Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 6: Toán tổng hợp về phương pháp tọa độ không gian - Câu hỏi chưa phân dạng - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 tách từ đề thi thử THPT Quốc gia - Chương 3 - Chủ đề 6: Toán tổng hợp về phương pháp tọa độ không gian - Câu hỏi chưa phân dạng - Mức độ 4 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. Câu 46: [2H3-6.0-4] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ 5 4 8 Oxyz , cho 4 điểm A 1;0;0 , B 3;2;1 , C ; ; , M là điểm thay đổi sao cho hình chiếu 3 3 3 của M lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng MAB , MBC , MCA hợp với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM . 26 5 28 A. .B. .C. 3 .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A Vì M là điểm thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng MAB , MBC , MCA hợp với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau nên hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 2 2 2 2 2 2 5 4 8 Ta có AB 3 1 2 1 3, AC 1 4 , 3 3 3 2 2 2 5 4 8   BC 3 2 1 5, AB; AC 4; 8;8 4 1; 2;2 3 3 3    Gọi I x; y; z là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , khi đó ta có a.IA b.IB c.IC 0 , với a BC , b CA, c AB . Do đó ta có hệ sau: 5 5 1 x 4 3 x 3 x 0 3 x 1 4 5y 42 3 y 3 y 0 y 1 I 1;1;1 . 3 z 1 8 5z 4 1 z 3 z 0 3 Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng ABC suy ra có vectơ chỉ phương là u 1; 2;2 . Khi đó OM đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O lên và  2 2 2 u;OI 4 1 3 26 min OM d I; . u 12 2 2 22 3 Câu 47: [2H3-6.0-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;1;2) và B(5;7;0). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x2 y2 z2 4x 2my 2 m 1 z m2 2m 8 0 là phương trình của một mặt cầu S sao cho qua hai điểm A , B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu S đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Đặt x2 y2 z2 4x 2my 2 m 1 z m2 2m 8 0 1 Ta có a 2 , b m , c m 1, d m2 2m 8 .
2. 1 là phương trình mặt cầu S khi a2 b2 c2 d 0 2 m 3 4 m2 m 1 m2 2m 8 0 m2 3 0 . m 3 mặt cầu S có tâm I 2; m;m 1 , bán kính R m2 3 . TH1: P là ABI và S có bán kính R 1 m2 3 1 và A , B , I không thẳng hàng.   m 2 AB 2;6; 2 , AI 1; m 1;m 1 m 2 . m 2 TH2: P cách I một khoảng lớn nhất, đồng thời d 2 I, P R2 1. Gọi H , K là hình chiếu của I lên P và AB , ta có d I, P IH IK   AB, AI   dmax IK d I, AB  , AB, AI 4m 8;4 2m;4 2m m 2 4; 2; 2 AB m 2 .2 6 m 2 66 d I, AB 2 11 11 m 2 l 2 2 6 2 2 2 Ta có d I, P R 1 m 2 m 4 5m 24m 68 0 34 11 m t / m 5 Vậy có hai giá trị của m thỏa ycbt. Câu 14: [2H3-6.0-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và D khác phía với O so với ABC ; đồng thời A, B,C lần lượt là giao điểm của các trục Ox,Oy,Oz và x y z ( ) : 1 (với m 2, m 0 ,m 5). Tìm khoảng cách ngắn nhất từ tâm mặt m m 2 m 5 cầu ngoại tiếp I của tứ diện ABCD đến O. 13 26 A. 30 . B. . C. 26 . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D C P D M I B O A Q
3. Dựng hình hộp chữ nhậtOAQB.CMDP . Gọi I là giao điểm các đường chéo của hình hộp, dễ thấy I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có A m;0;0 , B 0;m 2;0 , C 0;0;m 5 suy ra D m;m 2;m 5 . 1 1 26 Bán kính R OD 3m2 6m 29 . 2 2 2 Câu 48: [2H3-6.0-4](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Biết rằng có n mặt phẳng có phương trình tương ứng là Pi : x ai y bi z ci 0 i 1,2, ,n đi qua M 1;2;3 (nhưng không đi qua O ) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz theo thứ tự tại A , B , C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Tính tổng S a1 a2 an . A. S 3.B. S 1.C. S 4 .D. S 1. Lời giải Chọn D Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c , với abc 0 , khi đó phương trình mặt phẳng P đi qua M 1;2;3 (nhưng không đi qua O ) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz theo thứ tự tại A , B , x y z C có dạng: 1. a b c 1 2 3 Vì P đi qua M 1;2;3 nên 1 1 . a b c Hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên a b c m 0 . Ta có các khả năng sau: 6 a b c m : thay vào 1 ta được 1 m 6 , phương trình mặt phẳng P thỏa mãn m 1 đề bài là P1 : x y z 6 0 . Như vậy a1 1. 6 a b c m : thay vào 1 ta được 1 m 6 (loại). m a b m; c m : thay vào 1 ta được 0 1 (vô lí). a b m ; c m : thay vào 1 ta được 0 1 (vô lí). 2 a c m ; b m : thay vào 1 ta được 1 m 2 , phương trình mặt phẳng P thỏa m 2 mãn đề bài là P2 : x y z 2 0 . Như vậy a2 1. 2 a c m ; b m : thay vào 1 ta được 1 m 2 (loại). m 4 a m ; b c m : thay vào 1 ta được 1 m 4 (loại). m 4 a m ; b c m : thay vào 1 ta được 1 m 4 , phương trình mặt phẳng P thỏa m 3 mãn đề bài là P3 : x y z 4 0. Như vậy a3 1. Như vậy, chỉ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có: S a1 a2 a3 1 1 1 1.
4. Câu 50: [2H3-6.0-4](Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ trục tọa độ x 3 t Oxyz , cho đường thẳng : y 1 t , t ¡ , điểm M 1;2; 1 và mặt cầu z 2 t S : x2 y2 z2 4x 10y 14z 64 0 . Gọi là đường thẳng đi qua M cắt đường thẳng AM 1 tại A , cắt mặt cầu tại B sao cho và điểm B có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng AB 3 trung trực đoạn AB có phương trình là A. 2x 4y 4z 19 0. B. 3x 6y 6z 62 0 . C. 2x 4y 4z 43 0 . D. 3x 6y 6z 31 0 . Lời giải Chọn A là đường thẳng đi qua M cắt đường thẳng tại A suy ra tọa độ A 3 a; 1 a; 2 a . AM 1   3AM AB AB 3 Trường hợp 1: 3 2 a x 3 a x 3 2a   3AM AB 3 3 a y 1 a y 8 2a suy ra B 3 2a;8 2a;1 2a z 1 2a 3 1 a z 2 a Do B S nên 3 2a 2 8 2a 2 1 2a 2 4 3 2a 10 8 2a 14 1 2a 64 0 12a2 40a 244 0 , phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: 3 2 a x 3 a x 9 4a   3AM AB 3 3 a y 1 a y 10 4a z 5 4a 3 1 a z 2 a Suy ra B 9 4a; 10 4a; 5 4a Do B S nên 9 4a 2 10 4a 2 5 4a 2 4 9 4a 10 10 4a 14 5 4a 64 0 a 1 48a2 112a 64 0 4 . a 3 Điểm B có hoành độ là số nguyên nên B 5; 6; 9 ; A 2;0; 3 . 7 Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua trung điểm I ; 3; 6 và có một véc tơ pháp tuyến 2 7 n 1;2;2 nên có phương trình x 2 y 3 2 z 6 0 2x 4y 4z 43 0 2 Câu 49. [2H3-6.0-4] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Trong không x 2 y 5 z 2 gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : , 1 2 1 x 2 y 1 z 2 d : và hai điểm A a;0;0 , A 0;0;b . Gọi P là mặt phẳng chứa d 1 2 1
5. và d ; H là giao điểm của đường thẳng AA và mặt phẳng P . Một đường thẳng thay đổi trên P nhưng luôn đi qua H đồng thời cắt d và d lần lượt tại B , B . Hai đường thẳng AB , A B cắt nhau tại điểm M . Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có véctơ chỉ phương u 15; 10; 1 (tham khảo hình vẽ). Tính T a b . A. T 8.B. T 9 . C. T 9 . D. T 6 . Lời giải Chọn D Nhận xét rằng A a;0;0 Ox và A 0;0;b Oz . Gọi là mặt phẳng chứa d và AB và  là mặt phẳng chứa d và A B . Ta có M thuộc đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và  . Theo giả thiết, có một véctơ chỉ phương là u 15; 10; 1 .  Mặt phẳng đi qua M1 2;5;2 và có cặp véctơ chỉ phương là u1 1;2;1 và u 15; 10; 1   có véctơ pháp tuyến là n u ;u 8;16; 40 8 1;2; 5 . 1 1 Phương trình của là x 2y 5z 2 0 .  Mặt phẳng  đi qua M 2 2;1;2 và có cặp véctơ chỉ phương là u2 1; 2;1 và u 15; 10; 1    có véctơ pháp tuyến là n u ;u 12;16;20 4 3;4;5 . 2 2 Phương trình của  là 3x 4y 5z 20 0 . Khi đó A Ox nên A 2;0;0 và A  Oz nên A 0;0;4 . Vậy T a b 6 . Câu 36: [2H3-6.0-4](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Trong không gian x 1 y z 2 x 1 y z 2 với hệ toạ độ Oxyz , cho ba đường thẳng d : , d : và 1 1 2 1 2 1 2 3 x 3 y 1 z d : . Mặt phẳng R đi qua điểm H 3;2; 1 , và cắt d , d , d lần lượt tại 3 4 1 2 1 2 3 A , B , C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Hỏi điểm nào dưới đây thuộc R ? A. M 1;1;5 .B. N 1;1;3 . C. P 1;1; 4 .D. O 0;0;0 .
6. Lời giải Chọn A Ta thấy d1 , d2 và d3 vuông góc nhau từng đôi một và đồng qui tại S 1;0; 2 . Do đó tứ diện SABC là tứ diện vuông tại S . H là trực tâm tam giác ABC thì SH  R hay mặt phẳng R  đi qua H 3;2; 1 và có véctơ pháp tuyến là SH 2;2;1 . Phương trình của mặt phẳng R là : 2 x 3 2 y 2 z 1 0 2x 2y z 9 0 . Khi đó M 1;1;5 R . Câu 37: [2H3-6.0-4](CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Trong 11 22 16 không gian tọa độ Oxyz cho A 1;2;0 , B 5;4;4 , C ; ; . Gọi S1 , S2 , S3 là 3 3 3 13 3 mặt cầu tâm lần lượt là A , B , C và có cùng bán kính là . Xác định số tiếp diện chung 5 của ba mặt cầu trên. A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn A Ta có nhận xét: Trong không gian, cho điểm A và đường thẳng , khi đó có đúng hai mặt phẳng P chứa và cách A một khoảng là h nếu h d A; và không có mặt phẳng nào chứa và cách A một khoảng là h nếu h d A; . Xét mặt phẳng đi qua các điểm A , B , C . Ta có AB 6; AC 8 ; BC 10 . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của AB , BC , AC . Mặt phẳng P xác định như sau: 1 13 Đi qua D , E : Ta có d B; DE BD AB 3 nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 2 5 mặt cầu như nhận xét trên. 1 13 Đi qua E , F : Ta có d C; EF CF AC 4 có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt 2 5 cầu như nhận xét trên. 1 12 13 Đi qua D , F : Ta có d A; DF d A; BC nên không có mặt phẳng nào tiếp xúc 2 5 5 với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên.
7. Hơn nữa S1 , S2 , S3 có cùng bán kính nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với chúng và song song với mặt phẳng ABC . Vậy có tất cả 6 tiếp diện chung của ba mặt cầu. Câu 49: [2H3-6.0-4] (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : x my z 6m 3 0 và  : mx y mz 3m 8 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng . Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy . Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I a;b;c thuộc mặt phẳng Oxy . Tính giá trị biểu thức P 10a2 b2 3c2 . A. P 56. B. P 9. C. P 41. D. P 73. Lời giải Chọn C  Mặt phẳng : x my z 6m 3 0 có một véc tơ pháp tuyến là n1 1; m;1 , và mặt  phẳng  : mx y mz 3m 8 0 có một véc tơ pháp tuyến là n2 m;1; m . 4 4 Ta có M 3m 3;0; 3m   m m   có một véc tơ chỉ phương là u n ;n m2 1;2m;m2 1 . 1 2 Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Oxy . Khi đó P 2 có một véc tơ pháp tuyến là n u;k 2m;1 m ;0 (với k 0;0;1 ). Phương trình mặt phẳng P là 2mx 1 m2 y 6m2 6m 8 0 . Vì I a;b;c Oxy nên I a;b;0 . Theo giả thiết ta suy ra P là tiếp diện của mặt cầu S d I; P R (cố định) 2ma 1 m2 b 6m2 6m 8 2m a 3 6 b m2 b 8 R (cố định) R (cố 2 2 4m2 1 m2 m 1 định). a 3 0 a 3 Suy ra . Vậy I 3;7;0 , do đó P 10a2 b2 3c2 41. 6 b b 8 b 7 Câu 29. [2H3-6.0-4] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết đường cong  là tập hợp tâm của các mặt cầu S đi qua điểm A 1;1;1 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng : x y z 6 0 và  : x y z 6 0 . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong  bằng A. 45 . B. 3 5. C. 9 . D. 3. Lời giải Chọn C
8. Gọi S là một mặt cầu thỏa đề bài, với tâm I x; y; z . Theo bài ra, ta có IA d I; d I;  . Mà d I; d I;  x y z 6 x y z 6 x y z 0. Vậy tâm của các mặt cầu thỏa đề bài sẽ nằm trên mặt phẳng (P): x + y + z = 0. d ;  2 2 2 Vì //  nên IA 2 3 . Từ đó x 1 y 1 z 1 12. Vậy điểm 2 2 2 2 I x; y; z thuộc mặt cầu (S1):(x- 1) + (y - 1) + (z - 1) = 12. Tập hợp tâm của mặt cầu S là giao tuyến của mặt cầu S1 và mặt phẳng P hay chính 2 2 là đường tròn có bán kính R R2 d 2 A; P 2 3 3 3. S1 Vậy diện tích của hình phẳng cần tính là S R 2 9 . Câu 46: [2H3-6.0-4] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ x y - 1 z + 1 Oxyz , cho đường thẳng d : = = và điểm A(1;1;1). Hai điểm B , C di động trên 2 - 1 - 1 đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC).Gọi điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC . Biết rằng quỹ tích các điểm B ' là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này. 60 3 5 70 3 5 A. r = B. r = C. r = D. r = 10 5 10 10 Lời giải Chọn D r r uur + Ta có: một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (2;- 1;- 1). Suy ra u ^ OA. + Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng d Þ H (2t;1- t;- 1- t). Do OH ^ d nên 4t - 1+ t + 1+ t = 0 Þ t = 0 Þ H (0;1;- 1). uuur uur + Suy ra OH.OA = 0 Þ OH ^ OA và OA ^ BC nên OA ^ (OBC) ü Þ OA ^ OB ï ï (OAB)^ (OAC) ý Þ OB ^ (OAC) . ï ï OA = (OAB)Ç(OAC)þï B H O I A B' C ïì OB ^ AC Do đó ta có: íï Þ AC ^ (OBB¢)Þ AB¢^ OB¢. îï BB¢^ AC
9. Vậy B¢ thuộc mặt cầu (S) đường kính OA = 3 . æ1 1 1ö + Gọi I ç ; ; ÷ là trung điểm OA èç2 2 2ø÷ æ 1ö2 æ 1ö2 æ 1ö2 3 Phương trình mặt cầu (S):çx- ÷ + çy - ÷ + çz - ÷ = èç 2÷ø èç 2ø÷ èç 2ø÷ 4 + Mặt khác B¢Î (ABC)º (A;d). Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là r uuur r n = éAH;uù= (2;5;- 1). ëê ûú Phương trình mặt phẳng (ABC) : 2x + 5y - z - 6 = 0 . I 3 R= 2 r (ABC) + Vậy B¢ thuộc đường tròn cố định là đường tròn (C), giao tuyến của mặt cầu (S) và (ABC). 3 5 3 30 (C) có bán kính r = R2 - d 2 = , với R = và d = d (I,(ABC))= . 10 2 10 Câu 47: [2H3-6.0-4](Chuyên Vinh - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 10;6; 2 , B 5;10; 9 và mặt phẳng : 2x 2y z 12 0 . Điểm M di động trên sao cho MA , MB luôn tạo với các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn D cố định. Hoành độ của tâm đường tròn  bằng 9 A. 4 . B. . C. 2 . D. 10. 2 Lời giải Chọn C A B H M K Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên mặt phẳng , khi đó:
10. 2.10 2.6 2 12 AH d A; 6 ; 22 22 12 2.5 2.10 9 12 BK d B; 3. 22 22 12 Vì MA , MB với các góc bằng nhau nên ·AMH B· MK . Từ AH 2BK suy ra MA 2MB . Gọi M x; y; z , ta có: MA 2MB MA2 4MB2 x 10 2 y 6 2 z 2 2 4 x 5 2 y 10 2 z 9 2 20 68 68 x2 y2 z2 x y z 228 0 . 3 3 3 10 34 34 Như vậy, điểm M nằm trên mặt cầu S có tâm I ; ; và bán kính R 2 10 . Do 3 3 3 đó, đường tròn D là giao của mặt cầu S và mặt phẳng , nên tâm J của đường tròn D là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng . 10 x 2t 3 34 Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng là: y 2t . 3 34 z t 3 10 x 2t x 2 3 y 10 34 y 2t 38 Tọa độ điểm J là nghiệm x; y; z của hệ phương trình: 3 z . 34 3 z t 2 3 t 3 2x 2y z 12 0 38 Vậy J 2;10; . 3 Câu 46: [2H3-6.0-4] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 9 và điểm A 1;1; 1 . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua điểm A và đôi một vuông góc với nhau, cắt S theo giao tuyến là ba đường tròn. Tổng diện tích của hình tròn đó bằng A. 12 . B. 3 . C. 22 . D. 11 . Lời giải Chọn C Ba mặt phẳng P : x 1, Q : y 1 và R : z 1 đều đi qua điểm A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu S theo giao tuyến lần lượt là các đường tròn C1 , C2 và C3 . 2 2 Trong mặt phẳng P , đường tròn C1 : y 1 z 2 5 R1 5
11. 2 2 Trong mặt phẳng Q , đường tròn C2 : x 1 z 2 9 R2 3 2 2 Trong mặt phẳng R , đường tròn C3 : x 1 y 1 8 R3 2 2 2 2 2 Tổng diện tích ba hình tròn C1 , C2 và C3 là S R1 R2 R3 22 .