Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tương giao của hai đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Phương pháp giải các chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề: Tương giao của hai đồ thị hàm số (Có hướng dẫn)

1. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) . Số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình: f(x) g(x) . Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau : Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) 0 (m là tham số) Phương pháp giải: * Ta biến đổi phương trình F x,m 0 về dạng f x g m , trong đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số y f x hoặc có thể dễ dàng vẽ được * Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: y g m Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) g(x) ( ) . Số giao điểm của (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình ( ) . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Phương pháp . • Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị C : y f x và C' : y g x là : f x g x * . • Biện luận số nghiệm của phương trình * , số nghiệm phương trình * là số giao điểm của C và C' . Ví dụ 1. 1. Tìm m để đường thẳng d : y x 1 cắt đồ thị C hàm số uuur uuur y 4x3 6mx2 1 tại 3 điểm A 0;1 , B, C sao cho: OB.OC 4 mx 2 2. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm m để trên đồ thị C có 2 x 1 m m điểm P, Q cách đều 2 điểm A 3; 4 , B 3; 2 và diện tích tứ giác APBQ bằng 24. Lời giải. 190
2. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. d cắt đồ thị C tại 3 điểm A 0;1 , B, C khi 4x3 6mx2 1 x 1 có 3 nghiệm phân biệt tức phương trình 4x2 6mx 1 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 9m2 4 0 2 khác 0 , nghĩa là m . 2 4.0 6m.0 1 0 3 Giả sử B x1; x1 1 , C x2 ; x2 1 là giao điểm d và C . uuur uuur OB.OC 4 x1.x2 x1 1 x2 1 4 hay 2x1.x2 x1 x2 5 0 1 3 11 2 m 5 0 m . 4 2 3 mx 2 2. Phương trình hoành độ giao điểm của C và PQ : x 1 m x 1 x2 mx 3 0, x 1 1 PQ cắt Cm tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi phương trình 1 có 2 0 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là m 2 m 2 0 Với m 2 , phương trình 1 có 2 nghiệm x1 , x2 . 2 Gọi tọa độ P x1; x1 1 , Q x2 ; x2 1 PQ 2 x2 x1 Diện tích tứ giác APBQ bằng 24 d A;PQ .PQ 24 2 2 3 2 2 x2 x1 24 x1 x2 4x1x2 16 2 Theo định lý Vi – et , ta có: x1 x2 m, x1.x2 3 Thay vào 2 ta được m2 12 16 0 m 2 hoặc m 2 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m 2 thỏa mãn bài toán. Ví dụ 2. 1. Tìm tham số thực m để d đi qua A 1;0 và có hệ số góc là m cắt C : x 2 y tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh của C ( M thuộc nhánh trái , N x 1 uuur uuuur thuộc nhánh phải )sao cho AN 2AM 2 2. Tìm trên C : y 2x 1 hai điểm M,N thỏa mãn hai điều kiện sau: x 1 i) MN song song với đường thẳng y x uuuur uuur ii) AM 4AN với A là giao điểm của đường thẳng MN với trục Ox. Lời giải. 191
3. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. d đi qua A 1;0 và có hệ số góc là m, suy ra phương trình d : y m x – 1 . x 2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và C : m(x 1) (1) x 1 x 2 m(x2 2x 1),x 1 (2) Thay x 1 vào (2) ,ta được 3 = 0 (sai) do đó x 1 không thỏa mãn (2) ,suy ra (1) x 2 m(x2 2x 1) mx2 (2m 1)x m 0 (3) d cắt C tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh của C (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 (do đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của C ). m 0 m 0 (3) có hai nghiệm phân biệt 2 2 1 . (2m 1) 4m 0 m 4 x1 1 x2 (x1 1)(x2 1) 0 x1x2 (x1 x2 ) 1 0 2m 1 1 1 1 0 0 m 0 . m m Vì ba điểm A,M,N thẳng hàng do đó uuur uuuur AN 2AM xN xA 2(xM xA ) xN 2xM 3xA 3 (4). 2m 1 4m 1 2m 1 4m 1 x x , x x M 1 2m N 2 2m 2m 1 4m 1 2m 1 4m 1 (4) 2 3 2m 2m 6m 3 4m 1 6m 4m 1 3 4m 1 9 m 2 (thỏa mãn điều kiện m > 0). Chú ý . Có thể sử dụng định lí Vi-et để giải bài này như sau 2m 1 x1 x2 x 3 2x x 3 2x m 2 1 2 1 Ta có hệ x1.x2 1 x1(3 2x1) 1 x1(3 2x1) 1 x 2x 3 2m 1 2m 1 2 1 x 3 2x 3 x (*) 1 1 m 1 m 1 Phương trình : x 3 2x 1 2x2 3x 1 0 x 1 , x . 1 1 1 1 1 1 2 2m 1 Với x 1,từ (*) ta có 2 1 0 (sai) . 1 m 192
4. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2m 1 5 Với x , từ (*) ta có m 2 1 2 m 2 Vậy, m 2 thỏa mãn bài toán. 2. MN song song đường thẳng y x Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M,N là y x m (m 0). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2 2x 1 x m x2 (m 2)x m 1 0 (1) (do x = 1 không là nghiệm x 1 của (1)). (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N (1) có hai nghiệm phân biệt (m 2)2 4m 4 0 m2 8 0 m ¡ . m 2 m2 8 m 2 m2 8 Khi đó hai nghiệm của (1) là x , x 1 2 2 2 Giao điểm A của (d) và trục Ox có tọa độ là m;0 Hoành độ của M,N là hai nghiệm của phương trình (1) uuuur uuur x1 m 4x2 4m Vì A,M,N thẳng hàng nên AM 4AN x2 m 4x1 4m m 2 m2 8 m 2 m2 8 * x m 4x 4m 4 3m 1 2 2 2 2 2 m 2 m 3 41 5 m 8 9m 6 3 m . 2 41 14 14m 27m 41 0 m 1  m 14 m 2 m2 8 m 2 m2 8 *x m 4x 4m 4 3m 2 1 2 2 2 m 5 m2 8 9m 6 3 m 1. 2 14m 27m 41 0 41 Vậy m = 1 hoặc m . 14 Chú ý . Ta có thể dùng định lí Vi-et để giải bài toán này như sau. uuuur uuur AM 4AN x1 m 4x2 4m x1 4x2 3m . x1 x2 m 2 Kết hợp với định lí Viet ,ta có hệ x1x2 m 1 (I) x1 4x2 3m 193
5. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2m x 2 5 x1 4x2 3m 8 7m (I) 5x 3m m 2 x 2 1 5 x1.x2 m 1 (2 2m)(8 7m) 25(m 1) (a) 41 (a) 14m2 27m 41 0 m 1  m . 14 3x 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y = có đồ thị là (C) . Gọi (d) là đường thẳng đi qua 1 x 3 1 A ; có hệ số góc k . Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt 2 2 M,N nằm trên cùng một nhánh của (C) sao cho: 1. M,N đối xứng qua A 2. Khoảng cách từ (d) đến điểm B 3; 5 là lớn nhất ,khi đó tính diện tích tam giác BMN Lời giải. 3 1 3 1 Đường thẳng đi qua A ; có hệ số góc k : y k x 2 2 2 2 Phương trình hoành độ giao diểm của (C) và (d) : 3x 1 3 1 2 k x 2kx (k 5)x 3 3k 0 (1) (do x 1 không thỏa 1 x 2 2 mãn (1)). (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt M,N ở trên cùng một nhánh của (C) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1 x1 x2 hoặc x1 x2 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt k 0 k 0 2 2 k 0. (k 5) 8k(3 3k) 0 25k 14k 25 0 1 x1 x2 (x1 1)(x2 1) 0 x1x2 (x1 x2 ) 1 0 x1 x2 1 3 3k k 5 4 1 0 0 k 0 2k 2k k Vậy (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) k 0. 194
6. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. A,M,N cùng thuộc (d) nên M,N đối xứng qua A khi A là trung điểm k 5 M,N x x 2x 3 k 1 ,thỏa mãn điều kiện k 0 . 1 2 A 2k Vậy, k 1 thỏa yêu cầu bài toán. 2. Vì (d) luôn qua điểm cố định A nên d B, d lớn nhất khi và chỉ khi (d) vuông góc AB. yB yA Hệ số góc của đường thẳng AB là kAB 1. xB xA Vì (d)  AB k 1 nên khi k 1 thì d B, d lớn nhất Khi đó phương trình (1) trở thành phương trình : 2x2 6x 0 9 x 0  x 3 M 3; 2 , N 0;1 MN 3 2 . Lại có AB 2 1 1 9 27 Diện tích tam giác BMN : S MN.AB 3 2. . 2 2 2 2 Ví dụ 4. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 6x2 9x 2 và (d) là đường thẳng đi qua A 2;0 ,có hệ số góc là m 1. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm A,B,C phân biệt , chứng minh rằng khi đó A là trung điểm của BC. 2. Khi (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C , gọi B1 và C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B , C lên trục tung độ, tìm m dương sao cho diện tích hình thang BB1C1C bằng 8. Lời giải. 1. Phương trình hoành độ giao diểm của (C) và (d) : x3 6x2 9x 2 m x – 2 (x 2)(x2 4x 1 m) 0 x 2, g(x) x2 4x 1 m 0 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C Phương trình g(x) = 0 có hai ' 0 3 m 0 nghiệm phân biệt khác 2 g m 3 (*). g(2) 0 m 3 Vì xB , xC là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0 nên xB xC 4 2xA ,suy ra A là trung điểm của BC. 2. Hai nghiệm của g(x) = 0 là x 2 3 m và B, C thuộc (d) nên B(2 3 m ; m 3 m) , C(2 3 m ; m 3 m) 195
7. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Giả thiết cho m > 0 kết hợp với điều kiện (*) ta có m (0,3) , khi đó xB , xC đều dương. Diện tích hình thang vuông BB1C1C : BB CC x x S 1 1 .B C B C y y 8 2 2m 3 m 8 2 1 1 2 B C m 3 m 2 m2(3 m) 4 m3 3m2 4 0 m 1  m 2. Vì m (0; 3) nên chỉ nhận m = 2. x2 x 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y = có đồ thị là (C) và đường thẳng (d) : x 2 3 y x m . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho: 2 1. MN 2 39 2. Tam giác AMN vuông tại A với A 4;0 . Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d). x2 x 2 3 x 2 x m 2 x 2 2 2x 2x 4 (x 2)(3x 2m) x2 2(m 4)x 4m 4 0 (1) (do x 2 không là nghiệm phương trình (1)) 1. (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2. ' m2 8m 16 4m 4 0 m2 4m 12 (m 2)2 8 0 m ¡ . 2 2 2 3 3 13 2 MN (x x ) x m (x m) (x x ) 2 1 2 2 2 1 4 2 1 13 13 [(x x )2 4x x ] [4(m 4)2 4(4m 4)] 13(m2 4m 12) 4 1 2 1 2 4 MN 2 39 MN2 156 13(m2 4m 12) 156 m2 4m 0 m 4  m 0. 9 9 2. Ta có: AM2 (x 4)2 x2 , AN2 (x 4)2 x2 1 4 1 2 4 2 13 13 AM2 AN2 (x2 x2 ) 8(x x ) 32 [(x x )2 2x x ] 8(x x ) 32 4 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 13 [4(m 4)2 2(4m 4)] 16(m 4) 32 13m2 62m 150 4 Tam giác AMN vuông tại A AM2 AN2 MN2 . 3 13(m2 4m 12) 13m2 62m 150 10m 6 m . 5 196
8. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ 6. Hàm số y x3 2(m 1)x2 (5m 2)x 2m 4 (1) , m là tham số . Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số (1) . Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho : 1. A là trung điểm của đoạn BC 2. B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 . 3. BC có độ dài nhỏ nhất. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và Ox . x3 2(m 1)x2 (5m 2)x 2m 4 0 ( ) (x 2)(x2 2mx m 2) 0 x 2, g(x) x2 2mx m 2 0 (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C Phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt phương trình g(x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 . 2 ' 2 1 7 m ¡ g 0 m m 2 m 0 2 2 4 2 m . g(2) 0 m 3 4 4m m 2 0 3 1. A là trung điểm của đoạn BC Vì ba điểm A,B,C thuộc trục hoành do đó A là trung điểm của BC x x 2m 2 x B C 2 m 2 ( thỏa mãn điều kiện m ). A 2 2 3 2. B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 . Gọi x1 ,x2 là hoành độ của B,C , cũng là nghiệm phương trình g(x) 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 Theo bài toán, ta có: 1 1 1 2 x2 1 x2 1 0 (x1 1)(x2 1) 0 x x 2 2m 2 m 1 1 2 m 1 x1x2 (x1 x2 ) 1 0 m 2 2m 1 0 m 1 Vậy, m 1 là giá trị cần tìm. Cách khác: 2 2 Hai nghiệm của g(x) 0 là x1 m m m 2 , x2 m m m 2 . x1 1 2 2 Vì x1 x2 nên x2 1 m m m 2 1 m m 2 1 m x2 1 m2 m 2 0 m ¡ 1 m 0 m 1 m 1. 2 2 m 1 m m 2 m 2m 1 3. BC có độ dài nhỏ nhất. 197
9. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2 2 1 7 BC x1 x2 2 m m 2 2 m 7. 2 4 1 1 2 BC 7 m 0 m (thỏa điều kiện m ). 2 2 3 Chú ý. Ta củng có thể dùng định lí Vi-et để tính BC như sau 2 2 2 2 2 BC x1 x2 (x1 x2 ) 4x1x2 4m 4(m 2) 4(m m 2) . 2x 4 Ví dụ 7. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai x 1 đường tiệm cận của (C) .Viết phương trình của hai đường thẳng đi qua I và cắt (C) tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật có diện tích 32 bằng . 3 Lời giải. I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) ,suy ra I( -1 ; 2). uur Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ OI . Hệ trục tọa độ Oxy biến thành hệ trục tọa độ IXY . x X x X 1 Công thức chuyển hệ tọa độ : I . y Y yI Y 2 Ta giải bài toán trong trường hợp hệ tọa độ là hệ tọa độ IXY Đối với hệ tọa độ IXY , hàm số y = f(x) trở thành 2(X 1) 4 2X 2 2 2 Y+2 = Y 2 2 X 1 1 X X X Hai đường thẳng (D) và (D’) qua I có phương trình lần lượt là Y = kX , Y = mX (k, m đều khác 0 và m k). Gọi A, B là giao điểm của (D) với (C) thì tọa độ A,B là nghiệm của hệ 2 Y kX 2 Y X2 X 2 k . kX Y kX X Y kX 2 2 A, B tồn tại k 0 . Khi đó A( , 2k) , B( ; 2k) , suy ra k k 2 IA2 IB2 X2 Y2 X2 k2X2 (1 k2 )X2 (1 k2 ) . k Tương tự gọi M,N là giao điểm của (D’) với (C) thì M, N tồn tại khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 m > 0 và M ; 2m , N ; 2m ,suy ra IM IN (1 m ) m m m 198
10. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vì I là tâm đối xứng của (C) nên dễ thấy tứ giác AMBN là hình bình hành do 2 2 đó AMBN là hình chữ nhật IA2 IM2 (1 k2 ) (1 m2 ) k m 2 2 2(m k) 1 2k 2m 2(k m) 0 (m k)( 1) 0 k m mk mk 1 1 (do m k) mk 1 . mk 2 2 2 32 1024 Diện tích hình chữ nhật AMBN : S 4 5 AM .AN 3 9 2 2 2 2 2 2 1024 ( 2k 2m)2 . ( 2k 2m)2 k m k m 9 2 2 4 2 2 4 1024 2k 2m 4 km 2k 2m 4 km k m mk k m mk 9 2k 2m 4 2k 2m 4 1024 2k 2m 4 km 2k 2m 4 km mk mk 9 1024 [4(k m) 8][4(k m) 8] (do km 1). 9 1024 100 10 16(k m)2 64 (k m)2 k m . 9 9 3 mk 1 k 3 1 k Vậy ta có hệ : 10 1  3 . k m m 3 3 m 3 Suy ra ,đối với hệ trục tọa độ IXY , phương trình của hai đường thẳng (D) và 1 (D’) là Y = 3X , Y = X . 3 Thay Y = y – 2 , X = x+1 ta được phương trình của hai đường thẳng này đối với 1 7 hệ trục Oxy là y 3x 5 , y x . 3 3 Ví dụ 8. Gọi d là đường thẳng qua gốc tọa độ O và có hệ số góc là m , m > 0 và d' là đường thẳng qua O và vuông góc với d . Tìm m để d cắt (C) : 1 y x tại hai điểm phân biệt M,N ; d' cắt (C) tại hai điểm phân biệt P,Q x sao cho tứ giác MPNQ có diện tích nhỏ nhất. Lời giải. 1 Phương trình (d) : y = mx , phương trình (d’): y x m 199
11. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x mx (m 1)x2 1 x (1), (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 1 0 m 1. Giao với điều kiện m > 0 ,ta được 0 0. m 1 1 1 1 Khi đó P ; , Q ; 1 1 1 1 1 m 1 1 m 1 m m m m 4 4 4m2 4 PQ2 1 2 1 2 1 1 m 1 m 1 m m m Suy ra M,N,P,Q tồn tại 0 m 1 . Vì O là tâm đối xứng của (C) và MN  PQ nên tứ giác MPNQ là hình thoi ,suy 1 ra diện tích MPNQ: S = MN.PQ 2 1 1 4m2 4 4m2 4 4(m2 1)2 S2 MN2.PQ2 . 4 4 1 m 2 1 2 1 m 1 m (1 m) 1 m m 4(m2 1)2 4(m2 1)2 m(1 m)(1 m) m(1 m2 ) (m2 1)2 (m2 1)2 Xét hàm số f(m) ,0 m 1. m(1 m2 ) m m3 2m(m2 1)(m m3 ) (m2 1)2(1 3m2 ) f'(m) (m m3 )2 200
12. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt (m2 1)[2m(m m3 ) (m2 1)(1 3m2 )] (m2 1)(m4 4m2 1) (m m3 )2 (m m3 )2 f'(m) 0 m4 4m2 1 0 m2 5 2 m 5 2 (do m (0;1)) Bảng biến thiên của f(m). m 0 5 -2 1 f'(m) - 0 + f(m) Từ bảng biến thiên suy ra f(m) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi m 5 2 . Vậy diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhất m 5 2 x3 Ví dụ 9. Cho hàm số y x2 3x 4 (1) 3 1.Tìm tham số a để phương trình x3 3x2 9 x a 0 (2) có đúng hai nghiệm 3 3 5 2.Cho điểm I ,4 và gọi (d) là đường thẳng y = mx+4 , m là tham số 2 2 thực . Tìm tham số m để (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0;4) , B, C 2 2 sao cho IB IC 4SIBC (SIBC là diện tích tam giác IBC) Lời giải. 1. Đặt t = x , t 0 . Phương trình (2) trở thành phương trình t3 a t3 3t2 9t a 0 t2 3t 4 4 (3) . 3 3 Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng a y = 4 . 3 Phương trình (2) có đúng hai nghiệm Phương trình (3) có đúng một nghiệm a a 17 dương 4 4  4 a 0  a 5. 3 3 3 201
13. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d): x3 x2 3x 4 mx 4 x(x2 3x 9 3m) 0 (4) 3 x 0  x2 3x 3m 9 0 (5). (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt 15 45 12m 0 m khác 0 4 . 3m 9 0 m 3 2 2 1 · Ta có IB IC 2IB.IC 4. IB.IC.sin BIC 4S . 2 IBC IB IC IB2 IC2 4S BIC vuông cân tại I. IBC · 0 BIC 90 Vì B, C thuộc đường thẳng (d) và hoành độ của chúng là hai nghiệm x1, x2 của phương trình (5) nên B(x1; mx1 4) , C(x2 ; mx2 4) . 3 3 x1 x2 3 Gọi K là trung điểm của BC ,ta có K ; m 4 (do xK và 2 2 2 2 uur 3 5 3 K thuộc (d)) KI 0; m . 2 2 Tam giác IBC cân tại I KI  (d) và (d): y = mx+4 mx y 4 0 r Suy ra một vectơ chỉ phương của (d) là a (1; m) . uur r 3 5 3 3 5 3   KI (d) KI.a 0 m m 0 m 0 m 0 . 2 2 2 2 3 5 3 uur r Trường hợp m 0 bị loại vì khi đó KI 0 I  K B,I, C thẳng hàng. 2 2 uur 3 3 5 uur 3 3 5 Mặt khác khi m = 0 thì IB x1 ; , IC x2 ; . 2 2 2 2 uur uur 3 3 45 3 9 45 9 27 IB.IC x1 x2 x1.x2 (x1 x2 ) 9 0 2 2 4 2 4 4 2 2 IB  IC Tam giác BIC vuông tại I. Vậy, m = 0 thỏa mãn bài toán. x2 2x 2 Ví dụ 10. Cho hàm số y có đồ thị là (C) . x 1 1. Tìm các điểm thuộc (C) cách đều hai trục tọa độ. 202
14. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) . Viết phương trình của hai đường thẳng đi qua I , có hệ số góc là số nguyên và cắt (C) tại bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Lời giải. x2 2x 2 1. M (C) M x ; 0 0 0 x0 1 M cách đều hai trục tọa độ d(M,Ox) d(M,Oy) x2 2x 2 0 0 x (1) x2 2x 2 x 1 0 x 0 0 0 . 0 2 x0 1 x 2x 2 0 0 x0 (2) x0 1 2 2 (1) x0 2x0 2 x0 x0 x0 2 . 2 2 2 (2) x0 2x0 2 x0 x0 2x0 3x0 2 0 (vn). Vậy điểm cần tìm là M(2;2) 2. I là giao điểm của hai đường tiệm cận I(1;0) . uur Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy Hệ trục IXY. x X 1 Công thức chuyển hệ tọa độ : . y Y Đối với hệ trục IXY. Ta có I(0;0). x2 2x 2 1 1 Phương trình (C) : y x 1 Y X F(X). x 1 x 1 X Phương trình hai đường thẳng (d) và (d’) đi qua I có hệ số góc là số nguyên : Y = kX , Y = k’X với k , k’ là các số nguyên. và k k' Gọi A, C là hai giao điểm của (C) và (d) thì tọa độ A , C là nghiệm của hệ: 1 Y X X (I) . Y kX Y kX (k 1)X2 1 (3) (I) 1 kX X Y kX X (d)) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, C Hệ (I) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt k – 1 > 0 k > 1. 1 k 1 k Khi đó A ; , C ; k 1 k 1 k 1 k 1 203
15. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Tương tự (d’) cắt (C) tại hai nghiệm phân biệt B, D k’ > 1. 1 k' 1 k' Khi đó B ; , D ; . k' 1 k' 1 k' 1 k' 1 Vì A và C đối xứng với nhau qua I ; B và D đối xứng qua I nên tứ giác ABCD là hình bình hành . Do đó ABCD là hình chữ nhật IA IB IA2 IB2 1 k2 1 k'2 (k' 1)(1 k2 ) (k 1)(1 k'2 ) k 1 k 1 k' 1 k' 1 k' k2k' k2 1 k kk'2 k'2 1 k' k k'2 k2 kk'(k k') 0 (k' k)(1 k k' kk') 0 1 k k' kk' 0 (do k k') 1 k 2 k' 1 k 1 k 1 Với k ¢ thì k' ¢ 2M(k 1) k 1 2; 1;1; 2 • k 1 2 k 1 (loại do k > 1) • k 1 1 k 0 (loại) • k 1 1 k 2 . Khi đó k’ = 3. • k 1 2 k 3 . Khi đó k’ = 2. Vậy, đối với hệ trục tọa độ IXY , phương trình của hai đường thẳng cần tìm là Y = 2X , Y = 3X. Suy ra đối với hệ trục xuất phát Oxy , phương trình của hai đường thẳng này là y = 2(x – 1) , y = 3(x – 1). CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3x2 9x m cắt Ox tại ba điểm phân biệt. 2. y x3 3x2 4 và d là đường thẳng đi qua điểm I 1; 2 của C và có hệ số góc là m cắt C tại ba điểm phân biệt I, M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A 2; 1 3. y x3 3mx2 3m(m 2)x m3 3m2 m cắt parabol y – 3x2 tại ba điểm phân biệt. Bài 2: Cho hàm số y = x3 3x2 (m 2)x m 2 ( m là tham số ) (1).Gọi Cm là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để 1. Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt . 204
16. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. 2x2 3x 3 Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y , (d) là đường thẳng x 1 y 4x m , m là tham số . Tìm tham số m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho : 1. Độ dài AB nhỏ nhất. 2. Tam giác IAB có diện tích bằng 7 với I(1;0) và m > 0. 4 2 2 Bài 4: Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x 2(m 1)x m 3m . Tìm m để Cm và trục hoành: 1. Có 4 điểm chung phân biệt. 3. Có hai điểm chung 2. Có 3 điểm chung. 4. Không có điểm chung. 4 2 Bài 5: Gọi Cm là đồ thị của hàm số y x (3m 2)x 2m 5m 1 , m là tham số .Tìm m để Cm cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt 1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 2. có hoành độ lớn hơn – 4 . 2x 1 Bài 6: Cho hàm số y (C) và đường thẳng (d) :y = x+m , m là x 1 tham số . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho : 1. M , N cách đều trục hoành độ. 2. Diện tích tam giác IMN = 4 với I(1;2). Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 (4m 3)x2 (m 2)x 3m có hai cực trị trái dấu. 2. y x3 3(m 1)x2 3mx m 1 cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm. 3. y x4 – 3m 2 x2 3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 4 2 2 4. y x 2mx m 1 (Cm) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3x2 (4m 1)x 2m2 3 cắt Ox tại ba điểm A,B,C sao cho AB BC . 2. y x4 2mx2 2m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm A,B,C,D sao cho AB BC CD . 205
17. Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 3. Cho hàm số y x3 px2 pqx q3 có đồ thị là (C) , với p,q là các số thực cho trước thỏa mãn p 3q 0 . Chứng minh rằng (C) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân. 4. y x4 – 10mx2 6m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 9: 1 2x 1. Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị (C) : y tại hai điểm 2 x 1 phân biệt A,B sao cho trung điểm AB nằm trên đường thẳng 2x y 4 0 . 4. Cho hàm số y x3 3x2 6x (C) và d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt O, A, B sao cho AB 17 2x2 x 1 5. Chứng minh rằng nếu đồ thị (C) : y cắt đường thẳng d : x 1 y x 2m tại hai điểm phân biệt thì hai điểm đó nằm về một nhánh của (C). CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 10: 1. Cho hàm số y x3 mx 2 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 2. Cho hàm số y x3 mx 1 (1). Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số (1) cắt đường thẳng (d) y = 2x+1 tại ba điểm phân biệt A,B,C trong đó A là điểm có hoành độ x = 0 và thỏa mãn điều kiện tam giác OBC vuông tại O. Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số : 1. y x3 3mx2 (3m 1)x 6m 6 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có 2 2 2 hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa x1 x2 x3 x1x2x3 20 2. y x3 2x2 (3m 1)x m 3 cắt đường thẳng d : y (1 m)x m 5 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 1 x3 . 4 2 3. y x (3m 2)x 3m (Cm) cắt đường thẳng y 1 tại bốn điểm phân 2 2 2 2 biệt có hoành độ x1 ,x2 , x3 , x4 thỏa : x1 x2 x3 x4 x1x2x3x4 4 . 3x 2 Bài 15: Cho hàm số y có đồ thị là (C). x 2 1. Tìm a,b để đường thẳng : y ax 2b 4 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho M, N đối xứng nhau qua O. 2. Đường thẳng y x cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để đường thẳng y x m cắt (C) tại C, D sao cho ABCD là hình bình hành. 206
18. Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài 16: 2x 1 1. Chứng minh rằng đường thẳng d : y x m luôn cắt (C): y tại hai x 2 điểm phân biệt A,B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất. 3 2 2 2 2. Tìm m để đồ thị (Cm ) y x (2m 3)x (2m m 9)x 2m 3m 7 cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất. Bài 17: x2 4x 3 1. Tìm k để đường thẳng y kx 1 cắt đồ thị (C): y tại 2 điểm x 2 phân biệt A,B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . mx 1 2. Chứng minh rằng với mọi m ( 1;1) đồ thị (C ) : y luôn cắt m x m đường tròn (C) : x2 y2 12 tại bốn điểm phân biệt. 4 2 2 Bài 18: Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y x (3m 1)x 2m 2m 12 , m là tham số . 1.Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt trong đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 và một điểm có hoành độ lớn hơn 2. 2. Tìm m để (Cm ) và trục Ox chỉ có hai điểm chung B,C sao cho tam giác ABC đều với A(0;2). Bài 20: 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 – 3x2 4 và (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3;4) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M,N .Khi đó tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN. 2 x 2. Tìm m để (d): y = m(x – 1)+2 cắt (C) : y tại hai điểm phân biệt M, N ở x 1 trên hai nhánh của (C). Khi đó tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN. 3 2 3. Cho hai đồ thị C1 : y x 2x 1 , 3 2 C2 : y x x mx 2 , m là tham số thực. Tìm m để C1 cắt C2 tại hai điểm phân biệt A,B .Khi đó chứng minh trung điểm I của đoạn AB thuộc đồ thị hàm số y = 4x3 4x2 3x 3 và viết phương trình của đường thẳng AB. 207