Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu - Dạng 13: Toán max, min liên quan đến mặt cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu - Dạng 13: Toán max, min liên quan đến mặt cầu - Mức độ 3 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 45: [2H3-2.13-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ MA 2 Oxyz , cho hai điểm A 2;2; 2 ; B 3; 3;3 . Điểm M trong không gian thỏa mãn . MB 3 Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng 5 3 A. 6 3 . B. 12 3 . C. . D. 5 3 . 2 Lời giải Chọn B Gọi M x; y; z . MA 2 Ta có 3MA 2MB 9MA2 4MB2 MB 3 9 x 2 2 y 2 2 z 2 2 4 x 3 2 y 3 2 z 3 2 x2 y2 z2 12x 12y 12z 0 x 6 2 y 6 2 z 6 2 108. Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu S tâm I 6;6; 6 và bán kính R 108 6 3 . 2 2 2 Do đó OM lớn nhất bằng OI R 6 6 6 6 3 12 3 . Câu 44: [2H3-2.13-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Trong không gian x 1 x 4 t Oxyz cho hai đường thẳng 1 : y 2 t , 2 : y 3 2t . Gọi S là mặt cầu có bán kính z t z 1 t nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 . Bán kính mặt cầu S . 10 11 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn B A A 1;2 t; t , B B 4 t ;3 2t ;1 t . 1 2 Ta có AB 3 t ;1 2t t;1 t t  VTCP của đường thẳng là u 0;1; 1 . 1 1 VTCP củả đường thẳng 2 là u2 1; 2; 1 .   AB.u1 0 1 2t t 1 t t 0 Ta có   3 t 2 1 2t t 1 t t 0 AB.u2 0 t 2t 0  t t 0 . Suy ra AB 3;1;1 AB 11 . 6t t 0 Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1 và 2 có đường kính bằng độ AB 11 dài đoạn AB nên có bán kính r . 2 2
2. Câu 20: [2H3-2.13-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Gọi S là mặt cầu đi qua A 1;1;1 , tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , Oxz và có bán kính lớn nhất. Viết phương trình mặt cầu S . A. S : x 3 2 y 1 2 z 1 2 9 . 2 2 2 3 3 3 3 3 3 6 3 3 B. S : x y z . 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 6 3 3 C. S : x y z . 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 6 3 3 D. S : x y z . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Do S tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ nên mặt cầu S nằm trọn trong một phần của không gian Oxyz do 3 mặt phẳng tọa độ chia. Do S đi qua A 1;1;1 và tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ nên S có tâm I t;t;t t 0 . 3 3 t 2 2 2 Ta có R IA d I; Oxy 3 t 1 t 3 3 t 2 3 3 Do S có bán kính lớn nhất nên t . 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 6 3 3 Vậy S : x y z . 2 2 2 2 Câu 34: [2H3-2.13-3] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A m;0;0 , B 0;m 1;0 ; C 0;0;m 4 thỏa mãn BC AD , CA BD và AB CD . Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng 7 14 A. .B. .C. 7 .D. 14 . 2 2 Lời giải Chọn B
3. A M I B D N C Đặt BC a ; CA b ; AB c . Gọi M , N lần lượt là trrung điểm của AB và CD . Theo giả thiết ta có tam giác ABC CDA c.c.c CM DM hay tam giác CMD cân tại M MN  CD . Chứng minh tương tự ta cũng có MN  AB . Gọi I là trung điểm của MN thì IA IB và IC ID . Mặt khác ta lại có AB CD nên BMI CNI IB IC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . MN 2 AB2 MN 2 c2 Ta có IA2 IM 2 AM 2 . 4 4 4 2a2 2b2 c2 Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên CM 2 4 2a2 2b2 c2 c2 a2 b2 c2 MN 2 CI 2 CN 2 . 4 4 2 a2 b2 c2 Vậy IA2 . 8 Với a2 b2 c2 2m2 2 m 1 2 2 m 4 2 6 m 1 2 28 2 6 m 1 28 7 7 14 Vậy IA2 IA . 8 2 min 2 2 Câu 39: [2H3-2.13-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho 2 2 2 d 1 e 2 f 3 1 a,b,c,d,e, f là các số thực thỏa mãn . Gọi giá trị lớn nhất, giá 2 2 2 a 3 b 2 c 9 trị nhỏ nhất của biểu thức F a d 2 b e 2 c f 2 lần lượt là M , m. Khi đó, M m bằng
4. A. 10.B. 10 .C. 8. D. 2 2 . Lời giải Chọn C 2 2 2 Gọi A d,e, f thì A thuộc mặt cầu S1 : x 1 y 2 z 3 1 có tâm I1 1;2;3 , bán 2 2 2 kính R1 1, B a,b,c thì B thuộc mặt cầu S2 : x 3 y 2 z 9 có tâm I2 3;2;0 , bán kính R2 3. Ta có I1I2 5 R1 R2 S1 và S2 không cắt nhau và ở ngoài nhau. Dễ thấy F AB , AB max khi A  A1, B  B1 Giá trị lớn nhất bằng I1I2 R1 R2 9. AB min khi A  A2 , B  B2 Giá trị nhỏ nhất bằng I1I2 R1 R2 1. Vậy M m 8 Câu 35. [2H3-2.13-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;1;1 , B 3;0; 1 , C 0;21; 19 và mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z 1 2 1. Gọi điểm M a;b;c là điểm thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức T 3MA2 2MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S a b c . 14 12 A. S 12 . B. S . C. S . D. S 0 . 5 5 Lời giải Chọn B    Gọi điểm K x; y; z sao cho 3KA 2KB KC 0.  KA x;1 y;1 z 3x 2 3 x x 0 x 1  Ta có KB 3 x; y; 1 z 3 1 y 2y 21 y 0 y 4 K 1;4; 3 .  3 1 z 2 1 z 19 z 0 z 3 KC x;21 y; 19 z   2   3MA2 3 MK KA 3MK 2 6MK.KA 3KA2   2   2 2 2 Khi đó 2MB 2 MK KB 2MK 4MK.KB 2KB .   2   MC 2 MK KC MK 2 2MK.KC 2KC 2     T 3MA2 2MB2 MC 2 5MK 2 2MK 3KA 2KB KC 3KA2 2KB2 KC 2 2 2 2 2 5MK 3KA 2KB KC . Do đó Tmin khi và chỉ khi MKmin .  const
5. Suy ra M IK  S và đồng thời M nằm giữa I và K . x 1  Ta có IK 0;3; 4 IK : y 1 3t . Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn: z 1 4t 2 2 1 1 8 1 3t 4t 1 t . Vì M nằm giữa I và K nên t và M 1; ; . 5 5 5 5 8 1 14 Vậy S a b c 1 . 5 5 5 Câu 33: [2H3-2.13-3](THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5;1; 1 , B 14; 3;3 và đường thẳng có vectơ chỉ phương u 1;2;2 . Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của A và B lên . Mặt cầu đi qua hai điểm C , D có diện tích nhỏ nhất là A. 44π . B. 6π . C. 9π . D. 36π . Lời giải Chọn C Từ A dựng đường thẳng d song song với . Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên d . Ta có CD AE AE không đổi. CD AE Gọi R là bán kính mặt cầu CD 2R R . 2 2 AE 2 Ta có S 4πR2 4π AE 2.π . c 4 2 Diện tích mặt cầu nhỏ nhất là Sc AE π . AE AB.cos với ·d, AB .  AB 9; 4;4 , AB 92 42 42 113 .   AB.u 3 3 cos cos AB,u AE 119. 3 . AB. u 113 113 Diện tích nhỏ nhất mặt cầu là Sc 9π Câu 30. [2H3-2.13-3] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Trong không gian với hệ trục tọa độ x 1 x 0 Oxyz, xét đường thẳng d xác định bởi và đường thẳng d xác định bởi . y z 2 y z Tính bán kính nhỏ nhất R của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng d và d . 1 A. R 1. B. R . C. R 2 . D. R 2. 2 Lời giải Chọn B x 1 Đường thẳng d có phương trình tham số là y t , t ¡ đi qua điểm M 1;0;2 có z 2 t véctơ chỉ phương ud 0;1; 1 .
6. x 0 Đường thẳng d có phương trình tham số là y t , t ¡ đi qua điểm O 0;0;0 có véctơ z t chỉ phương ud 0;1;1 .   ud ,ud .OM 2 ud ,ud  2;0;0 ud ,ud .OM 2. Suy ra d d,d 1. ud ,ud  2 Vì d và d chéo nhau nên bán kính nhỏ nhất R của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng d và d d,d 1 d bằng R 2 2 Câu 366: [2H3-2.13-3] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 2x 2y z 9 0 và mặt cầu (S) : (x 3)2 (y 2)2 (z 1)2 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ lớn nhất là 11 14 13 29 26 7 A. M ; ; . B. M ; ; . 3 3 3 3 3 3 29 26 7 11 14 13 C. M ; ; . D. M ; ; . 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2;1) và bán kính R 10. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) : d(I;(P)) 6 R nên (P) cắt (S) . Khoảng cách từ M thuộc (S) đến (P) lớn nhất M (d) đi qua I và vuông góc với (P) x 3 2t Phương trình (d) : y 2 2t . z 1 t Ta có: M (d) M (3 2t; 2 2t;1 t) 10 29 26 7 t M1 ; ; 3 3 3 3 Mà: M (S) 10 11 14 13 t M 2 ; ; 3 3 3 3 29 26 7 Thử lại ta thấy: d(M1,(P)) d(M 2 ,(P)) nên M ; ; thỏa yêu cầu bài toán. 3 3 3 Câu 368: [2H3-2.13-3] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x 2y 2z 4 0 và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 2y 2z 1 0. Giá trị của điểm M trên S sao cho d M , P đạt GTNN là 5 7 7 1 1 1 A. 1;1;3 . B. ; ; . C. ; ; . D. 1; 2;1 . 3 3 3 3 3 3 Lời giải
7. Chọn C Ta có: d(M ,(P)) 3 R 2 (P)  (S) . x 1 t Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với P có pt: y 1 2t ,t ¡ . z 1 2t 5 7 7 1 1 1 Tọa độ giao điểm của d và S là A ; ; , B ; ; 3 3 3 3 3 3 Ta có: d(A,(P)) 5 d(B,(P)) 1. d(A,(P)) d(M ,(P)) d(B,(P)). Vậy: d(M ,(P))min 1 M  B Câu 7574. [2H3-2.13-3] [THPT Chuyên Bình Long- 2017] Trong không gian Oxyz , cho điểm MA 2 A 2;2; 2 , B 3; 3;3 . M là điểm thay đổi trong không gian thỏa mãn . Khi đó độ MB 3 dài OM lớn nhất bằng? 5 3 A. 6 3 . B. 5 3 . C. . D. 12 3 . 2 Lời giải Chọn D . Gọi M x; y; z . Ta có: MA 2 2 2 2 2 2 2 9MA2 4MB2 9 x 2 y 2 z 2 4 x 3 y 3 z 3 MB 3 x2 y2 z2 12x 12y 12z 0 M mặt cầu S tâm I 6;6; 6 bán kính R 6 3 . Khi đó OM max d O; I R OI R 6 3 6 3 12 3 . Câu 31: [2H3-2.13-3] (Sở GD &Cần Thơ-2018-BTN) Trong không gian Oxyz , cho điểm 1 3 2 2 2 M ; ;0 và mặt cầu S : x y z 8 . Một đường thẳng đi qua điểm M và cắt S 2 2 tại hai điểm phân biệt A , B . Diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng A. 4 . B. 2 7 . C. 2 2 . D. 7 . Lời giải Chọn D Mặt cầu S có tâm O 0;0;0 và bán kính R 2 2 .
8.  1 3 Ta có: OM ; ;0 OM 1 R điểm M nằm trong mặt cầu S . 2 2 Gọi H là trung điểm AB OH OM . Đặt OH x 0 x 1. AH OA2 OH 2 8 x2 OH x Đặt ·AOH sin ; cos . OA OA 2 2 OA 2 2 x 8 x2 Suy ra sin ·AOB 2sin cos . 4 1 Ta có: S OA.OB.sin ·AOB x 8 x2 với 0 x 1. OAB 2 Xét hàm số f x x 8 x2 trên đoạn 0;1 x2 8 2x2 f x 8 x2 0,x 0;1 max f x f 1 7 8 x2 8 x2 0;1 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng 7 . Câu 38: [2H3-2.13-3] (Sở GD &Cần Thơ-2018-BTN) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , 2 2 2 cho mặt cầu S : x 1 y 3 z 2 4 . Gọi N x0 ; y0 ; z0 là điểm thuộc S sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Oxz lớn nhất. Giá trị của biểu thức P x0 y0 z0 bằng A. 6 . B. 8 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn B Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I 1;3;2 của mặt cầu S và vuông góc với Oxz . x 1 Phương trình tham số của d : y 3 t , t ¡ . z 2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và S suy ra: A 1;5;2 , B 1;1;2 . Ta có: d A; Oxz d B; Oxz . Theo đề bài thì N  A N 1;5;2 x0 y0 z0 8 .