x 1; y 1; z 1 , BD x 1; y 2; z 1 ,  CD x 1; y; z 1 . * Tứ diện ABCD là tứ diện vuông tại D (tức là DA, DB, DC đôi một vuông góc) nên ta có:   AD.BD 0 x2 y2 z2 3y 0 x2 y2 z2 3y 0 1   2 2 2 AD.CD 0 x y z y 2z 0 z y 2   2 2 2 CD.BD 0 x y z 2x 2y 0 y x 3 2 y 0 D 0;0;0 2 Thế 2 , 3 vào 1 ta được: 9y 12y 0 4 2 4 4 . y D ; ; 3 3 3 3 Vậy có hai điểm D thỏa mãn. Câu 48: [HH12.C3.6.BT.c](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Trong không gian Oxyz cho x 1 y z 2 điểm A 2;5;3 và đường thẳng d : . Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng 2 1 2 d sao cho khoảng cách từ A đến P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M 1;2; 1 đến mặt phẳng P bằng 11 2 11 7 2 A. .B. 3 2 .C. .D. . 6 18 6 Lời giải Chọn A
13. A H d I (P) Gọi I 1 2t;t;2 2t là hình chiếu vuông góc của A trên d .  d có véctơ chỉ phương là ud 2;1;2   Ta có AI.ud 0 2t 1 2 t 5 2t 1 2 0 t 1 suy ra I 3;1;4 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là AH d A, P AI suy ra khoảng cách từ A đến  P lớn nhất bằng AI . Khi đó mặt phẳng P qua I và nhận AI 1; 4;1 làm véctơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng P : x 4y z 3 0 1 8 1 3 11 2 Khoảng cách từ M 1;2; 1 đến mặt phẳng P là d M , P . 1 16 1 6 Câu 41. [HH12.C3.6.BT.c] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 6;3;2 , B 2; 1;6 . Trên mặt phẳng Oxy , lấy điểm M a;b;c sao cho MA MB bé nhất. Tính P a2 b3 c4 . A. P 129.B. P 48 .C. P 33.D. P 48 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng Oxy có phương trình z 0 , và A , B nằm cùng phía với Oxy . Gọi A là điểm đối xứng với A qua Oxy A 6;3; 2 . Ta có MA MB MA MB bé nhất khi M , A , B thẳng hàng, khi đó M A B  Oxy .  Ta có A B 4; 4;8 4 1;1 2 suy ra A B có một vectơ chỉ phương u 1;1 2 x 2 t A B : y 1 t t ¡ . M A B M 2 t; 1 t;6 2t . z 6 2t Do M Oxy 6 2t 0 t 3 M 5;2;0 . Vậy P a2 b3 c4 33 . Câu 46. [HH12.C3.6.BT.c] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , AD 2a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a 3 . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và SCD bằng 10 10 10 10 A. .B. . C. . D. . 5 10 6 4 Lời giải
14. Chọn D Cho a 1. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Ta có: A  O 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;1;0 , D 0;2;0 , S 0;0; 3 .    VTPT của mặt phẳng SBC là: n SB, BC 3;0;1 1    VTPT của mặt phẳng SCD là n SD,CD 3; 3;2 2   n1.n2 5 10 Ta có: cos SBC ; SCD   . 4 n1 . n2 2 10 Câu 36: [HH12.C3.6.BT.c] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Trong không gian x 4 4t x 8 y 2 z 3 Oxyz , cho đường thẳng 1 : và 2 : y 3 t . Giá trị của m để 1 và 2 2 4 m 1 z 2 2t cắt nhau là 25 25 A. m .B. m .C. m 3 .D. m 3 . 8 8 Lời giải Chọn B  qua M 8; 2;3 và có véctơ chỉ phương u 2;4;m 1 . 1 1  1 2 qua M 2 4;3;2 và có véctơ chỉ phương u1 4; 1;2 . Ta có:    . u ,u m 7;4m 8; 18 ; M M 4;5; 1 . 1 1 1 2    . u ,u .M M 16m 50 . 1 1 1 2    25 . và cắt nhau khi u ,u .M M 0 16m 50 0 m . 1 2 1 1 1 2 8 Câu 45: [HH12.C3.6.BT.c](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018- BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z 6 0 và mặt phẳng P : x y 2z 2 0 . Xác định tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với P và tiếp xúc với P . A. Tập hợp là hai mặt phẳng có phương trình x y 2z 8 0 .
15. B. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình P : x y 2z 8 0 . C. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình x y 2z 8 0 . D. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình x y 2z 4 0 . Lời giải Chọn D Ta thấy P P P . Chọn M 0;0; 3 P , N 0;0; 1 P . Tâm mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên nằm trên mặt phẳng Q song song và cách đều P và P . Phương trình mặt phẳng Q có dạng x y 2z+d 0 . d M ; Q d N, Q 6 d 2 d d 4 . Vậy Phương trình mặt phẳng Q là x y 2z 4 0 . 6 6 CÁCH 2: Gọi I x, y, z là tâm mặt cầu. Để ý P P P nên I thuộc phần không gian giới hạn bởi 2 mp P và P ' , đồng thời cách đều P và P ' . Khi đó ta có: x y 2z 6 x y 2z 2 d I, P d I, P ' x y 2z 6 x y 2z 2 x y 2z 6 x y 2z 2 2x 2y 4z 8 0 x y 2z 4 0 . 6 2(vo ly) Câu 28: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 16 0 và mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là: A. r 6 . B. r 2 2 . C. r 4 . D. r 2 3 . Lời giải Chọn C Mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 16 0 có tâm I 1; 2;2 bán kính R 5. 1 4 4 2 Khoảng cách từ I 1; 2;2 đến mặt phẳng P : x 2 y 2z 2 0 là d 3 . 1 4 4 Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là: r R2 d 2 4 . Câu 32: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 6y m 0 và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng : x 2y 2z 4 0 và  : 2x 2y z 1 0 . Đường thẳng cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 8 khi: A. m 12 . B. m 12 . C. m 10 . D. m 5 . Lời giải Chọn B Phương trình S : x2 y2 z2 4x 6y m 0 là phương trình mặt cầu m 13. Khi đó S có tọa độ tâm I 2;3;0 bán kính R 13 m .
16. Gọi M x; y; z là điểm bất kỳ thuộc . x 2y 2z 4 0 Tọa độ M thỏa mãn hệ: . 2x 2y z 1 0 x 2 2t x 2z 4 2t x 2 3t Đặt y t ta có: có phương trình tham số: y t . 2x z 1 2t z 3 2t z 3 2t đi qua điểm N 2;0; 3 và có vectơ chỉ phương u 2;1;2 . B C A I Giả sử mặt cầu S cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 8 .Gọi C là đường tròn lớn chứa đường thẳng . Khi đó IC 2 R2 AC 2 13 m 42 m 3.  IN 0; 3; 3 , IN,u 3; 6;6 IN,u 9 , u 3 .  IN,u d I, 3. u Vậy mặt cầu S cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 8 . m 3 9 m 12 . Câu 47: [HH12.C3.6.BT.c] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz , cho x y 2 z mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và đường thẳng d : . Hai mặt phẳng 1 1 1 P , P chứa d và tiếp xúc với S tại T và T . Tìm tọa độ trung điểm H của TT . 5 1 5 5 2 7 5 1 5 7 1 7 A. H ; ; . B. H ; ; . C. H ; ; . D. H ; ; . 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Lời giải Chọn A P T H O K T P d S có tâm mặt cầu I 1; 0; 1 , bán kính R 1.
17. d  IT Gọi K d  ITT . Ta có d  ITT nên K là hình chiếu vuông góc của I trên d  IT d . Ta có K 0; 2; 0 2 IH IH.IK R2 1 1 Ta có 2 2 . IK IK IK 6 6 5x x 5 x O K H 5 1 6     1 5yO yK 2 5 1 5 OH OK 5HO HK 0 yH H ; ; . 6 5 1 6 6 3 6 5zO zK 5 zH 5 1 6 Câu 32: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1; 2; 1) , B( 2; 1; 3) ,C( 3; 5; 1) . Điểm M ( a; b; c)    trên mặt phẳng Oyz sao cho MA 2MB CM đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có 2b c bằng A. 1.B. 4 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .          MA 2MB CM MA MB MC MB 3MG MB          Nên MA 2MB CM 3MG MB 3MN MN 3NG NB      Gọi N là điểm thỏa 3NG NB 0 nên 3MG MB 4MN .     Để MA 2MB CM đạt giá trị nhỏ nhất thì 4MN đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu của N lên mặt phẳng Oyz . 4 Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G ; 2; 1 . 3 1 1 4 x 3x x xN 3. 2 N 4 G B 4 3 3 xG xN xB xN 0   1 1 3NG NB 0 3 yG yN yB yN 0 yN 3yG yB yN 3.2 1 4 4 3 zG zN zB zN 0 1 1 zN 3zG zB zN 3.1 3 4 4 3 x N 2 5 3 5 3 5 3 yN nên N ; ; . Vậy tọa độ điểm M 0; ; hay 2b c 4 . 4 2 4 2 4 2 3 zN 2 Câu 39: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 8 và điểm M 1; 1; 2 . Hai đường
18. thẳng d1 , d2 đi qua M và tiếp xúc mặt cầu S lần lượt tại A , B . Biết góc giữa d1 và 3 d bằng với cos . Tính độ dài AB . 2 4 A. 7 . B. 11 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn A B I M A Mặt câu S có tâm I 1; 2; 1 và bán kính R 2 2 ; IM 22 ; Trong tam giác IMA ta có: MA MB IM 2 R2 22 8 14 . MB 14 2 Do cosI·MB I·MB 45 ·AMB 90 B· MA IM 22 2 Trong tam giác MAB ta có: AB2 MA2 MB2 2MA.MB.cos 7 AB 7 . Câu 41: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x 2y 2z 6 0 . Trong P lấy điểm M và   xác định điểm N thuộc đường thẳng OM sao cho ON.OM 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 1 1 1 1 A. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình x y z 6 3 3 4 2 2 2 1 1 1 1 B. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình x y z 12 6 6 16 C. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0 D. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0 Lời giải Chọn B    1  Vì O , M , N thẳng hàng và OM.ON 1 nên OM.ON 1, do đó OM .ON . ON 2 a b c Gọi N a;b;c , khi đó M 2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 . a b c a b c a b c a 2b 2c Vì M P nên 6 0 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 a b c 0 a b c . 6 3 3 12 6 6 16 Câu 42: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A 1;1;1 , B 0;1;2 , C 2;1;4 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Tìm điểm N P sao cho S 2NA2 NB2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4 4 1 5 3 A. N ;2; .B. N 2;0;1 .C. N ; ; .D. N 1;2;1 . 3 3 2 4 4
19. Lời giải Chọn D Với mọi điểm I ta có   2   2   2 S 2NA2 NB2 NC 2 2 NI IA NI IB NI IC     4NI 2 2NI 2IA IB IC 2IA2 IB2 IC 2    Chọn điểm I sao cho 2IA IB IC 0       2IA IB IC 0 4IA AB AC 0 Suy ra tọa độ điểm I là: I 0;1;2 . Khi đó S 4NI 2 2IA2 IB2 IC 2 , do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . x 0 t Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng P là: y 1 t z 2 t Tọa độ điểm N t;1 t;2 t P t 1 t 2 t 2 0 t 1 N 1;2;1 . Câu 48: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong x 1 y 2 z 3 không gian Oxyz , cho 2 điểm A 3; 2;3 , B 1;0;5 và đường thẳng d : . 1 2 2 Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d để MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M 1;2;3 .B. M 2;0;5 . C. M 3; 2;7 .D. M 3;0;4 . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm của AB , ta có I 2; 1;4 .  2  2   2   2 Khi đó: MA2 MB2 MA MB MI IA MI IB  2  2  2    2MI IA IB 2MI. IA IB 2MI 2 IA2 IB2 MI 2 6 . Do đó MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d . Phương trình mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là 1. x 2 2. y 1 2. y 4 0 hay P : x 2y 2z 12 0. x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng d là: y 2 2t . z 3 2t Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm x; y; z của hệ phương trình: x 1 t x 2 y 2 2t y 0 . Vậy M 2;0;5 . z 3 2t z 5 x 2y 2z 12 0 t 1 Câu 40: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;4 và B 0;1;5 . Gọi P là mặt phẳng đi qua