Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 8: Tương giao hai đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Kiến thức trọng tâm và phương pháp giải toán Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm Lớp 12 - Chủ đề 8: Tương giao hai đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

1. TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. CHUẨN KIẾN THỨC Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) . Số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình: f(x) g(x) . Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau : Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) 0 (m là tham số) Phương pháp giải: * Ta biến đổi phương trình F x,m 0 về dạng f x g m , trong đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số y f x hoặc có thể dễ dàng vẽ được * Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: y g m Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) g(x) ( ) . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH. Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT. Các ví dụ Ví dụ 1 : Định m để đồ thị của hàm số y x3 mx2 2m cắt trục Ox tại điểm duy nhất. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y 3x2 2mx x(3x 2m) Khi m = 0 thì y 3x2 0 hàm số đồng biến trên ¡ thoả yêu cầu bài toán. 2m Khi m 0 thì hàm số cho có 2 cực trị x 0 , x . 1 2 3 4m3 Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi y(x ).y x 0 2m 2m 0 1 2 27 2 m 0 2 2m 4m 1 0 3 6 3 6 27 m 2 2 211
2. 3 6 3 6 Vậy, với khi m ; thì đồ thị của hàm số cắt Ox tại điểm duy nhất. 2 2 Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y x3 3m2x 2m tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Để đồ thị của hàm số tiếp xúc trục hoành hai điểm phân biệt thì đồ thị của hàm số phải có 2 điểm cực trị y 0 có 2 nghiệm phân biệt, tức là 3x2 3m2 0 có 2 nghiệm phân biệt m 0 Với m 0 thì y' 0 có 2 nghiệm x m và y( m) 2m3 2m, y(m) 2m3 2m Đồ thị của hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt y( m) 0 hoặc y(m) 0 . Với y( m) 0 2m3 2m 0 m 0 (loại) Với y(m) 0 2m3 2m 0 m 0 hoặc m 1 Vậy, với m 1 thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y x3 mx2 m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt khi đồ thị của hàm số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu. x 0 y m 2 Ta có: y' 3x 2mx và y' 0 2m 4 x y m3 m 3 27 Hàm số có hai cực trị m 0 2m 4 3 Hai giá trị cực trị trái dấu y(0).y 0 m . m m 0 3 27 3 3 m2.(4m2 27) 0 4m2 27 0 (m 0) m 2 3 3 Vậy, với m đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt 2 Ví dụ 4 : Định m để đồ thị của hàm số y x4 mx2 m 1 cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x4 mx2 m 1 0 (1) 212
3. Đặt t x2 , t 0 , khi đó: (1) t2 mt m 1 0 (2) t 1 hoặc t m 1 Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt khi (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 m 1 1 1 m 2 . Ví dụ 5 : Tìm m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị C : y 2x3 6x2 1 tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho A 0;1 và B là trung điểm của AC . Lời giải. Đường thẳng y mx 1 cắt C tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2x3 6x2 1 mx 1 có ba điểm phân biệt x 2x2 6x m 0 có ba nghiệm phân biệt 2x2 6x m 0 có hai nghiệm phân biệt x 0 9 ' 0 9 2m 0 m 2 2 2.0 6.0 m 0 m 0 m 0 Với điều kiện thì đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị C ba điểm phân biệt A 0;1 , B,C . x 2x 2 1 Vì B là trung điểm của AC nên có: mx 1 1 x2 2x1 1 2 mx 1 2 1 x x 3 1 2 Theo định lý Vi – et , ta có: m 2 x .x 1 2 2 Từ 1 và 2 suy ra m 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 1. Cho hàm số y x3 mx 2 . Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất . 2. Cho hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6mx 2 . Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất . Bài 2: 1. Định m để đồ thị của hàm số y x3 3x2 (2m 1)x 4m 2 tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt. 2. Cho hàm số y x4 2m2x2 m4 2m . Chứng minh đồ thị của hàm số luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m 0 . Bài 3: Tìm m ¡ để: 213
4. 3 2 1. Hàm số y x 3m x 2m có đồ thị là Cm tiếp xúc Ox tại đúng 2 điểm phân biệt. 4 2 2 Bài 4: Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x 2(m 1)x m 3m . Tìm m để Cm và trục hoành: 1. Có 4 điểm chung phân biệt. 3. Có hai điểm chung 2. Có 3 điểm chung. 4. Không có điểm chung. Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC. Các ví dụ Ví dụ 1 : Cho hàm số y x3 2 m 1 x2 m2 4m 1 x 2 m2 1 , có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 . Lời giải. Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương trình : x3 2 m 1 x2 m2 4m 1 x 2 m2 1 0 x 2 x2 2mx m2 1 0 x 2 hoặc f(x) x2 2mx m2 1 0 Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 tức là phải có f(x) 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và có hoành độ nhỏ hơn 3 . f(2) 0 m2 4m 3 0 f(x) 0 2 nghiệm phân biệt khác 2 m 2 7 2 ' 0 2m 1 0 Với m 2 7 thì f(x) 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa x1 x2 3 3 x1 3 x2 0 x x 3 x x 9 0 Nên có hệ : 1 2 1 2 3 x1 3 x2 0 x1 x2 6 x x m2 1 Theo định lý viét, ta có 1 2 x1 x2 2m m2 1 3 2m 9 0 m2 6m 8 0 3 17 m 3 17 Do đó ta có 2m 6 m 3 m 3 3 17 m 3 17 . Đối chiếu điều kiện m 2 7 , thu được m 3 17; 3 17 \ 2 7 Vậy, với m 3 17; 3 17 \ 2 7 thỏa đề bài. 214
5. Ví dụ 2 : Cho hàm số y x4 2(m 1)x2 2m 1 ,tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 Lời giải. Số giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là số nghiệm của phương trình : x4 2(m 1)x2 2m 1 0 1 Đặt t x2 ,t 0 thì 1 trở thành: f(t) t2 2(m 1)t 2m 1 0 . Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 m2 0 0 t1 t2 3 f t có 2 nghiệm phân biệt t , t sao cho: f(0) 2m 1 0 1 2 0 t 3 t 1 2 S 2(m 1) 3 m2 0 f(3) 4 4m 0 1 hoặc , nghĩa là phải có: m hoặc m 1 S 2(m 1) 0 2 P 2m 1 0 1 Vậy, với m hoặc m 1 thỏa mãn bài toán. 2 1 2 Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y x3 mx2 x m cắt trục hoành tại 3 3 2 2 2 ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 15 Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ 1 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 mx2 x m 0 3 3 x3 3mx2 3x 3m 2 0 (x 1) x2 1 3m x 3m 2 0 (1) x 1 hoặc g(x) x2 (1 3m)x 3m 2 0 (2) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức phải có hệ: (1 3m)2 4(3m 2) 0 3m2 2m 3 0,m m 0 (a) g(1) 6m 0 m 0 Giả sử x3 1; x1 , x2 là nghiệm của (2). Ta có: x1 x2 3m 1; x1x2 3m 2 . 2 2 2 2 Khi đó: x1 x2 x3 15 (x1 x2 ) 2x1x2 1 15 (3m 1)2 2(3m 2) 14 0 m2 1 0 m 1 m 1 (b) Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m 1 hoặc m 1. 215
6. Ví dụ 4. Hàm số y x3 2(m 1)x2 (5m 2)x 2m 4 (1) , m là tham số . Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số (1) . Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho : 1. A là trung điểm của đoạn BC 2. B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 . 3. BC có độ dài nhỏ nhất. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và Ox . x3 2(m 1)x2 (5m 2)x 2m 4 0 ( ) (x 2)(x2 2mx m 2) 0 x 2, g(x) x2 2mx m 2 0 (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C Phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt phương trình g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 . 2 ' 2 1 7 m ¡ g 0 m m 2 m 0 2 2 4 2 m . g(2) 0 m 3 4 4m m 2 0 3 1. A là trung điểm của đoạn BC Vì ba điểm A,B,C thuộc trục hoành do đó A là trung điểm của BC x x 2m 2 x B C 2 m 2 ( thỏa mãn điều kiện m ). A 2 2 3 2. B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 . Gọi x1 ,x2 là hoành độ của B,C , cũng là nghiệm phương trình g(x) 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 Theo bài toán, ta có: 1 1 1 2 x2 1 x2 1 0 (x1 1)(x2 1) 0 x x 2 2m 2 m 1 1 2 m 1 x1x2 (x1 x2 ) 1 0 m 2 2m 1 0 m 1 Vậy, m 1 là giá trị cần tìm. Cách khác: 2 2 Hai nghiệm của g(x) 0 là x1 m m m 2 , x2 m m m 2 . x1 1 2 2 Vì x1 x2 nên x2 1 m m m 2 1 m m 2 1 m x2 1 m2 m 2 0 m ¡ 1 m 0 m 1 m 1. 2 2 m 1 m m 2 m 2m 1 3. BC có độ dài nhỏ nhất. 216
7. 2 2 1 7 BC x1 x2 2 m m 2 2 m 7. 2 4 1 1 2 BC 7 m 0 m (thỏa điều kiện m ). 2 2 3 Chú ý. Ta cũng có thể dùng định lí Vi-et để tính BC như sau 2 2 2 2 2 BC x1 x2 (x1 x2 ) 4x1x2 4m 4(m 2) 4(m m 2) . ÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 2 Bài 1. Cho hàm số y x 2 m 1 x 2m 1 có đồ thị là Cm , m là tham số. Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 . Bài 2. Cho hàm số y x4 2mx2 m 3 ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1 x2 x3 1 2 x4 . 3 2 Bài 3: Cho hàm số y = x 3x (m 2)x m 2 ( m là tham số ) (1).Gọi Cm là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để 1. Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt . 2. Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 (4m 3)x2 (m 2)x 3m có hai cực trị trái dấu. 2. y x3 3(m 1)x2 3mx m 1 cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm. 3. y x4 – 3m 2 x2 3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 4 2 2 4. y x 2mx m 1 (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3mx2 (3m 1)x 6m 6 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành 2 2 2 độ x1 ,x2 ,x3 thỏa x1 x2 x3 x1x2x3 20 2. y x3 2x2 (3m 1)x m 3 cắt đường thẳng d : y (1 m)x m 5 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 1 x3 . 4 2 3. y x (3m 2)x 3m (Cm) cắt đường thẳng y 1 tại bốn điểm phân biệt có 2 2 2 2 hoành độ x1 ,x2 , x3 , x4 thỏa : x1 x2 x3 x4 x1x2x3x4 4 . 217
8. 3 2 2 2 Bài 5: Tìm m để đồ thị (Cm ) y x (2m 3)x (2m m 9)x 2m 3m 7 cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất. Bài 6: 3 2 1. Tìm m ¡ để đồ thị Cm : y x 3mx 3x 3m 2 cắt trục Ox tại 3 điểm 2 2 2 phân biệt có hoành độ là x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn : x1 x2 x3 15 . 2. Tìm m để hàm số y x4 4mx2 4m cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt M, N, P, Q ( xM xN xP xQ ) sao cho MQ 2NP . 4 2 2 Bài 7: Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y x (3m 1)x 2m 2m 12 , m là tham số . 1.Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 và một điểm có hoành độ lớn hơn 2. 2. Tìm m để (Cm ) và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C sao cho tam giác ABC đều với A(0;2). Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ HOÀNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. Phương pháp giải 1. Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax3 bx2 cx d (a 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng. (C) cắt trục hoành nên có: ax3 bx2 cx d 0 ( ) x1 ,x2 ,x3 lập thành một cấp số cộng phương trình ( ) có 3 nghiệm x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x1 x3 2x2 (1) 3 2 Khi đó: ax bx cx d a(x x1)(x x2 )(x x3 ) 3 2 a x (x1 x2 x3 )x (x1x2 x2x3 x3x1)x x1x2x3 (2) b Từ (1) và (2) suy ra x 2 3a b Thế x vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm. 2 3a Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được. 2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân. Giả sử ( ) có 3 nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành cấp số nhân phương trình ( ) có 3 2 nghiệm x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x1x3 x2 (3) . 218
9. d Từ (3) và (2) suy ra x3 là 1 nghiệm của ( ) . 2 a d Thế x 3 vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm. 2 a Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được. 3. Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax4 bx2 c (a 0) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng ax4 bx2 c 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt at2 bt c 0 (t x2 ) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1 ,t2 (giả sử t1 t2 ) 1 Khi đó các nghiệm của (1) là: t2 ; t1 ; t1 ; t2 . Vì t2 ; t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên t2 t1 t1 t1 t2 9t1 2 Giải điều kiện: 1 , 2 Các ví dụ Ví dụ 1 : 1. Định m để đồ thị của hàm số y x3 3x2 9x m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng. 3 2 2 2 2. Cho hàm số y x 4m 5 x 3m 12m 8 x 7m 8m có đồ thị Cm . Với m là tham số thực. Tìm m để Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 9x m 0 ( ) Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 (x1 x2 x3 ) thì x1 ,x2 ,x3 là nghiệm của phương trình ( ) . 3 2 Khi đó: x 3x 9x m (x x1)(x x2 )(x x3 ) 3 2 x (x1 x2 x3 )x (x1x2 x2x3 x3x1)x x1x2x3 x1 x2 x3 3 (1) Do x1 ,x2 ,x3 lập thành một cấp số cộng x1 x3 2x2 (2) . Thế (2) vào (1) ta có : x2 1 . Thay x2 1 vào phương trình ( ) , tìm được m = 11. 219
10. Với m = 11 thì phương trình ( ) x3 3x2 9x 11 0 (x 1)(x2 2x 11) 0 , phương trình này có 3 nghiệm x1 1 2 3 , x2 1 , x3 1 2 3 thỏa mãn điều kiện x1 x3 2x2 Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng có công sai d 2 3 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Hoành độ giao điểm của trục hoành và Cm là nghiệm của phương trình x3 4m 5 x2 3m2 12m 8 x 7m2 8m 0 x m x2 3m 5 x 7m 8 0 x m hoặc g x x2 3m 5 x 7m 8 0 Để Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g x có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có: 1 17 2 m 1 0 9m 2m 7 0 2 g m 0 2m2 2m 8 0 7 1 17 m 9 2 Với điều kiện thì Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số cộng. Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của phương trình hoành độ là x0 d, x0 , x0 d với d là công sai. Khi đó đẳng thức sau luôn đúng 3 2 2 2 x 4m 5 x 3m 12 8 x 7m 8m x x0 d x x0 x x0 d 4m 5 3x0 3 2 2 2 2 2 4m 5 4m 5 7m 4m 1 3m 12m 8 3x d 7m 8m . 0 3 3 3 2 3 2 7m 8m x0 x0d 11 10m3 51m2 6m 55 0 m  hoặc m 5 hoặc m 10 1 17 7 1 17 Kết hợp với điều kiện m 1 hoặc m 2 9 2 11 Vậy m 1 hoặc m 5 hoặc m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 10 220
11. Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y x4 2(m 2)x2 2m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 ,x4 lập thành cấp số cộng. Lời giải. Hàm số đã cho xác định D ¡ Phương trình hoành độ giao điểm: x4 2(m 2)x2 2m 3 0 (1) Đặt t x2 ,t 0 thì (1) trở thành g(t) t2 2(m 2)t 2m 3 (2) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 ,x4 (1) có bốn nghiệm phân biệt x1 ,x2 ,x3 ,x4 (x1 x2 x3 x4 ) (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ,t2 (t1 t2 ) , tức lá phải có : 2 2 ' (m 2) 2m 3 0 (m 1) 0 3 m S 2(m 2) 0 m 2 2 P 2m 3 0 3 m 1 m 2 t t 2(m 2) (a) Theo định lí Viet, ta có: 1 2 . t1t2 2m 3 (b) Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 t2 . Ta có: x1 ,x2 ,x3 ,x4 lập thành một cấp số cộng x2 x1 x3 x2 x4 x3 t1 t2 t1 t1 t2 t1 t2 9t1 (c) 1 9 Từ (a) và (c), ta có: t (m 2), t (m 2) . 1 5 2 5 1 9 13 Thế vào (b), ta được: (m 2). (m 2) 2m 3 9m2 14m 39 0 m 5 5 9 hoặc m 3 (thỏa ). 13 Vậy, với m hoặc m 3 thỏa mãn bài toán 9 Ví dụ 3 : 1. Định m để đồ thị của hàm số y x3 3mx2 (m 1)x 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân. 3 2 2. Cho hàm số y x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 . Tìm m để Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Lời giải. 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ 221
12. Phương trình hoành độ giao điểm: x3 2m 5 x2 14mx 8 0 ( ) Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân. 3 2 Khi đó ta có: x 2m 5 x 14mx 8 (x x1)(x x2 )(x x3 ) x1 x2 x3 2m 5 Suy ra: x1x2 x2x3 x1x3 14m x1x2x3 8 2 3 x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân x1x3 x2 x2 8 x2 2 3 2 Với x2 2 là nghiệm của phương trình ( ) , nên có: 2 2m 5 2 14m.2 8 0 hay m 1 Với m 1 thay vào ( ) ta được: x3 7x2 14x 8 0 x 1 x 2 x 4 0 x 1 hoặc x 2 hoặc x 4 thấy thỏa mãn. Vậy, m 1 thỏa mãn đề bài. 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và Cm là nghiệm của phương trình x3 3m 1 x2 2 3m 1 x 8 0 Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x1 , x2 , x3 với 2 x1x3 x2. 1 3 2 Khi đó: x 3m 1 x 2 3m 1 x 8 x x1 x x2 x x3 2 3 2 Phân tích vế trái trở thành x x1 x2 x3 x x1x2 x2x3 x3x1 x x1x2x3 3m 1 x1 x2 x3 Phương trình 2 xảy ra 2 3m 1 x1x2 x2x3 x3x1 8 x1x2x3 3 Từ 1 ta có 8 x1x2x3 8 x2 x2 2 x1 x3 3m 1 nên x1 , x3 là nghiệm của 2 phương trình t 3m 1 t 4 0 và x1 , x3 2 tức là có hệ: 2 5 3m 1 4.4 0 3m 5 3m 3 0 m 3 4 3m 1 2 4 0 5 3m 0 m 1 Cách 2: x3 3m 1 x2 2 3m 1 x 8 0 2 x x2 3 m 1 x 4 Do đó x 2 và g x x2 3 m 1 x 4 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4. 222
13. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 2 Bài 1: Cho hàm số y x 2 m 1 x 2m 1 có đồ thị là Cm . Định m để đồ thị Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 4 2 Bài 2: Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x (3m 2)x 2m 5m 1 , m là tham số . Tìm m để Cm cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt 1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 2. Có hoành độ lớn hơn – 4 . Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3x2 (4m 1)x 2m2 3 cắt Ox tại ba điểm A,B,C sao cho AB BC . 2. y x4 2mx2 2m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm A,B,C,D sao cho AB BC CD . 3. Cho hàm số y x3 px2 pqx q3 có đồ thị là (C) , với p,q là các số thực cho trước thỏa mãn p 3q 0 . Chứng minh rằng (C) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân. 4. y x4 – 10mx2 6m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ. Phương pháp . Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị C : y f x và C' : y g x là : f x g x * . Biện luận số nghiệm của phương trình * , số nghiệm phương trình * là số giao điểm của C và C' . Bài toán 01: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT. Các ví dụ Ví dụ 1 : Định m để đường thẳng (d): y mx 2m 4 cắt đồ thị (C) của hàm số y x3 6x2 9x 6 tại ba điểm phân biệt. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x3 6x2 9x 6 mx 2m 4 x3 6x2 9x 2 m(x 2) (x 2)(x2 4x 1) m(x 2) 0 (x 2)(x2 4x 1 m) (1) x 2 hoặc g(x) x2 4x 1 m 0 (2) 223
14. Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm ' m 3 0 phân biệt khác 2. m 3 g(2) m 3 0 Vậy, với m 3 thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Ví dụ 2 : Định m để đường thẳng d : y x 1 cắt đồ thị (C) y 4x3 6mx2 1tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 4x3 6mx2 1 x 1 x 0 hoặc 4x2 6mx 1 0 (1) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là 2 2 phải có: m hoặc m (2) 3 3 Khi đó giả sử B(x1; x1 1), C(x2 ; x2 1) . x y x x 1 B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y x 1 2 1 2 y1 x2 x2 x1 1 3 2 x x 1 m 1 m (không thoả (2) ). 1 2 2 3 Vậy, không có giá trị m thoả . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y x3 – 3x2 1 có đồ thị là C . Tìm m để đường thẳng : y (2m 1)x – 4m – 1 cắt đồ thị C tại đúng hai điểm phân biệt. Bài 2. Cho hàm số y x3 3mx2 3 m 1 x 2 . Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng ( ) : y 6x 2 tại 3 điểm phân biệt A(0,2), B, C sao cho: uuur uuur AB.AC. 1221 444BC Bài 3. Cho hàm số y x4 2m2x2 1 . Chứng minh rằng đường thẳng y x 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3x2 9x m cắt Ox tại ba điểm phân biệt. 2. y x3 3x2 4 và d là đường thẳng đi qua điểm I 1; 2 của C và có hệ số góc là m cắt C tại ba điểm phân biệt I, M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A 2; 1 224
15. 3. y x3 3mx2 3m(m 2)x m3 3m2 m cắt parabol y – 3x2 tại ba điểm phân biệt. m 1 x m 35 4. Tìm tham số m sao cho đồ thị C : y x3 3x2 và H : y m x 1 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Bài toán 02: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC. Các ví dụ Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng d : y x 10 3m cắt đồ thị C của hàm số 3 2 y x 3mx 9x 1 tại 3 điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt x1 ,x2 ,x3 . 2 2 2 Tìm m để x1 x2 x3 11 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ Phương trình hoành độ giao điểm của C với đường thẳng d là x3 3mx2 8x 3m 9 0 x 1 x2 1 3m x 9 3m 0 1 2 x 1 ( giả sử x3 1 ) hoặc x 1 3m x 9 3m 0 2 . Để đường thẳng d cắt C tại 3 điểm phân biệt thì phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là phải có: 7 5 2 m ;  ; 1 3m 4 9 3m 0 3 3 3 1 1 3m 9 3m 0 11 m 6 x x 3m 1 Với điều kiện 3 , phương trình 2 có 1 2 ( theo định lý Vi – et ) x1x2 9 3m 2 2 2 2 2 x1 x2 x3 11 1 3m 1 2 9 3m 11 m 3 m 3; 3 5 Đối chiếu điều kiện, suy ra m ; 3 là giá trị cần tìm. 3 2mx 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y có đồ thị là C . Với m là tham số thực khác 0 x m m 1 và đường thẳng d có phương trình y 2x . Tìm m để d cắt C tại hai điểm 2 m 2 phân biệt A, B có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 9x1 8x2. Lời giải. 225
16. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng ; m  m; Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Cm là nghiệm của phương trình 2mx 5 1 2x 4x2 x m 10 0 x m x m 2 Đặt g x 4x2 x m 10 Để d cắt Cm tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác m tức phải có: 161 m 0 16m 161 0 16 g m 0 2m2 5m 0 10 m 2 b 1 x x 1 2 a 4 Áp dụng Viet cho x , x ta có 1 2 c m 10 x x 1 2 a 4 2 2 1 Xét điều kiện bài toán x1 9x1 8x2 x1 9x1 8 x1 4 2 x1 x1 2 0 x 1 hoặc x 2. 5 Với x 1 x m 5 1 2 4 7 Với x 2 x m 4 1 2 4 161 10 Kết hợp với điều kiện m và m 16 2 Vậy m 5 hoặc m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. x2 3mx m Ví dụ 3: Cho hàm số y có đồ thị là C Với m là tham số thực và x 2 m đường thẳng d : y x 3. Tìm m để Cm cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm M, N đến đường thẳng 37 : 2x y 5 0 không lớn hơn . 2 Lời giải. Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Cm là nghiệm của phương trình x2 3mx m x 3 g x x2 3m 1 x m 6 0 x 2 x 2 226
17. Để d cắt Cm tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình trên có hai 0 nghiệm phân biện khác 2 tức phải có: g 2 0 2 1 440 2 3m 0 m ¡ 9m 2m 49 0 4 3 9 m 2 7   2 3m 1 m 6 0 4 m 7 b 3m 1 x x 1 2 a 2 Áp dụng Viet cho x , x ta có 1 2 c m 6 x x 1 2 a 2 Ta có: M x1; x1 3 , N x2 ; x2 3 , : 2x y 5 0 3x 2 3x 2 3x1 2 3x2 2 d M; 1 ,d N; 2 d M; .d N; 5 5 5 27m 40 9x x 6 x x 4 2 27m 40 1 2 1 2 5 5 10 37 27m 40 37 145 23 Mà d M; .d N; 27m 40 185 m 2 10 2 5 5 145 23 4 Kết hợp với điều kiện suy ra m và m 5 5 7 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y x3 m2 m 3 x m2 3m 2 1 , trong đó m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 ,x2 ,x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng 2 2 2 thức x1 x2 x3 18 Bài 2. Tìm m để đường thẳng y 2mx cắt đồ thị y x3 2m 1 x2 tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho OA2 OB2 OC2 nhỏ nhất. 4 2 Bài 3. Tìm m để đồ thị Cm của hàm số y x 3m 2 x 3m cắt đường thẳng y 1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 ,x4 thỏa mãn hệ thức : 2 2 2 2 x1 x2 x3 x4 x1x2x3x4 4 . Bài toán 03: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. Các ví dụ 227
18. Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng d : y x 1 cắt đồ thị C hàm số y 4x3 6mx2 1 tại 3 điểm A 0;1 , B, C sao cho: uuur uuur 1. B, C đối xứng qua y x 2. OB.OC 4 Lời giải. d cắt đồ thị C tại 3 điểm A 0;1 , B, C khi 4x3 6mx2 1 x 1 có 3 nghiệm phân biệt tức phương trình 4x2 6mx 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 , nghĩa ' 9m2 4 0 2 là m . 2 4.0 6m.0 1 0 3 Giả sử B x1; x1 1 , C x2 ; x2 1 là giao điểm d và C . x y x 1 1. Để B và C đối xứng nhau qua y x khi và chỉ khi 1 2 2 hay x2 y1 x1 1 3 2 x x 1 m 1 m . 1 2 2 3 Đối chiếu điều kiện, suy ra không có m để thỏa bài toán. uuur uuur 2. OB.OC 4 x1.x2 x1 1 x2 1 4 hay 2x1.x2 x1 x2 5 0 1 3 11 2 m 5 0 m . 4 2 3 3 2 Ví dụ 2 : Cho hàm số y mx 6x 9mx 3 , có đồ thị là Cm . Tìm m để đường 9 thẳng d : y x 3 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A 0; – 3 , B, C thỏa 4 điều kiện B nằm giữa A và C đồng thời AC 3AB. Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ Số giao điểm của đồ thị đã cho với đường thẳng d là số nghiệm của phương trình : 3 2 9 2 9 mx 6x 9mx 3 x 3 x mx 6x 9m 0 1 x 0 hoặc 4 4 9 mx2 6x 9m 0 2 4 Để đường thẳng d đồ thị đã cho cắt tại ba điểm phân biệt A 0; – 3 , B, C khi và chỉ khi phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt A 0; – 3 , B, C tức là 2 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 228
19. m 0 m 0 m 0 9 2 m 1 65 1 65 ' 9 m 9m 0 m 1 0 m 4 4 8 8 9 1 1 9m 0 m m 4 4 4 9 9 Gọi B x ; y , C x ; y với y x – 3, y x – 3 , trong đó x , x là 2 1 1 2 2 1 4 1 2 4 2 1 2 nghiệm của 2 uuur uuur uuur uuur x2 3x1 Ta có AB x1;y1 3 , AC x2 ; y2 3 và AC = AB y2 3 3(y1 3) x2 3x1 3 3 x1 x1 x2 3x1 2m 2m m 1 6 9 9 Ta có hệ: x x x x 1 2 2 2 3 m 2m 2m m 4 9 9 4m2 m 3 0 x1x2 9 x1x2 9 4m 4m Ví dụ 3. 2 Tìm trên C : y 2x 1 hai điểm M,N thỏa mãn hai điều kiện sau: x 1 i) MN song song với đường thẳng y x uuuur uuur ii) AM 4AN với A là giao điểm của đường thẳng MN với trục Ox. Lời giải. MN song song đường thẳng y x Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M,N là y x m (m 0). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2 2x 1 x m x2 (m 2)x m 1 0 (1) (do x = 1 không là nghiệm của x 1 (1)). (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N (1) có hai nghiệm phân biệt (m 2)2 4m 4 0 m2 8 0 m ¡ . m 2 m2 8 m 2 m2 8 Khi đó hai nghiệm của (1) là x , x 1 2 2 2 Giao điểm A của (d) và trục Ox có tọa độ là m;0 Hoành độ của M,N là hai nghiệm của phương trình (1) uuuur uuur x1 m 4x2 4m Vì A,M,N thẳng hàng nên AM 4AN x2 m 4x1 4m 229
20. m 2 m2 8 m 2 m2 8 * x m 4x 4m 4 3m 1 2 2 2 2 2 m 2 m 3 41 5 m 8 9m 6 3 m . 2 41 14 14m 27m 41 0 m 1  m 14 m 2 m2 8 m 2 m2 8 *x m 4x 4m 4 3m 2 1 2 2 2 m 5 m2 8 9m 6 3 m 1. 2 14m 27m 41 0 41 Vậy m = 1 hoặc m . 14 Chú ý . Ta có thể dùng định lí Vi-et để giải bài toán này như sau. uuuur uuur AM 4AN x1 m 4x2 4m x1 4x2 3m . x1 x2 m 2 Kết hợp với định lí Viet ,ta có hệ x1x2 m 1 (I) x1 4x2 3m 2 2m x 2 5 x1 4x2 3m 8 7m (I) 5x 3m m 2 x 2 1 5 x1.x2 m 1 (2 2m)(8 7m) 25(m 1) (a) 41 (a) 14m2 27m 41 0 m 1  m . 14 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x 1 Bài tập . Giả sử đường thẳng y x m cắt đồ thị C của hàm số y tại 2 x 1 điểm phân biệt A,B . I là giao điểm 2 đường tiệm cận. 1. Tìm tham số m để tam giác IAB đều. 2. Gọi d' là đường thẳng đi qua I và cắt đồ thị C của hàm số tại 2 điểm phân uuur 5 uur biệt C,D . Lập phương trình đường thẳng d' để có CD CI . 3 Bài toán 04: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM THUỘC 1 HOẶC 2 NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ. Ví dụ 230