Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu - Câu hỏi chưa phân dạng - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu - Câu hỏi chưa phân dạng - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 49: [2H3-2.0-4] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;2;2 , B 2; 2;0 . Gọi I1 1;1; 1 và I2 3;1;1 là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB . Biết rằng luôn có một mặt cầu S đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của S . 219 129 A. R B. R 2 2 C. R D. R 2 6 3 3 Lời giải Chọn C Gọi d1 là đường thẳng đi qua I1 và vuông góc với mặt phẳng I1 AB , khi đó d1 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I1 ; d2 là đường thẳng đi qua I2 và vuông góc với mặt phẳng I2 AB , khi đó d2 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I2 . Do đó, mặt cầu S đi qua cả hai đường tròn tâm I1 và I2 có tâm I là giao điểm của d1 và d2 và bán kính R IA   Ta có I1 A 1;1;3 , I1B 1; 3;1 . Đường thẳng d1 có véc-tơ pháp tuyến là   I A; I B 10;4;2 2 5;2;1 . 1 1 x 1 5t Phương trình đường thẳng d1 là: d1 : y 1 2t . z 1 t   Ta có I2 A 3;1;1 , I2 B 1; 3; 1 . Đường thẳng d2 có véc-tơ pháp tuyến là   I A; I B 2; 4;10 2 1; 2;5 . 2 2 x 3 s Phương trình đường thẳng d2 là: d2 : y 1 2s . z 1 5s 1 1 5t 3 s t 3 8 5 2 Xét hệ phương trình: 1 2t 1 2s . Suy ra I ; ; . 1 3 3 3 1 t 1 5s s 3
2. 2 2 2 8 5 2 129 Bán kính mặt cầu S là R IA 2 2 . 3 3 3 3 Câu 47: [2H3-2.0-4] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Trong không gian với hệ tọa độ x 1 y 1 z 1 x 3 y 1 z 2 Oxyz , cho 3 đường thẳng d : , d : , 1 2 1 2 2 1 2 2 x 4 y 4 z 1 d : . Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm I a;b;c , tiếp xúc với 3 đường 3 2 2 1 thẳng d1 , d2 , d3 . Tính S a 2b 3c . A. S 10 .B. S 11.C. S 12 .D. S 13. Lời giải Chọn B  B d1 đi qua điểm A 1;1;1 có VTCP u1 2;1; 2 .  d2 d2 đi qua điểm B 3; 1;2 có VTCP u2 1;2;2 .  d3 đi qua điểm C 4;4;1 có VTCP u3 2; 2;1 .       I Ta có u1.u2 0 , u2.u3 0 , u3.u1 0 A d1 , d2 , d3 đôi một vuông góc với nhau.          u ,u .AB 0 , u ,u .BC 0, u ,u .CA 0 1 2 2 3 3 1 C d 1 d3 d1 , d2 , d3 đôi một chéo nhau.      Lại có: AB 2; 2;1 ; AB.u1 0 và AB.u2 0 nên d1 , d2 , d3 chứa 3 cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ. Vì mặt cầu tâm I a;b;c tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d2 , d3 nên bán kính 2 2 2 2 R d I,d1 d I,d2 d I,d3 R d I,d1 d I,d2 d I,d3   2   2   2 AI,u1 BI,u2 CI,u3  2  2  2 2 R    , với u1 u2 u3 9 , u u u 1 2 3    AI a 1;b 1;c 1 , AI,u 2b c 1;2a 2c 4;a 2b 1 . 1    BI a 3;b 1;c 2 , BI,u 2b 2c 6; 2a c 4;2a b 7 . 2    CI a 4;b 4;c 1 , CI,u b 2c 6; a 2c 2; 2a 2b 16 . 3   2 9R2 AI,u 1   2   2   2   2 9R2 BI,u 27R2 AI,u BI,u CI,u 2 1 2 3   2 9R2 CI,u 3 27R2 18 a2 b2 c2 126a 54b 54c 423 2 2 2 2 7 3 3 243 243 27R 18 a 18 b 18 c 2 2 2 2 2
3. 3 7 3 7 3 3 Rmin khi a , b c I ; ; . 2 2 2 2 2 2 Khi đó S a 2b 3c 11. Câu 42: [2H3-2.0-4](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 . Điểm M thay đổi trên mặt phẳng ABC và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON 12 . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó. 7 5 A. .B. 3 2 .C. 2 3 .D. . 2 2 Lời giải Chọn A x y z Phương trình mặt phẳng ABC : 1 6x 3y 2z 12 0 2 4 6 Gọi N x; y; z  12  Theo giả thiết ta có N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON 12 suy ra OM .ON ON 2 12x 12y 12z Do đó M 2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 . x y z x y z x y z 12x 12y 12z Mặt khác M ABC nên 6 3 2 12 0 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 6x 3y 2z x2 y2 z2 0 x2 y2 z2 6x 3y 2z 0 . Do đó điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định S : x2 y2 z2 6x 3y 2z 0 có tâm 2 3 2 3 2 7 I 3; ;1 và bán kính R 3 1 . 2 2 2 Câu 50: [2H3-2.0-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn MA2 MB2 2MC 2 12 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R 7 2 7 B. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R 3 7 C. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R 2 2 7 D. Tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R 9 Lời giải Chọn C
4. C I A D B    Trước hết, ta xác định điểm I thỏa mãn IA IB 2IC 0 . Gọi D là trung điểm AB , ta có:        IA IB 2IC 0 2ID 2IC 0 ID IC 0 Suy ra I là trung điểm CD . Từ đó, ta có:  2  2  2 MA2 MB2 2MC 2 12 MA MB 2MC 12   2   2   2 MI IA MI IB 2 MI IC 12  2      2  2  2 4MI MI IA IB 2IC IA IB 2IC 12 4MI 2 IA2 IB2 2IC 2 12 12 IA2 IB2 2IC 2 MI 2 . 4 Mặt khác: IA2 IB2 2IC 2 2IA2 2IC 2 2 ID2 AD2 2IC 2 2 2 2 2 2 2 2 AB 2 AB 2 3 2 4IC 2AD CD CD 5. 2 2 2 2 2 2 2 12 IA IB 2IC 12 5 7 7 7 Nên: MI 2 . Suy ra IM . 4 4 4 4 2 7 Vậy, tập hợp các điểm M là mặt cầu có bán kính R . 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A A C B D A C B C A D A A B C C C D D B D C A D A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C B B B C A D A B B D D B C A B D B D D A A B B C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 36: [2H3-2.0-4] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm M 1;m;0 , N 1;0;n với m,n là các số thực dương thỏa mãn mn 2 . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Xác định bán kính của mặt cầu đó?
5. 1 6 2 A. R . B. R . C. R . D. R 1 2 3 2 Lời giải Chọn D 2 Cách 1: Giả sử tâm mặt cầu cần tìm là I a;b;c . Xét M 1;m;0 , N 1;0; ta có: m   2 2 2 2 2 2 IM , MN m c 2m 2b 2mc 2a 2 m a 2mb m d I;MN MN m4 4m2 4 Ta thấy rằng nếu a b c 0 thì d I;MN 1 là giá trị không đổi. Cách 2: Xét hệ trục tọa độ Oxyz với các điểm M, N trong hệ tọa độ đó như hình vẽ bên. Ta lần lượt gọi các điểm A 1;0;0 , B 1;0;0 . Từ hệ tọa độ, ta thấy rằng AM và BN là các đường thẳng chéo nhau có đoạn vuông góc chung là AB. Vấn đề mấu chốt là khai thác dữ kiện mn 2 . Ta có: AM m, BN n . Đồng thời: MN 4 m2 n2 4 m n 2 2mn m n . Vậy MN AM BN . Gọi O là trung điểm của AB, hạ OH  MN . Theo định lý Pythagoras: OM 2 OA2 AM 2 OH 2 MH 2 2 2 2 2 2 ON OB BN OH NH Do vậy: AM 2 BN 2 MH 2 NH 2 hay: AM BN AM BN MH NH MH NH AM BN MH NH AM MH AM BN MH NH BN NH OH 2 OM 2 MH 2 OM 2 MA2 OA2 1. Vậy tâm O có khoảng cách tới MN bằng 1. (Bài toán của tác giả Đoàn Trí Dũng) M H B N A O .