Tự luận và trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Các dạng bài tập số phức (Có đáp án)

Nội dung text: Tự luận và trắc nghiệm Toán Lớp 12 - Các dạng bài tập số phức (Có đáp án)

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a a ' • Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i (a,b,a ',b' R) b b' Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) y b .M(a;b) x O a 3. Cộng và trừ số phức: • a bi a’ b’i a a’ b b’ i • a bi a’ b’i a a’ b b’ i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • a bi a ' b'i aa’ – bb’ ab’ ba’ i • k(a bi) ka kbi (k R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi z1 z1 2 2 • z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z.z a b z2 z2 • z là số thực z z ; z là số ảo z z 6. Môđun của số phức : z = a + bi  • z a 2 b2 zz OM • z 0, z C , z 0 z 0 z z • z.z ' z . z ' • • z z ' z z ' z z ' z ' z ' 7. Chia hai số phức: a+bi aa'-bb' ab' a 'b • Chia hai số phức: i . a'+b'i a '2 b'2 a '2 b'2 1 z ' z '.z z '.z z ' • z 1 z (z 0)• z 'z 1 • w z ' wz z 2 z z 2 z.z z Trang 1
2. 8. Căn bậc hai của số phức: 2 2 2 x y a • z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi z w 2xy b • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là a • Hai căn bậc hai của a 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b R) (z ≠ 0) r a 2 b2 a cos ( là acgumen của z, = (Ox, OM). r b sin r c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin ), z’ = r’(cos ’ + isin ’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( + ’)] z r cos( ') isin( '). z' r ' d) Công thức Moa-vrơ : Với n là số nguyên, n 1 thì : r(cos isin )n rn (cos n isin n ) Khi r = 1, ta được : (cos isin )n (cos n isin n ) e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin ) (r > 0) là : r cos isin và 2 2 r cos isin r cos isin . 2 2 2 2 Trang 2
3. II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ 3 1 Ví dụ 1: Cho số phức z = i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2 2 2 Giải: 3 1 3 1 a) Vì z = i z = i 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 b) Ta có z = i = i i = i 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 ( z ) = i i i i 2 2 4 4 2 2 2 3 2 1 3 3 1 3 1 3 3 ( z ) =( z ) . z = i i i i i 2 2 2 2 4 2 4 4 3 1 1 3 3 3 1 3 Ta có: 1 + z + z2 = 1 i i i 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i 1 x 3x y 2y 1 7 Giải hệ này ta được: 5x x y 4 y 7 Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n N* Vậy in {-1;1;-i;i},  n N. n 1 n Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = i . i Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 16 8 1 i 1 i Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = 1 i 1 i 1 i (1 i)(1 i) 2i Giải: Ta có: i 1 i 2 2 16 8 1 i 1 i 1 i i . Vậy =i16 +(-i)8 = 2 1 i 1 i 1 i Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z 3z 2 i 3 2 i (1) Trang 3
4. Giải: Giả sử z=a+bi (1) a bi 3a 3bi 8 12i 6i2 i3 2 i 2 11i . 2 i 15 4a 2bi 4 2i 22i 11i2 20i 15 a ;b 10 . 4 Vậy phần ảo của z bằng -10 Ví dụ 6: Cho z1 3 i,z2 2 i Tính z1 z1z2 Giải: 2 2 z1 z1z2 3 i 3 i 2 i 10 10 0i z1 z1z2 10 0 10 z1 z2 3 Ví dụ 7: Cho z1 2 3i, z2 1 i . Tính z1 3z2 ; ; z1 3z2 z2 Giải: 2 2 +) z1 3z2 2 3i 3 3i 5 6i z1 3z2 5 6 61 z1 z2 3 4i 3 4i 1 i 7 i z1 z2 49 1 5 2 +) 2 z2 1 i 1 i 2 z2 4 4 2 3 2 3 3 +) z1 3z2 8 36i 54i 27i 3 3i 49 6i z1 3z2 2437 Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i Giải: Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của z Ta có: (m ni)2 5 12i m2 2mni n2i2 5 12i m2 2mni n2 5 12i m2 n2 5(1) m2 n2 5 6 2mn 12 m (2) n 2 6 2 4 2 Thay (2) vào (1) ta có: n 5 36 n 5n n n4 5n2 36 0 n2 4;n2 9(loai) n 2 m 3 n 2 m 3 Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết rằng số phức z x iy thỏa z2 8 6i . Mệnh đề nào sau đây sai? x4 8x2 9 0 x2 y2 8 A. B. 3 xy 3 y x x 1 x 1 2 2 C. hay D. x y 2xy 8 6i y 3 y 3 Câu 2: Cho số phức z m 1 m 2 i, m R . Giá trị nào của m để z 5 m 6 A. 2 m 6 B. 6 m 2 C. 0 m 3 D. m 2 Trang 4
5. 2 i 2 1 2i 3 Câu 3: Viết số phức dưới dạng đại số: 3 i 11 7 13 7 11 7 11 7 A. i B. i C. i D. i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: a 0 A. Số phức z a bi 0 khi và chỉ khi b 0 B. Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy. C. Số phức z a bi có môđun là a 2 b2 D. Số phức z a bi có số phức đối z ' a bi 1 Câu 5: Cho số phức z a bi,a,b R và các mệnh đề. Khi đó số z z là: 2 1) Điểm biểu diễn số phức z là M a;b . 1 2) Phần thực của số phức z z là a; 2 3) Môdul của số phức 2z z là 9a 2 b2 4) z z A. Số mệnh đề đúng là 2 B. Số mệnh đề đúng là 1 C. Số mệnh đề sai là 1 D. Cả 4 đều đúng Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai. A. z1 z2 z1 z2 B. z 0 z 0 C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 1là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Câu 7: Cho hai số phức z1 4 3i, z2 4 3i, z3 z1.z2 . Lựa chọn phương án đúng: 2 A. z3 25 B. z3 z1 C. z1 z2 z1 z2 D. z1 z2 3 i 3 i Câu 8: Cho các số phức z , z ' . Trong các kết luận sau: 5 7i 5 7i (I). z z ' là số thực, (II). z z ' là số thuần ảo, (III). z z ' là số thực, Kết luận nào đúng? A. Cả I, II, III. B. Chỉ II. III. C. Chỉ III, I. D. Chỉ I, II. 2009 3 i i 2 z z 2 Câu 9: Cho số phức z 1. Xét các số phức z2 z và  z z . Khi đó z 1 z 1 A. , R B. , đều là số ảo C.  R, là số ảo D. R, là số ảo 1 3 Câu 10: Cho số phức z = i . Số phức 1 + z + z2 bằng: 2 2 1 3 A. i B. 2 - 3i C. 1 D. 0 2 2 Câu 11: Giá trị biểu thức 1 i i2 i3 i2017 là: A. 1 i B. i C. i D. 1 i Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau: A. (1 i)2018 21009 i B. (1 i)2018 21009 i C. (1 i)2018 21009 D. (1 i)2018 21009 Câu 13: Cho z1,z2 £ và các đẳng thức: Trang 5
6. z1 z1 z1 . z2 z1.z2 ; ; z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 . z2 z2 Số đẳng thức đúng trong các đẳng thức trên là: A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. (1 i)8 16 B. (1 i)8 16 C. (1 i)8 16i D. (1 i)8 16i Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. i2006 i B. i2345 i C. i1997 1 D. i2005 1 Câu 16: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A. 2 2i 2 B. 2 3i 2 3i 3 2i C. 2 3i . 2 3i D. 2 3i Câu 17: Giá trị của 1 i2 i4 i4k với k N* là A. 2ki B. 2k C. 0 D. 1 Câu 18: Các số x; y R thỏa mãn đẳng thức (1 i)(x yi) (2y x)i 3 2i . Khi đó tổng x 3y là: A. - 7 B. - 1 C. 13 D. - 13 Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y ¢ thỏa mãn z3 = 18 + 26i. Giá trị của T (z 2)2012 (4 z)2012 là: A. 21007 B. 31007 C. 21007 D. 21006 n 13 3 9i Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức là số thực ? số ảo ? là: 12 3 i A. n = 2 + 6k, k ¢ B. n = 2 + 4k, k ¢ C. n = 2k, k ¢ D. n = 3k, k ¢ z Câu 21: Cho số phức z 2i 3 khi đó bằng: z 5 12i 5 6i 5 12i 5 6i A. B. C. D. 13 11 13 11 3 1 i 3 Câu 22: Tính số phức z : 1 i A. 1 + i B. 2 + 2i C. 2 – 2i D. 1 – i 5 1 i 5 6 7 8 Câu 23: Cho z , tính z z z z . 1 i A. 4 B. 0 C. 3 D. 1 Câu 24: Tính giá trị P i i2 i3 i11 là A. −1 B. 0 C. 1 + i D. 1 – i 2007 Câu 25: Tính P 1 5i 1 3i kết quả là A. 22007 i B. 2007i C. 22007 D. 22007 i Câu 26: Giá trị của biểu thức A i105 i23 i20 – i34 là: A. 2i B. 2 C. 2i D. 2 z2 1 Câu 27: Nếu z 1 thì z A. Là số ảo B. Bằng 0 C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực 16 8 1 i 1 i Câu 28: Số phức z bằng: 1 i 1 i A. i B. 2 C. i D. 2 Trang 6
7. a b iz 1 3i z 2 Câu 29: Biết số phức z i ( với a, b, c là những số tự nhiên) thỏa mãn z . Khi c c 1 i đó giá trị của a là: A. - 45 B. 45 C. - 9 D. 9 x 1 y 1 Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thỏa điều kiện: là: x 1 1 i A. x 1; y 1 B. x 1; y 2 C. x 1; y 3 D. x 1; y 3 3 z1 z2 Câu 31: Cho z1 2 3i;z2 1 i . Tính : (z1 z2 ) 61 85 A. 85 B. C. 85 D. 5 25 Câu 32: Cho hai số phức z1 ax b, z2 cx d và các mệnh đề sau: 1 z (I) 2 2 ; (II) z1 z2 z1 z2 ; (III) z1 z2 z1 z2 . z1 a b Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I) và (III) B. Cả (I), (II) và (III) C. Chỉ (I) và (II) D. Chỉ (II) và (III) Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức z 7 24i A. z 4 3i và z 4 3i B. z 4 3i và z 4 3i C. z 4 3i và z 4 3i D. z 4 3i và z 4 3i 1 Câu 34: Cho z 5 3i . Tính z z ta được kết quả là: 2i A. 3i B. 0 C. 3 D. 6i Câu 35: Cho số phức z a bi, a,b ¡ . Nhận xét nào sau đây luôn đúng? A. z 2 a b B. z 2 a b C. z 2 a b D. z 2 a b 1 9i Câu 36: Tìm các căn bậc 2 của số phức z 5i 1 i A. 4i B. 2i C. 2 D. 4 Câu 37: Tính 1 i 6 ta được kết quả là: A. 4 4i B. 4 4i C. 8i D. 4 4i 2024 i Câu 38: Giá trị của là 1 i 1 1 1 1 A. B. C. D. 22024 21012 22024 21012 7 3 i Câu 39: Tính z ta được kết quả viết dưới dạng đại số là: 2 2 3 i 1 3 3 i 1 3 A. B. i C. D. i 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 40: Tìm các căn bậc hai của - 9 A. - 3 B. 3 C. 3i D. 3i 1 3 Câu 41: Cho z i . Tính 1 z z2 2 2 A. 2 B. - 2 C. 0 D. 3 Câu 42: Tìm số phức  z1 2z2 , biết rằng: z1 1 2i, z1 2 3i. A.  3 4i. B.  3 8i. C.  3 i. D.  5 8i. Câu 43: Tích 2 số phức z1 1 2i và zi 3 i Trang 7
8. A. 5 B. 3 - 2i C. 5 - 5i D. 5 5i Câu 44: Tổng của hai số phức 3 i;5 7i là A. 8 8i B. 8 8i C. 8 6i D. 5 6i Câu 45: Các số thực x và y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là 9 9 9 x x x 11 11 11 A. Kết quả khác B. C. D. 4 4 4 y y y 11 11 11 25i Câu 46: Biết số phức z 3 4i . Số phức là: z A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i Câu 47: Cho biết: 1 i3 i 2 i4 i 3 i 1 3 2 i Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai A. Chỉ (3) sai B. Chỉ (2) sai C. Chỉ (1) và (2) sai D. Cả (1), (2), (3) sai Câu 48: Tổng 2 số phức 1 i và 3 i A. 1 3 B. 2i C. 1 3 i D. 1 3 2i Câu 49: Cho 2 số phức z1 2 i, z2 1 i . Hiệu z1 z2 A. 1 + i B. 1 C. 2i D. 1 + 2i Câu 50: Tính 3 4i (2 3i) ta được kết quả: A. 3 i B. 5 7i C. 1 7i D. 1 i Câu 51: Đẳng thức nào đúng A. (1 i)4 4 B. (1 i)4 4i C. (1 i)8 16 D. (1 i)8 16 z Câu 52: Cho số phức z = 2i + 3 khi đó bằng: z 5 12i 5 12i 5 6i 5 6i A. z B. z C. z D. z 13 13 11 11 Câu 53: Số 12 5i bằng: A. - 12.5 B. 7 C. 13 D. ` 119 Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i 3 ) 6 bằng: A. 64 B. 25 C. 24 D. Kết quả khác z1 Câu 55: Tính , với `z1 1 2i và z2 2 i z2 A. 1 - i B. - i C. 1 + i D. I Câu 56: Giá trị `i2008 bằng A. i B. - 1 C. - i D. 1 Câu 57: Nghịch đảo của số phức 5 2i là: 5 2 5 2 5 2 A. ` i B. ` i C. ` i D. 29 29 29 29 29 29 Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: ` x 2y 2x y i 2x y x 2y i 1 1 2 1 2 A. x y B. x ; y C. x y 0 D. x ; y 2 3 3 3 3 Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 bằng A. i B. Kết quả khác C. – 32i D. 32i Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức (4 3i) (2 5i) là: A. 1 + 7i B. 6 + 2i C. 6 – 8i D. 1 – 7i Câu 61: Các căn bậc hai của 8 + 6i là Trang 8
9. 1 3 i 1 3 i 1 3 i A. Kết quả khác B. C. D. 2 3 i 2 3 i 2 3 i Câu 62: Số nào sau đây bằng số 2 i 3 4i A. 5 4i B. 6 11i C. 10 5i D. 6 i 2 i 1 2i 2 i 1 2i Câu 63: Cho z . Trong các két luận sau, kết luận nào đúng? 2 i 2 i 22 A. z.z B. z là số thuần ảo C. z ¡ D. z z 22 5 Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được: A. z = 5 + 3i B. z = - 1 – 2i C. z = 1 + 2i D. z = - 1 – i Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được: A. z 2 5i B. z 5i C. z 6 D. z 1 7i Câu 66: Kết quả của phép tính (2 3i)(4 i) là: A. 6 - 14i B. - 5 - 14i C. 5 - 14i D. 5 + 14i Câu 67: Số phức z = 1 i 3 bằng: A. 4 3i B. 3 2i C. 4 4i D. 2 2i Câu 68: Số phức z thỏa mãn: 1 i z 2 3i 1 2i 7 3i . là: 3 1 1 1 3 1 3 A. z 1 i B. z i C. z i D. z i . 2 2 2 2 2 2 2 3 4i Câu 69: Số phức z bằng: 4 i 16 11 16 13 9 4 9 23 A. z i B. z i C. z i D. z i 15 15 17 17 5 5 25 25 4 i Câu 70: Thực hiện các phép tính sau: A = (2 3i)(1 2i) ;. 3 2i 114 2i 114 2i 114 2i 114 2i A. B. C. D. 13 13 13 13 Câu 71: Rút gọn biểu thức z i (2 4i) (3 2i) ta được: A. z 1 2i B. z –1– i C. z –1– i D. z 5 3i Câu 72: Rút gọn biểu thức z i(2 i)(3 i) ta được: A. z 6 B. z 1 7i C. z 2 5i D. z 5i 3 4i Câu 73: Thực hiện các phép tính sau: B = . (1 4i)(2 3i) 3 4i 62 41i 62 41i 62 41i A. B. C. D. 14 5i 221 221 221 Câu 74: Kết quả của phép tính (a bi)(1 i) (a, b là số thực) là: A. a b (b a)i B. a b (b a)i C. a b (b a)i D. a b (b a)i Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x 3y 1) ( x 2y)i (3x 2y 2) (4x y 3)i là: 9 4 9 4 4 9 4 9 A. ; B. ; C. ; D. ; 11 11 11 11 11 11 11 11 Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i là 1 4 2 4 1 4 1 4 A. (x; y) ; B. (x; y) ; C. (x; y) ; D. (x; y) ; 7 7 7 7 7 7 7 7 Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: x2 -y-(2y 4)i 2i là: A. (x; y) ( 3; 3);(x; y) ( 3;3) B. (x; y) ( 3;3);(x; y) ( 3; 3) C. (x; y) ( 3; 3);(x; y) ( 3; 3) D. (x; y) ( 3;3);(x; y) ( 3; 3) Trang 9
10. 2 2 3i Câu 78: Thu gọn z = ta được: A. z 11 6i B. z = - 1 - i C. z 4 3i D. z = - 7 + 6 2i Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được: A. z 4 B. z 9i C. z 4 9i D. z 13 Câu 80: Cho hai số phức z1 1 2i;z2 2 3i . Tổng của hai số phức là A. 3 – 5i B. 3 – i C. 3 + i D. 3 + 5i Câu 81: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x 3 5i y 1 2i 3 35 23i A. (x; y) = ( - 3; - 4) B. (x; y) = ( - 3; 4) C. (x; y) = (3; - 4) D. (x; y) = (3; 4) Câu 82: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 4 + 65 i A. z1 = 3 - 5 i và z2 = - 3 - 5 i B. Đáp án khác C. z1 = - 3 + 5 i và z2 = 3 + 5 i D. z1 = 3 + 5 i và z2 = - 3 - 5 i Câu 83: Các căn bậc hai của số phức 117 44i là: A. 2 11i B. 2 11i C. 7 4i D. 7 4i Câu 84: Cho 2 số thực x, y thỏa phương trình: 2x 3 (1 2y)i 2(2 i) 3yi x . Khi đó: x2 3xy y 49 47 43 A. B. C. D. - 1 45 45 45 Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)2 4 i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Câu 86: Cho các mệnh đề i2 1, i12 1, i112 1, i1122 1. Số mệnh đề đúng là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 4 Câu 87: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i x 3 x 3 x 3 x 1 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 3 1 m Câu 88: Xét số phức z (m R) . Tìm m để z.z 1 1 m(m 2i) . A. m 0,m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 z w Câu 89: Cho hai số phức z và w thoả mãn z w 1 và 1 z.w 0. Số phức là: 1 z.w A. Số thực B. Số âm C. Số thuần ảo D. Số dương 2017 1 i Câu 90: Cho số phức z . Khi đó z.z7 .z15 1 i A. i B. 1 C. i D. 1 Câu 91: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + + (1 + i)20 bằng: A. 210 B. 210 + 1 C. 210 – 1 D. - 210 Câu 92: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? A. z z là một số thực B. z z là một số ảo C. z.z là một số thực D. z2 z 2 là một số ảo Câu 93: Tổng ik + ik + 1 + ik + 2 + ik + 3 bằng: A. i B. - i C. 1 D. 0 C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3D, 4D, 5A, 6A, 7A, 8D, 9C, 10D, 11D, 12A, 13D, 14B, 15B, 16A, 17D, 18D, 19A, 20D, 21C, 22B, 23B, 24A, 25A, 26B, 27C, 28B, 29B, 30A, 31A, 32D, 33D, 34C, 35B, 36B, 37C, Trang 10
11. 38D, 39C, 4DC, 41C, 42B, 43D, 44C, 45D, 46A, 47D, 48D, 49D, 50C, 51D, 52A, 53C, 54A, 55D, 56D, 57C, 58C, 59D, 60B, 61D, 62C, 63C, 64D, 65D, 66C, 67D, 68D, 69B, 70B, 71C, 72B, 73B, 74B, 75B, 76C, 77C, 78D, 79D, 80B, 81D, 82D, 83A, 84A, 85C, 86A, 87C, 88B, 89D, 90A, 91B, 92D, 93D. Trang 11
12. DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT A – CÁC VÍ DỤ (1 i)(2 i) Ví dụ 1: Tìm mô đun của số phức z 1 2i 5 i 1 Giải: Ta có : z 1 i 5 5 2 1 26 Vậy, mô đun của z bằng: z 1 5 5 (1 i 2) 1 i 2 Ví dụ 2: Tìm môđun của z biết z 2z (1) 2 i 2 (1 i 2) 1 2i i 2i 2 2i2 Giải: (1) a bi 2a 2bi 2 i 2 i (2i 2 2) 2 i i(4 2 2) 4 2 2 3a bi 4 i2 5 4 2 2 4 2 2 a ;b 15 5 32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2 z 225 15 5(z i) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 2 i (1) . Tính môđun của số phức  1 z z2 . z 1 Giải: Giả sử z=a+bi 5(a bi i) (1) 2 i a bi 1 5a 5i(b 1) 2a 2bi 2 ai bi2 i 3a 2 b i(5b 5 2b a 1) 0 3a 2 b 0 a 1 z 1 i 3b a 4 0 b 1  1 1 i 1 2i 1 2 3i  4 9 13 2(1 2i) Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z 7 8i (1) . Tìm môđun của số phức  z 1 i 1 i Giải: Giả sử z a bi 2(1 2i) (1) (2 i)(a bi) 7 8i 1 i 2(1 2i)(1 i) 2a 2bi ai bi2 7 8i 1 i2 2a b 3 7 a 3 2a 2bi ai bi 1 i 2i 2i2 7 8i 2b a 1 8 b 2 Do đó  3 2i 1 i 4 3i  16 9 5 . Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i (1) Giải: (1) (2a 2bi 1))(1 i) (a bi 1)(1 i) 2 2i 2a 2ai 2bi 2bi2 1 i a ai bi bi2 1 i 2 2i 3a 3ba ai bi 2i 2 2i Trang 12
13. 1 a 3a 3b 2 3 1 1 2 Suy ra z . a b 2 2 1 9 9 3 b 3 n Ví dụ 6: Tìm n là số nguyên dương và n 1,10 sao cho số phức z 1 i 3 là số thực n n Giải: Ta có: 1 + i 3 = 2 cos isin z = 2n cos isin 3 3 3 3 n n Để z R 2n.sin = 0 sin = 0 n chia hết cho 3, mà n nguyên dương [1;10] n 3 3 [3;6;9] B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 i Câu 1: Mô đun của số phức  z z2 , với (2 i).z 5 i bằng: 1 i A. 2 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 3 2 Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ? 2 3i A. ( 2 3i) ( 2 3i) B. (2 2i)2 C. D. ( 2 3i).( 2 3i) 2 3i Câu 3: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? A. | z | 1 B. z là một số ảo C. z ¡ D. | z | 1 Câu 4: Cho số phức z thỏa | z 1 2i | | z |. Khi đó giá trị nhỏ nhất của | z | là: 5 A. 1 B. 5 C. 2 D. 2 a b 2 Câu 5: Tìm các số phức a và b biết biết phần ảo của a là số dương. a.b 9 A. a 2 8i,b 2 8i B. a 1 3i,b 1 3i C. a 1 5i,b 1 5i D. a 1 8i,b 1 8i Câu 6: Khi số phức z thay đổi tùy ý thì tập hợp các số 2z 2z là A. Tập hợp các số thực dương B. Tập hợp tất cả các số thực C. Tập hợp tất cả các số phức không phải là số ảo D. Tập hợp các số thực không âm 1 Câu 7: Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn z . Mệnh đề nào dưới đây là đúng z A. z là số thực B. z có mô đun bằng -1 C. z là số thuần ảo D. z có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn x2 y2 1 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn: 3(z 1 i) 2i(z 2) . Khi đó giá trị của | z(1 i) 5 | là: A. 4 B. 29 C. 5 D. 6 Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i. Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ? A. m = -2 hoặc m = 3 B. m = -1 hoặc m = 6 C. m = 2 hoặc m = -3 D. m = 1 hoặc m = 6 (2 i)3 (2 i)3 Câu 10: Số phức liên hợp của số phức z là: (2 i)3 (2 i)3 2 2 A. i B. 2 i C. 2 i D. i 11 11 z 2z 1 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z 2i . Mô đun của số phức w z2 là: Trang 13
14. A. 2 2 B. 5 C. 10 D. 2 5 (1 3i)3 Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z . Mô đun của số phức w = z iz 1 i A. 16 B. 8 C. 8 3 D. 8 2 Câu 13: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3 2i)z (2 i)2 4 i . Phần ảo của số phức w (1 z)z là: A. 2 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 14: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z 3z 1 2i 2 là: A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 Câu 15: Số phức z thỏa mãn 1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z có mô đun là A. 1 B. 5 C. 17 D. 13 Câu 16: Cho số phức z thỏa 1 i 2 (2 i)z 8 i 1 2i z . Phần thực của số phức z là: A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 17: Mô đun của số phưc z 1 4i 1 i 3 là: A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 2(1 2i) Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 7 8i . Mô đun của số phức w z i 1 1 i A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 19: Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 4i(i 1) 7 21i A. z 5 B. z 3 7 C. z 2 3 D. z 9 Câu 20: Cho số phức z thõa mãn điều kiện: 2 3i z 4 i z 1 3i 2 . Phần ảo của z là: A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 1 Câu 21: Số phức liên hợp của z (1 i)(3 2i) là: 3 i 53 9 53 9 53 9 53 9 A. z i B. z i C. z i D. z i 10 10 10 10 10 10 10 10 (1 3i)3 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z . Mô đun của số phức w = z iz 1 i A. 8 B. 16 C. D. 8 3 Câu 23: Cho số phưc z thỏa điều z z 1 i z z 2 3i 4 i . Phần ảo của là: 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2 3 4 3i 2 Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn: 1 z z 3 i 8 13i 2i 1 A. 2 B. 3 C. 1 D. 7 2 Câu 25: Cho z . Số phức liên hợp của z là: 1 i 3 1 3 1 3 A. 1 i 3 B. i C. i D. 1 i 3 2 2 2 2 (4 3i)(2 i) Câu 26: Cho w z2 z 1 tìm phần thực của số phức nghịch đảo của w biết: z 5 4i 63 3715 3715 34 A. B. C. D. 41 27389 1681 41 Câu 27: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): Trang 14
15. 1) Số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau z 2 3i z 2 3i 2) Với thì mô đun của z là: 3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z 4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2 là một đường tròn. 3 5) Phương trình: z 3zi 1 0 có tối đa 3 nghiệm. Số nhận định đúng là: A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn (3 i)z (2i 1) z 4i 3. Khi đó phần thực của số phức z bằng: A. 5i B. -2 C. 2 D. -5 Câu 29: Số phức z 1 i i2 i3 i20 có phần thực và phần ảo là A. 2 và 0 B. 1 và 0 C. 0 và 2 D. 0 và 1 Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ? A. Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức B. Cho số phức z a bi . Nếu a, b càng nhỏ thì mô đun của z càng nhỏ. C. Mọi biểu thức có dạng A2 B2 đều phân tích được ra thừa số phức. 1 ti D. Mọi số phức z 1 và có mô đun bằng 1, có thể đặt dưới dạng: z , với t ¡ . 1 ti Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng: A. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có bình phương bằng nhau. B. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có căn bậc hai bằng nhau. C. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có phần ảo bằng nhau. D. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nó có mô đun bằng nhau. Câu 32: Mô đun của 2iz bằng A. 2 z B. 2 z C. 2z D. 2 Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn: z 2i 1 z 10 và có phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó. Tìm môđun của z ? 5 5 5 5 A. z B. z C. z D. z 2 2 3 2 Câu 34: Cho số phức z a bi và số phức z ' a ' b'i . Số phức z.z ' có phần ảo là: A. aa ' bb' B. 2 aa ' bb' C. ab' a 'b D. ab a 'b' Câu 35: Số nào trong các số sau là số thực ? A. 2 2i 2 B. 2 3i 2 3i 2 3i C. 2 3i 2 3i D. 2 3i 5 z i Câu 36: Cho số phức z thỏa 2 i . Tính mô đun của số phức w 1 z z2 : z 1 3 13 A. B. 13 C. 2 D. 2 8 Câu 37: Số nào trong cách số sau là số thực ? A. 2 i 5 2 i 5 B. 3 2i 3 2i 2 2 i C. 1 i 3 D. 2 i Câu 38: Với mọi số ảo z, số z2 z 2 là A. Số 0 B. Số thực âm C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 Trang 15
16. Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn (2 3i).z (4 i).z (1 3i)2 0 . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đó 2a 3b A. 11 B. 1 C. 19 D. 4 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z i 3 2z . Mô đun của số phức 2i 1 iz bằng: A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Câu 41: Cho z m 3i,z ' 1 m 1 i. Giá trị nào của m đây để z.z ' là số thực ? A. m 1 hay m 6 B. m 2 hay m 3 C. m 2 hay m 3 D. Đáp án khác Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 3iz 2 3i z 2 4i . Mô đun của số phức 2iz bằng: A. 1 B. 2 2 C. 2 D. 2 x2 y2 i 2xy z Câu 43: Mô đun của số phức x y 2i xy bằng: 2 2 2 2 A. x 8y xy B. Kết quả khác. C. 1 D. 2x 2y 3xy Câu 44: Cho số phức z 3 i . Số n N* để zn là số thực là A. n 4k 2, k N* B. n 6k, k N* . C. n 5k 1, k N* D. n 3k 3, k N* Câu 45: Số nào trong các số sau là số có phần ảo âm: A. 2 3i 2 3i B. 2 2i 2 2 3i C. 2 3i 2 3i D. 2 3i 7 17i Câu 46: Số phức z có phần thực là 5 i A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Câu 47: Số phức z thỏa mãn iz 2 i 0 có phần thực bằng: A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 48: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A. 7 i 7 i B. 10 i 10 i C. 5 i 7 5 i 7 D. 3 i 3 i Câu 49: Phần thực và phần ảo của số (2 – i). i. (3 + i) lần lượt là: A. 1 và 7 B. 1 và 0 C. 0 và 1 D. 1 và 3 Câu 50: Xét các câu sau: 1) Nếu z z thì z là một số thực 2) Mô đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z. 3) Mô đun của một số phức z bằng số z.z Trong 3 câu trên: A. Cả ba câu đều đúng B. Chỉ có 1 câu đúng C. Cả ba câu đều sai D. Chỉ có 2 câu đúng Câu 51: Mô đun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i là: 2 2 2 A. 2 B. C. D. Đáp án khác 3 3 3 1 3i Câu 52: Cho số phức z thỏa: z . Khi đó mô đun của số phức z iz bằng: 1 i A. 8 B. 8 2 C. 8 D. 16 Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai A. Trong tập hợp số phức, mọi số đều có số nghịch đảo B. Căn bậc hai của mọi số thực âm là số phức Trang 16
17. C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba D. Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là không đúng A. Tập hợp số thực là tập con của số phức B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox 1 9i Câu 55: Ta có số phức z thỏa mãn z 5i . Phần ảo của số phức z là: 1 i A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 56: Những số vừa là số thuần ảo, vừa là số thực là: A. Chỉ có số 0 B. Chỉ có số 1 C. 0 và 1 D. Không có số nào Câu 57: Cho hai số phức z1 2 5i;z2 3 4i . Phần thực của số phức z1.z2 là: A. 26 B. 27 C. 25 D. 28 Câu 58: Phần ảo của số phức z (1 2i).(2 i)2. là: A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 Câu 59: Cho số phức z thỏa (1 2i)2.z z 4i 20 . Mô đun số z là: A. 10 B. 5 C. 4 D. 6 Câu 60: Phần thực của số phức z (3 2i)2 (2 i)3. là: A. 7 B. 5 C. 8 D. 6 Câu 61: Số phức z thỏa mãn: z 2 z z 2 6i có phần thực là: 3 2 A. B. 1 C. D. 6 4 5 Câu 62: Cho số phức z i 3 . Giá trị phần thực của A. 0 B. 512 C. Giá trị khác D. 512 Câu 63: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu ? biết z ( 2 i)2 (1 2i) A. 2 B. -2 C. 2. D. 2. Câu 64: Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4. Tổng mô đun của chúng bằng A. 5 B. 10 C. 8 D. 4 Câu 65: Mô đun của số phức z (1 2i)(2 i)2 là: A. 5 5 B. 16 2 C. 5 2 D. 4 5 Câu 66: Phần ảo của số phức z ( 2 i)2 (1 2i) bằng: A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 Câu 67: Cho số phức z 3 2 3i 4 2i 1 . Nhận xét nào sau đây về số phức liên hợp của z là đúng: A. z 10 i B. z 10 i C. z 3 2 3i 4 2i 1 D. z i 10 Câu 68: Cho số phức z 5 12i . Mệnh đề nào sau đây là sai: A. Số phức liên hợp của z là z 5 12i B. w 2 3i là một căn bậc hai của z 5 12 C. Môđun của z là 13 D. z 1 i 169 169 2 i Câu 69: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i 3)z (2 i)z . Mô đun của số phức w z i là: i 26 6 2 5 16 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 70: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ? A. Mô đun của số phức z là một số thực Trang 17