Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Mã đề: 191 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Quốc học Huế (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Lần 1 - Mã đề: 191 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Quốc học Huế (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ KỲ THI THPT QUỐC GIA – LẦN 1 TỔ TOÁN NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – Lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Mã đề thi: 191 MỤC TIÊU - Đề thi thử THPT Quốc Gia Lần 1 trường THPT chuyên Quốc Học Huế năm nào cũng khó và rất khó, và năm nay cũng không ngoại lệ, xuất hiện những câu hỏi vô cùng lạ lẫm đối với học sinh. - Đề thi chủ yếu gồm kiến thức HK1 lớp 12, kiến thức lớp 11, bám sát đề thi chính thức các năm, nhằm giúp học sinh ôn tập đúng trọng tâm nhất. - Đề thi gồm 19 câu NB, 14 câu TH, 11 câu VD, 6 câu VDC, với mức độ phân bố khá sát với đề thi chính thức, tạo cho HS cảm giác giống kì thi thật, giúp học sinh có kinh nghiệm cọ sát khi làm bài thi. Câu 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số là: A. 1.B. 2 C. 3 D. 0. 6log 7 Câu 2: Cho a 0,a 1, tính giá trị biểu thức A a a2 . A. 42 B. 343. C. 21.D. 7. Câu 3: Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có độ dài 3 kích thước lần lượt bằng 1; 2; 3. A. V 2. B. V 4. C. V 6. D. V 3. Câu 4: Khối hai mươi mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là: A. 20; 30; 12 B. 12; 30; 20 C. 30; 12; 20 D. 12; 20; 30. Câu 5: Với mọi hàm số f x , g x liên tục trên ¡ , cho các khẳng định sau: 1
2. (I) f x g x dx f x dx g x dx (II) f x .g x dx f x dx . g x dx (III) Nếu f x dx F x C thì f u du F u C (IV) kf x dx k f x dx với mọi hằng số k ¡ . Có bao nhiêu khẳng định sai? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 V Câu 6: Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích V , khối tứ diện A' BCC ' có thể tích là V . Tính 1 . 1 V 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 6 4 Câu 7: Cho K là một khoảng. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó là đường đi lên từ phải sang trái. B. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. C. Hàm số y f x đồng biến trên K nếu tồn tại một cặp x1, x2 thuộc K sao cho x1 x2 và f x1 f x2 . D. Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên K và f ' x 0,x K thì hàm số đồng biến trên K. 1 x Câu 8: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y . x 1 A. ; 1 ; 1; B. ; C. Không tồn tạiD. ; 1  1; 3x 1 Câu 9: Cho hàm số y có đồ thị H . Điểm nào sau đây thuộc H ? x 2 A. N 1; 4 B. P 1;1 C.Q 3;7 D. M 0; 1 2020x 1 Câu 10: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là 2021x 1 2020 2020 A. y 1 B. x C. y 1 D. y 2021 2021 Câu 11: Cho hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị C . Số giao điểm của C với đường thẳng y 4 là 2
3. A. 2.B. 3.C. 1.D. 0. Câu 12: Tìm hàm số có đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng: A. y cos x B. y cos2 x C. y sin 2x D. y sin2 x Câu 13: Cho n,k ¥ * và n k. Tìm công thức đúng. n! n! n! n! A.C k B. C k C. Ak D. Ak n n k ! k 1 ! n n k ! n n k !k! n n k ! Câu 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau? A. 60480 B. 151200 C. 136080 D. 15120 Câu 15: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ? 1 1 x3 A. y B. y cot x C. y D. y x x2 1 x2 1 Câu 16: Cho khối tứ diện đều ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Sử dụng mặt phẳng trung trực của AB và mặt phẳng trung trực của CD, ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A. MANC, BCDN, AMND, ABND B. MANC, BCMN, AMND, MBND C. ABCN, ABND, AMND, MBND D. NACB, BCMN, ABND, MBND Câu 17: Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R 3cm và chiều cao h 4cm. A.V 36 cm3 B.V 12 cm3 C.V 24 cm3 D. V 48 cm3 h Câu 18: Tính thể tích V của khối nón có chiều cao h và đường kính đáy 2 1 1 1 1 A.V h2 B.V h3 C.V h3 D. V h3 48 48 3 12 Câu 19: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 3
4. 1 A. Hàm số đồng biến trên ; . 2 1 1 B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; ; ;3 . 2 2 C. Hàm số đồng biến trên ; D. Hàm số đồng biến trên ;3 . Câu 20: Tính thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng B và độ dài đường cao bằng 3h. 4 1 2 A.V Bh B.V Bh C.V Bh D. V Bh 3 3 3 Câu 21: Tính thể tích của khối cầu biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 5 . 125 500 A. B. C. 100 . D. 25 . 6 3 1 Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x3 mx2 2m 3 x m 2 đồng 3 biến trên ¡ ? A. 5 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 23: Tìm số nghiệm trên 0; của phương trình sin 5x 0? A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 Câu 24: Tính bán kính R của mặt cầu S biết diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó có giá trị bằng nhau. 3 1 A. R 3 B. R C. R 3 D. R 3 3 Câu 25: Tính giá trị của biểu thức A 3 33x 3 3x biết 3x 3 x 4. A. A 192 B. A 3 C. A 156 D. A 12 Câu 26: Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4
5. a a Câu 27: Biết rằng cos3 x.sin 3x sin3 x.cos3x dx cos 4x C với a,b ¢ , là phân số tối giản b b a 0,b 0 , tính 2a b. A. 13 B. 13 C. 10 D. 10 9 2 1 Câu 28: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x . 2x 21 27 A. B. 84 C. D. 64 16 16 2 Câu 29: Cho phương trình 2 x 4 16x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình vô nghiệm. B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên. C. Tích các nghiệm của phương trình là một số dương. D. Tổng các nghiệm của phương trình là một số dương. Câu 30: Một lớp học có 20 nữ và 15 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ? A. 192375 B. 84075 C. 113750 D. 129254 2 Câu 31: Bất phương trình log2 x x 2 log0,5 x 1 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc 0;2021? A. 2019 B. 2018 C. 2021 D. 2020 mx n Câu 32: Cho hàm số y (m,n,a,b,c là các tham số thực). Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tối đa bao ax2 bx c nhiêu đường tiệm cận (ngang và đứng)? A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Câu 33: Cho một hình trụ và một hình lập phương có cùng chiều cao, đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình lập phương. Tính tỉ số thể tích của khối trụ và khối lập phương đó A. B. C. 2 D. 4 2 Câu 34: Một đoàn tàu gồm 12 toa chở khách (mỗi toa có thể chứa tối đa 12 khách). Có 7 hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để đúng 3 toa có người (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba). A. 0,123 B. 0,011 C. 0,018 D. 0,017 Câu 35: Tung ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lẻ. 1 1 2 A. B. 1C. D. 2 3 3 5
6. Câu 36: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M , N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD. Tính thể tích của khối tứ diện OMNP. 2 2 2 2 A. B. C. D. 192 864 576 1296 Câu 37: Cho tập hợp A 1;2;3; ;90. Chọn từ A hai tập con phân biệt gồm hai phần tử a;b; c;d, tính xác suất sao cho trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập hợp đều bằng 30. 406 29 29 29 A. B. C. D. 4005 572715 267 534534 Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' 3a3 trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' bằng . Tính tang 20 của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy. 2 3 6 3 2 6 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 39: Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi A', B ',C ', D ' lần lượt là điểm đối xứng của A, B,C, D qua các mặt phẳng BCD , ACD , ABD , ABC . Tính thể tích của khối tứ diện A' B 'C ' D '. 2 2 9 2 16 2 125 2 A. . B. C. D. 3 32 81 324 2021 n Câu 40: Tìm tất cả các giá trị dương của n thỏa mãn 3n 7n 32021 72021 . A.1 n 2021 B. 0 n 1 C. n 2021 D. 0 n 2021 2m 1 x m Câu 41: Cho hàm số y m 0 có đồ thị C . Biết rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng x m m d có phương trình y ax b sao cho Cm luôn tiếp xúc với d . Giá trị của a b là A. 3 B. 1 C. 1 D. 2 Câu 42: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x2 x 2 x 3 . Điểm cực đại của hàm số g x f x2 2x là: A. x 3 B. x 0 C. x 1 D. x 1 Câu 43: Cho hàm số y x3 x2 4 có đồ thị C . Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc C sao cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA 2OB (O là gốc tọa độ)? A. 2 B. 4 C. Vô số D. 1 Câu 44: Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới). 6
7. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là (làm tròn đến hàng đơn vị) A. 498 B. 462 C. 504 D. 426 Câu 45: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm O đến các đường thẳng BC,CA, AB lần lượt là a,a 2,a 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC theo a. a 66 11a 2a 33 A. 2a. B. C. D. 11 6 11 Câu 46: Cho hàm số f x x2 m x 2 m 6 x 2x2 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị? A. 5B. 7C. 6 D. 9 Câu 47: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, BAC 1200 và các cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 450. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' biết khoảng cách từ điểm B đến mặt 21 phẳng ACC ' A' bằng . 7 3 3 3 2 3 A. B. C. D. 4 3 6 3 Câu 48: Cho S 1;2;3; ;35 , tìm số cách chọn một tập con của S gồm 26 phần tử sao cho tổng các phần tử của nó chia hết cho 5. A. 15141523 B. 14121492 C. 1321250 D. 131213 Câu 49: Cho hàm số f x sin x m 2 cos x n 2 (m,n là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ m;n sao cho min f x max f x 52? x ¡ x ¡ A. 4 B. 0 C. 8 D. 12 23 1 33 1 x3 1 Câu 50: Cho bất phương trình log 37 3 log 37 3 log 37 3 1 với x ¥ , x 2. Tổng các nghiệm 55 2 1 55 3 1 55 x 1 nguyên của bất phương trình đã cho bằng bao nhiêu? A. 54 B. 228 C. 207 D. 42 HẾT 7
8. BẢNG ĐÁP ÁN 1-C 2-B 3-C 4-B 5-C 6-A 7-B 8-C 9-A 10-D 11-B 12-C 13-D 14-C 15-D 16-B 17-A 18-B 19-B 20-A 21-A 22-D 23-A 24-C 25-C 26-B 27-D 28-A 29-D 30-A 31-D 32-C 33-A 34-D 35-A 36-D 37-B 38-C 39-D 40-D 41-B 42-C 43-A 44-C 45-D 46-A 47-A 48-B 49-D 50-D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1(NB) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định điểm cực đại của hàm số: điểm mà tại đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy xCD 0, yCD 3. Chọn C. Câu 2 (NB) Phương pháp: 1 loga x Sử dụng công thức log n b log b 0 a 1,b 0 ,a x 0 a 1 . a n a Cách giải: 1 6log 7 6. loga 7 3 A a a2 a 2 aloga 7 73 343. Chọn B. Câu 3 (NB) Phương pháp: Thể tích V của khối hộp chữ nhật có độ dài 3 kích thước lần lượt bằng a;b;c là V abc. Cách giải: Thể tích V của khối hộp chữ nhật có độ dài 3 kích thước lần lượt bằng 1;2;3 là V 1.2.3 6 Chọn C. Câu 4 (NB) Phương pháp: Sử dụng công thức: Khối đa diện đều loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì Đ + M – C = 2. 8
9. Cách giải: Khối hai mặt đều là khối 3;5 có M = 20, C = 30 và Đ = 12. Chọn B. Câu 5 (NB) Phương pháp: Sử dụng tính chất của tích phân. Cách giải: Dễ thấy khẳng định (II) và (IV) sai. Khẳng định (IV), với k 0 ta có: VT 0. f x dx 0dx 0 C VP 0. f x dx 0 VT VP Chọn C. Câu 6 (NB) Phương pháp: Phân chia, lắp ghép khối đa diện Cách giải: 1 2 Ta có: V V , mà V V V nên V V . A'.ABC 3 ABC.A'B'C ' A'.ABC A'.BCC 'B' ABC.A'B'C ' A'.BCC 'B' 3 ABC.A'B'C ' 1 1 2 1 Lại có V V V . V V . A'.BCC ' 2 A'.BCC 'B' A'.BBC ' 2 3 ABC.A'B'C ' 3 ABC.A'B'C ' 1 V 1 V V 1 1 3 V 3 9
10. Chọn A. Câu 7 (NB) Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính đơn điệu của hàm số. Cách giải: Đáp án A sai do nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó là đường đi lên từ trái sang phải. Đáp án C sai do hàm số y f x đồng biến trên K nếu tồn tại một cặp x1, x2 thuộc K sao cho f x f x 1 2 0. x1 x2 Đáp án D sai do nếu hàm số y f x có đạo hàm trên K và f ' x 0,x K thì hàm số nghịch biến trên K. Chọn B. Câu 8 (NB) Phương pháp: Tính đạo hàm và suy ra các khoảng đồng biến của hàm số. Cách giải: x 1 2 TXĐ: D ¡ \ 1. Ta có y y ' 0x D. x 1 x 1 2 Do đó hàm số không tồn tại khoảng đồng biến. Chọn C. Câu 9 (NB) Phương pháp: Thay lần lượt từng tọa độ từng điểm vào hàm số. Cách giải: 3. 1 1 4 Thay tọa độ điểm N 1; 4 vào hàm số ta có 4. 1 2 1 Vậy điểm N H . Chọn A. Câu 10 (NB) Phương pháp: ax b a Đồ thị hàm số y có TCN y . cx d c 10
11. Cách giải: 2020x 1 2020 Đồ thị hàm số y có TCN y . 2021x 1 2021 Chọn D. Câu 11 (NB) Phương pháp: Giải phương trình hoành độ giao điểm. Cách giải: x 1 3 2 3 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3x 2 4 x 3x 2 0 . x 1 3 Vậy số giao điểm của C với đường thẳng y 4 là 3. Chọn B. Câu 12 (NB): Phương pháp: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Cách giải: Hàm số y sin 2x là hàm số lẻ nên không nhận trục tung làm trục đối xứng. Chọn C. Câu 13 (NB) Phương pháp: Sử dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp. Cách giải: n! n! Ta có C k , Ak , do đó đáp án D đúng. n n k !k! n n k ! Chọn D. Câu 14 (NB) Phương pháp: Sử dụng chỉnh hợp Cách giải: 6 5 Số các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau là A10 X 9 136080. Chọn C. 11
12. Câu 15 (TH) Phương pháp: Hàm số nghịch biến trên ¡ là hàm số xác định trên ¡ và y ' 0x ¡ . Cách giải: Đáp án A và B loại do hai hàm số đó không xác định x ¡ 2x Xét đáp án C ta có y ' 2 . x2 1 2 2 3 3x x 1 x .2x x4 3x2 Xét đáp án D ta có y ' 2 2 0x ¡ . x2 1 x2 1 x3 Vậy hàm số y nghịch biến trên ¡ . x2 1 Chọn D. Câu 16 (TH) Phương pháp: Sử dụng khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Cách giải: Vì ABCD là tứ diện đều nên các mặt của nó là tam giác đều. MD  AB Ta có: AB  MCD tại M MCD là mặt phẳng trung trực của AB. MC  AB Chứng minh tương tự ta có NAB là mặt phẳng trung trực của CD . Khi đó MCD , NAB chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện: MANC, BCMN, AMND, MBND . Chọn B. Câu 17 (NB) 12
13. Phương pháp: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là V R2h. Cách giải: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy R 3cm và chiều cao h 4cm là V R2h .32.4 36 cm3 . Chọn A. Câu 18 (NB) Phương pháp: 1 Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là V R2h. 3 Cách giải: h h Thể tích của khối nón có bán kính đáy bán kính đáy R và chiều cao h là 2 4 2 1 2 1 h 1 3 V R h . .h rh . 3 3 4 48 Chọn B. Câu 19 (NB) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải: 1 1 Dựa vào BBT ta thấy hàm số y f x đồng biến trên ; ; ;3 . 2 2 Chọn B. Câu 20 (NB) Phương pháp: 1 Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng B và độ dài đường cao bằng h là V Bh. 3 Cách giải: 1 Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng B và độ dài đường cao bằng 3h là V B.3h Bh. 3 Chọn A. Câu 21 (TH) Phương pháp: 13
14. - Đường tròn lớn của khối cầu bán kính R có bán kính R. 4 - Thể tích khối cầu bán kính R là V R3. 3 Cách giải: Gọi bán kính khối cầu là R Đường tròn lớn của khối cầu có bán kính R. 5 2 R 5 R . 2 3 4 3 4 5 125 Vậy thể tích khối cầu là V R . . 3 3 2 6 Chọn A. Câu 22 (TH) Phương pháp: - Hàm số f x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' 0x ¡ và bằng 0 tại hữu hạn điểm. 2 a 0 - Sử dụng: ax bx c 0x ¡ . 0 Cách giải: TXĐ: D ¡ . Ta có y ' x2 2mx 2m 3. 1 Hàm số y x3 mx2 2m 3 x m 2 đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' 0x ¡ và bằng 0 tại hữu hạn 3 điểm. x2 2mx 2m 3 0x ¡ 1 0 luon dung 3 m 1 2 ' m 2m 3 0 Mà m ¢ m 1. Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 23 (TH) Phương pháp: - Sử dụng: sin x 0 x k k ¢ - Giải bất phương trình 0 x tìm số giá trị nguyên k thỏa mãn. 14
15. Cách giải: k Ta có: sin 5x 0 5x k x k ¢ 5 k 0 x 0 0 k 5. Mà k ¢ k 0;1;2;3;4. 5 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc 0; . Chọn A. Câu 24 (TH) Phương pháp: 4 - Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu bán kính R lần lượt là S 4 R2 và V R3. 3 Cách giải: 4 Vì diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó có giá trị bằng nhau nên 4 R2 R3 R 3. 3 Chọn C. Câu 25 (TH) Phương pháp: Sự dụng biến đổi a3 b3 a b 3 3ab a b . Cách giải: Ta có: 3 33x 3 3x 3x 3 x 3.3x.3 x 3x 3 x 33x 3 3x 43 3.4 52 Vậy A 3.52 156 . Chọn C. Câu 26 (TH) Phương pháp: - Sử dụng chiều đồ thị suy ra dấu của hệ số a. - Dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung suy ra dấu của hệ số d. - Dựa vào dấu các điểm cực trị của hàm số suy ra dấu của hệ số b,c. Cách giải: Đồ thị hàm số có nhánh cuối cùng đi lên nên a 0. 15
16. Đồ thị đi qua điểm O 0;0 nên d 0. x1 x2 0 Hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 và . x1.x2 0 2b 0 2 x1 x2 0 3a b 0 Ta có y ' 3ax 2bx c có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn . x .x 0 c c 0 1 2 0 3a Vậy có một số dương trong các số a,b,c,d. Chọn B. Câu 27 (TH) Phương pháp: 3cos x cos3x 3sin x sin 3x - Sử dụng các công thức: cos3 x ,sin3 x ,sin a b sin a cosb cos asin b 4 4 1 - Sử dụng công thức tính nguyên hàm: sin kxdx cos kx C. k Cách giải: Ta có: cos3 x.sin 3x sin3 x.cos3x dx 3cos x cos3x 3sin x sin 3x .sin 3x .cos3x dx 4 4 1 3sin 3x cos x sin 3x cos3x 3sin x cos3x sin 3x cos3x dx 4 3 3 sin 4xdx cos 4x C 4 16 a 3,b 16. Vậy 2a b 2. 3 16 10. Chọn D. Câu 28 (TH) Phương pháp: n n k n k k Khai triển nhị thức Niu-tơn: a b Cn a b . k 0 16
17. Cách giải: 9 k 1 9 9 k 1 9 1 Ta có: x2 C k x2 C k x18 3k  9  9 k 2x k 0 2x k 0 2 Do đó số hạng không chứa x ứng với 18 3k 0 k 6. 9 2 1 6 1 21 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x là C9 6 . 2x 2 16 Chọn A. Câu 29 (TH) Phương pháp: Đưa về cùng cơ số. Cách giải: 2 2 x 4 16x 1 2 2 x 4 24x 4 x 4 4x2 4 4x2 4 x 4 khi x 4 2 4x 4 x 4 khi x 4 4x2 x 0 khi x 4 2 4x x 8 0 khi x 4 1 x 4 x 0 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là một số dương. Chọn D. Câu 30 (TH): Phương pháp: Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân. Cách giải: Để chọn ra 5 bạn sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ ta có các trường hợp sau: 1 4 TH1: 1 nam và 4 nữ Có C15.C20 72675 cách. 2 3 TH2: 2 nam và 3 nữ Có C15.C20 119700 cách. 17
18. Vậy có tất cả 72675 119700 192375 cách. Chọn A. Câu 31 (VD): Phương pháp: - Đưa về cùng cơ số. - Sử dụng công thức loga f x loga g x loga f x g x 0 a 1, f x , g x 0 . b - Giải bất phương trình logarit: loga f x b f x a a 1 . Cách giải: 2 log2 x x 2 log0,5 x 1 1 2 log2 x x 2 log2 x 1 1 2 log2 x x 2 log2 x 1 1 2 log2 x x 2 x 1 1 x2 x 2 x 1 2 x3 x2 2x x2 x 2 2 x3 2x2 x 0 1 2 x 0 x 1 2 Kết hợp điều kiện đề bài x 0;2021, x ¢ x 0;3;4;5; ;2021 Vậy bất phương trình đã cho có 2020 nghiệm nguyên thỏa mãn. Chọn D. Câu 32 (TH): Phương pháp: - Hàm phân thức có bậc tử < bậc mẫu thì đồ thị hàm số có TCN y 0. - Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức bằng số nghiệm của phương trình mẫu không bị triệt tiêu bởi nghiệm của phương trình tử. Cách giải: Vì hàm phân thức có bậc tử < bậc mẫu thì đồ thị hàm số có TCN y 0. n Phương trình ax2 bx c 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt khác nên đồ thị có tối đa 2 TCĐ. m 18
19. Vậy đồ thị hàm số đã cho có tối đa 3 đường tiệm cận. Chọn C. Câu 33 (VD) Phương pháp: a 2 - Hình vuông cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng . 2 - Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy R là V R2h. - Thể tích khối lập phương cạnh a là V a3. Cách giải: Giả sử hình lập phương có cạnh a Hình trụ có chiều cao h a. Vì đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình lập phương nên hình trụ có bán kính đáy a 2 R . 2 2 3 2 a 2 a Thể tích khối trụ là V R h . .a . 2 4 Thể tích khối lập phương là V ' a3. V Vậy tỉ số thể tích của khối trụ và khối lập phương đó là . V ' 4 Chọn A. Câu 34 (VD) Phương pháp: Sử dụng nhân xác suất. Cách giải: 7 5 Xác suất để 1 toa có người là và xác suất để 1 toa không có người là . 12 12 3 9 3 7 5 Vậy xác suất để 3 toa có người là C12. . 0,107. 12 12 Chọn D. Câu 35 (NB): Phương pháp: Tính xác suất bằng phương pháp liệt kê. Cách giải: 19
20. Tung ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối đồng chất một lần số phần tử của không gian mẫu là n  6. Gọi A là biến cố: “xuất hiện mặt có số chấm lẻ” A 1;3;5 n A 3. n A 3 1 Vậy xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lẻ là P A . n  6 2 Chọn A. Câu 36 (VD) Phương pháp: - Gọi M ', N ', P ' lần lượt là trung điểm của BC, BD,CD,G, I lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, MNP. Tính S MNP dựa vào tỉ số tam giác đồng dạng. S BCD OI - Tính tỉ số , sử dụng định lí Ta-lét. AG V OI S - Tính OMNP . MNP . VABCD AG S BCD a3 2 - Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích tứ diện đều cạnh a là V . 12 Cách giải: Gọi M ', N ', P ' lần lượt là trung điểm của BC, BD,CD,G, I lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, MNP. MN AM 2 2 4 Ta có: MNP ∽ M ' N ' P ' theo tỉ số S S . M ' N ' AM ' 3 3 MNP 9 M 'N 'P' 1 1 1 Lại có M ' N ' P '∽ DCB theo tỉ số nên S S S S 2 MNP 4 BCD M 'N 'P' 9 BCD 20
21. AO 3 Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên . AG 4 AI AM 2 AI AI AO 2 3 8 Áp dụng định lí Ta-lét: : : AG AM ' 3 AO AG AG 3 4 9 OI 1 OI OI AO 1 3 1 . . . AO 9 AG AO AG 9 4 12 VOMNP 1 1 1 1 . VOMNP VABCD . VABCD 12 9 108 108 2 Mà ABCD là tứ diện đều cạnh 1 nên V . ABCD 12 2 Vậy V . OMNP 1296 Chọn D. Câu 37 (VD) Phương pháp: - Tính số tập hợp con có 2 phần tử của A, từ đó tính số phần tử của không gian mẫu là n  . - Gọi A là biến cố: “trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập hợp đều bằng 30”, tính số phần tử n A của biến cố A. n A - Tính xác suất của biến cố A: P A . n  Cách giải: 2 2 Số tập hợp con có 2 phần tử của A là C90 4005 Số phần tử của không gian mẫu là n  C4005. Gọi A là biến cố: “trung bình cộng của các phần tử trong mỗi tập hợp đều bằng 30” a b 30 2 a b 60 c d c d 60 30 2 2 a;b c;d 1;59 ; 2;58 ; ; 29;31  n A C29. 2 C29 29 Vậy xác suất của biến cố A là: P A 2 . C4005 572715 Chọn B. Câu 38 (TH) Phương pháp: 21
22. V - Gọi H là trung điểm của BC ta có A' H  ABC . Tính A' H ABC.A'B'C ' . S ABC - Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên trên mặt đáy. - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính tang của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy. Cách giải: Gọi H là trung điểm của BC ta có A' H  ABC . a2 3 a 3 Vì ABC đều cạnh a S và AH . ABC 4 2 3a3 V a 3 Ta có V A' H.S A' H ABC.A'B'C ' 20 . ABC.A'B'C ' ABC 2 S ABC a 3 5 4 Vì A' H  ABC nên AH là hình chiếu vuông góc của AA' lên ABC .  AA'; ABC  AA'; AH A' AH. A' H a 3 a 3 2 Xét tam giác vuông AA' H ta có tan A' AH : . AH 5 2 5 Chọn C. Câu 39 (VD) Phương pháp: A' B ' - Tứ diện A' B 'C ' D ' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k . AB GA' A' B ' - Gọi M , N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, ACD, gọi G AM  BN. Tính . GA AB V - Tính A'B'C 'D' k 3. VABCD 22
23. a3 2 - Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V . 12 Cách giải: A' B ' Dễ dàng nhận thấy tứ diện A' B 'C ' D ' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k . AB Gọi M , N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, ACD ta có AM  BCD , BN  ACD . Gọi G AM  BN. AG 3 AG 3 AG 3 GA' 5 Ta có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên . AM 4 AA' 4 AA' 8 GA 3 GA' A' B ' 5 Áp dụng định lí Ta-lét ta có: k . GA AB 3 V 125 A'B'C 'D' k 3 . VABCD 27 2 Mà ABCD là tứ diện đều cạnh 1 nên V . ABCD 12 125 2 125 2 Vậy V . . A'B'C 'D' 37 12 324 Chọn D. Câu 40 (VDC) Phương pháp: - Lấy loganepe hai vế của bất phương trình. - Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng. Cách giải: 23
24. Lấy loganepe hai vế của bất phương trình ta có: 2021 n 3n 7n 32021 72021 2021.ln 3n 7n n.ln 32021 72021 ln 3n 7n ln 32021 72021 . * n 2021 ln 3t 7t Xét hàm số f t với t ¢ ta có: t 1 t t t t t t 3 ln 3 7 ln 7 t ln 3 7 f ' t 3 7 t 2 t.3t.ln 3 t.7t.ln 7 3t 7t ln 3t 7t f ' t t 2 3t 7t 3t.ln 3t 7t.ln 7t 3t ln 3t 7t 7t ln 3t 7t f ' t t 2 3t 7t 3t. ln 3t ln 3t 7t 7t ln 7t ln 3t 7t f ' t t 2 3t 7t t t t t t t 3 3 7 ln 3 ln 3 7 Vì f ' t 0t ¢ t t t t t t 7 3 7 ln 7 ln 3 7 Do đó hàm số y f t nghịch biến trên 0; . Từ (*) suy ra 0 n 2021. Chọn D. Câu 41 (VDC) Phương pháp: - Tìm điểm M 0 Cm cố định, dự đoán M 0 là tiếp điểm. - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị Cm tại M 0 . - Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm được luôn tiếp xúc với Cm m 0. - Đồng nhất hệ số tìm a,b. Cách giải: 24
25. 2m 1 x m 2mx x m 2mx Ta có y 1. x m x m x m m 0 thì đồ thị hàm số Cm luôn đi qua điểm cố định M 0 0; 1 . Ta dự đoán M 0 là tiếp điểm. Khi đó ta có: Đường thẳng y ax b là tiếp tuyến của Cm tại M 0 0; 1 . 2m2 Ta có: y ' y ' 0 2. x m 2 Phương trình tiếp tuyến của Cm tại M 0 0; 1 là: y 2 x 0 1 2x 1. Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm 2mx 1 2x 1 2mx 2x2 2mx 2x2 0 x 0 (nghiệm kép). x m Do đó đường thẳng y 2x 1 luôn tiếp xúc với Cm (thỏa mãn). Vậy a 2,b 1 a b 1. Chọn B. Câu 42 (VD) Phương pháp: - Tính g ' x , giải phương trình g ' x 0. - Lập BXD của g ' x . - Xác định điểm cực đại của hàm số g x là điểm mà g ' x đổi dấu từ dương sang âm. Cách giải: Ta có: g x f x2 2x g ' x 2x 2 f ' x2 2x 2x 2 0 g ' x 0 2 f ' x 2x 0 x 1 2 2 x 2x 2 (ta không xét x 2x 0 vì x 0 là nghiệm kép của phương trình f ' x 0 ). 2 x 2x 3 25
26. x 1 x 3 và qua các nghiệm này thì g ' x đổi dấu. x 1 Chọn x 4 ta có g ' 4 6. f ' 8 0. Khi đó ta có BXD của g ' x như sau: x 1 1 3 g ' x 0 + 0 0 + 2 Điểm cực đại của hàm số g x f x 2x là xCD 1. Chọn C. Câu 43 (VD): Phương pháp: - Giả sử A a;a3 a2 4 , B b;b3 b2 4 .   OA 2OB - Vì OA 2OB nên   , giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. OA 2OB Cách giải: Giả sử A a;a3 a2 4 , B b;b3 b2 4 .   3 2 3 2 OA 2OB a;a a 4 2 b;b b 4 - Vì OA 2OB nên   3 2 3 2 OA 2OB a;a a 4 2 b b b 4 a 2b a 2b 3 2 3 2 3 2 3 2 a a 4 2b 2b 8 8b 4b 4 2b 2b 8 a 2b a 2b 3 2 3 2 3 2 3 3 a a 4 2b 2b 8 8b 4b 4 2b 2b 8 a 2b a 2b a 2 3 2 6b 2b 4 0 b 1 b 1 a 2b a 2b a 2 3 2 6b 6b 12 0 b 1 b 1 Vậy có 2 cặp điểm A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 44 (VD) 26
27. Phương pháp: - Đặt cạnh hình vuông là x cm , bán kính hình tròn là y cm . - Tính chu vi hình vuông và chu vi hình tròn, suy ra tổng 2 chu vi bằng 120cm. - Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn và tính tổng. 2 a b - Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: ax by a2 b2 x2 y2 . Dấu “=” xảy ra . x y Cách giải: Đặt cạnh hình vuông là x cm , bán kính hình tròn là y cm . Độ dài đoạn dây thứ nhất là 4x cm , độ dài đoạn dây thứ hai là 2 y cm . 4x 2 y 120 2x y 60 cm * . Diện tích hình vuông là x2 cm2 . Diện tích hình tròn là y2 cm2 . Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là: x2 y2 cm2 . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 602 2x y 2 2x . y 22 x2 y2 602 x2 y2 504 cm2 4 x y x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y, kết hợp (*) 2 2 60 120 4y y 60 cm y cm x cm . 4 4 Vậy tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất 504 cm2 . Chọn C. Câu 45 (VD) Phương pháp: - Kẻ OM  AC M AC ,ON  AB N AB ,OP  BC P BC . Khi đó ta có OP a,OM a 2,ON a 3. - Trong OCN kẻ OH  CN H CN , chứng minh OH  ABC . 27
28. - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách. Cách giải: Kẻ OM  AC M AC ,ON  AB N AB ,OP  BC P BC . Khi đó ta có OP a,OM a 2,ON a 3. Trong OCN kẻ OH  CN H CN ta có: AB  ON AB  OCN AB  OH AB  OC OH  AB OH  ABC d O; ABC OH OH  CN 1 1 1 1 1 1 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OH 2 OC 2 ON 2 OA2 OB2 OC 2 Lại có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; OM 2 OA2 OC 2 ON 2 OA2 OB2 OP2 OB2 OC 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 OM ON OP OA OB OC 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 OA OB OC 2 OM ON OP 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 2 OA OB OC 2 2a 3a a 12a 1 11 2a 33 OH OH 2 12a2 11 2a 33 Vậy d O; ABC . 11 Chọn D. 28